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  • gaspard.legouic/cours
  • joachim.bach/cours
  • gabriel.marinoja/algo-cours
  • loic.lavorel/cours
  • iliya.saroukha/cours
  • costanti.volta/cours
  • jacquesw.ndoumben/cours
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README.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
# Remerciements et contributions
Merci aux contributeurs suivants pour leurs efforts (dans un ordre alphabétique):
* P. Albuquerque
* J. Bach
* A. Boyer
* M. Corboz
* M. Divià
* Y. El Hakouni
* A. Escribano
* P. Kunzli
* G. Legouic
* G. Marino Jarrin
* H. Radhwan
* I. Saroukhanian
* C. Volta
css/tufte-css/tufte.css 0 → 100644
View file @ febfc3f8
@charset "UTF-8";
/* Import ET Book styles
adapted from https://github.com/edwardtufte/et-book/blob/gh-pages/et-book.css */
@font-face {
font-family: "et-book";
src: url("et-book/et-book-roman-line-figures/et-book-roman-line-figures.eot");
src: url("et-book/et-book-roman-line-figures/et-book-roman-line-figures.eot?#iefix") format("embedded-opentype"), url("et-book/et-book-roman-line-figures/et-book-roman-line-figures.woff") format("woff"), url("et-book/et-book-roman-line-figures/et-book-roman-line-figures.ttf") format("truetype"), url("et-book/et-book-roman-line-figures/et-book-roman-line-figures.svg#etbookromanosf") format("svg");
font-weight: normal;
font-style: normal;
font-display: swap;
}
@font-face {
font-family: "et-book";
src: url("et-book/et-book-display-italic-old-style-figures/et-book-display-italic-old-style-figures.eot");
src: url("et-book/et-book-display-italic-old-style-figures/et-book-display-italic-old-style-figures.eot?#iefix") format("embedded-opentype"), url("et-book/et-book-display-italic-old-style-figures/et-book-display-italic-old-style-figures.woff") format("woff"), url("et-book/et-book-display-italic-old-style-figures/et-book-display-italic-old-style-figures.ttf") format("truetype"), url("et-book/et-book-display-italic-old-style-figures/et-book-display-italic-old-style-figures.svg#etbookromanosf") format("svg");
font-weight: normal;
font-style: italic;
font-display: swap;
}
@font-face {
font-family: "et-book";
src: url("et-book/et-book-bold-line-figures/et-book-bold-line-figures.eot");
src: url("et-book/et-book-bold-line-figures/et-book-bold-line-figures.eot?#iefix") format("embedded-opentype"), url("et-book/et-book-bold-line-figures/et-book-bold-line-figures.woff") format("woff"), url("et-book/et-book-bold-line-figures/et-book-bold-line-figures.ttf") format("truetype"), url("et-book/et-book-bold-line-figures/et-book-bold-line-figures.svg#etbookromanosf") format("svg");
font-weight: bold;
font-style: normal;
font-display: swap;
}
@font-face {
font-family: "et-book-roman-old-style";
src: url("et-book/et-book-roman-old-style-figures/et-book-roman-old-style-figures.eot");
src: url("et-book/et-book-roman-old-style-figures/et-book-roman-old-style-figures.eot?#iefix") format("embedded-opentype"), url("et-book/et-book-roman-old-style-figures/et-book-roman-old-style-figures.woff") format("woff"), url("et-book/et-book-roman-old-style-figures/et-book-roman-old-style-figures.ttf") format("truetype"), url("et-book/et-book-roman-old-style-figures/et-book-roman-old-style-figures.svg#etbookromanosf") format("svg");
font-weight: normal;
font-style: normal;
font-display: swap;
}
/* Tufte CSS styles */
html {
font-size: 15px;
}
body {
width: 87.5%;
margin-left: auto;
margin-right: auto;
padding-left: 12.5%;
font-family: et-book, Palatino, "Palatino Linotype", "Palatino LT STD", "Book Antiqua", Georgia, serif;
background-color: #fffff8;
color: #111;
max-width: 1400px;
counter-reset: sidenote-counter;
}
h1 {
font-weight: 400;
margin-top: 4rem;
margin-bottom: 1.5rem;
font-size: 3.2rem;
line-height: 1;
}
h2 {
font-style: italic;
font-weight: 400;
margin-top: 2.1rem;
margin-bottom: 1.4rem;
font-size: 2.2rem;
line-height: 1;
}
h3 {
font-style: italic;
font-weight: 400;
font-size: 1.7rem;
margin-top: 2rem;
margin-bottom: 1.4rem;
line-height: 1;
}
hr {
display: block;
height: 1px;
width: 55%;
border: 0;
border-top: 1px solid #ccc;
margin: 1em 0;
padding: 0;
}
p.subtitle {
font-style: italic;
margin-top: 1rem;
margin-bottom: 1rem;
font-size: 1.8rem;
display: block;
line-height: 1;
}
.numeral {
font-family: et-book-roman-old-style;
}
.danger {
color: red;
}
article {
padding: 5rem 0rem;
}
section {
padding-top: 1rem;
padding-bottom: 1rem;
}
p,
dl,
ol,
ul {
font-size: 1.4rem;
line-height: 2rem;
}
p {
margin-top: 1.4rem;
margin-bottom: 1.4rem;
padding-right: 0;
vertical-align: baseline;
}
/* Chapter Epigraphs */
div.epigraph {
margin: 5em 0;
}
div.epigraph > blockquote {
margin-top: 3em;
margin-bottom: 3em;
}
div.epigraph > blockquote,
div.epigraph > blockquote > p {
font-style: italic;
}
div.epigraph > blockquote > footer {
font-style: normal;
}
div.epigraph > blockquote > footer > cite {
font-style: italic;
}
/* end chapter epigraphs styles */
blockquote {
font-size: 1.4rem;
}
blockquote p {
width: 55%;
margin-right: 40px;
}
blockquote footer {
width: 55%;
font-size: 1.1rem;
text-align: right;
}
section > p,
section > footer,
section > table {
width: 55%;
}
/* 50 + 5 == 55, to be the same width as paragraph */
section > dl,
section > ol,
section > ul {
width: 50%;
-webkit-padding-start: 5%;
}
dt:not(:first-child),
li:not(:first-child) {
margin-top: 0.25rem;
}
figure {
padding: 0;
border: 0;
font-size: 100%;
font: inherit;
vertical-align: baseline;
max-width: 55%;
-webkit-margin-start: 0;
-webkit-margin-end: 0;
margin: 0 0 3em 0;
}
figcaption {
float: right;
clear: right;
margin-top: 0;
margin-bottom: 0;
font-size: 1.1rem;
line-height: 1.6;
vertical-align: baseline;
position: relative;
max-width: 40%;
}
figure.fullwidth figcaption {
margin-right: 24%;
}
/* Links: replicate underline that clears descenders */
a:link,
a:visited {
color: inherit;
}
.no-tufte-underline:link {
background: unset;
text-shadow: unset;
}
a:link, .tufte-underline, .hover-tufte-underline:hover {
text-decoration: none;
background: -webkit-linear-gradient(#fffff8, #fffff8), -webkit-linear-gradient(#fffff8, #fffff8), -webkit-linear-gradient(currentColor, currentColor);
background: linear-gradient(#fffff8, #fffff8), linear-gradient(#fffff8, #fffff8), linear-gradient(currentColor, currentColor);
-webkit-background-size: 0.05em 1px, 0.05em 1px, 1px 1px;
-moz-background-size: 0.05em 1px, 0.05em 1px, 1px 1px;
background-size: 0.05em 1px, 0.05em 1px, 1px 1px;
background-repeat: no-repeat, no-repeat, repeat-x;
text-shadow: 0.03em 0 #fffff8, -0.03em 0 #fffff8, 0 0.03em #fffff8, 0 -0.03em #fffff8, 0.06em 0 #fffff8, -0.06em 0 #fffff8, 0.09em 0 #fffff8, -0.09em 0 #fffff8, 0.12em 0 #fffff8, -0.12em 0 #fffff8, 0.15em 0 #fffff8, -0.15em 0 #fffff8;
background-position: 0% 93%, 100% 93%, 0% 93%;
}
@media screen and (-webkit-min-device-pixel-ratio: 0) {
a:link, .tufte-underline, .hover-tufte-underline:hover {
background-position-y: 87%, 87%, 87%;
}
}
a:link::selection,
a:link::-moz-selection {
text-shadow: 0.03em 0 #b4d5fe, -0.03em 0 #b4d5fe, 0 0.03em #b4d5fe, 0 -0.03em #b4d5fe, 0.06em 0 #b4d5fe, -0.06em 0 #b4d5fe, 0.09em 0 #b4d5fe, -0.09em 0 #b4d5fe, 0.12em 0 #b4d5fe, -0.12em 0 #b4d5fe, 0.15em 0 #b4d5fe, -0.15em 0 #b4d5fe;
background: #b4d5fe;
}
/* Sidenotes, margin notes, figures, captions */
img {
max-width: 100%;
}
.sidenote,
.marginnote {
float: right;
clear: right;
margin-right: -60%;
width: 50%;
margin-top: 0.3rem;
margin-bottom: 0;
font-size: 1.1rem;
line-height: 1.3;
vertical-align: baseline;
position: relative;
}
.sidenote-number {
counter-increment: sidenote-counter;
}
.sidenote-number:after,
.sidenote:before {
font-family: et-book-roman-old-style;
position: relative;
vertical-align: baseline;
}
.sidenote-number:after {
content: counter(sidenote-counter);
font-size: 1rem;
top: -0.5rem;
left: 0.1rem;
}
.sidenote:before {
content: counter(sidenote-counter) " ";
font-size: 1rem;
top: -0.5rem;
}
blockquote .sidenote,
blockquote .marginnote {
margin-right: -82%;
min-width: 59%;
text-align: left;
}
div.fullwidth,
table.fullwidth {
width: 100%;
}
div.table-wrapper {
overflow-x: auto;
font-family: "Trebuchet MS", "Gill Sans", "Gill Sans MT", sans-serif;
}
.sans {
font-family: "Gill Sans", "Gill Sans MT", Calibri, sans-serif;
letter-spacing: .03em;
}
code, pre > code {
font-family: Consolas, "Liberation Mono", Menlo, Courier, monospace;
font-size: 1.0rem;
line-height: 1.42;
-webkit-text-size-adjust: 100%; /* Prevent adjustments of font size after orientation changes in iOS. See https://github.com/edwardtufte/tufte-css/issues/81#issuecomment-261953409 */
}
.sans > code {
font-size: 1.2rem;
}
h1 > code,
h2 > code,
h3 > code {
font-size: 0.80em;
}
.marginnote > code,
.sidenote > code {
font-size: 1rem;
}
pre > code {
font-size: 0.9rem;
width: 52.5%;
margin-left: 2.5%;
overflow-x: auto;
display: block;
}
pre.fullwidth > code {
width: 90%;
}
.fullwidth {
max-width: 90%;
clear:both;
}
span.newthought {
font-variant: small-caps;
font-size: 1.2em;
}
input.margin-toggle {
display: none;
}
label.sidenote-number {
display: inline;
}
label.margin-toggle:not(.sidenote-number) {
display: none;
}
.iframe-wrapper {
position: relative;
padding-bottom: 56.25%; /* 16:9 */
padding-top: 25px;
height: 0;
}
.iframe-wrapper iframe {
position: absolute;
top: 0;
left: 0;
width: 100%;
height: 100%;
}
@media (max-width: 760px) {
body {
width: 84%;
padding-left: 8%;
padding-right: 8%;
}
hr,
section > p,
section > footer,
section > table {
width: 100%;
}
pre > code {
width: 97%;
}
section > dl,
section > ol,
section > ul {
width: 90%;
}
figure {
max-width: 90%;
}
figcaption,
figure.fullwidth figcaption {
margin-right: 0%;
max-width: none;
}
blockquote {
margin-left: 1.5em;
margin-right: 0em;
}
blockquote p,
blockquote footer {
width: 100%;
}
label.margin-toggle:not(.sidenote-number) {
display: inline;
}
.sidenote,
.marginnote {
display: none;
}
.margin-toggle:checked + .sidenote,
.margin-toggle:checked + .marginnote {
display: block;
float: left;
left: 1rem;
clear: both;
width: 95%;
margin: 1rem 2.5%;
vertical-align: baseline;
position: relative;
}
label {
cursor: pointer;
}
div.table-wrapper,
table {
width: 85%;
}
img {
width: 100%;
}
}
slides/.clang-format 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
Language: Cpp
# BasedOnStyle: Google
AccessModifierOffset: -4
AlignAfterOpenBracket: AlwaysBreak
AlignConsecutiveAssignments: None
AlignConsecutiveBitFields: None
AlignConsecutiveDeclarations: None
AlignConsecutiveMacros: true
AlignEscapedNewlines: Left
AlignOperands: Align
AlignTrailingComments: true
AllowAllArgumentsOnNextLine: true
AllowAllConstructorInitializersOnNextLine: true
AllowAllParametersOfDeclarationOnNextLine: true
AllowShortEnumsOnASingleLine: true
AllowShortBlocksOnASingleLine: Never
AllowShortCaseLabelsOnASingleLine: false
AllowShortFunctionsOnASingleLine: Empty
AllowShortLambdasOnASingleLine: Empty
AllowShortIfStatementsOnASingleLine: Never
AllowShortLoopsOnASingleLine: false
AlwaysBreakAfterDefinitionReturnType: None
AlwaysBreakAfterReturnType: None
AlwaysBreakBeforeMultilineStrings: true
AlwaysBreakTemplateDeclarations: Yes
BinPackArguments: true
BinPackParameters: true
BitFieldColonSpacing: Both
BraceWrapping:
AfterCaseLabel: false
AfterClass: false
AfterControlStatement: MultiLine
AfterEnum: false
AfterFunction: false
AfterNamespace: false
AfterObjCDeclaration: false
AfterStruct: false
AfterUnion: false
AfterExternBlock: false
BeforeCatch: false
BeforeElse: false
BeforeLambdaBody: false
BeforeWhile: false
IndentBraces: false
SplitEmptyFunction: false
SplitEmptyRecord: true
SplitEmptyNamespace: true
BreakBeforeBinaryOperators: NonAssignment
BreakBeforeBraces: Custom
BreakBeforeInheritanceComma: false
BreakInheritanceList: AfterColon
BreakBeforeTernaryOperators: true
BreakConstructorInitializersBeforeComma: false
BreakConstructorInitializers: AfterColon
BreakAfterJavaFieldAnnotations: false
BreakStringLiterals: true
ColumnLimit: 100
CommentPragmas: '^ IWYU pragma:'
CompactNamespaces: false
ConstructorInitializerAllOnOneLineOrOnePerLine: true
ConstructorInitializerIndentWidth: 4
ContinuationIndentWidth: 4
Cpp11BracedListStyle: true
DeriveLineEnding: false
DerivePointerAlignment: false
DisableFormat: false
ExperimentalAutoDetectBinPacking: false
FixNamespaceComments: true
ForEachMacros:
- foreach
- Q_FOREACH
- BOOST_FOREACH
IncludeBlocks: Regroup
IncludeCategories:
- Regex: '^<ext/.*\.h>'
Priority: 2
SortPriority: 0
- Regex: '^<.*\.h>'
Priority: 1
SortPriority: 0
- Regex: '^<.*'
Priority: 2
SortPriority: 0
- Regex: '.*'
Priority: 3
SortPriority: 0
IncludeIsMainRegex: '([-_](test|unittest))?$'
IncludeIsMainSourceRegex: ''
IndentCaseLabels: false
IndentCaseBlocks: false
IndentGotoLabels: false
IndentPPDirectives: None
IndentExternBlock: AfterExternBlock
IndentWidth: 4
IndentWrappedFunctionNames: true
InsertTrailingCommas: None
JavaScriptQuotes: Leave
JavaScriptWrapImports: true
KeepEmptyLinesAtTheStartOfBlocks: false
MacroBlockBegin: ''
MacroBlockEnd: ''
MaxEmptyLinesToKeep: 1
NamespaceIndentation: None
ObjCBinPackProtocolList: Never
ObjCBlockIndentWidth: 2
ObjCBreakBeforeNestedBlockParam: true
ObjCSpaceAfterProperty: false
ObjCSpaceBeforeProtocolList: true
PenaltyBreakAssignment: 2
PenaltyBreakBeforeFirstCallParameter: 1
PenaltyBreakComment: 300
PenaltyBreakFirstLessLess: 120
PenaltyBreakString: 1000
PenaltyBreakTemplateDeclaration: 10
PenaltyExcessCharacter: 1000000
PenaltyReturnTypeOnItsOwnLine: 200
PointerAlignment: Right
RawStringFormats:
- Language: Cpp
Delimiters:
- cc
- CC
- cpp
- Cpp
- CPP
- 'c++'
- 'C++'
CanonicalDelimiter: ''
BasedOnStyle: google
- Language: TextProto
Delimiters:
- pb
- PB
- proto
- PROTO
EnclosingFunctions:
- EqualsProto
- EquivToProto
- PARSE_PARTIAL_TEXT_PROTO
- PARSE_TEST_PROTO
- PARSE_TEXT_PROTO
- ParseTextOrDie
- ParseTextProtoOrDie
- ParseTestProto
- ParsePartialTestProto
CanonicalDelimiter: ''
BasedOnStyle: google
ReflowComments: true
SortIncludes: false
SortUsingDeclarations: false
SpaceAfterCStyleCast: false
SpaceAfterLogicalNot: false
SpaceAfterTemplateKeyword: true
SpaceBeforeAssignmentOperators: true
SpaceBeforeCpp11BracedList: true
SpaceBeforeCtorInitializerColon: true
SpaceBeforeInheritanceColon: true
SpaceBeforeParens: ControlStatements
SpaceBeforeRangeBasedForLoopColon: true
SpaceInEmptyBlock: true
SpaceInEmptyParentheses: false
SpacesBeforeTrailingComments: 2
SpacesInAngles: false
SpacesInConditionalStatement: false
SpacesInContainerLiterals: false
SpacesInCStyleCastParentheses: false
SpacesInParentheses: false
SpacesInSquareBrackets: false
SpaceBeforeSquareBrackets: false
Standard: Auto
StatementMacros:
- Q_UNUSED
- QT_REQUIRE_VERSION
TabWidth: 4
UseCRLF: false
UseTab: Never
WhitespaceSensitiveMacros:
- STRINGIZE
- PP_STRINGIZE
- BOOST_PP_STRINGIZE
...
