diff --git a/slides/cours_22.md b/slides/cours_22.md
index 2bce0cafc3aaa88ee90c69b4222c81561ebb0210..e8872514ef4e4df0e8e1b49426229ddfccd1b098 100644
--- a/slides/cours_22.md
+++ b/slides/cours_22.md
@@ -1,5 +1,5 @@
---
-title: "Les B-arbres et graphes"
+title: "Les B-arbres"
date: "2025-05-09"
---
@@ -447,875 +447,3 @@ page ajouter_niveau(page, element)
## Et maintenant des exercices par millions!
-# Les graphes
-
-\Huge
-
-Les graphes
-
-# Les graphes! Historique
-
-**Un mini-peu d'histoire...**
-
-## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
-
-* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
-
-{width=40%}
-
-. . .
-
-* Réponse: ben non!
-
-# Utilisation quotidienne
-
-## Réseau social
-
-{width=40%}
-
-* Chaque sommet est un individu.
-* Chaque trait une relation d'amitié.
-* Miam, Miam, Facebook.
-
-# Utilisation quotidienne
-
-## Moteurs de recherche
-
-{width=40%}
-
-* Sommet est un site.
-* Liens sortants;
-* Liens entrants;
-* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
-* Miam, Miam, Google (PageRank).
-
-# Introduction
-
-## Définition, plus ou moins
-
-* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
-
-
-
-* Des sommets (numérotés 1 à 6);
-* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
-
-# Généralités
-
-## Définitions
-
-* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
- * $V$: un ensemble de sommets;
- * $E$: un ensemble d'arêtes.
-* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
-
-## Remarques
-
-* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
-* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
-
-# Généralités
-
-## Notations
-
-* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
-* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
-
-## Exemple
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-
-
-
-::::
-
-:::: column
-
-## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
-
-. . .
-
-\begin{align*}
-V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
-|V|&=4,\\
-E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
-|E|&=4.
-\end{align*}
-
-::::
-
-:::
-
-# Généralités
-
-## Notations
-
-* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
-* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
-
-## Exemple
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-
-
-
-::::
-
-:::: column
-
-## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
-
-. . .
-
-\begin{align*}
-V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
-|V|&=4,\\
-E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
-|E|&=5.
-\end{align*}
-
-::::
-
-:::
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
-* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
-
-## Exemple
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-{width=60%}
-
-::::
-
-:::: column
-
-{width=60%}
-
-::::
-
-:::
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
- poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
-
-## Exemples
-
-{width=80%}
-
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que
-$$
-(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
-$$
-avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
-
-## Exemples
-
-{width=80%}
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
-
-## Exemples
-
-{width=80%}
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
-
-## Exemples
-
-{width=40%}
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
-
-## Exemples
-
-\
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-{width=60%}
-
-::::
-
-:::: column
-{width=40%}
-
-::::
-
-:::
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
-
-## Exemples
-
-\
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-{width=60%}
-
-::::
-
-:::: column
-
-{width=100%}
-
-::::
-
-:::
-
-# Généralités
-
-## Définition
-
-* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\geq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
-* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
-* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
-
-## Exemples
-
-{width=100%}
-
-# Question de la mort
-
-* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
-
-. . .
-
-* Un arbre!
-
-# Représentations
-
-* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
- * Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
- * Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
-* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
-
-## Question
-
-* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
-
-. . .
-
-* Matrice/liste d'adjacence.
-
-# Matrice d'adjacence
-
-* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
-* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
-$$
-A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
- 1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
- 0 & \mbox{sinon}.
- \end{array} \right.
-$$
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-## Exemple
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 1---2;
- 1---4;
- 2---5;
- 4---5;
- 5---3;
-```
-
-::::
-
-:::: column
-
-\footnotesize
-
-## Quelle matrice d'adjacence?
-
-. . .
-
-```
- || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
-===||===|===|===|===|===
- 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
----||---|---|---|---|---
- 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
-```
-
-::::
-
-:::
-
-# Matrice d'adjacence
-
-## Remarques
-
-* Zéro sur la diagonale.
-* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
-
-$$
-A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
-$$.
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 1---2;
- 1---4;
- 2---5;
- 4---5;
- 5---3;
-```
-
-::::
-
-:::: column
-
-\footnotesize
-
-```
- || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
-===||===|===|===|===|===
- 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
----||---|---|---|---|---
- 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
-```
-
-::::
-
-:::
-
-# Matrice d'adjacence
-
-* Pour un graphe orienté (digraphe)
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-## Exemple
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 2-->1;
- 1-->4;
- 2-->5;
- 5-->2;
- 4-->5;
- 5-->3;
-```
-
-::::
-
-:::: column
-
-\footnotesize
-
-## Quelle matrice d'adjacence?
