diff --git a/exercices/Makefile b/exercices/Makefile new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb87bf8be85035874e1ae6da3a0d0b528e74c758 --- /dev/null +++ b/exercices/Makefile @@ -0,0 +1,29 @@ +OPTIONS = --filter=pandoc-numbering +OPTIONS += --filter=pandoc-crossref + +PDFOPTIONS = --highlight-style kate +PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex +PDFOPTIONS += --number-sections +PDFOPTIONS += --template=./default.latex + +HTMLOPTIONS += -t html5 +HTMLOPTIONS += -c ../css/tufte-css/tufte.css +HTMLOPTIONS += --self-contained +HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js + +MD=$(wildcard *.md) +HTML=$(MD:%.md=%.html) +PDF=$(MD:%.md=%.pdf) + + +all: $(HTML) $(PDF) + +%.pdf: %.md Makefile + pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $< + +%.html: %.md Makefile + pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $< + +clean: + rm -rf *.html *.pdf + diff --git a/exercices/MathJax.js b/exercices/MathJax.js new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c5458cf56ca84c856384c74f5f51a6b349569f6 --- /dev/null +++ b/exercices/MathJax.js @@ -0,0 +1,4 @@ +var fileref=document.createElement('script') +fileref.setAttribute("type","text/javascript") +fileref.setAttribute("src", "https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML") +document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(fileref) diff --git a/exercices/newton.md b/exercices/newton.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e159d8cf4074d89c3de90e4eada95cbe220e9c7 --- /dev/null +++ b/exercices/newton.md @@ -0,0 +1,219 @@ +--- +# author: +# - Orestis Malaspinas +title: Exercices les lois de Newton +autoSectionLabels: true +autoEqnLabels: false +eqnPrefix: + - "éq." + - "éqs." +chapters: true +numberSections: true +chaptersDepth: 1 +sectionsDepth: 3 +lang: fr +documentclass: article +papersize: A4 +cref: false +pandoc-numbering: + - category: exercice +urlcolor: blue +--- + +# Problèmes avec des tas de forces {#unidim .unnumbered} + +Exercice (Sac de courses) # + +Une personne porte un sac de courses en exerçant une force verticale +"vers le haut" de $50\ N$. Décrire la force de "réaction" (au sens de +la troisième loi de Newton) en donnant: + +1. Son amplitude, +2. Sa direction, +3. Sur l'objet sur lequel elle est exercées, +4. Par quel objet elle est exercée. + +<!-- Solution (Sac de courses) # + +1. Son amplitude est de $50\ N$. +2. Sa direction est verticale, "vers le bas". +3. Elle est exercée sur la personne. +4. Elle est exercée par le sac de courses. --> + + +Exercice (Vélo) # + +La force résultante accélérent un cycliste est de $300\ N$ à $3\ m/s^2$. Quelle est la masse du cycliste et de son vélo. + +<!-- Solution (Vélo) # + +La seconde loi de Newton nous dit +$$ +F_\mathrm{res}=m\cdot a, +$$ +et donc +$$ +m = F/a = 300 / 3 = 100\ kg. +$$ --> + +Exercice (Pendouillage) # + +Un enfant de $20\ kg$ est suspendu à une corde. La tension dans la corde est de $210\ N$. Quelle est l'accélération de l'enfant? Quelle est la direction de l'accélération? + +<!