slides/.gitignore
View file @ febfc3f8
*.pdf
*.err
*.markdown
*.html
index.md
diagram*.pdf
cours*.pdf
intro.pdf
mermaid-filter.err
.puppeteer.json
slides/Makefile
View file @ febfc3f8
......@@ -8,46 +8,37 @@ PDFOPTIONS += -V themeoptions:numbering=none -V themeoptions:progressbar=foot
PDFOPTIONS += -V fontsize=smaller
PDFOPTIONS += -V urlcolor=blue
REVEALOPTIONS = -t revealjs
REVEALOPTIONS += -F mermaid-filter
REVEALOPTIONS += --self-contained
REVEALOPTIONS += -V revealjs-url=reveal.js
REVEALOPTIONS += -V theme=white
REVEALOPTIONS += -V width=1920
REVEALOPTIONS += -V margin=0
REVEALOPTIONS += --slide-level=1
MD=$(wildcard *.md) # Tous les fichiers .md
PDF=$(MD:%.md=%.pdf) # Pour les fichier pdf on transforme .md -> .pdf
HTML=$(MD:%.md=%.html) # Pour les fichier html on transforme .md -> .html
MARKDOWN=$(MD:%.md=%.markdown) # Pour les fichier markdown on transforme .md -> .markdown
CHROMIUM:=$(shell which chromium || which chromium-browser)
all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf
all: puppeteer $(PDF)
# all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf
docker: docker-compose.yml
docker-compose run slides make puppeteer -k || true
docker-compose run slides make all -k || true
docker compose run slides
docker_clean: docker-compose.yml
docker-compose run slides make clean -k || true
docker compose run slides clean
puppeteer:
@echo "Setting chromium to $(CHROMIUM) for puppeteer"
@echo -e "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
# @echo "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
index.md: gen_index.sh
$(shell ./gen_index.sh)
index:
rm -f index.md
./gen_index.sh
index.html: index.md
pandoc -s $(OPTIONS) --css ../css/tufte-css/tufte.css -o $@ $^
markdown: $(MARKDOWN) # La markdown les cibles %.markdown
%.pdf: %.md metadata.yaml # %.pdf (chaque fichier %.md génère un fichier avec le même nom mais l'extension .pdf et la dépendance metadata.yaml)
pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^
%.html: %.md metadata.yaml
pandoc -s $(OPTIONS) $(REVEALOPTIONS) -o $@ $^
%.markdown: %.md metadata.yaml yq
sed '1 { /^---/ { :a N; /\n---/! ba; d} }' $< > no_header
grep -v -F -x -f no_header $< > header.yaml
......@@ -60,11 +51,12 @@ yq: # On peut même télécharger un petit programme avec notre makefile
wget -nc https://github.com/mikefarah/yq/releases/download/3.4.1/yq_linux_amd64
chmod "u+x" yq_linux_amd64
deploy: all
deploy: all index.html
mkdir -p algo_cours
cp *.pdf algo_cours
cp index.html algo_cours
clean:
rm -f *.html *.pdf *.markdown yq_linux_amd64* index.md .puppeteer.json
rm -rf *.html *.pdf *.markdown yq_linux_amd64* index.md .puppeteer.json algo_cours *.err
.PHONY: clean index puppeteer yq
.PHONY: clean index.md puppeteer yq
slides/cours_1.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2021-09-22"
title: "Introduction aux algorithmes I"
date: "2024-09-16"
---
# Qu'est-ce qu'un algorithme?
......@@ -42,7 +42,7 @@ de résoudre typiquement une classe de problèmes ou effectuer un calcul.
. . .
* Opérateurs (arthimétiques / booléens)
* Opérateurs (arithmétiques / booléens)
* Boucles;
* Structures de contrôle;
* Fonctions;
......@@ -57,14 +57,12 @@ Nombre premier: nombre possédant deux diviseurs entiers distincts.
## Algorithme naïf (problème)
```C
est_premier(nombre) {
si {
pour tout i, t.q. 1 < i < nombre {
booléen est_premier(nombre)
si
pour tout i, t.q. 1 < i < nombre
i ne divise pas nombre
}
} alors vrai
alors vrai
sinon faux
}
```
. . .
......@@ -80,14 +78,12 @@ est_premier(nombre) {
## Algorithme naïf (une solution)
```C
est_premier(nombre) { // fonction
soit i := 2; // variable, type, assignation
tant que i < nombre { // boucle
si nombre modulo i = 0 { // expression typée
booléen est_premier(nombre) // fonction
soit i = 2 // variable, type, assignation
tant que i < nombre // boucle
si nombre modulo i == 0 // expression typée
retourne faux // expression typée
}
i := i + 1
}
i = i + 1
retourne vrai // expression typée
```
......@@ -103,7 +99,7 @@ bool est_premier(int nombre) {
if (0 == nombre % i) { // is i divise nombre
return false; // i n'est pas premier
}
i += 1; // sinon on incrémente i
i = i + 1; // sinon on incrémente i
}
return true;
}
......@@ -125,9 +121,9 @@ bool est_premier(int nombre) {
- Il existe une multitude d'options de compilation:
```bash
$ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g porg.c -o prog -fsanitize=address
-fsanitize=leak -fsanitize=undefined
```console
$ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g prog.c -o prog
-fsanitize=address
```
1. `-std=c11` utilisation de C11.
2. `-Wall et -Wextra` activation des warnings.
......@@ -244,7 +240,7 @@ int main() {
# Quiz: compile ou compile pas?
## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033948)
## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501934)
# Types de base (1/4)
......@@ -292,7 +288,7 @@ Type Signification
# Quiz: booléens
## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1032492)
## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501922)
<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
......@@ -336,7 +332,7 @@ if (x) { /* vrai */ }
# Quiz: conversions
## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033446)
## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501925)
<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
......@@ -351,343 +347,3 @@ bool d = 2.78; // 1
bool e = 1.0; // 1
``` -->
# Expressions et opérateurs (1/6)
Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.
## Expressions simples
- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.
```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0; // '0' est un litéral
int y = x; // 'x' est une variable
int z = L; // 'L' est une constante
```
## Expressions complexes
- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*
```C
int x; // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
// dont le résultat est affecté à 'x'
```
# Expressions et opérateurs (2/6)
## Opérateurs relationnels
Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:
- `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.
| Opérateur | Syntaxe | Résultat |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C} | `a < b`{.C} | 1 si a < b; 0 sinon |
| `>`{.C} | `a > b`{.C} | 1 si a > b; 0 sinon |
| `<=`{.C} | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C} | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C} | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C} | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |
# Expressions et opérateurs (3/6)
## Opérateurs logiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C} | `a && b`{.C} | ET logique |
| `||`{.C} | `a || b`{.C} | OU logique |
| `!`{.C} | `!a`{.C} | NON logique |
# Quiz: opérateurs logiques
## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033629)
<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1
Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->
# Expressions et opérateurs (4/6)
## Opérateurs arithmétiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C} | `a + b`{.C} | Addition |
| `-`{.C} | `a - b`{.C} | Soustraction |
| `*`{.C} | `a * b`{.C} | Multiplication |
| `/`{.C} | `a / b`{.C} | Division |
| `%`{.C} | `a % b`{.C} | Modulo |
# Expressions et opérateurs (5/6)
## Opérateurs d'assignation
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C} | `a = b`{.C} | Affecte la valeur `b` à la variable `a` |
| | | et retourne la valeur de `b` |
| `+=`{.C} | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `-=`{.C} | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `*=`{.C} | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `/=`{.C} | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `%=`{.C} | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
# Expressions et opérateurs (6/6)
## Opérateurs d'assignation (suite)
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C} | `++a`{.C} | Incrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a += 1`). |
| `--`{.C} | `--a`{.C} | Décrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a -= 1`). |
| `++`{.C} | `a++`{.C} | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1. |
| `--`{.C} | `a--`{.C} | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1. |
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)
## Syntaxe
```C
if (expression) {
instructions;
} else if (expression) { // optionnel
// il peut y en avoir plusieurs
instructions;
} else {
instructions; // optionnel
}
```
```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
printf("y vaut 8.\n");
} else {
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)
## Pièges
```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
x = -1; // toujours évalué
```
# Quiz: `if ... else`{.C}
## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033916)
# Structures de contrôle: `while`{.C}
## La boucle `while`{.C}
```C
while (condition) {
instructions;
}
do {
instructions;
} while (condition);
```
## La boucle `while`{.C}, un exemple
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
sum += 1;
}
do {
sum += 10;
} while (sum < 100)
```
# Structures de contrôle: `for`{.C}
## La boucle `for`{.C}
```C
for (expression1; expression2; expression3) {
instructions;
}
```
## La boucle `for`{.C}
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
sum += i;
}
for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
# Exercice: la factorielle
Écrire un programme qui calcule la factorielle d'un nombre
$$
N! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot (N-1)\cdot N.
$$
## Par groupe de 3: écrire un pseudo-code
. . .
```C
int factorielle(int n) {
i = 1;
fact = 1;
pour i <= n {
fact *= i;
i += 1;
}
}
```
# Exercice: la factorielle
\footnotesize
Écrire un programme qui calcule la factorielle d'un nombre
$$
N! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot (N-1)\cdot N.
$$
## Par groupe de 3: écrire un code en C
Quand vous avez fini postez le code sur le salon matrix.
. . .
```C
#include <stdio.h>
int main() {
int nb = 10;
int fact = 1;
int iter = 2;
while (iter <= nb) {
fact *= iter;
iter++;
}
}
```
. . .
## Comment améliorer ce code? (notez ça sur une feuille)
# Entrées/sorties: `printf()`{.C} (1/2)
## Généralités
- La fonction `printf()`{.C} permet d'afficher du texte sur le terminal:
```C
int printf(const char *format, ...);
```
- Nombre d'arguments variables.
- `format`{.C} est le texte, ainsi que le format (type) des variables à afficher.
- Les arguments suivants sont les expressions à afficher.
# Entrées/sorties: `printf()`{.C} (2/2)
## Exemple
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
printf("Hello world.\n");
int val = 1;
printf("Hello world %d time.\n", val);
printf("%f squared is equal to %f.\n", 2.5, 2.5*2.5);
return EXIT_SUCCESS;
}
```
# Entrées/sorties: `scanf()`{.C} (1/2)
## Généralités
- La fonction `scanf()`{.C} permet de lire du texte formaté entré au clavier:
```C
int scanf(const char *format, ...);
```
- `format`{.C} est le format des variables à lire (comme `printf()`{.C}).
- Les arguments suivants sont les variables où sont stockées les valeurs lues.
# Entrées/sorties: `scanf()`{.C} (2/2)
## Exemple
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
printf("Enter 3 numbers: \n");
int i, j, k;
scanf("%d %d %d", &i, &j, &k);
printf("You entered: %d %d %d\n", i, j, k);
return EXIT_SUCCESS;
}
```
# Exercice: la factorielle en mieux
## Individuellement
1. Ajoutez des fonctionnalités à votre code.
2. Écrivez l'algorithme de calcul de deux façon différentes.
3. Pour celles et ceux qui ont fini pendant que les autres essaient: faites-le
en récursif (sans aide).
. . .
## Postez vos solutions sur matrix!
slides/cours_10.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Piles et files d'attente"
date: "2021-12-08"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Backtracking et piles"
date: "2024-12-02"
---
# La liste chaînée et pile (1/N)
# Le problème des 8-reines
## Structure de données
\Huge Le problème des 8-reines
* Chaque élément de la liste contient:
1. une valeur,
2. un pointeur vers le prochain élément.
* La pile est un pointeur vers le premier élément.
# Problème des 8-reines
![Un exemple de liste chaînée.](figs/Singly-linked-list.svg){width=80%}
* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
# La liste chaînée et pile (2/N)
## Conséquence
## Une pile-liste-chaînée
* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
```C
typedef struct _element {
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* stack;
```
## Généralisation
## Fonctionnalités?
* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
N$.
- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
. . .
![Problème des 8-reines. Source:
[wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_huit_dames)](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
```C
void stack_create(stack *s); // *s = NULL;
void stack_destroy(stack *s);
void stack_push(stack *s, int val);
void stack_pop(stack *s, int *val);
void stack_peek(stack s, int *val);
bool stack_is_empty(stack s); // reutrn NULL == stack;
```
# Problème des 2-reines
![Le problème des 2 reines n'a pas de solution.](figs/2reines.svg){width=50%}
# La liste chaînée et pile (3/N)
# Comment trouver les solutions?
## Empiler? (faire un dessin)
* On pose la première reine sur la première case disponible.
* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
possibilité de poser une reine.
* On recommence depuis là.
. . .
```C
* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
reines.
# Problème des 3-reines
![Le problème des 3 reines n'a pas de solution non plus.](figs/3reines.svg)
# Problème des 4-reines
![Le problème des 4 reines a une solution.](figs/4reines.svg)
# Problème des 4-reines, symétrie
![Le problème des 4 reines a une autre solution (symétrie
horizontale).](figs/4reines_sym.svg)
```
# Problème des 5 reines
## Empiler? (le code ensemble)
## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
. . .
* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
matrix.
```C
void stack_push(stack *s, int val) {
element *elem = malloc(sizeof(*elem));
elem->data = val;
elem->next = *s;
s = elem;
}
```
# La liste chaînée et pile (4/N)
## Jeter un oeil? (faire un dessin)
. . .
```C
......@@ -96,226 +81,384 @@ void stack_push(stack *s, int val) {
```
## Jeter un oeil? (le code ensemble)
# Quelques observations sur le problème
* Une reine par colonne au plus.
* On place les reines sur des colonnes successives.
* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
* Trois étapes:
* On place une reine dans une case libre.
* On met à jour le tableau.
* Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
a réussi.
# Le code du problème des 8 reines (1/5)
## Quelle structure de données?
. . .
Une matrice de booléens fera l'affaire:
```C
void stack_peek(stack s, int *val) {
*val = s->data;
}
bool board[n][n];
```
# La liste chaînée et pile (5/N)
## Dépiler? (faire un dessin)
## Quelles fonctionnalités?
. . .
```C
// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
// et compter les solutions
void nbr_solutions(board, column, counter);
// Copier un tableau dans un autre
void copy(board_in, board_out);
// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
void placer_devant(board, li, co);
```
# Le code du problème des 8 reines (2/5)
## Le calcul du nombre de solutions
```C
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
rien nbr_solutions(board, column, count)
pour chaque ligne
si la case libre
si column < n - 1
copier board dans un "new" board,
y poser une reine
et mettre à jour ce "new" board
nbr_solutions(new_board, column+1, count)
sinon
on a posé la n-ème et on a gagné
count += 1
```
# Le code du problème des 8 reines (3/5)
## Le calcul du nombre de solutions
```C
// Placer une reine et mettre à jour
rien placer_devant(board, ligne, colonne)
board est occupé à ligne/colonne
toutes les cases des colonnes
suivantes sont mises à jour
```
## Dépiler? (le code ensemble)
# Le code du problème des 8 reines (4/5)
## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
. . .
## Le nombre de solutions
\footnotesize
```C
void stack_pop(stack *s, int *val) {
stack_peek(*s, val);
element *tmp = *s;
*s = (*s)->next;
free(tmp);
return val;
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
for (int li = 0; li < n; li++) {
if (board[li][co]) {
if (co < n-1) {
bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
copy(n, board, new_board);
prises_devant(n, new_board, li, co);
nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
} else {
*ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
}
}
}
}
```
# La liste chaînée et pile (6/N)
## Détruire? (faire un dessin)
# Le code du problème des 8 reines (5/5)
. . .
\footnotesize
## Placer devant
```C
// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
void placer_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
board[li][co] = false; // position de la reine
for (int j = 1; j < n-co; j++) {
// horizontale et diagonales à droite de la reine
if (j <= li) {
board[li-j][co+j] = false;
}
board[li][co+j] = false;
if (li+j < n) {
board[li+j][co+j] = false;
}
}
}
```
# Les piles
\Huge Les piles
# Les piles (1/5)
## Qu'est-ce donc?
* Structure de données abstraite...
. . .
```
* de type `LIFO` (*Last in first out*).
## Détruire? (le code ensemble)
![Une pile où on ajoute A, puis B avant de les retirer. Source:
[Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Stack_(data_structure)_LIFO.svg)](figs/Stack.svg){width=70%}
. . .
## Des exemples de la vraie vie
```C
void stack_destroy(stack *s) {
while (!stack_is_empty(*s)) {
int val = stack_pop(s);
}
}
```
. . .
# La file d'attente (1/N)
* Pile d'assiettes, de livres, ...
* Adresses visitées par un navigateur web.
* Les calculatrices du passé (en polonaise inverse).
* Les boutons *undo* de vos éditeurs de texte (aka *u* dans vim).