-
-. . .
-
-```
- || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
-===||===|===|===|===|===
- 1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
----||---|---|---|---|---
- 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
----||---|---|---|---|---
- 4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
----||---|---|---|---|---
- 5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
-```
-
-::::
-
-:::
-
-* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
-$$
-A_{ij}\neq A_{ji}.
-$$
-
-# Stockage
-
-* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
-
-. . .
-
-* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
-* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
-
-. . .
-
-* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
-
-# Considérations d'efficacité
-
-* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
-
-. . .
-
-* Dans les graphes denses.
-* Pourquoi?
-
-. . .
-
-* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
-
-## Remarque
-
-* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
-* Comment représenter un graphe autrement?
-
-# La liste d'adjacence (non-orienté)
-
-* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
-* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
-
-. . .
-
-* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-## Exemple
-
-{width=80%}
-
-::::
-
-:::: column
-
-
-## Quelle liste d'adjacence?
-
-. . .
-
-
-
-
-::::
-
-:::
-
-# La liste d'adjacence (orienté)
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-## Quelle liste d'adjacence pour...
-
-* Matrix (2min)
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 0-->1;
- 0-->2;
- 1-->2;
- 3-->0;
- 3-->1;
- 3-->2;
-```
-
-::::
-
-:::: column
-
-```
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-```
-
-
-::::
-
-:::
-
-# Complexité
-
-## Stockage
-
-* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
-
-. . .
-
-$$
-\mathcal{O}(|E|)
-$$
-
-* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}(2|E|)$.
-* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}(|E|)$.
-
-## Définition
-
-* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
-* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
-
-. . .
-
-* C'est la longueur de la liste chaînée.
-
-
-# Parcours
-
-* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
- * Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
- * Trouver si le graphe est connexe;
-* Il existe *deux* parcours principaux:
- * en largeur (Breadth-First Search);
- * en profondeur (Depth-First Search).
-* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
-
-# Illustration: parcours en largeur
-
-{width=80%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape (blanc non-visité)
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape (gris visité)
-
-{width=50%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape (vert à visiter)
-
-{width=50%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-# Exemple
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-## Étape par étape
-
-{width=50%}
-
-# En faisant ce parcours...
-
-
-::: columns
-
-:::: column
-
-## Du parcours de l'arbre
-
-{width=100%}
-
-::::
-
-:::: column
-
-## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
-
-. . .
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 0[x]-->1[w];
- 0-->2[t];
- 0-->3[y];
- 2-->9[u];
- 1-->4[s];
- 4-->5[r];
- 5-->6[v];
-```
-
-::::
-
-:::
-
-## Remarques
-
-* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
-* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
-
-# Le parcours en largeur
-
-## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
-
-. . .
-
-```C
-v = un sommet du graphe
-i = 1
-pour sommet dans graphe et sommet non-visité
- visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité
- i += 1
-```
-
-## Remarque
-
-* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
-
-
-# Le parcours en largeur
-
-## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
-
-* Comment garder la trace de la distance?
-
-. . .
-
-* Utilisation d'une **file**
-
-. . .
-
-```C
-initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
-file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
-tant que !est_vide(file)
- v = défiler(file)
- file = visiter(v, file)
-```
-
-## Que fait visiter?
-
-```
-file visiter(sommet, file)
- sommet = visité
- pour w = chaque arête de sommet
- si w != visité
- file = enfiler(file, w)
- retourne file
-```
-
-# Exercice (5min)
-
-## Appliquer l'algorithme sur le graphe
-
-{width=50%}
-
-* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
-* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
-
-# Complexité du parcours en largeur
-
-## Étape 1
-
-* Extraire un sommet de la file;
-
-## Étape 2
-
-* Traîter tous les sommets adjacents.
-
-## Quelle est la complexité?
-
-. . .
-
-* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
-* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
-* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
-
-# Exercice
-
-* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 1---2;
- 1---3;
- 1---4;
- 2---3;
- 2---6;
- 3---6;
- 3---4;
- 3---5;
- 4---5;
-```
-
-
-# Illustration: parcours en profondeur
-
-{width=80%}
-
-# Parcours en profondeur
-
-## Idée générale
-
-* Initialiser les sommets comme non-lus
-* Visiter un sommet
-* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
-
-## Remarque
-
-* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
-
-# Parcours en profondeur
-
-## Pseudo-code (5min)
-
-. . .