-- Solution (Pendouillage) # + +Deux forces agissent sur l'enfant: la force de tension, $F_t$, dans la corde et la force de gravité, $F_g$. On a donc +$$ +F_res=F_t-F_g=m\cdot a\Leftrightarrow a=\frac{210-20\cdot 9.8}{20}=0.7\ m/s^2. +$$ +L'accélération est orientée dans la même direction que la force de tension, donc ves le haut. --> + +Exercice (Parachute) # + +Soit un parachutiste et son matériel ayant une $100\ kg$. Quelle est son accélération si la force de frottement de l'air est égale à un quart de son poids (le parachute est toujours fermé)? Après l'ouverture de son parachute le parachutiste attendra le sol à une vitesse constante. Quelle est la force de frottement dûe au parachite? + +<!-- Solution (Parachute) # + +La force résultante sur le parachutiste est la somme de la force de gravité et de la force de frottement +$$ +F_f-F_g=m\cdot a\Leftrightarrow a = \frac{m\cdot g/4-m\cdot g}{m}=-\frac{3}{4}g=-7.35\ m/s^2. +$$ +Après l'ouverture du parachute la vitesse de chute devient constante. On a donc que la force résultante est nulle et donc la force de frottement est de +$$ +F_f=m\cdot g=980\ N. +$$ --> + +Exercice (Balance de M. Orestis) # + +Qu'indiquerait la balance de M. Orestis, s'il se pesait sur un plan +incliné faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale, si son poids est de $P$ lorsque la balance est posée sur un +plan horizontal? Il faut supposer que la balance fonctionne +correctement sur +le plan incliné également. + +<!-- Solution (Balance de M. Orestis) # + +Si le poids de M. Orestis est de $P$ sur le plan horizontal, +alors lorsque le plan est incliné son poids est simplement +la projection du poinds sur la normale au plan +qui est donnée par $P\cos\theta$. --> + +Exercice (Slackline de M. Paul) # + +M. Paul est un fan de slackline. Il a accroché sa corde entre deux arbres séparés de $10\ m$. Lorsqu'il atteint le milieu de la corde, elle forme un angle de $10^\circ$ lorsque le système est à l'équilibre. S'il pèse $80\ kg$ quelle est la tension dans la corde (il faut supposer que la corde est sans masse)? + +<!-- Solution (Slackline de M. Paul) # + +Il y a trois force agissant sur le point du milieu de la corde: la force de gravité sur M. Paul, et la tension dans la corde en direction de chaque arbre. De plus le système est à l'équilibre, on a donc +$$ +\vec F_\mathrm{res}=\vec F_{t1}+\vec F_{t2}+\vec F_g \vec 0. +$$ +En considérant la composante verticale de cette équation on a +$$ +F_t\sin 10+F_t\sin 10-m\cdot g=0, +$$ +et finalement +$$ +F_t=\frac{m\cdot g}{2\sin 10}=2257\ N. +$$ --> + +Exercice (Le sprint de M. Michaël) # + +M. Michaël s'entraîne pour les Jeux Olympiques. Lors du début de son $100\ m$ il exerce une force dans les starting-blocks de $800\ N$ avec un angle de $25^\circ$ par rapport au sol. Quelle sera son accélération horizontale si M. Michaël a une masse de $70\ kg$? Si la force est exercée pendant $0.3\ s$ quelle sera sa vitesse en sortant des starting-blocks? + +<!-- Solution (Le sprint de M. Michaël) # + +La composante horizontale de la force de poussée de M. Michaël est la seule agissant horizontalement. On a donc +$$ +F_x=F_p\cos 25=m\cdot a_x\Leftrightarrow a_x=800\cos (25)/70=10.4\ m/s^2. +$$ +La vitesse sera donnée par +$$ +v=a_x\cdot t=10.4\cdot 0.3=3.12\ m/s. +$$ --> + +Exercice (Les trains de M. Alexis) # + +M. Alexis est fan de trains. Il a une grande quantité de trains électriques. Il en accroche trois l'un derrière l'autre. La locomotive fait avancer les 3 trains avec une accélération non nulle. Cela crée une tension $\vec F_{t1}$ entre la locomotive et le premier wagon, et une tension entre le premier et deuxième wagon $\vec F_{t2}$. Quelle est le rapport entre $F_{t1}$ et $F_{t2}$ si tous les wagons ont la même masse? + +<!