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
# Les piles (2/5)
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler, ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler, extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
. . .
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
. . .
4. Jeter un œil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
5. Nombre d'éléments (length).
## Comment faire les 4, 5 à partir de 1 à 3?
. . .
4. Dépiler l'élément, le copier, puis l'empiler à nouveau.
5. Dépiler jusqu'à ce que la pile soit vide, puis empiler à nouveau.
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une liste vide.
* Détruire une liste vide.
## Existe en deux goûts
# La file d'attente (2/N)
* Pile avec ou sans limite de capacité (à concurrence de la taille de la
mémoire).
## Implémentation possible
# Les piles (3/5)
* La structure file, contient un pointeur vers la tête et un vers la queue.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée (comme une
pile).
## Implémentation
![Illustration d'une file
d'attente.](figs/fig_queue_representation.png)
* Jusqu'ici on n'a pas du tout parlé d'implémentation (d'où le nom de structure
abstraite).
* Pas de choix unique d'implémentation.
## Structure de données en C?
## Quelle structure de données allons nous utiliser?
. . .
Et oui vous avez deviné: un tableau!
## La structure: de quoi avons-nous besoin (pile de taille fixe)?
. . .
```C
txpedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente:
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
#define MAX_CAPACITY 500
typedef struct _stack {
int data[MAX_CAPACITY]; // les données
int top; // indice du sommet
} stack;
```
# Fonctionnalités d'une file d'attente (gitlab)
# Les piles (4/5)
## Creation et consultations
## Initialisation
. . .
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.head->data
int queue_head(queue fa); // return fa.tail->data
void stack_init(stack *s) {
s->top = -1;
}
```
## Manipulations et destruction
## Est vide?
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val); // adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa); // removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa); // dequeues everything into oblivion
bool stack_is_empty(stack s) {
return s.top == -1;
}
```
# Enfilage
## Empiler (ajouter un élément au sommet)
. . .
```C
void stack_push(stack *s, int val) {
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
```
## Deux cas différents:
# Les piles (5/5)
1. La file est vide (faire un dessin):
## Dépiler (enlever l'élément du sommet)
. . .
![Insertion dans une file d'attente
vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
```C
int stack_pop(stack *s) {
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
```
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
## Jeter un oeil (regarder le sommet)
. . .
![Insertion dans une file d'attente
non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
```C
int stack_peek(stack s) {
return s.data[s.top];
}
```
# Enfilage
## Quelle est la complexité de ces opérations?
## Live (implémentation)
. . .
## Voyez-vous des problèmes potentiels avec cette implémentation?
. . .
* Empiler avec une pile pleine.
* Dépiler avec une pile vide.
* Jeter un oeil au sommet d'une pile vide.
# Gestion d'erreur, level 0
* Il y a plusieurs façon de traiter les erreur:
* Ne rien faire (laisser la responsabilité à l'utilisateur).
* Faire paniquer le programme (il plante plus ou moins violemment).
* Utiliser des codes d'erreurs.
## La panique
* En C, on a les `assert()` pour faire paniquer un programme.
# Les assertions
\Huge Les assertions
# Assertions (1/3)
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
#include <assert.h>
void assert(int expression);
```
## Qu'est-ce donc?
- Macro permettant de tester une condition lors de l'exécution d'un programme:
- Si `expression == 0`{.C} (condition fausse), `assert()`{.C} affiche un message d'erreur sur `stderr`{.C} et termine l'exécution du programme.
- Sinon l'exécution se poursuit normalement.
- Peuvent être désactivés à la compilation avec `-DNDEBUG` (équivalent à `#define NDEBUG`)
## À quoi ça sert?
- Permet de réaliser des tests unitaires.
- Permet de tester des conditions catastrophiques d'un programme.
- **Ne permet pas** de gérer les erreurs.
# Assertions (2/3)
<!-- \footnotesize -->
## Exemple
```C
#include <assert.h>
void stack_push(stack *s, int val) {
assert(s->top < MAX_CAPACITY-1);
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
int stack_pop(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
int stack_peek(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
return s->data[s->top];
}
```
# Défilage
# Assertions (3/3)
## Cas typiques d'utilisation
- Vérification de la validité des pointeurs (typiquement `!= NULL`{.C}).
- Vérification du domaine des indices (dépassement de tableau).
## Trois cas différents
## Bug vs. erreur de *runtime*
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
- Les assertions sont là pour détecter les bugs (erreurs d'implémentation).
- Les assertions ne sont pas là pour gérer les problèmes externes au programme (allocation mémoire qui échoue, mauvais paramètre d'entrée passé par l'utilisateur, ...).
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
- Mais peuvent être pratiques quand même pour ça...
- Typiquement désactivées dans le code de production.
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
# La pile dynamique
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
## Comment modifier le code précédent pour avoir une taille dynamique?
. . .
3. La file est vide (problème)
```C
// alloue une zone mémoire de size octets
void *malloc(size_t size);
// change la taille allouée à size octets (contiguïté garantie)
void *realloc(void *ptr, size_t size);
```
. . .
# Défilage
**Attention:** `malloc` sert à allouer un espace mémoire (**pas** de notion de tableau).
## Live (implémentation)
## Et maintenant?
. . .
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
void stack_create(stack *s); // crée une pile avec une taille par défaut
// vérifie si la pile est pleine et réalloue si besoin
void stack_push(stack *s, int val);
// vérifie si la pile est vide/trop grande
// et réalloue si besoin
void stack_pop(stack *s, int *ret);
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
## Faisons s'implémentation ensemble
slides/cours_11.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Files d'attente et listes triées"
date: "2021-12-15"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Applications des piles, listes chaînées et files d'attente"
date: "2024-12-09"
---
# La file d'attente (1/N)
# Rappel: les piles
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler: extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
## Qu'est-ce donc?
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une liste vide.
* Détruire une liste vide.
# La file d'attente (2/N)
## Implémentation possible
* Structure de données abstraite de type LIFO
* La structure file, contient un pointeur vers la tête et un vers la queue.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée (comme une
pile).
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png)
## Structure de données en C?
## Quelles fonctionnalités?
. . .
```C
txpedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
typedef struct _queue { // File d'attente:
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
```
# Le tri à deux piles
# Fonctionnalités d'une file d'attente (gitlab)
\Huge Le tri à deux piles
## Creation et consultations
# Le tri à deux piles (1/3)
. . .
## Cas pratique
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.head->data
int queue_head(queue fa); // return fa.tail->data
```
![Un exemple de tri à deux piles](figs/tri_piles.svg){width=70%}
## Manipulations et destruction
# Le tri à deux piles (2/3)
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val); // adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa); // removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa); // dequeues everything into oblivion
```
# Enfilage
## Deux cas différents:
1. La file est vide (faire un dessin):
## Exercice: formaliser l'algorithme
. . .
![Insertion dans une file d'attente
vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
## Algorithme de tri nécessitant 2 piles (G, D)
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente
non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
# Enfilage
## Live (implémentation)
. . .
Soit `tab` le tableau à trier:
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
}
pour i de 0 à N-1
tant que (tab[i] > que le sommet de G)
dépiler G dans D
tant que (tab[i] < que le sommet de D)
dépiler de D dans G
empiler tab[i] sur G
dépiler tout D dans G
dépiler tout G dans tab
```
# Défilage
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
# Le tri à deux piles (3/3)
3. La file est vide (problème)
# Défilage
## Live (implémentation)
. . .
## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
# Destruction
## Comment on faire la désallocation?
. . .
On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
# Complexité
## Quelle sont les complexité de:
* Enfiler?
. . .
* Défiler?
. . .
* Détruire?
. . .
* Est vide?
# Implémentation alternative
## Comment implémenter la file autrement?
```
. . .
# La Calculatrice
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` seraient les indices du tableau;
* `capacity` seraient la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
\Huge La Calculatrice
. . .
# La calculatrice (1/8)
## Structure de données
## Vocabulaire
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int tail, capacity;
} queue;
2 + 3 = 2 3 +,
```
# File basée sur un tableau
* Initialisation?
`2` et `3` sont les *opérandes*, `+` l'*opérateur*.
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
## La notation infixe
```C
2 * (3 + 2) - 4 = 6.
```
* Enfiler?
. . .
## La notation postfixe
```C
2 3 2 + * 4 - = 6.
```
* Défiler?
## Exercice: écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
. . .
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
```
# Complexité
## Quelle sont les complexités de:
# La calculatrice (2/8)
* Initialisation?
## De infixe à post-fixe
. . .
* Une *pile* est utilisée pour stocker *opérateurs* et *parenthèses*.
* Les opérateurs ont des *priorités* différentes.
```C
^ : priorité 3
* / : priorité 2
+ - : priorité 1
( ) : priorité 0 // pas un opérateur mais bon
```
* Est vide?
. . .
# La calculatrice (3/8)
```C
## De infixe à post-fixe: algorithme
```
* On lit l'expression infixe de gauche à droite.
* On examine le prochain caractère de l'expression infixe:
* Si opérande, le placer dans l'expression du résultat.
* Si parenthèse le mettre dans la pile (priorité 0).
* Si opérateur, comparer sa priorité avec celui du sommet de la pile:
* Si sa priorité est plus élevée, empiler.
* Sinon dépiler l'opérateur de la pile dans l'expression du résultat et
recommencer jusqu'à apparition d'un opérateur de priorité plus faible
au sommet de la pile (ou pile vide).
* Si parenthèse fermée, dépiler les opérateurs du sommet de la pile et les
placer dans l'expression du résultat, jusqu'à ce qu'une parenthèse
ouverte apparaisse au sommet, dépiler également la parenthèse.
* Si il n'y a pas de caractère dans l'expression dépiler tous les
opérateurs dans le résultat.
* Enfiler?
# La calculatrice (4/8)
. . .
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
(A*B)/D-F)/(G+H) Vide ( 0
A*B)/D-F)/(G+H) Vide (( 0
*B)/D-F)/(G+H) A (( 0
B)/D-F)/(G+H) A ((* 2
)/D-F)/(G+H) AB ((* 2
/D-F)/(G+H) AB* ( 0
D-F)/(G+H) AB* (/ 2
-F)/(G+H) AB*D (/ 2
F)/(G+H) AB*D/ (- 1
)/(G+H) AB*D/F (- 1
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
```
* Défiler?
# La calculatrice (5/8)
. . .
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
--------------------------------------------------------
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
(G+H) AB*D/F- / 2
G+H) AB*D/F- /( 0
+H) AB*D/F-G /( 0
H) AB*D/F-G /(+ 1
) AB*D/F-GH /(+ 1
Vide AB*D/F-GH+ / 2
Vide AB*D/F-GH+/ Vide Néant
```
# File basée sur un tableau (git)
* Créons le squelette et `Makefile` ensemble.
. . .
* Créons quelques issues et assignons les!
# La calculatrice (6/8)
# Une file plus efficace
## Comment faire une file plus efficace?
* Où est-ce que ça coince?
. . .
\footnotesize
* Défiler est particulièrement lent $\mathcal{O}(N)$.
## Exercice: écrire le code et le poster sur matrix
## Solution?
* Quelle est la signature de la fonction?
. . .
* Utiliser un indice séparé pour `head`.
* Une sorte de corrigé:
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int head, tail, capacity;
} queue;
char* infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
for (size_t i = 0; i < strlen(infix); ++i) {
if (is_operand(infix[i])) {
// we just add operands in the new postfix string
} else if (infix[i] == '(') {
// we push opening parenthesis into the stack
} else if (infix[i] == ')') {
// we pop everything into the postfix
} else if (is_operator(infix[i])) {
// this is an operator. We add it to the postfix based
// on the priority of what is already in the stack and push it
}
}
// pop all the operators from the s at the end of postfix
// and end the postfix with `\0`
return postfix;
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Enfilage
# La calculatrice (7/8)
\footnotesize
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
* Chaque *opérateur* porte sur les deux opérandes qui le précèdent.
* Le *résultat d'une opération* est un nouvel *opérande* qui est remis au
sommet de la pile.
## Exemple
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
fa->head = fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else if (fa->tail == fa->capacity-1 && fa->head != 0) {
// the tail reached the end of the array
fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
2 3 4 + * 5 - = ?
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Défilage
* On parcours de gauche à droite:
```C
void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
if (queue_is_empty(*fa)) {
return; // queue is empty
}
*val = fa->data[fa->head];
if (fa->head == fa->tail) { // that was the last element
fa->head = fa->tail = -1;
} else if (fa->head == fa->capacity-1) {
fa->head = 0;
} else {
fa->head += 1;
}
}
Caractère lu Pile opérandes
2 2
3 2, 3
4 2, 3, 4
+ 2, (3 + 4)
* 2 * 7
5 14, 5
- 14 - 5 = 9
```
# La calculatrice (8/8)
# Les listes triées
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
Une liste chaînée triée est:
1. La valeur d'un opérande est *toujours* empilée.
2. L'opérateur s'applique *toujours* au 2 opérandes au sommet.
3. Le résultat est remis au sommet.
* une liste chaînée
* dont les éléments sont insérés dans l'ordre.
![Exemple de liste triée.](./figs/sorted_list_example.svg)
## Exercice: écrire l'algorithme en C (et poster sur matrix)
. . .
* L'insertion est faite telle que l'ordre est maintenu.
## Quelle structure de données?
```C
double evaluate(char* postfix) {
// declare and initialize stack s
for (size_t i = 0; i < strlen(postfix); ++i) {
if (is_operand(postfix[i])) {
stack_push(&s, postfix[i]);
} else if (is_operator(postfix[i])) {
double rhs = stack_pop(&s);
double lhs = stack_pop(&s);
stack_push(&s, op(postfix[i], lhs, rhs));
}
}
return stack_pop(&s);
}
```
# Les listes triées
## Quel but?
# Liste chaînée et pile
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
\Huge Liste chaînée et pile
## Comment?
# La liste chaînée et pile (1/6)
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
## Structure de données
# Les listes triées
* Chaque élément de la liste contient:
1. une valeur,
2. un pointeur vers le prochain élément.
* La pile est un pointeur vers le premier élément.
## Quelle structure de données dans notre cas?
![Un exemple de liste chaînée.](figs/Singly-linked-list.svg){width=80%}
# La liste chaînée et pile (2/6)
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
## Une pile-liste-chaînée
```C
typedef struct _element { // chaque élément
typedef struct _element {
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* sorted_list; // la liste
typedef struct _stack {
element *top;
} stack;
```
## Fonctionnalités
## Fonctionnalités?
. . .
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
void stack_create(stack *s); // s->top = NULL;
void stack_destroy(stack *s);
void stack_push(stack *s, int val);
void stack_pop(stack *s, int *val);
void stack_peek(stack s, int *val);
bool stack_is_empty(stack s); // return NULL == s.top;
```
# L'insertion
## Trois cas
# La liste chaînée et pile (3/6)
1. La liste est vide.
## Empiler? (faire un dessin)
. . .
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
```C
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
}
```
# L'insertion
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
```
## Empiler? (le code ensemble)
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
void stack_push(stack *s, int val) {
element *elem = malloc(sizeof(*elem));
elem->data = val;
elem->next = s->top;
s->top = elem;
}
```
# L'insertion
# La liste chaînée et pile (4/6)
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
## Jeter un oeil? (faire un dessin)
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data <
val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
```C
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
# L'extraction
## Trois cas
1. L'élément à extraire n'est **pas** le premier élément de la liste
. . .
```
![Extraction d'un élément qui n'est pas le premier.](figs/sorted_list_extract_any.svg){width=70%}
## Jeter un oeil? (le code ensemble)
. . .
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
}
return list;
void stack_peek(stack s, int *val) {
*val = s.top->val;
}
```
# La liste chaînée et pile (5/6)
# L'extraction
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
## Dépiler? (faire un dessin)
. . .
![Extraction d'un élément qui est le
premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
```C
. . .
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) { // glue things together
list = list->next;
free(crt);
}
return list;
}
```
# L'extraction
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
* La valeur est plus grande que le dernier élément de la liste.
* La valeur est plus petite que la valeur de `crt`.
. . .
On retourne la liste inchangée.
```
## Dépiler? (le code ensemble)
. . .
\footnotesize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
void stack_pop(stack *s, int *val) {
stack_peek(*s, val);
element *tmp = s->top;
s->top = s->top->next;
free(tmp);
}
```
# La recherche
```C
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# La liste chaînée et pile (6/6)
* Retourne `NULL` si la valeur n'est pas présente (ou la liste vide).
* Retourne un pointeur vers l'élément si la valeur est présente.
## Détruire? (faire un dessin)
. . .
```C
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
// search for element smaller than val
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos->next && val == pos->next->data) {
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
}
}
```
# La recherche
## La fonction `sorted_list_position`
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
![Trois exemples de retour de la fonction `sorted_list_position()`.](figs/sorted_list_position.svg)
# La recherche
## Exercice: implémenter
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
## Détruire? (le code ensemble)
. . .
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val) {
element* pos = list;
if (sorted_list_is_empty(list) || val <= list->data) {
pos = NULL;
} else {
while (NULL != pos->next && val > pos->next>data) {
pos = pos->next;
}
void stack_destroy(stack *s) {
while (!stack_is_empty(*s)) {
int val;
stack_pop(s, &val);
}
return pos;
}
```
# Complexité de la liste chaînée triée
## L'insertion?
. . .
$$
\mathcal{O}(N).
$$
## L'extraction?
. . .
$$
\mathcal{O}(N).
$$
## La recherche?
. . .
$$
\mathcal{O}(N).
$$
slides/cours_12.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Listes triées et listes doublement chaînées"
date: "2021-12-22"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "File d'attente, liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2024-12-16"
---
# La file d'attente
\Huge La file d'attente
# La file d'attente (1/2)
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler: extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une file vide.