-
-```C
-initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
-pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
-tant que !est_vide(pile)
- v = dépiler(pile)
- pile = visiter(v, pile)
-```
-
-## Que fait visiter?
-
-. . .
-
-```C
-pile visiter(sommet, pile)
- sommet = visité
- pour w = chaque arête de sommet
- si w != visité
- pile = empiler(pile, w)
- retourne pile
-```
-
-
-# Exercice
-
-* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
-
-```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
-graph LR;
- 1---2;
- 1---3;
- 1---4;
- 2---3;
- 2---6;
- 3---6;
- 3---4;
- 3---5;
- 4---5;
-```
-
-# Interprétation des parcours
-
-* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
- * Labyrinthe;
- * Arbre des coups d'un jeu.
-
-. . .
-
-* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
- * Les deux parcourent *tout* l'espace;
- * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
-
-. . .
-
-* Quand on a un temps limité
- * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
- * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
diff --git a/slides/cours_23.md b/slides/cours_23.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..0e15fa5798a45e4b64f09246f9d26bdfd5c0f43a
--- /dev/null
+++ b/slides/cours_23.md
@@ -0,0 +1,877 @@
+---
+title: "Théorie des graphes"
+date: "2025-05-16"
+---
+
+# Les graphes
+
+\Huge
+
+Les graphes
+
+# Les graphes! Historique
+
+**Un mini-peu d'histoire...**
+
+## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
+
+* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
+
+{width=40%}
+
+. . .
+
+* Réponse: ben non!
+
+# Utilisation quotidienne
+
+## Réseau social
+
+{width=40%}
+
+* Chaque sommet est un individu.
+* Chaque trait une relation d'amitié.
+* Miam, Miam, Facebook.
+
+# Utilisation quotidienne
+
+## Moteurs de recherche
+
+{width=40%}
+
+* Sommet est un site.
+* Liens sortants;
+* Liens entrants;
+* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
+* Miam, Miam, Google (PageRank).
+
+# Introduction
+
+## Définition, plus ou moins
+
+* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
+
+
+
+* Des sommets (numérotés 1 à 6);
+* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
+
+# Généralités
+
+## Définitions
+
+* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
+ * $V$: un ensemble de sommets;
+ * $E$: un ensemble d'arêtes.
+* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
+
+## Remarques
+
+* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
+* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
+
+# Généralités
+
+## Notations
+
+* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
+* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
+
+## Exemple
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
+
+. . .
+
+\begin{align*}
+V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
+|V|&=4,\\
+E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
+|E|&=4.
+\end{align*}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Notations
+
+* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
+* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
+
+## Exemple
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
+
+. . .
+
+\begin{align*}
+V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
+|V|&=4,\\
+E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
+|E|&=5.
+\end{align*}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
+* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
+
+## Exemple
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+{width=60%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+{width=60%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
+ poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
+
+## Exemples
+
+{width=80%}
+
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que
+$$
+(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
+$$
+avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
+
+## Exemples
+
+{width=80%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
+
+## Exemples
+
+{width=80%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
+
+## Exemples
+
+{width=40%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
+
+## Exemples
+
+\
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+{width=60%}
+
+::::
+
+:::: column
+{width=40%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
+
+## Exemples
+
+\
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+{width=60%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\geq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
+* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
+* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
+
+## Exemples
+
+{width=100%}
+
+# Question de la mort
+
+* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
+
+. . .
+
+* Un arbre!
+
+# Représentations
+
+* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
+ * Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
+ * Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
+* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
+
+## Question
+
+* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
+
+. . .
+
+* Matrice/liste d'adjacence.
+
+# Matrice d'adjacence
+
+* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
+* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
+$$
+A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
+ 1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
+ 0 & \mbox{sinon}.
+ \end{array} \right.
+$$
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---4;
+ 2---5;
+ 4---5;
+ 5---3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+## Quelle matrice d'adjacence?
+
+. . .
+
+```
+ || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Matrice d'adjacence
+
+## Remarques
+
+* Zéro sur la diagonale.
+* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
+
+$$
+A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
+$$.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---4;
+ 2---5;
+ 4---5;
+ 5---3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+```
+ || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Matrice d'adjacence
+
+* Pour un graphe orienté (digraphe)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 2-->1;
+ 1-->4;
+ 2-->5;
+ 5-->2;
+ 4-->5;
+ 5-->3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+## Quelle matrice d'adjacence?