-- Solution (Les trains de M. Alexis) # + +L'accélération de chaque wagon est la même. La force résultante sur chaque wagon change. On a pour le wagon 1 +$$ +F_{t1}-F_{t2}=ma, +$$ +et pour le wagon 2 +$$ +F_{t2}=ma. +$$ +On substituant la 2e équation dans la première on a +$$ +F_{t1}=2F_{t2}\Leftrightarrow F_{t1}/F_{t2}=2. +$$ --> + +Exercice (Boîtes de M. Joël) # + +M. Joël possède plusieurs boîtes. Trois d'entre-elles, de même taille et de masse $m_A$, $m_B$, et $m_C$ sont posées sur une table et elles sont les trois en contact entre-elles. On pousse les boîtes avec une force $\vec F$ horizontale qui est appliquée sur la boîte $A$. On suppose qu'il n'y a pas de frottement avec la table. + +1. Dessiner un diagrame avec les forces agissant sur les boîtes? +2. Quelle est l'accélération du système en fonction de $F$, $m_A$, $m_B$, et $m_C$? +3. Quelle est la force nette sur chaque boîte? +4. Quelle est la force de contact entre les boîtes? +5. Si $m_A=m_B=m_C=10\ kg$ et $F=100\ N$ donnez les réponses numériques pour les questions 1-4. + +<!-- Solution (Boîtes de M. Joël) # + +2. Il n'y a pas d'accélération verticale donc toutes les forces dans la direction verticale s'annulent. La force résultate sur le système dans la direction horizontale est simplement $F$. +La 2e loi de Newton nous dit +$$ +F=(m_A+m_B+m_C)\cdot a\Leftrightarrow a=\frac{F}{m_A+m_B+m_C}. +$$ +3. L'accélération de chaque boîte étant la même que l'accélération du système, la force sur chaque boîte sera +\begin{align} +F_A&=\frac{m_AF}{m_A+m_B+m_C},\\ +F_B&=\frac{m_BF}{m_A+m_B+m_C},\\ +F_C&=\frac{m_CF}{m_A+m_B+m_C}. +\end{align} +4. Seule la force $F_{BC}$ s'applique sur la boîte $C$. On a donc +$$ +F_{BC}=F_C=\frac{m_CF}{m_A+m_B+m_C}. +$$ +Par action-réaction, on a que la force $F_{CB}=-F_{BC}$. +La boîte $A$ a comme force résultante qui agit sur elle +$$ +F-F_{BA}=F_A=\frac{m_AF}{m_A+m_B+m_C}. +$$ +Il vient que +$$ +F_{BA}=F-\frac{m_CF}{m_A+m_B+m_C}=\frac{(m_B+m_C)F}{m_A+m_B+m_C}=-F_{AB}. +$$ +5. Il suffit de remplacer. J'ai confiance. --> + +Exercice (Frottement statique-cinétique) # + +Une force de $F=50\ N$ est nécessaire pour mettre en mouvement une boîte de $5\ kg$ posée sur une surface plane. Quel est le coefficient de frottement statique de la surface? +Si on continue à pousser avec cette même force la boîte va accélérer à $1\ m/s^2$. Quel est le coefficient de frottement statique de la boîte? + +<!-- Solution (Frottement statique-cinétique) # + +La force de frottement statique est donnée par +$$ +F_\mathrm{fr}=\mu_s F_N. +$$ +La boîte se met en mouvement au moment où la force +avec laquelle on la pousse devient égale à la force de frottement. +On a donc $F_\mathrm{fr}=F$. +En isolant $\mu_s$, on trouve +$$ +\mu_s= \frac{F}{F_N}=\frac{50}{m\cdot g}=1.02. +$$ +A présent la force $F$ est plus grande que la force de frottement +cinétique (la boîte est en mouvement). On a donc +$$ +F-F_\mathrm{fr}=m\cdot a. +$$ +La force de frottement cinétique est donnée par $F_\mathrm{fr}=\mu_k F_N$, on a donc +$$ +50-\mu_k F_N=5\cdot 1\Leftrightarrow \mu_k=\frac{50 - 5}{5\cdot 9.8}=0.92. +$$ --> +