* Détruire une file.
# La file d'attente (2/2)
\footnotesize
## Implémentation possible
* La structure de file, contient un pointeur vers la tête et un autre vers le début de la file.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée.
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png){width=80%}
## Structure de données en C?
. . .
```C
typedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
```
# Fonctionnalités d'une file d'attente
## Création et consultations
. . .
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.tail->data
int queue_head(queue fa); // return fa.head->data
```
## Manipulations et destruction
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val);
// adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa);
// removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa);
// dequeues everything into oblivion
```
# Enfilage
## Deux cas différents
1. La file est vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
# Enfilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element* elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
}
```
# Défilage
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
3. La file est vide (problème)
# Défilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
element* elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
# Destruction
## Comment on faire la désallocation?
. . .
On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
# Complexité
## Quelle est la complexité de
* Enfiler?
. . .
* Défiler?
. . .
* Détruire?
. . .
* Est vide?
# Implémentation alternative
## Comment implémenter la file autrement?
. . .
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` serait un indice du tableau;
* `capacity` serait la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
. . .
## Structure de données
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int tail, capacity;
} queue;
```
# File basée sur un tableau
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Complexité
## Quelle est les complexités de
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Une file plus efficace
## Comment faire une file plus efficace?
* Où est-ce que ça coince?
. . .
* Défiler est particulièrement lent $\mathcal{O}(N)$.
## Solution?
. . .
* Utiliser un indice séparé pour `head`.
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int head, tail, capacity;
} queue;
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Enfilage
\footnotesize
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
fa->head = fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else if (fa->tail == fa->capacity-1 && fa->head != 0) {
// the tail reached the end of the array
fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Défilage
```C
void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
if (queue_is_empty(*fa)) {
return; // queue is empty
}
*val = fa->data[fa->head];
if (fa->head == fa->tail) { // that was the last element
fa->head = fa->tail = -1;
} else if (fa->head == fa->capacity-1) {
fa->head = 0;
} else {
fa->head += 1;
}
}
```
# Listes triées
\Huge Les listes triées
# Les listes triées
Une liste chaînée triée est:
......@@ -53,8 +413,9 @@ Une liste chaînée triée est:
# Les listes triées
## Quelle structure de données dans notre cas?
\footnotesize
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
......@@ -72,14 +433,14 @@ typedef element* sorted_list; // la liste
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# L'insertion
# L'insertion (1/3)
## Trois cas
......@@ -102,7 +463,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (2/3)
2. L'insertion se fait en première position.
......@@ -125,14 +486,13 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (3/3)
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data <
val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
![Insertion sur une autre position, list->data < val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
......@@ -152,8 +512,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (1/3)
## Trois cas
......@@ -165,15 +524,15 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
. . .
\footnotesize
\scriptsize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
......@@ -182,15 +541,13 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (2/3)
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
. . .
![Extraction d'un élément qui est le
premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
![Extraction d'un élément qui est le premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
. . .
......@@ -200,10 +557,11 @@ premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) { // glue things together
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
free(crt);
}
......@@ -211,7 +569,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (3/3)
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
......@@ -230,9 +588,9 @@ On retourne la liste inchangée.
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
......@@ -256,7 +614,9 @@ element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos->next && val == pos->next->data) {
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next
&& val == pos->next->data)
{
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
......@@ -290,7 +650,7 @@ element* sorted_list_position(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list) || val <= list->data) {
pos = NULL;
} else {
while (NULL != pos->next && val > pos->next>data) {
while (NULL != pos->next && val > pos->next->data) {
pos = pos->next;
}
}
......@@ -324,14 +684,13 @@ $$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application navigateur ou éditeur de texte
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur??
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de text?
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
......@@ -351,6 +710,10 @@ Pas possible.
# Liste doublement chaînée
\Huge Liste doublement chaînée
# Liste doublement chaînée
## Exercices
* Partir du dessin suivant et par **groupe de 5**
......@@ -365,7 +728,7 @@ Pas possible.
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
```C
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
......@@ -384,9 +747,9 @@ void dll_print(dll list);
# Liste doublement chaînée
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
```C
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
......@@ -400,7 +763,7 @@ dll dll_prev(dll list);
4. Écrire les fonctionnalités d'insertion
```C
// insertion de data dans l'élément *après* pos
// insertion de data dans l'élément après pos
dll dll_insert_after(dll list, int data);
// insertion de data en tête de liste
dll dll_push(dll list, int data);
......@@ -409,12 +772,11 @@ dll dll_push(dll list, int data);
5. Écrire les fonctionnalités d'extraction
```C
// extraction de la valeur se trouvant dans l'élément *pos*
// l'élément *pos* est libéré
// extraction de la valeur se trouvant dans l'élément pos
// l'élément pos est libéré
int dll_extract(dll *list);
// extrait la donnée en tête de liste
int dll_pop(dll *list);
// vide la liste
void dll_destroy(dll *list)
void dll_destroy(dll *list);
```
slides/cours_13.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Tables de hachage"
date: "2022-01-12"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2025-01-06"
---
# Tableau vs Table
# Les listes triées
## Tableau
## Quel but?
* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
```C
annuaire tab[2] = {
"+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
};
tab[1] == "+41 22 123 45 67";
```
## Table
* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
```C
annuaire tab = {
// Clé , Valeur
"Paul", "+41 22 123 45 67",
"Orestis", "+41 22 234 56 78",
};
tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
```
# Table
## Définition
Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
argument).
On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
## Donnez des exemples de telles paires
. . .
## Comment?
* Annuaire (nom-téléphone),
* Catalogue (objet-prix),
* Table de valeur fonctions (nombre-nombre),
* Index (nombre-page)
* ...
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
# Table
# Les listes triées
## Opérations principales sur les tables
\footnotesize
* Insertion d'élément (`insert(clé, valeur)`{.C}), insère la paire `clé-valeur`
* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
## Quelle structure de données dans notre cas?
## Structure de données / implémentation
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
Efficacité dépend de différents paramètres:
```C
typedef struct _element { // chaque élément
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* sorted_list; // la liste
```
* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
* données triées/non-triées,
* ...
## Fonctionnalités
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
## Séquentielle
# L'insertion (1/3)
* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
## Trois cas
```C
typedef struct {
key_t key;
value_t value;
} key_value_t;
```
* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
retourne la valeur.
1. La liste est vide.
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
. . .
## Implémentation? Une idée?
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
. . .
```C
bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
value_t *value)
{
int pos = n - 1;
while (pos >= 0) {
if (key == table[pos].key) {
*value = table[pos].value;
return true;
}
pos--;
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
return false;
}
```
. . .
## Inconvénient?
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
# L'insertion (2/3)
## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
Poster le résultat sur matrix.
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Dichotomique
* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
retourne la valeur,
* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Implémentation? Une idée?
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
```C
bool binary_get1(int n, value_key_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (top > bottom) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (x > table[middle]) {
bottom = middle+1;
} else {
top = middle;
}
}
if (key == table[top].key) {
*value = table[top].value;
return true;
} else {
return false;
}
}
```
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
## Autre implémentation
. . .
```C
bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (true) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle + 1;
} else if (key < table[middle].key) {
top = middle;
} else {
*value = table[middle].value;
return true;
}
if (top < bottom) {
break;
}
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
return false;
}
```
## Quelle est la différence avec le code précédent?
# Transformation de clé (hashing)
# L'insertion (3/3)
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
```
Numéro AVS | Nom
0000000000000 | -------
... | ...
1063123849213 | Paul
... | ...
3066713878328 | Orestis
... | ...
9999999999999 | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
![Insertion sur une autre position, list->data < val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
ordinateur.
# Transformation de clé (hashing)
\footnotesize
## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
* Format: 8 caractères (simplification)
# L'extraction (1/3)
```
Identificateur | Adresse
aaaaaaaa | -------
... | ...
resultat | 3aeff
compteur | 4fedc
... | ...
zzzzzzzz | -------
```
## Trois cas
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
1. L'élément à extraire n'est **pas** le premier élément de la liste
. . .
* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
![Extraction d'un élément qui n'est pas le premier.](figs/sorted_list_extract_any.svg){width=70%}
. . .
* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
* La table est représentée avec un tableau.
* La taille du tableau est beaucoup plus petit que le nombre de clés.
* On produit un indice du tableau à partir d'une clé:
$$
h(key) = n,\quad n\in\mathbb{N}.
$$
En français: on transforme `key` en nombre entier qui sera l'indice dans le
tableau correspondant à `key`.
## La fonction de hash
* La taille du domaine des clés est beaucoup plus grand que le domaine des
indices.
* Plusieurs indices peuvent correspondre à la **même clé**:
* Il faut traiter les **collisions**.
* L'ensemble des indices doit être plus petit ou égal à la taille de la table.
## Une bonne fonction de hash
* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par troncature
\begin{align*}
&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
\end{align*}
\scriptsize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
}
return list;
}
```
Key | Index
0003 | 0
1123 | 2 \
1234 | 3 |-> collision.
1224 | 2 /
1264 | 6
```
## Quelle est la taille de la table?
. . .
# L'extraction (2/3)
C'est bien dix oui.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par découpage
Taille de l'index: 3 chiffres.
```
key = 321 991 24 -> 321
991
+ 24
----
1336 -> index = 336
```
## Devinez l'algorithme?
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
. . .
On part de la gauche:
1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
2. On somme les nombres obtenus.
3. On tronque à la longueur de l'index.
![Extraction d'un élément qui est le premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode multiplicative
. . .
Taille de l'index: 2 chiffres.
\footnotesize
```
key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
free(crt);
}
return list;
}
```
On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
# L'extraction (3/3)
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par division modulo
Taille de l'index: `N` chiffres.
```
h(key) = key % N.
```
## Quelle doit être la taille de la table?
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
* La valeur est plus grande que le dernier élément de la liste.
* La valeur est plus petite que la valeur de `crt`.
. . .
Oui comme vous le pensiez au moins `N`.
# Traitement des collisions
## La collision
```
key1 != key2, h(key1) == h(key2)
```
## Traitement (une idée?)
On retourne la liste inchangée.
. . .
* La première clé occupe la place prévue dans le tableau.
* La deuxième (troisième, etc.) est placée ailleurs de façon **déterministe**.
Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
# La méthode séquentielle
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
trouver une libre.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + 1) % table_size; // attention à pas dépasser
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Problème?
. . .
* Regroupement d'éléments (clustering).
# Méthode linéaire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
# La recherche
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
## Quelle valeur de `k` éviter?
* Retourne `NULL` si la valeur n'est pas présente (ou la liste vide).
* Retourne un pointeur vers l'élément si la valeur est présente.
. . .
* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
# Méthode du double hashing
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
// search for element smaller than val
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next
&& val == pos->next->data)
{
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
}
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle propriété doit avoir `h2`?
# La recherche
## Exemple
## La fonction `sorted_list_position`
```C
h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
# Méthode pseudo-aléatoire
\footnotesize
## Comment ça marche?
![Trois exemples de retour de la fonction `sorted_list_position()`.](figs/sorted_list_position.svg)
* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
# La recherche
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + random_number) % table_size;
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Exercice: implémenter
## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
. . .
* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
```C
srand(h(key));
while {
random_number = rand();
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val) {
element* pos = list;
if (sorted_list_is_empty(list) || val <= list->data) {
pos = NULL;
} else {
while (NULL != pos->next && val > pos->next->data) {
pos = pos->next;
}
}
```
# Méthode quadratique
* La fonction des indices de collision est de degré 2.
* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
return pos;
}
```
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
```
# Complexité de la liste chaînée triée
## Problème possible?
## L'insertion?
. . .
* Calculer le carré peut-être "lent".
* En fait on peut ruser un peu.
# Méthode quadratique
\footnotesize
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100
\
d_0 = 1
/ \
J_1 = 101 Delta = 2
\ /
d_1 = 3
/ \
J_2 = 104 Delta = 2
\ /
d_2 = 5
/ \
J_3 = 109 Delta = 2
\ /
d_3 = 7
/
J_4 = 116
--------------------------------------
J_{i+1} = J_i + d_i,
d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
```
# Méthode de chaînage
$$
\mathcal{O}(N).
$$
## Comment ça marche?
## L'extraction?
* Chaque index de la table contient un pointeur vers une liste chaînée
contenant les paires clés-valeurs.
. . .
## Un petit dessin
$$
\mathcal{O}(N).
$$
```
## La recherche?
. . .
$$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
Pas possible.
## Solution?
. . .
* Garder un pointeur supplémentaire sur l'élément précédent et pas seulement le
suivant.
```
. . .
# Méthode de chaînage
* Cette structure de donnée est la **liste doublement chaînée** ou **doubly
linked list**.
## Exemple
# Liste doublement chaînée
On hash avec la fonction `h(key) = key % 11` (`key` est le numéro de la lettre
de l'alphabet)
\Huge Liste doublement chaînée
```
U | N | E | X | E | M | P | L | E | D | E | T | A | B | L | E
10 | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 1 | 5 | 4 | 5 | 9 | 1 | 2 | 1 | 5
```
# Liste doublement chaînée
## Comment on représente ça? (à vous)
## Exercices
. . .
* Partir du dessin suivant et par **groupe de 5**
![La méthode de chaînage](figs/fig_hash.png){width=80%}
![Un schéma de liste doublement chaînée d'entiers.](figs/doubly_linked_list.svg)
# Méthode de chaînage
1. Écrire les structures de données pour représenter la liste doublement
chaînée dont le type sera `dll` (pour
`doubly_linked_list`)
Avantages:
# Liste doublement chaînée
* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
sont `NULL`).
* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
* Pas de problème de regroupement (clustering).
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
# Exercice 1
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
int dll_value(dll list);
// la liste est-elle vide?
bool dll_is_empty(dll list);
// Est-ce que pos est le 1er élément?
bool dll_is_head(dll list);
// Est-ce que pos est le dernier élément?
bool dll_is_tail(dll list);
// data est-elle dans la liste?
bool dll_is_present(dll list, int data);
// affiche la liste
void dll_print(dll list);
```
* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
```
R, E, C, O, U, P, A, N, T
```
# Liste doublement chaînée
* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
# Exercice 2
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
dll dll_next(dll list);
// déplace pos à la position précédente dans la liste
dll dll_prev(dll list);
```
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
# Liste doublement chaînée
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
4. Écrire les fonctionnalités d'insertion
```C
// insertion de data dans l'élément après pos
dll dll_insert_after(dll list, int data);
// insertion de data en tête de liste
dll dll_push(dll list, int data);
```
# Exercice 3
5. Écrire les fonctionnalités d'extraction
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
```C
// extraction de la valeur se trouvant dans l'élément pos
// l'élément pos est libéré
int dll_extract(dll *list);
// extrait la donnée en tête de liste
int dll_pop(dll *list);
// vide la liste
void dll_destroy(dll *list);
```
slides/cours_14.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Tables de hachage"
date: "2022-01-19"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
date: "2025-02-21"
---
# Exercice 3
# Les tables de hachage
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
\Huge Les tables de hachage
# Préambule
# Tableau vs Table
\small
## Tableau
* On considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* L'insertion est construite avec une forme du type
* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED
&& table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
\normalsize
```C
annuaire tab[2] = {
"+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
};
tab[1] == "+41 22 123 45 67";
```
## Table
* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
```C
annuaire tab = {
// Clé , Valeur
"Paul", "+41 22 123 45 67",
"Orestis", "+41 22 234 56 78",
};
tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
```
# Table
## Définition
* Gestion de l'état d'une case *explicite*
Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
argument).
On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
## Donnez des exemples de telles paires
. . .
* Annuaire (nom-téléphone),
* Catalogue (objet-prix),
* Table de valeur fonctions (nombre-nombre),
* Index (nombre-page)
* ...
# Table
## Opérations principales sur les tables
* Insertion d'élément (`insert(clé, valeur)`{.C}), insère la paire `clé-valeur`
* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
## Structure de données / implémentation
Efficacité dépend de différents paramètres:
* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
* données triées/non-triées,
* ...
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Séquentielle
* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
```C
typedef enum {EMPTY, OCCUPIED, DELETED} state;
typedef struct {
key_t key;
value_t value;
} key_value_t;
```
* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
retourne la valeur.
# L'insertion
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Pseudocode?
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
insert(table, key, value) {
index = hash de la clé;
index =
si "index" est déjà "occupé"
et la clé correspondante n'est pas "key"
alors gérer la collision;
changer l'état de la case "index" à "occupé";
changer la valeur de la case "index" à "value";
bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
value_t *value)
{
int pos = n - 1;
while (pos >= 0) {
if (key == table[pos].key) {
*value = table[pos].value;
return true;
}
pos--;
}
return false;
}
```
# La suppression
. . .
## Inconvénient?
## Pseudocode?
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
Poster le résultat sur matrix.
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Dichotomique
* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
retourne la valeur,
* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
value_t remove(table, key) {
index = hash de la clé;
tant que l'état de la case n'est pas "vide"
si "index" est "occupé" et la clé est "key"
changer l'état de la case à "supprimé"
sinon
index = rehash
}
bool binary_get1(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (top > bottom) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle+1;
} else {
top = middle;
}
}
if (key == table[top].key) {
*value = table[top].value;
return true;
} else {
return false;
}
}
```
# La recherche
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Pseudocode?
\footnotesize
. . .