+
+. . .
+
+```
+ || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
+$$
+A_{ij}\neq A_{ji}.
+$$
+
+# Stockage
+
+* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
+
+. . .
+
+* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
+* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
+
+. . .
+
+* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
+
+# Considérations d'efficacité
+
+* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
+
+. . .
+
+* Dans les graphes denses.
+* Pourquoi?
+
+. . .
+
+* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
+
+## Remarque
+
+* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
+* Comment représenter un graphe autrement?
+
+# La liste d'adjacence (non-orienté)
+
+* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
+* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
+
+. . .
+
+* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+{width=80%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+
+## Quelle liste d'adjacence?
+
+. . .
+
+
+
+
+::::
+
+:::
+
+# La liste d'adjacence (orienté)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Quelle liste d'adjacence pour...
+
+* Matrix (2min)
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 0-->1;
+ 0-->2;
+ 1-->2;
+ 3-->0;
+ 3-->1;
+ 3-->2;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+
+::::
+
+:::
+
+# Complexité
+
+## Stockage
+
+* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
+
+. . .
+
+$$
+\mathcal{O}(|E|)
+$$
+
+* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}(2|E|)$.
+* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}(|E|)$.
+
+## Définition
+
+* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
+* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
+
+. . .
+
+* C'est la longueur de la liste chaînée.
+
+
+# Parcours
+
+* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
+ * Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
+ * Trouver si le graphe est connexe;
+* Il existe *deux* parcours principaux:
+ * en largeur (Breadth-First Search);
+ * en profondeur (Depth-First Search).
+* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
+
+# Illustration: parcours en largeur
+
+{width=80%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape (blanc non-visité)
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape (gris visité)
+
+{width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape (vert à visiter)
+
+{width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+{width=50%}
+
+# En faisant ce parcours...
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Du parcours de l'arbre
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
+
+. . .
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 0[x]-->1[w];
+ 0-->2[t];
+ 0-->3[y];
+ 2-->9[u];
+ 1-->4[s];
+ 4-->5[r];
+ 5-->6[v];
+```
+
+::::
+
+:::
+
+## Remarques
+
+* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
+* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
+
+# Le parcours en largeur
+
+## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+v = un sommet du graphe
+i = 1
+pour sommet dans graphe et sommet non-visité
+ visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité
+ i += 1
+```
+
+## Remarque
+
+* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
+
+
+# Le parcours en largeur
+
+## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
+
+* Comment garder la trace de la distance?
+
+. . .
+
+* Utilisation d'une **file**
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(file)
+ v = défiler(file)
+ file = visiter(v, file)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+```
+file visiter(sommet, file)
+ sommet = visité
+ pour w = chaque arête de sommet
+ si w != visité
+ file = enfiler(file, w)
+ retourne file
+```
+
+# Exercice (5min)
+
+## Appliquer l'algorithme sur le graphe
+
+{width=50%}
+
+* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
+* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
+
+# Complexité du parcours en largeur
+
+## Étape 1
+
+* Extraire un sommet de la file;
+
+## Étape 2
+
+* Traîter tous les sommets adjacents.
+
+## Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
+* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
+* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---3;
+ 1---4;
+ 2---3;
+ 2---6;
+ 3---6;
+ 3---4;
+ 3---5;
+ 4---5;
+```
+
+
+# Illustration: parcours en profondeur
+
+{width=80%}
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Idée générale
+
+* Initialiser les sommets comme non-lus
+* Visiter un sommet
+* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
+
+## Remarque
+
+* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Pseudo-code (5min)
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(pile)
+ v = dépiler(pile)
+ pile = visiter(v, pile)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+. . .
+
+```C
+pile visiter(sommet, pile)
+ sommet = visité
+ pour w = chaque arête de sommet
+ si w != visité
+ pile = empiler(pile, w)
+ retourne pile
+```
+
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---3;
+ 1---4;
+ 2---3;
+ 2---6;
+ 3---6;
+ 3---4;
+ 3---5;
+ 4---5;
+```
+
+# Interprétation des parcours
+
+* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
+ * Labyrinthe;
+ * Arbre des coups d'un jeu.
+
+. . .
+
+* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
+ * Les deux parcourent *tout* l'espace;
+ * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
+
+. . .
+
+* Quand on a un temps limité
+ * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
+ * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.