## Autre implémentation
```C
bool search(table, key, value) {
index = hash de la clé;
tant que l'état de la case n'est pas "vide"
si "index" est "occupé" et la clé est "key"
retourner vrai
sinon
index = rehash
bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (true) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle + 1;
} else if (key < table[middle].key) {
top = middle;
} else {
*value = table[middle].value;
return true;
}
if (top < bottom) {
break;
}
}
return false;
}
```
# Écrivons le code!
## Quelle est la différence avec le code précédent?
* Mais avant:
* Quelles sont les structures de données dont nous avons besoin?
* Y a-t-il des fonctions auxiliaires à écrire?
* Écrire les signatures des fonctions.
# Transformation de clé (hashing)
\footnotesize
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
```
Numéro AVS | Nom
0000000000000 | -------
... | ...
1063123849213 | Paul
... | ...
3066713878328 | Orestis
... | ...
9999999999999 | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
## Structures de données
* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
\footnotesize
## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
. . .
* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
ordinateur.
# Transformation de clé (hashing)
## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
* Format: 8 caractères (simplification)
```
Identificateur | Adresse
aaaaaaaa | -------
... | ...
resultat | 3aeff
compteur | 4fedc
... | ...
zzzzzzzz | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
. . .
* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
* La table est représentée avec un tableau.
* La taille du tableau est beaucoup plus petit que le nombre de clés.
* On produit un indice du tableau à partir d'une clé:
$$
h(key) = n,\quad n\in\mathbb{N}.
$$
En français: on transforme `key` en nombre entier qui sera l'indice dans le
tableau correspondant à `key`.
## La fonction de hash
* La taille du domaine des clés est beaucoup plus grand que le domaine des
indices.
* Plusieurs indices peuvent correspondre à la **même clé**:
* Il faut traiter les **collisions**.
* L'ensemble des indices doit être plus petit ou égal à la taille de la table.
## Une bonne fonction de hash
* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par troncature
\begin{align*}
&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
\end{align*}
```
Key | Index
0003 | 0
1123 | 2 \
1234 | 3 |-> collision.
1224 | 2 /
1264 | 6
```
## Quelle est la taille de la table?
. . .
C'est bien dix oui.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par découpage
Taille de l'index: 3 chiffres.
```
key = 321 991 24 -> 321
991
+ 24
----
1336 -> index = 336
```
## Devinez l'algorithme?
. . .
On part de la gauche:
1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
2. On somme les nombres obtenus.
3. On tronque à la longueur de l'index.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode multiplicative
Taille de l'index: 2 chiffres.
```
key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
```
On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par division modulo
Taille de l'index: `N` chiffres.
```
h(key) = key % N.
```
## Quelle doit être la taille de la table?
. . .
Oui comme vous le pensiez au moins `N`.
# Traitement des collisions
## La collision
```
key1 != key2, h(key1) == h(key2)
```
## Traitement (une idée?)
. . .
* La première clé occupe la place prévue dans le tableau.
* La deuxième (troisième, etc.) est placée ailleurs de façon **déterministe**.
Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
# La méthode séquentielle
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
trouver une libre.
```C
typedef enum {empty, deleted, occupied};
typedef ... key_t;
typedef ... value_t;
typedef struct _cell_t {
key_t key;
value_t value;
state_t state;
} cell_t;
typedef struct _hm {
cell_t *table;
int capacity;
int size;
} hm;
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + 1) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
# Écrivons le code!
## Problème?
. . .
* Regroupement d'éléments (clustering).
# Méthode linéaire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Fonctions auxiliaires
## Quelle valeur de `k` éviter?
. . .
* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
# Méthode du double hashing
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
```C
static int hash(key_t key);
static int rehash(int index, key_t key);
static int find_index(hm h, key_t key);
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Signature de l'API
## Quelle propriété doit avoir `h2`?
## Exemple
```C
void hm_init(hm *h, int capacity);
void hm_destroy(hm *h);
bool hm_set(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_get(hm h, key_t key, value_t *value);
bool hm_remove(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_search(hm h, key_t key);
void hm_print(hm h);
h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
```
# Méthode pseudo-aléatoire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + random_number) % table_size;
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
. . .
* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
```C
srand(h(key));
while {
random_number = rand();
}
```
# Méthode quadratique
* La fonction des indices de collision est de degré 2.
* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
```
## Problème possible?
. . .
* Calculer le carré peut-être "lent".
* En fait on peut ruser un peu.
# Méthode quadratique
\footnotesize
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100
\
d_0 = 1
/ \
J_1 = 101 Delta = 2
\ /
d_1 = 3
/ \
J_2 = 104 Delta = 2
\ /
d_2 = 5
/ \
J_3 = 109 Delta = 2
\ /
d_3 = 7
/
J_4 = 116
--------------------------------------
J_{i+1} = J_i + d_i,
d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
```
# Live code session!
# Méthode de chaînage
## Comment ça marche?
* Chaque index de la table contient un pointeur vers une liste chaînée
contenant les paires clés-valeurs.
## Un petit dessin
```
0. Offered to you by ProtonVPN[^1]!
```
# Méthode de chaînage
## Exemple
On hash avec la fonction `h(key) = key % 11` (`key` est le numéro de la lettre
de l'alphabet)
```
U | N | E | X | E | M | P | L | E | D | E | T | A | B | L | E
10 | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 1 | 5 | 4 | 5 | 9 | 1 | 2 | 1 | 5
```
## Comment on représente ça? (à vous)
. . .
1. Like the video.
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3. Use our one time voucher for ProtonVPN: `PAULISAWESOME`.
4. Consider donating on our patreon.
![La méthode de chaînage](figs/fig_hash.png){width=80%}
# Méthode de chaînage
[^1]: The fastest way to connect to BBB!
Avantages:
* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
sont `NULL`).
* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
* Pas de problème de regroupement (clustering).
# Exercice 1
* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
```
R, E, C, O, U, P, A, N, T
```
* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
# Exercice 2
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
slides/cours_15.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres"
date: "2022-02-23"
patat:
eval:
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ccc:
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images:
backend: auto
title: "Fin des tables de hachages et arbres"
date: "2025-02-28"
---
# Rappel
* Qu'est-ce qu'une table de hachage?
. . .
* Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou argument).
* Quelles sont les fonctions typiques définies sur les tables?
. . .
* Insertion, consultation, suppression.
```C
void insert(table, key, value)
value get(table, key)
value remove(table, key)
```
* Comment fait-on le lien entre une clé et une valeur dans le tableau?
. . .
* On hache!
# Exercice 2
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* En cas de collision, on fait un saut de $h_2(k)$, c.-à-d. $$index = (index + h_2(k)) \mod 13.$$
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10
$$
où $i$ compte les collisions.
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
# Préambule
\small
* Ici, on ne considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* L'insertion est construite avec une forme du type
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED
&& table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
\normalsize
* Gestion de l'état d'une case *explicite*
```C
typedef enum {EMPTY, OCCUPIED, DELETED} state;
```
# L'insertion
## Pseudocode?
. . .
```C
rien insertion(table, clé, valeur) {
index = hash(clé)
index =
tant que état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) != clé:
index = rehash(clé)
état(table[index]) = occupé
table[index] = valeur
}
```
# La suppression
## Pseudocode?
. . .
```C
valeur suppression(table, clé):
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
état(table[index]) = supprimé
sinon
index = rehash(clé)
}
```
# La recherche
## Pseudocode?
. . .
```C
booléen recherche(table, clé) {
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
retourner vrai
sinon
index = rehash
retourner faux
}
```
# Écrivons le code!
* Mais avant:
* Quelles sont les structures de données dont nous avons besoin?
* Y a-t-il des fonctions auxiliaires à écrire?
* Écrire les signatures des fonctions.
. . .
## Structures de données
\footnotesize
. . .
```C
typedef enum {empty, deleted, occupied};
typedef ... key_t;
typedef ... value_t;
typedef struct _cell_t {
key_t key;
value_t value;
state_t state;
} cell_t;
typedef struct _hm {
cell_t *table;
int capacity;
int size;
} hm;
```
# Écrivons le code!
## Fonctions auxiliaires
. . .
```C
static int hash(key_t key);
static int rehash(int index, key_t key);
static int find_index(hm h, key_t key);
```
## Signature de l'API
. . .
```C
void hm_init(hm *h, int capacity);
void hm_destroy(hm *h);
bool hm_set(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_get(hm h, key_t key, value_t *value);
bool hm_remove(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_search(hm h, key_t key);
void hm_print(hm h);
```
# Live code session!
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. . .
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# Les arbres
\Huge Les arbres
# Les arbres: définition
"Un arbre est un graphe acyclique orienté possédant une unique racine, et tel que tous les nœuds sauf la racine ont un unique parent."
......@@ -25,20 +227,20 @@ patat:
## Plus sérieusement
* Ensemble de **noeuds** et d'**arêtes** (graphe),
* Les arêtes relient les noeuds entre eux, mais pas n'importe comment: chaque
noeud a au plus un **parent**,
* Le seul noeud sans parent est la **racine**,
* Chaque noeud a un nombre fini de **fils**,
* La hiérarchie des noeuds rend les arêtes **orientées** (parent -> fils), et empêche les
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe).
* Les arêtes relient les nœuds entre eux, mais pas n'importe comment: chaque
nœud a au plus un **parent**.
* Le seul nœud sans parent est la **racine**.
* Chaque nœud a un nombre fini d'**enfants**.
* La hiérarchie des nœuds rend les arêtes **orientées** (parent -> enfants), et empêche les
**cycles** (acyclique, orienté).
* La **feuille** ou **noeud terminal** est un noeud sans enfants,
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les fils,
* Le **degré** d'un noeud est le nombre de fils du noeud.
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants.
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les enfants.
* Le **degré** d'un nœud est le nombre de enfants du nœud.
. . .
* Chaque noeud est un arbre en lui même.
* Chaque nœud est un arbre en lui même.
* La **récursivité** sera très utile!
......@@ -131,7 +333,7 @@ graph BT;
# Degré et niveau
* Illustration du degré (nombre de fils) et du niveau (profondeur)
* Illustration du degré (nombre d'enfants) et du niveau (profondeur)
::: columns
......@@ -161,15 +363,15 @@ graph TD;
:::
* Les noeuds de degré 0, sont des feuilles.
* Les nœuds de degré 0 sont des feuilles.
# Application: recherche rapide
## Pouvez vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
## Pouvez-vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
. . .
* Le nombre secret ou la recherche dychotomique (nombre entre 0 et 10).
* Le nombre secret ou la recherche dichotomique (nombre entre 0 et 10).
::: columns
......@@ -197,7 +399,7 @@ graph LR;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Botanique
* **Exercice:** Ajouter les degrés/niveaux et feuilles
......@@ -216,7 +418,7 @@ graph TD;
H-->K;
```
# Autres représentation
# Autres représentations
* Ensembliste
......@@ -246,7 +448,7 @@ graph TD;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Liste
......@@ -337,605 +539,3 @@ A
:::
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque noeud a au plus deux fils: gauche et droite,
* Chaque fils est un arbre.
## Comment représenteriez vous une telle structure?
. . .
```C
<R, G, D>
R: racine
G: sous-arbre gauche
D: sous-arbre droite
```
## Comment cela s'écrirait en C?
. . .
```C
typedef struct _node {
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
typedef node *tree;
```
# L'arbre binaire
## Que se passerait-il avec
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node left, right;
} node;
```
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
## Interface minimale
* Qu'y mettriez vous?
. . .
```C
NULL -> arbre (vide)
<n, arbre, arbre> -> arbre
visiter(arbre) -> noeud (la racine de l'arbre)
gauche(arbre) -> arbre (sous-arbre de gauche)
droite(arbre) -> arbre (sous-arbre de droite)
```
* Les autres opérations (insertion, parcours, etc) dépendent de ce qu'on stocke
dans l'arbre.
# Exemple d'arbre binaire
* Représentez `(c - a * b) * (d + e / f)` à l'aide d'un arbre binaire (matrix)
. . .
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
## Remarques
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info est pas le même sur chaque noeud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les noeuds internes contiennent les opérateurs.
::::
:::
# Parcours d'arbres binaires
* Appliquer une opération à tous les noeuds de l'arbre,
* Nécessité de **parcourir** l'arbre,
* Utiliser uniquement l'interface: visiter, gauche,
droite.
## Une idée de comment parcourir cet arbre?
* 3 parcours (R: Racine, G: sous-arbre gauche, D: sous-arbre droit):
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
1. Pacrours **préfixe** (R, G D),
2. Parcours **infixe** (G, R, D),
3. Parcours **postfixe** (G, D, R).
::::
:::
# Le parcours infixe (G, R, D)
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il est pas vide,
2. On visite la racine du sous arbre,
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il est pas vide),
4. On recommence.
. . .
## Incompréhensible?
* La récursivité c'est la vie.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Graphiquement (dessinons)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
::::
:::
# Graphiquement (`mermaid` c'est super)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
A[*]-.->|1|B[-];
B-->C[c];
B-.->|2|C[c];
C-.->|3|B;
B-->D[*];
B-.->|4|D;
D-->E[a];
D-.->|5|E;
E-.->|6|D;
D-->F[b];
D-.->|7|F;
F-.->|8|A;
A-->G[+];
A-.->|9|G;
G-->H[d];
G-.->|10|H;
H-.->|11|G;
G-->I["/"];
G-.->|12|I;
I-->J[e];
I-.->|13|J;
J-.->|14|I;
I-->K[f];
I-.->|15|K;
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
## Remarque
Le noeud est visité à la **remontée**.
## Résultat
```
c - a * b * d + e / f
```
::::
:::
# Et en C?
## Live code
\footnotesize
. . .
```C
typedef int data;
typedef struct _node {
data info;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
void tree_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
tree_print(tree->right, n+1);
}
}
```
# Question
## Avez-vous compris le fonctionnement?
. . .
## Vous en êtes sûr·e·s?
. . .
## OK, alors deux exercices:
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix),
## Rappel
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Correction
\footnotesize
* Les deux parcours sont des modifications **triviales**[^1] de l'algorithme
infixe.
## Le parcours postfixe
```python
parcours_postfoxe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_postfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_postfixe(droite(a))
visiter(a)
```
## Le parcours préfixe
```python
parcourx_préfixe(arbre a)
visiter(a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_préfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_préfixe(droite(a))
```
. . .
**Attention:** L'implémentation de ces fonctions en C sont **à faire** en
exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
# Exercice: parcours
## Comment imprimer l'arbre ci-dessous?
```
f
/
e
+
d
*
c
-
b
*
a
```
. . .
## Bravo vous avez trouvé!
* Il s'agissait du parcours D, R, G.
# Implémentation
## Vous avez 5 min pour implémenter cette fonction et la poster sur matrix!
. . .
```C
void pretty_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
pretty_print(tree->left);
}
}
```
# Exercice supplémentaire (sans corrigé)
Écrire le code de la fonction
```C
int depth(tree_t t);
```
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
Indice: la profondeur à chaque niveau peut-être calculée à partir du niveau des
sous-arbres de gauche et de droite.
# La recherche dans un arbre binaire
* Les arbres binaires peuvent retrouver une information très rapidement.
* À quelle complexité? À quelle condition?
. . .
## Condition
* Le contenu de l'arbre est **ordonné** (il y a une relation d'ordre (`<`, `>`
entre les éléemts).
## Complexité
* La profondeur de l'arbre (ou le $\mathcal{O}(\log_2(N))$)
. . .
## Exemple: les arbres lexicographiques
* Chaque noeud contient une information de type ordonné, la **clé**,
* Par construction, pour chaque noeud $N$:
* Toutes clé du sous-arbre à gauche de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
* Toutes clé du sous-arbre à droite de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
# Algorithme de recherche
* Retourner le noeud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```python
arbre recherche(clé, arbre)
tante_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
arbre = droite(arbre)
sinon
retourne arbre
retourne NULL
```
# Algorithme de recherche, implémentation (live)
\footnotesize
. . .
```C
typedef int key_t;
typedef struct _node {
key_t key;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
tree_t search(key_t key, tree_t tree) {
tree_t current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > X) {
current = current->gauche;
} else if (current->key < X){
current = current->droite;
} else {
return current;
}
}
return NULL;
}
```
# Exercice (5-10min)
Écrire le code de la fonction
```C
int tree_size(tree_t tree);
```
qui retourne le nombre total de noeuds d'un arbre et poster le résutat sur
matrix.
Indication: la taille, est 1 + le nombre de noeuds du sous-arbre de gauche
additionné au nombre de noeuds dans le sous-arbre de droite.
. . .
```C
int arbre_size(tree_t tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
return 1 + tree_size(tree->left)
+ tree_size(tree->right);
}
}
```
# L'insertion dans un arbre binaire
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on peut
pas construire l'arbre....
## Pour un arbre lexicographique
* Rechercher la position dans l'arbre où insérer.
* Créer un noeud avec la clé et le rattacher à l'arbre.
# Exemple d'insertions
* Clés uniques pour simplifier.
* Insertion de 5, 15, 10, 25, 2, -5, 12, 14, 11.
* Rappel:
* Plus petit que la clé courante => gauche,
* Plus grand que la clé courante => droite.
* Faisons le dessins ensemble
```
```
## Exercice (3min, puis matrix)
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
# Pseudocode d'insertion (1/2)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout du fils dans l'arbre.
## Recherche du parent
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudocode d'insertion (2/2)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils
```
ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = noeud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = noeud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = noeud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C (1/2)
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
}
}
return current;
}
```
[^1]: Copyright cours de mathématiques pendant trop d'années.
slides/cours_16.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres et tri par tas"
date: "2022-03-02"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Arbres binaires"
date: "2025-03-07"
---
# Un joli site
# Les arbres binaires
## Visualisation d'algorithmes
\Huge Les arbres binaires
* <https://visualgo.net/>
* Allons nous rafraîchir la mémoire sur l'insertion / recherche dans un arbre
binaire.
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque nœud a au plus deux enfants: gauche et droite,
* Chaque enfant est un arbre.
## Comment représenteriez vous une telle structure?
# Pseudocode d'insertion (1/2)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout du fils dans l'arbre.
## Recherche du parent
. . .
```C
<R, G, D>
R: racine
G: sous-arbre gauche
D: sous-arbre droite
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudocode d'insertion (2/2)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Comment cela s'écrirait en C?
## Ajout du fils
. . .
```
ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = noeud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = noeud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = noeud(clé)
sinon
retourne
```C
typedef struct _node {
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
```
# Code d'insertion en C (1/2)
# L'arbre binaire
## Recherche du parent (ensemble)
\footnotesize
. . .
## Que se passerait-il avec
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
}
}
return current;
}
typedef struct _node {
int info;
struct _node left, right;
} node;
```
# Code d'insertion en C (2/2)
. . .
## Ajout du fils (ensemble)
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
\scriptsize
## Interface minimale
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le noeud ajouté (ou `NULL`)
* Qu'y mettriez vous?
. . .
```C
tree_t add_key(tree_t *tree, key_t key) {
node_t *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node)); // nouveauté!
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
tree_t subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# Une nouvelle corde à votre arc!
\footnotesize
```C
void *calloc(size_t nmemb, size_t size); // man 3 calloc
```C
NULL -> arbre (vide)
<n, arbre, arbre> -> arbre
visiter(arbre) -> nœud (la racine de l'arbre)
gauche(arbre) -> arbre (sous-arbre de gauche)
droite(arbre) -> arbre (sous-arbre de droite)
```
```
$ man 3 calloc
The calloc() function allocates memory for an array of nmemb elements
of size bytes each and returns a pointer to the allocated memory.
The memory is set to zero. If nmemb or size is 0, then calloc() re‐
turns either NULL, or a unique pointer value that can later be suc‐
cessfully passed to free(). If the multiplication of nmemb and size
would result in integer overflow, then calloc() returns an error. By
contrast, an integer overflow would not be detected in the following
call to malloc(), with the result that an incorrectly sized block of
memory would be allocated:
malloc(nmemb * size);
```
* Les autres opérations (insertion, parcours, etc) dépendent de ce qu'on stocke
dans l'arbre.
# La suppression de clé
# Exemple d'arbre binaire
* Représentez `(c - a * b) * (d + e / f)` à l'aide d'un arbre binaire (matrix)
. . .
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
## Cas simples:
* le noeud est absent,
* le noeud est une feuille
* le noeuds a un seul fils.
:::: column
## Une feuille (le 19 p.ex.).
## Remarques
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info n'est pas le même sur chaque nœud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les nœuds internes contiennent les opérateurs.
::::
:::: column
:::
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
# Parcours d'arbres binaires
* Appliquer une opération à tous les nœuds de l'arbre,
* Nécessité de **parcourir** l'arbre,
* Utiliser uniquement l'interface: visiter, gauche,
droite.
## Une idée de comment parcourir cet arbre?
* 3 parcours (R: Racine, G: sous-arbre gauche, D: sous-arbre droit):
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
## Dans tous les cas
:::: column
* Chercher le noeud à supprimer: utiliser `position()`.
1. Parcours **préfixe** (R, G, D),
2. Parcours **infixe** (G, R, D),
3. Parcours **postfixe** (G, D, R).
::::
:::
# La suppression de clé
# Le parcours infixe (G, R, D)
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il n'est pas vide.
2. On visite la racine du sous arbre.
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il n'est pas vide).
4. On recommence.
::: columns
. . .
:::: column
## Incompréhensible?
## Cas compliqué
* La récursivité, c'est la vie.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
# Graphiquement (dessinons)
* Le noeud à supprimer à (au moins) deux descendants (10).
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10 il se passe quoi?
* On peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution bon sang!
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou
...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le noeud.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
# Graphiquement (`mermaid` c'est super)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuill)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
::: columns
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
A[*]-.->|1|B[-];
B-->C[c];
B-.->|2|C[c];
C-.->|3|B;
B-->D[*];
B-.->|4|D;
D-->E[a];
D-.->|5|E;
E-.->|6|D;
D-->F[b];
D-.->|7|F;
F-.->|8|A;
A-->G[+];
A-.->|9|G;
G-->H[d];
G-.->|10|H;
H-.->|11|G;
G-->I["/"];
G-.->|12|I;
I-->J[e];
I-.->|13|J;
J-.->|14|I;
I-->K[f];
I-.->|15|K;
```
::::
. . .
:::: column
```
arbre parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
# Le pseudo-code de la suppression
## Remarque
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
Le nœud est visité à la **remontée**.
. . .
## Résultat
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
c - a * b * d + e / f
```
::::
# Le pseudo-code de la suppression
:::
# Et en C?
## Live code
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
. . .
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```C
typedef int data;
typedef struct _node {
data info;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
void tree_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
tree_print(tree->right, n+1);
}
}
```
# Exercices (poster sur matrix)
# Question
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
## Avez-vous compris le fonctionnement?
. . .
```
arbre insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne noeud(clé)
## Vous en êtes sûr·e·s?
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
. . .
# Exercices (poster sur matrix)
## OK, alors deux exercices:
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix).
. . .
## Rappel
```
bool recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
# Exercices (à la maison)
# Correction
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
\footnotesize
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Les deux parcours sont des modifications **triviales** de l'algorithme
infixe.
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
## Le parcours postfixe
# Lien entre arbre et tableau
```python
parcours_postfixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_postfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_postfixe(droite(a))
visiter(a)
```
* La racine de l'arbre set le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un noeud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du noeud $i=0$, sont à $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du noeud $i=1$, sont à $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du noeud $i=2$, sont à $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du noeud $i=3$, sont à $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du noeud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du noeud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
## Le parcours préfixe
# Visuellement
```python
parcours_préfixe(arbre a)
visiter(a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_préfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_préfixe(droite(a))
```
::: columns
. . .
:::: column
**Attention:** L'implémentation de ces fonctions en C sont **à faire** en
exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
* Où vont les indices correspondant du tableau?
# Exercice: parcours
## Comment imprimer l'arbre ci-dessous?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
f
/
e
+
d
*
c
-
b
*
a
```
:::: column
. . .
* Les flèche de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèche de droite à gauche, enfants -> parent.
## Bravo vous avez trouvé!
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
* Il s'agissait du parcours D, R, G.
::::
# Implémentation
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassée" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
## Vous avez 5 min pour implémenter cette fonction et la poster sur matrix!
. . .
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
```C
void pretty_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
pretty_print(tree->left, n+1);
}
}
```
::: columns
:::: column
# Exercice supplémentaire (sans corrigé)
* Quel est l'arbre que cela représente?
Écrire le code de la fonction
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((7));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```C
int depth(node *t);
```
::::
:::: column
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `7`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
Indice: la profondeur à chaque niveau peut-être calculée à partir du niveau des
sous-arbres de gauche et de droite.
::::
# La recherche dans un arbre binaire
:::
* Les arbres binaires peuvent retrouver une information très rapidement.
* À quelle complexité? À quelle condition?
. . .
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/N)
## Condition
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
* Le contenu de l'arbre est **ordonné** (il y a une relation d'ordre (`<`, `>`
entre les éléments).
::: columns
## Complexité
:::: column
* La profondeur de l'arbre (ou le $\mathcal{O}(\log_2(N))$)
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
. . .
::::
## Exemple: les arbres lexicographiques
:::: column
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**.
* Par construction, pour chaque nœud $N$:
* Toute clé du sous-arbre à gauche de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
* Toute clé du sous-arbre à droite de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
**But:** Transformer l'arbre en tas.
# Algorithme de recherche
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
* Retourner le nœud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```python
tree recherche(clé, arbre)
tant_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
arbre = droite(arbre)
sinon
retourne arbre
retourne NULL
```
::::
# Algorithme de recherche, implémentation (live)
:::
\footnotesize
. . .
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```C
typedef int key_t;
typedef struct _node {
key_t key;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
node *search(key_t key, node *tree) {
node *current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > key) {
current = current->left;
} else if (current->key < key){
current = current->right;
} else {
return current;
}
}
return NULL;
}
```
# Exemple de tri par tas (3/N)
# Exercice (5-10min)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
Écrire le code de la fonction
```C
int tree_size(node *tree);
```
::: columns
qui retourne le nombre total de nœuds d'un arbre et poster le résultat sur
matrix.
:::: column
Indication: la taille, est 1 + le nombre de nœuds du sous-arbre de gauche
additionné au nombre de nœuds dans le sous-arbre de droite.
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```C
int tree_size(node *tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
return 1 + tree_size(tree->left)
+ tree_size(tree->right);
}
}
```
::::
# L'insertion dans un arbre binaire
:::: column
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on ne peut
pas construire l'arbre....
**But:** Transformer l'arbre en tas.
## Pour un arbre lexicographique
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
* Rechercher la position dans l'arbre où insérer.
* Créer un nœud avec la clé et le rattacher à l'arbre.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
# Exemple d'insertions
::::
* Clés uniques pour simplifier.
* Insertion de 5, 15, 10, 25, 2, -5, 12, 14, 11.
* Rappel:
* Plus petit que la clé courante => gauche,
* Plus grand que la clé courante => droite.
* Faisons le dessins ensemble
:::
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (4/N)
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
## Exercice (3min, puis matrix)
:::
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
# Exemple de tri par tas (5/N)
## Recherche du parent
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
tree position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
::: columns
:::: column
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
## Ajout de l'enfant
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
::::
:::
```
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
# Code d'insertion en C
* L'arbre est un tas.
## Recherche du parent (ensemble)
# Exemple de tri par tas (6/N)
. . .
```C
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
# L'insertion (3/4)
**But:** Trier les tas.
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
# L'insertion (4/4)
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
## Ajout du fils (code)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
\scriptsize
::::
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
:::
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
# Exemple de tri par tas (7/N)
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
## Cas simples:
**But:** Trier les tas.
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
::::
:::
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (8/N)
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
## Dans tous les cas
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/N)
# La suppression de clé
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
## Cas compliqué
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/N)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
::::
. . .
:::: column
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
**But:** Trier les tas.
. . .
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
## Solution
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/N)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
# Le pseudo-code de la suppression
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
::::
:::
# Il nous manque le code pour le `parent`
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
# Exemple de tri par tas (12/N)
. . .
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
tree parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
::: columns
# Le pseudo-code de la suppression
:::: column
\footnotesize
**But:** Trier les tas.
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
\footnotesize
# Exemple de tri par tas (13/N)
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
::: columns
:::: column
# Exercices (poster sur matrix)
**But:** Trier les tas.
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
tree insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne nœud(clé)
::::
:::: column
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
::::
:::
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
# Exercice (10min)
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
* Trier par tas le tableau
. . .
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
booléen recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
slides/cours_17.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Tri par tas et arbres AVL"
date: "2022-03-09"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Arbres binaires, tri par tas"
date: "2025-03-14"
---
# Questions sur les notions du dernier cours
# Les arbres binaires
* Comment représenter un tableau sous forme d'arbre binaire?
\Huge Les arbres binaires
# Rappel pour l'insertion
* Les éléments insérés ont une notion d'ordre
* On parcourt l'arbre jusqu'à pouvoir ajouter une nouvelle feuille
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
\footnotesize
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
## Recherche du parent
```python
arbre position(tree, clé)
si est_non_vide(tree)
si clé < clé(tree)
suivant = gauche(tree)
sinon
suivant = droite(tree)
tant que clé(tree) != clé && est_non_vide(suivant)
tree = suivant
si clé < clé(tree)
suivant = gauche(tree)
sinon
suivant = droite(tree)
retourne tree
```
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout de l'enfant
```
rien ajout(tree, clé)
si est_vide(tree)
tree = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(tree)
gauche(tree) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(tree)
droite(tree) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```
rien ajout(tree, clé)
si est_vide(tree)
tree = nœud(clé)
sinon
tree = position(tree, clé)
si clé < clé(tree)
gauche(tree) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(tree)
droite(tree) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# L'insertion (4/4)
## Ajout du fils (code)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# La suppression dans un arbre binaire
\Huge La suppression dans un arbre binaire
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->19
20-->21
```
::::
:::: column
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
. . .
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
arbre parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
. . .
```
arbre insert(tree, clé)
si est_vide(tree)
retourne nœud(clé)
si (clé < tree(clé))
gauche(tree) = insert(gauche(tree), clé)
sinon
droite(tree) = insert(droite(tree), clé)
retourne tree
```
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
booléen recherche(tree, clé)
si est_vide(tree)
retourne faux // pas trouvée
si clé(tree) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(tree)
retourne recherche(gauche(tree), clé)
sinon
retourne recherche(droite(tree), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche l'arbre.
# Le tri par tas
\Huge Le tri par tas
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
# Lien entre arbre et tableau
* La racine de l'arbre est le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un nœud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du nœud $i=0$ sont en $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du nœud $i=1$ sont en $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du nœud $i=2$ sont en $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du nœud $i=3$ sont en $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du nœud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du nœud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
# Visuellement
::: columns
:::: column
* Où vont les indices correspondant du tableau?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
* Les flèches de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèches de droite à gauche, enfants -> parent.
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
::::
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassées" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
. . .
* Qu'est-ce qu'un tas?
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/N)
# Exemple de tri par tas (1/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
......@@ -58,7 +494,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `4`.
* On commence à l'indice $N/2-1 = 4$: `4`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
......@@ -88,7 +524,7 @@ graph TD;
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/N)
# Exemple de tri par tas (2/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
......@@ -100,7 +536,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -124,7 +560,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* On continue à l'indice $N/2-3 = 2$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -152,7 +588,7 @@ graph TD;
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (3/N)
# Exemple de tri par tas (3/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
......@@ -164,7 +600,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Indice $N/2-2 = 3$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -188,7 +624,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* Indice $N/2-3 = 2$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -215,7 +651,7 @@ graph TD;
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (4/N)
# Exemple de tri par tas (4/13)
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
......@@ -227,7 +663,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Indice $N/2-4 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -251,7 +687,7 @@ graph TD;
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* Indice $N/2-5 = 0$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
......@@ -279,7 +715,7 @@ graph TD;
```
# Exemple de tri par tas (5/N)
# Exemple de tri par tas (5/13)
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
......@@ -344,7 +780,7 @@ graph TD;
* L'arbre est un tas.
# Exemple de tri par tas (6/N)
# Exemple de tri par tas (6/13)
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
......@@ -402,7 +838,7 @@ graph TD;
```
# Exemple de tri par tas (7/N)
# Exemple de tri par tas (7/13)
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
......@@ -460,7 +896,7 @@ graph TD;
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (8/N)
# Exemple de tri par tas (8/13)
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
......@@ -512,7 +948,7 @@ graph TD;
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/N)
# Exemple de tri par tas (9/13)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
......@@ -566,7 +1002,7 @@ graph TD;
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/N)
# Exemple de tri par tas (10/13)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
......@@ -581,7 +1017,7 @@ graph TD;
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
......@@ -598,7 +1034,7 @@ graph TD;
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
......@@ -614,7 +1050,7 @@ graph TD;
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/N)
# Exemple de tri par tas (11/13)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
......@@ -629,7 +1065,7 @@ graph TD;
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
......@@ -664,7 +1100,7 @@ graph TD;
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (12/N)
# Exemple de tri par tas (12/13)
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
......@@ -707,7 +1143,7 @@ graph TD;
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (13/N)
# Exemple de tri par tas (13/13)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
......@@ -760,57 +1196,60 @@ graph TD;
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# L'algorithme du tri par tas (1/4)
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
\footnotesize
## Deux étapes
1. Entassement (tamisage): transformer l'arbre en tas.
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (5 min, matrix)
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
. . .
```
tri_par_tas(tab)
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i = size(tab)-1 à 2
promotion(tab, 0)
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
entassement(tab)
pour i = size(tab) / 2 - 1 jusqu'à 0
promotion(tab, i)
promotion(tab, i)
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
promotion(tab, ind_max)
tamisage(tab, ind_max)
```
# L'algorithme du tri par tas (2/4)
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
* Fonctions utilitaires
```
int ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si tab[ind_max] < tab[l]
ind_max = l
si tab[ind_mx] < tab[r]
ind_max = r
retourne ind_max
int gauche(i)
retourne 2 * i + 1
int droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si g < size(tab) && tab[ind_max] < tab[g]
ind_max = g
si d < size(tab) > d && tab[ind_max] < tab[d]
ind_max = d
retourne ind_max
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
# L'algorithme du tri par tas (3/4)
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
\footnotesize
......@@ -871,259 +1310,6 @@ int left(int i) {
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
```
# Complexités
::: columns
:::: column
## Complexité de la recherche
1. En moyenne?
2. Dans le pire des cas?
. . .
1. $O(\log_2(N))$
2. $O(N)$
::::
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((9));
id0-->id8(( ));
id1-->id2((7));
id1-->id9(( ));
id2-->id3((6));
id2-->id10(( ));
id3-->id4((5));
id3-->id11(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Un meilleur arbre
* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour être $O(\log_2(N))$?
. . .
* Si on a environ le même nombre de noeuds dans les sous-arbres.
## Définition
Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
arbres gauche et droit vaut au plus 1.
* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
. . .
* $O(\log_2(N))$.
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((W))-->id1((B));
id0-->id8((Y));
id1-->id2((A));
id1-->id9(( ));
id8-->id10((X));
id8-->id11(( ));
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
``` -->
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id1-->id3((8));
id1-->id4((12));
id4-->id5((11));
id4-->id6(( ));
id2-->id7((17));
id2-->id8(( ));
id7-->id9(( ));
id7-->id10((18));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
# Arbres AVL
* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
. . .
* A l'insertion/suppression.
* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
nombre de neouds:
* La hauteur $\sim\log_2(N)$.
## Définition
Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
* Relation entre noeuds et hauteur:
$$
\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
$$
* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
# Notation
* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
. . .
* `fe = {-1, 0, 1}`
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
```
::::
:::: column
. . .
```
A
V
L
```
::::
:::
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id4-->id5((37));
id4-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
A
V
L
```
::::
:::
slides/cours_18.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres AVL"
date: "2022-03-16"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
date: "2025-03-21"
---
# Questions sur les notions du dernier cours
# Exercice (que vous avez dû faire à la maiso)
* Qu'est-ce qu'un arbre AVL?
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
\footnotesize
## Deux étapes
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
. . .
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
tamisage(tab, ind_max)
```
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
* Fonctions utilitaires
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si g < size(tab) && tab[ind_max] < tab[g]
ind_max = g
si d < size(tab) > d && tab[ind_max] < tab[d]
ind_max = d
retourne ind_max
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
\footnotesize
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
. . .
* Un arbre binaire qui a la propriété suivante:
* La différence de hauteur de chaque noeud est d'au plus 1.
* Tous les noeuds ont `fe = hd - hg = {-1, 0, 1}`.
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
* Pourquoi utiliser un arbre AVL plutôt qu'un arbre binaire de recherche?
## Fonctions utilitaires
. . .
* Insertion/recherche/... toujours en $O(\log_2(N))$.
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
``` -->
# AVL ou pas?
# Les arbres AVL
\Huge Les arbres AVL
# Un meilleur arbre
* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour que la recherche soit $O(\log_2(N))$?
. . .
* Si on a environ le même nombre de nœuds dans les sous-arbres.
## Définition
Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
arbres gauche et droit vaut au plus 1.
* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
. . .
* $O(\log_2(N))$.
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((W))-->id1((B));
id0-->id8((Y));
id1-->id2((A));
id1-->id9(( ));
id8-->id10((X));
id8-->id11(( ));
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
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```
::::
:::
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((21))-->id1((9));
id0-->id2((40));
id1-->id3((5));
id1-->id4((10));
id3-->id5((3));
id3-->id6((7))
id6-->id7((6))
id6-->id8(( ))
id2-->id9((33))
id2-->id10((61))
id9-->id11((22))
id9-->id12((39))
id10-->id13(( ))
id10-->id14((81))
id0((16))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id1-->id3((8));
id1-->id4((12));
id4-->id5((11));
id4-->id6(( ));
id2-->id7((17));
id2-->id8(( ));
id7-->id9(( ));
id7-->id10((18));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
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```
::::
:::
# Arbres AVL
\footnotesize
* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
. . .
* A l'insertion/suppression.
* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
nombre de nœuds:
* La hauteur $\sim\log_2(N)$.
## Définition
Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
* Relation entre nœuds et hauteur:
$$
\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
$$
* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
# Notation
* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
. . .
* Ajouter un noeud pour qu'il le soit plus.
* `fe = {-1, 0, 1}`
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
```
::::
:::: column
. . .
```
A
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L
```
::::
:::
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id4-->id5((37));
id4-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
A
V
L
```
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
......@@ -147,6 +443,8 @@ graph TD;
# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
\footnotesize
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
......@@ -176,7 +474,7 @@ graph TD;
. . .
* `hd > hg`
* `hd < hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
......@@ -273,7 +571,7 @@ graph TD;
## Cas 2a
* `v1`, `v2`, `u`, `w` même hauteur.
* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
......@@ -288,7 +586,7 @@ graph TD;
. . .
* ramène `u`, `v1`, `v2`, `w` à la même hauteur.
* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
......@@ -508,11 +806,21 @@ tree_t rotation_left(tree_t tree) {
. . .
* Et la rotation à droite (5min)?
* Et la rotation à droite, pseudo-code (5min)?
. . .
```C
```
arbre rotation_droite(arbre P)
si est_non_vide(P)
Q = gauche(P)
gauche(P) = droite(Q)
droite(Q) = P
retourne Q
retourne P
```
<!-- ```C
tree_t rotation_right(tree_t tree) {
tree_t subtree = NULL;
if (NULL != tree) {
......@@ -522,7 +830,7 @@ tree_t rotation_right(tree_t tree) {
}
return subtree;
}
```
``` -->
# Exemple de rotation (1/2)
......@@ -725,7 +1033,7 @@ graph TD;
1. Montrer les positions des insertions de feuille qui conduiront à un arbre
désequilibré.
2. Donner les facteurs d’equilibre.
2. Donner les facteurs d’equilgaucheibre.
3. Dessiner et expliquer les modifications de l’arbre lors de l’insertion de la
valeur `65`. On mentionnera les modifications des facteurs
d’équilibre.
......@@ -734,3 +1042,300 @@ graph TD;
:::
# Encore un petit exercice
* Insérer les nœuds suivants dans un arbre AVL
```
25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40
| 50 | 55 | 30 | 15
```
## Un à un et le/la premier/ère qui poste la bonne réponse sur matrix a un point
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((10));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11((12))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 8
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9(( ))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((14));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((12))
id2-->id10((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
1. On supprime comme d'habitude.
2. On rééquilibre si besoin à l'endroit de la suppression.
* Facile non?
. . .
* Plus dur....
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: suppression de 30
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((30));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation GD autour de 40
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((40));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4(( ));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Argl! 50 est déséquilibré!
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((20));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation DG autour de 50
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((80))-->id1((50));
id0-->id2((100));
id1-->id3((20));
id1-->id4((70));
id3-->id5((10));
id3-->id6((40));
id4-->id9((60))
id4-->id10(( ))
id2-->id7((90))
id2-->id8((200))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Résumé de la suppression
1. On supprime comme pour un arbre binaire de recherche.
2. Si un nœud est déséquilibré, on le rééquilibre.
* Cette opération peut déséquilibrer un autre nœud.
3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer.
slides/cours_19.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres AVL et quadtrees"
date: "2022-03-23"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Arbres AVL et arbres quaternaires"
date: "2025-03-28"
---
# Questions sur les notions du dernier cours
# Rappel: Algorithme d'insertion
## Quel est l'algorithme d'insertion dans un arbre AVL?
* Insérer le noeud comme d'habitude.
* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
noeud déséquilibré).
* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
# Rappel: les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 1a
* `u`, `v`, `w` même hauteur.
* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 1a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* Insertion comme dans un arbre binaire de recherche.
* Rééquilibrage si le facteur d'équilibre est de -2 ou +2.
* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
::::
:::
# Rappel: Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 2a
* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
::::
:::: column
## Quelles sont les briques élémentaires du rééquilibrage?
## Cas 2a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* La rotation gauche ou droite.
* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
::::
:::
# Rappel: Rééquilibrage
## Rotation simple
# Encore un petit exercice
![On verra un peu après les rotations.](figs/rotation_gauche_droite.png)
# Rappel: La rotation gauche-droite
## Le cas 2a/b
![La double rotation de l'enfer.](figs/double_rotation_gauche_droite.png)
# Un petit exercice
* Insérer les nœuds suivants dans un arbre AVL
```
25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40 | 50 | 55 | 30 | 15
25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40
| 50 | 55 | 30 | 15
```
## Un à un et le/la premier/ère qui poste la bonne réponse sur matrix a un point
```
# Suppression dans un arbre AVL
```
# La suppression dans un arbre AVL
\Huge La suppression dans un arbre AVL
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
......@@ -324,8 +398,14 @@ graph TD;
1. On supprime comme pour un arbre binaire de recherche.
2. Si un nœud est déséquilibré, on le rééquilibre.
* Cette opération pour déséquilibrer un autre nœud.
3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer.
* Cette opération peut déséquilibrer un autre nœud sur le chemin menant au noeud supprimé.
3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer en remontant le chemin.
# Les arbres quaternaires
\Huge Les arbres quaternaires
# Les arbres quaternaires
......@@ -333,7 +413,7 @@ graph TD;
Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
![Un exemple de quadtree.](figs/quad_ex.svg)
![Un exemple d'arbre quaternaire.](figs/quad_ex.svg)
# Les arbres quaternaires
......@@ -352,7 +432,7 @@ Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun
* Indexation spatiale.
* Détection de collisions.
* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
* Simulation de galaxies (algorithme de Barnes-Hut).
# Exemple de compression
......@@ -378,10 +458,438 @@ Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun
. . .
Image 64 pixels, arbre 25 neouds.
Image 64 pixels, arbre 25 nœuds.
::::
:::
# Structure de données
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Pseudo-code?
. . .
```python
struct node
info
node sup_gauche, sup_droit,
inf_gauche, inf_droit
```
![Un nœud d'arbre quaternaire.](figs/quad_struct.svg)
::::
:::: {.column width=50%}
## En C?
. . .
```C
struct _node {
int info;
struct _node *sup_left;
struct _node *sup_right;
struct _node *inf_left;
struct _node *inf_right;
};
```
* Pourquoi le `*` est important?
. . .
* Type récursif => taille inconnue à la compilation.
::::
:::
# Une fonctionnalité simple
\footnotesize
## La fonction `est_feuille(noeud)`
* Problème avec cette implémentation?
```python
bool est_feuille(noeud)
retourne
est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
est_vide(sup_droit(noeud)) &&
est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
est_vide(inf_droit(noeud))
```
. . .
* Inutile d'avoir 4 conditions (soit 4 enfants soit aucun!)
* Facile d'en oublier un!
* Comment changer la structure pour que ça soit moins terrible?
. . .
```python
struct node
info
node enfant[4]
```
# Structure de données
## En C?
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```
## Fonction `is_leaf(node *tree)`?
. . .
```C
bool is_leaf(node *tree) {
return (NULL == tree->child[0]); // only first matters
}
```
# Problème à résoudre
* Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
* Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds)
* Remplir l'arbre avec les valeurs des pixels
* Compression de l'image:
* Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
* Si les pixels ne dévient pas trop, on supprime le quadrant (avec perte)
# Création de l'arbre
## Comment créer un arbre de profondeur `prof` (3min)?
. . .
```python
arbre creer_arbre(prof)
n = nouveau_noeud() # alloue la mémoire
si prof > 0
pour i = 0 à 3
n.enfant[i] = creer_arbre(prof-1)
retourne n
```
## En `C` (3 min, matrix)?
. . .
```C
node *qt_create(int depth) {
node *n = calloc(1, sizeof(node));
if (depth > 0) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
n->child[i] = qt_create(depth-1);
}
}
return n;
}
```
# Le nombre de nœuds?
## Comment implémenter la fonction (pseudo-code, 5min, matrix)?
. . .
```C
entier nombre_nœuds(arbre)
si est_feuille(arbre)
retourne 1
sinon
somme = 1
pour i de 0 à 3
somme += nombre_nœuds(arbre.enfant[i])
retourne somme
```
# Le nombre de nœuds?
## Comment implémenter la fonction en C (3min, matrix)?
. . .
```C
int size(node *qt) {
if (is_leaf(qt)) {
return 1;
} else {
int sum = 1;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
sum += size(qt->child[i]);
}
return sum;
}
}
```
# La profondeur en C?
## Implémentation (5min, matrix)
. . .
\footnotesize
```C
int max(int x, int y) {
return (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
int m = depths[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
m = max(m, depths[i]);
}
return m;
}
int depth(node *qt) {
int depths[] = {0, 0, 0, 0};
if (is_leaf(qt)) {
return 0;
} else {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
depths[i] = depth(qt->child[i]);
}
return 1 + max_depth(depths);
}
}
```
# Fonctions utiles (1/4)
## Comment remplir un arbre depuis une matrice?
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
## Quel arbre cela représente?
. . .
![L'arbre correspondant](figs/quad_img_simple.svg)
# Fonctions utiles (2/4)
* On veut transférer la valeur d'une case ligne/colonne dans une feuille.
* Comment?
::: columns
:::: {.column width=40%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
::::
:::: {.column width=70%}
## Trouver un algorithme
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* Quelle feuille pour 31 (`li=2`, `co=3`)?
* Plus important: quel chemin?
. . .
* `co -> G/D`, `li -> S/I`,
* `2 * (li / 2) + co / 2 -> 2 * 1 + 1 = 3`
* `2 * ((li % 2) / 1) + (co % 2) / 1 -> 2 * 0 + 1 = 1`
* Comment généraliser?
::::
:::
# Fonctions utiles (3/4)
::: columns
:::: {.column width=40%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
::::
:::: {.column width=70%}
## Trouver un algorithme (prendre plusieurs exemples, 15min, matrix)
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* Comment généraliser?
. . .
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d >= 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourne arbre
```
::::
:::
# Fonctions utiles (4/4)
\footnotesize
## Pseudo-code
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d >= 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourne arbre
```
## Écrire le code `C` correspondant (5min, matrix)
```C
```
# Remplir l'arbre
## A partir d'une matrice (pseudo-code, 5min, matrix)?
. . .
```C
arbre matrice_vers_arbre(matrice)
arbre = creer_arbre(profondeur)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
noeud.info = matrice[co][li]
retourne arbre
```
. . .
## A partir d'une matrice (C, 5min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth) {
node *qt = qt_create(depth);
for (int li = 0; li < nb_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nb_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
current->info = matrix[li][co];
}
}
return qt;
}
```
# Remplir la matrice
## A partir de l'arbre (pseudo-code, 3min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
matrice arbre_vers_matrice(arbre)
matrice = creer_matrice(nb_lignes(arbre), nb_colonnes(arbre))
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
matrice[co][li] = noeud.info
retourne matrice
```
. . .
## A partir de l'arbre (C, 3min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co]) {
for (int li = 0; li < nb_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nb_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
matrix[li][co] = current->info;
}
}
}
```
slides/cours_2.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2021-09-29"
title: "Introduction aux algorithmes II"
date: "2024-09-23"
---
# Rappel
* Quel est l'algorithme pour le calcul des nombres 1ers?
. . .
```C
bool est_premier(int nombre) {
int i = 2; // bonne pratique!
while (i < nombre) { // penser à bien indenter!
if (0 == nombre % i) { // ça rend le code LISIBLE!
return false;
}
i += 1;
}
return true;
}
```
# Expressions et opérateurs (1/6)
Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.
## Expressions simples
- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.
```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0; // '0' est un litéral
int y = x; // 'x' est une variable
int z = L; // 'L' est une constante
```
## Expressions complexes
- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*
```C
int x; // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
// dont le résultat est affecté à 'x'
```
# Expressions et opérateurs (2/6)
## Opérateurs relationnels
Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:
- `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.
| Opérateur | Syntaxe | Résultat |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C} | `a < b`{.C} | 1 si a < b; 0 sinon |
| `>`{.C} | `a > b`{.C} | 1 si a > b; 0 sinon |
| `<=`{.C} | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C} | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C} | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C} | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |
# Expressions et opérateurs (3/6)
## Opérateurs logiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C} | `a && b`{.C} | ET logique |
| `||`{.C} | `a || b`{.C} | OU logique |
| `!`{.C} | `!a`{.C} | NON logique |
# Quiz: opérateurs logiques
## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501928)
<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1
Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->
# Expressions et opérateurs (4/6)
## Opérateurs arithmétiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C} | `a + b`{.C} | Addition |
| `-`{.C} | `a - b`{.C} | Soustraction |
| `*`{.C} | `a * b`{.C} | Multiplication |
| `/`{.C} | `a / b`{.C} | Division |
| `%`{.C} | `a % b`{.C} | Modulo |
# Expressions et opérateurs (5/6)
## Opérateurs d'assignation
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C} | `a = b`{.C} | Affecte la valeur `b` à la variable `a` |
| | | et retourne la valeur de `b` |
| `+=`{.C} | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `-=`{.C} | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `*=`{.C} | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `/=`{.C} | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `%=`{.C} | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
# Expressions et opérateurs (6/6)
## Opérateurs d'assignation (suite)
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C} | `++a`{.C} | Incrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a += 1`). |
| `--`{.C} | `--a`{.C} | Décrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a -= 1`). |
| `++`{.C} | `a++`{.C} | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1. |
| `--`{.C} | `a--`{.C} | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1. |
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)
## Syntaxe
```C
if (expression) {
instructions;
} else if (expression) { // optionnel
// il peut y en avoir plusieurs
instructions;
} else {
instructions; // optionnel
}
```
```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
printf("y vaut 8.\n");
} else {
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)
## Pièges
```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
x = -1; // toujours évalué
```
# Quiz: `if ... else`{.C}
## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501931)
# Structures de contrôle: `while`{.C}
## La boucle `while`{.C}
```C
while (condition) {
instructions;
}
do {
instructions;
} while (condition);
```
## La boucle `while`{.C}, un exemple
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
sum += 1;
}
do {
sum += 10;
} while (sum < 100);
```
# Structures de contrôle: `for`{.C}
## La boucle `for`{.C}
```C
for (expression1; expression2; expression3) {
instructions;
}
```
## La boucle `for`{.C}
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
sum += i;
}
for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
# Exercice: la factorielle
Écrire un programme qui calcule la factorielle d'un nombre
$$
N! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot (N-1)\cdot N.
$$
## Par groupe de 3: écrire un pseudo-code
. . .
```python
entier factorielle(entier n)
i = 1
fact = 1
tant que i <= n
fact *= i
i += 1
retourne fact
```
# Exercice: la factorielle
\footnotesize
Écrire un programme qui calcule la factorielle d'un nombre
$$
N! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot (N-1)\cdot N.
$$
## Par groupe de 3: écrire un code en C
Quand vous avez fini postez le code sur le salon matrix.
. . .
```C
#include <stdio.h>
int main() {
int nb = 10;
int fact = 1;
int iter = 2;
while (iter <= nb) {
fact *= iter;
iter++;
}
printf("La factorielle de %d est %d\n", nb, fact);
}
```
. . .
## Comment améliorer ce code? (notez ça sur une feuille)
# Exercice: la factorielle en mieux
## Individuellement
1. Écrivez l'algorithme de calcul de deux façon différentes.
2. Que se passe-t-il si $n>=15$?
3. Pour celles et ceux qui ont fini pendant que les autres essaient: faites-le
en récursif (sans aide).
. . .
## Postez vos solutions sur **matrix**!
# Exercice: test si un nombre est premier
## Avec tout ce que vous avez appris la dernière fois:
## Avec tout ce que vous avez appris jusqu'ici:
* Écrivez le code testant si un nombre est premier.
* Quels sont les ajouts possibles par rapport au code de la semaine passée?
......@@ -159,12 +457,6 @@ Par groupe de 3 (5-10min):
Si un nombre, `p`, est multiple de `a` et de `b` alors il peut s'écrire `p = a
* i = b * j` ou encore `p / a = i` et `p / b = j`.
<!-- Si un nombre, $p$, est multiple de $a$ et de $b$ alors il peut s'écrire -->
<!-- $$ -->
<!-- p = a \cdot i = b \cdot j, -->
<!-- $$ -->
<!-- ou encore $p / a = i$ et $p / b = j$. -->
. . .
## Pseudo-code
......@@ -172,7 +464,7 @@ Si un nombre, `p`, est multiple de `a` et de `b` alors il peut s'écrire `p = a
```C
int ppcm(int a, int b) {
for (i in [1, b]) {
if a * i is divisible by b {
if a * i est divisible par b {
return a * i
}
}
......@@ -191,7 +483,6 @@ int ppcm(int a, int b) {
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int n = 15, m = 12;
int i = 1;
......@@ -209,7 +500,6 @@ int main() {
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int res = n*m;
for (int i = 2; i <= m; i++) {
......@@ -222,153 +512,6 @@ int main() {
}
```
# Le calcul du PGCD (1/5)
## Définition
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est le
plus grand entier qui les divise en même temps.
## Exemples:
```C
PGCD(3, 4) = 1,
PGCD(4, 6) = 2,
PGCD(5, 15) = 5.
```
. . .
## Mathématiquement
Décomposition en nombres premiers:
$$
36 = 2^2\cdot 3^2,\quad 90=2\cdot 5\cdot 3^2,
$$
On garde tous les premiers à la puissance la plus basse
$$
PGCD(36, 90)=2^{\min{1,2}}\cdot 3^{\min{2,2}}\cdot 5^{\min{0,1}}=18.
$$
# Le calcul du PGCD (2/5)
## Algorithme
Par groupe de 3 (5-10min):
* réfléchissez à un algorithme alternatif donnant le PGCD de deux nombres;
* écrivez l'algorithme en pseudo-code.
. . .
## Exemple d'algorithme
```C
PGCD(36, 90):
90 % 36 != 0 // otherwise 36 would be PGCD
90 % 35 != 0 // otherwise 35 would be PGCD
90 % 34 != 0 // otherwise 34 would be PGCD
...
90 % 19 != 0 // otherwise 19 would be PGCD
90 % 18 == 0 // The end!
```
* 18 modulos, 18 assignations, et 18 comparaisons.
# Le calcul du PGCD (3/5)
## Transcrivez cet exemple en algorithme (groupe de 3) et codez-le (5-10min)!
. . .
## Optimisation
* Combien d'additions / comparaisons au pire?
* Un moyen de le rendre plus efficace?
. . .
## Tentative de correction
```C
void main() {
int n = 90, m = 78;
int gcd = 1;
for (int div = n; div >= 2; div--) { // div = m, sqrt(n)
if (n % div == 0 && m % div == 0) {
gcd = div;
break;
}
}
printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, gcd);
}
```
# Le calcul du PGCD (4/5)
## Réusinage: l'algorithme d'Euclide
`Dividende = Diviseur * Quotient + Reste`
```C
PGCD(35, 60):
35 = 60 * 0 + 35 // 60 -> 35, 35 -> 60
60 = 35 * 1 + 25 // 35 -> 60, 25 -> 35
35 = 25 * 1 + 10 // 25 -> 35, 20 -> 25
25 = 10 * 2 + 5 // 10 -> 25, 5 -> 10
10 = 5 * 2 + 0 // PGCD = 5!
```
. . .
## Algorithme
Par groupe de 3 (5-10min):
* analysez l'exemple ci-dessus;
* transcrivez le en pseudo-code.
# Le calcul du PGCD (5/5)
## Pseudo-code
```C
int pgcd(int a, int b) {
tmp_n = n
tmp_m = m
while (tmp_m does not divide tmp_n) {
tmp = tmp_n
tmp_n = tmp_m
tmp_m = tmp modulo tmp_m
}
return tmp_m
}
```
# Le code du PGCD de 2 nombres
## Implémentez le pseudo-code et postez le code sur matrix (5min).
. . .
## Un corrigé possible
```C
#include <stdio.h>
void main() {
int n = 90;
int m = 78;
printf("n = %d et m = %d\n", n, m);
int tmp_n = n;
int tmp_m = m;
while (tmp_n%tmp_m > 0) {
int tmp = tmp_n;
tmp_n = tmp_m;
tmp_m = tmp % tmp_m;
}
printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, tmp_m);
}
```
slides/cours_20.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres quaternaires et compression"
date: "2022-03-30"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Arbres quaternaires"
date: "2025-04-04"
---
# Le cours précédent
# Rappel sur les arbres quaternaires
## Questions
* Qu'est-ce qu'un arbre quaternaire?
## Définition?
. . .
* Un arbre où chaque noeud a soit **4 enfants** soit **aucun**.
* A quoi peut servir un arbre quaternaire?
* Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
## Utilisation dans ce cours?
. . .
* Compression
* Stockage/compression d'image
* Chaque pixel correspond à une feuille
* Des portions de l'image peuvent être compressées sans/avec perte
# Les arbres quaternaires
## Définition
Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
# Transformations avec un arbre quaternaire
![Un exemple de quadtree.](figs/quad_ex.svg)
## A faire
# Les arbres quaternaires
* Symétrie axiale (horizontale/verticale).
* Rotation quart de cercle (gauche/droite).
* Compression.
## Cas d'utilisation
# La symétrie verticale
Typiquement utilisés pour représenter des données bidimensionnelles.
## Que donne la symétrie verticale de
Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun).
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
## Cas d'utilisation: images
. . .
* Stockage: compression.
* Transformations: symétries, rotations, etc.
```
SG=0 | SD=1
4 | 4 | 12 | 21
4 | 4 | 7 | 9
------------------
31 | 0 | 1 | 1
27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3
```
## Cas d'utilisation: simulation
# La symétrie d'axe vertical
* Indexation spatiale.
* Détection de collisions.
* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
## Comment faire sur une matrice (3min, matrix)?
# Exemple de compression
. . .
::: columns
\footnotesize
:::: {.column width=30%}
```C
matrice symétrie(matrice)
pour i de 0 à nb_lignes(matrice)
pour j de 0 à nb_colonnes(matrice)/2
échanger(matrice[i][j], matrice[i][nb_colonnes(matrice)-1-j])
retourne matrice
```
## Comment représenter l'image
# La symétrie d'axe vertical
![Image noir/blanc (0/1).](figs/board_blacked_parts.svg)
## Comment faire sur un arbre?
::::
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
:::: {.column width=70%}
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 12 | 21
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 7 | 9
----------------- => ----------------
1 | 1 | 0 | 31 31 | 0 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
## Sous la forme d'un arbre quaternaire (5min, matrix)?
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
. . .
![L'arbre quaternaire correspondant.](figs/quad_img.svg)
**Économie?**
\footnotesize
. . .
```C
arbre symétrie(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[1])
échanger(arbre.enfant[2], arbre.enfant[3])
pour i de 0 à 3
symétrie(arbre.enfant[i])
retourne arbre
```
Image 64 pixels, arbre 25 noeuds.
# La symétrie d'axe horizontal
::::
* Trivial de faire l'axe horizontal (exercice à la maison)
:::
# Rotation d'un quart de cercle
## Comment faire sur un arbre?
# Structure de données
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
::: columns
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
:::: {.column width=50%}
```
## Pseudocode?
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
. . .
```python
struct node
info
node sup_gauche, sup_droit,
inf_gauche, inf_droit
```C
rien rotation_gauche(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échange_cyclique_gauche(arbre.enfant)
pour i de 0 à 3
rotation_gauche(arbre.enfant[i])
```
![Un nœud d'arbre quaternaire.](figs/quad_struct.svg)
# Rotation d'un quart de cercle
::::
\footnotesize
:::: {.column width=50%}
## Comment faire sur un arbre?
## En C?
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le vrai code (5min, matrix)
. . .
```C
struct _node {
int info;
struct _node *sup_left;
struct _node *sup_right;
struct _node *inf_left;
struct _node *inf_right;
};
void rotate(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
node *tmp = qt->child[2];
qt->child[2] = qt->child[0];
qt->child[0] = qt->child[1];
qt->child[1] = qt->child[3];
qt->child[3] = tmp;
for (int i=0; i<CHILDREN; i++) {
rotate(qt->child[i]);
}
}
}
```
* Pourquoi le `*` est important?
# Compression sans perte (1/5)
. . .
## Idée générale
* Type récursif => taille inconnue à la compilation.
* Regrouper les pixels par valeur
::::
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
:::
* Comment faire?
# Une fonctionnalité simple
# Compression sans perte (2/5)
\footnotesize
## Que devient l'arbre suivant?
## La fonction `est_feuille(noeud)`
![](figs/quad_img_simple.svg)
* Problème avec cette implémentation?
. . .
```pyrhon
bool est_feuille(noeud)
retourne
est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
est_vide(sup_droit(noeud)) &&
est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
est_vide(inf_droit(noeud))
```
## Arbre compressé
. . .
![](figs/quad_img_simple_comp.svg)
* Inutile d'avoir 4 conditions (soit 4 enfants soit aucun!)
* Facile d'en oublier un!
* Comment changer la structure pour que ça soit moins terrible?
# Compression sans perte (3/5)
* Si un nœud a tous ses enfants égaux:
* Stocker cette valeur dans ce nœud,
* Supprimer ses enfants.
* Jusqu'à remonter à la racine.
## Écrire le pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```python
struct node
info
node enfant[4]
```C
rien compression_sans_perte(arbre)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_sans_perte(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
valeur, toutes_égales = valeur_enfants(arbre)
si toutes_egales
arbre.info = valeur
detruire_enfants(arbre)
```
# Structure de données
# Compression sans perte (4/5)
\footnotesize
## En C?
## Écrire le code C (5min, matrix)
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```C
void lossless_compression(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
for (int i=0; i<CHILDREN; i++) {
lossless_compression(qt->child[i]);
}
if (is_last_branch(qt)) {
int val = -1;
if (last_value(qt, &val)) {
qt->info = val;
for (int i=0; i<CHILDREN; ++i) {
free(qt->child[i]);
qt->child[i] = NULL;
}
}
}
}
}
```
## Fonction `is_leaf(node *tree)`?
# Compression sans perte (5/5)
. . .
\footnotesize
```C
bool is_leaf(node *tree) {
return (NULL == tree->child[0]); // only first matters
```C
bool is_last_branch(node *qt) {
for (int i = 0; i < CHILDREN; ++i) {
if (!is_leaf(qt)) {
return false;
}
}
return true;
}
bool last_value(node *qt, int *val) {
int info = qt->child[0];
for (int i = 1; i < CHILDREN; ++i) {
if (info != qt->child[i]) {
return false;
}
}
*val = info;
return true;
}
```
# Compression avec perte (1/5)
## Idée générale
* Regrouper les pixels par valeur sous certaines conditions
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 3 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => ------------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
2 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
# Problème à résoudre
* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
# Compression avec perte (2/5)
## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
* Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
* Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds),
* Le remplir avec les valeurs des pixels.
* Compression de l'image:
* Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
* Si les pixels dévient pas trop on supprime le quadrant (avec perte)
![](figs/quad_img_simple_variation.svg)
# Fonctions utiles (1/N)
. . .
## Comment créer un arbre de profondeur `prof` (3min)?
## Arbre compressé
![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)
# Compression avec perte (3/5)
## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
. . .
```python
arbre creer_arbre(prof)
n = nouveau_noeud() # alloue la mémoire
si prof > 0
pour i = 0 à 3
n.enfant[i] = creer_arbre(prof-1)
retourne n
```
* Avec l'écart-type
## En `C` (3 min, matrix)?
\begin{equation*}
\mu = \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{3} p[i],\quad \sigma = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=0}^3 (\mu-p[i])
^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^3p[i]^2\right)-\mu^2}
\end{equation*}
## Que devient l'algorithme?
. . .
```C
node *qt_create(int depth) {
node *n = calloc(1, sizeof(node));
if (depth > 0) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
n->child[i] = qt_create(depth-1);
}
}
return n;
}
```
* Si $\sigma<\theta$, où $\theta$ est la **tolérance**:
* Remplacer la valeur du pixel par la moyenne des enfants.
* Remonter les valeurs dans l'arbre.
## Quelle influence de la valeur de $\theta$ sur la compression?
. . .
* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
# Compression avec perte (4/5)
## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
![L'arbre original.](figs/quad_img_simple_variation.svg)
. . .
![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)
# Le nombre de noeuds?
# Compression avec perte (5/5)
## Comment implémenter la fonction (pseudo-code, 5min, matrix)?
## Modifications sur la structure de données?
. . .
* On stocke la moyenne, et la moyenne des carrés.
```C
entier nombre_noeuds(arbre)
si est_feuille(arbre)
retourne 1
sinon
somme = 1
pour i de 0 à 3
somme += nombre_noeuds(arbre.enfant[i])
retourne somme
struct noeud
flottant moyenne, moyenne_carre
node enfants[4]
```
# Le nombre de noeuds?
* Comment on calcule `moyenne` et `moyenne_carre` sur chaque nœud (pseudo-code)?
# Calcul de la moyenne
## Comment implémenter la fonction en C (3min, matrix)?
## Pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
int size(node *qt) {
if (is_leaf(qt)) {
return 1;
} else {
int sum = 1;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
sum += size(qt->child[i]);
}
return sum;
}
}
rien moyenne(arbre) {
si !est_feuille(arbre)
pour enfant dans arbre.enfants
moyenne(enfant)
pour enfant dans arbre.enfants
arbre.moyenne += enfant.moyenne
arbre.moyenne_carre += enfant.moyenne_carre
arbre.moyenne /= 4
arbre.moyenne_carre /= 4
```
# La profondeur en C?
# La compression avec pertes
## Implémentation (5min, matrix)
\footnotesize
## Pseudo-code (5min, matrix)
. . .
\footnotesize
```C
int max(int x, int y) {
return (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
int m = depths[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
m = max(m, depths[i]);
}
return m;
}
int depth(node *qt) {
int depths[] = {0, 0, 0, 0};
if (is_leaf(qt)) {
return 0;
} else {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
depths[i] = depth(qt->child[i]);
}
return 1 + max_depth(depths);
}
}
rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_avec_pertes(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
si racine(arbre.moyenne_carre - arbre.moyenne^2) < theta
detruire_enfants(arbre)
```
## Le code en entier
```C
arbre = matrice_à_arbre(matrice)
moyenne(arbre)
compression_avec_pertes(arbre)
```
# Fonctions utiles (2/N)
# La dynamique des corps célestes
## Slides très fortement inspirés du cours de J. Latt, Unige
## Simulation du problème à $N$-corps
* Prédiction du mouvement d'un grand nombre de corps célestes.
* Modélisation:
* On se limite aux étoiles;
* Chaque étoile est caractérisée par un point (coordonnées) et une masse;
* On simule en deux dimensions.
* Interactions uniquement par les lois de la gravitation Newtonienne (oui-oui c'est de la **physique**!).
# Les équations du mouvement
## Mouvement de la $i$-ème étoile
* Algorithme de Verlet ($t_{n+1}=t_n+\delta t$)
$$
\vec x_i(t_{n+1})= 2\vec x_i(t_n)-\vec x_i(t_{n-1})+\vec a_i(t_n)\delta t^2.
$$
## Comment remplir un arbre depuis une matrice?
## Force de gravitation
* $\vec a_i(t_n)=\vec F_i/m_i$.
* Sur l'étoile $i$, la force résultante est donnée par
$$
\vec F_i=\sum_{j=1,j\neq i}^N \vec F_{ij}.
$$
avec
$$
\vec F_{ij}=\frac{G m_i m_j(\vec x_j-\vec x_i)}{||\vec x_j-\vec x_i||^3}.
$$
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Pseudo-code: structure de données
```C
struct étoile
flottant m
vec x, x_precedent, f
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
## Pseudo-code: itération temporelle
```C
rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
pour étoile_une dans étoiles
étoile_une.f = 0
pour étoile_deux dans étoiles
si (étoile_un != étoile_deux)
étoile_une.f +=
force(étoile_une, étoile_deux)
pour étoile dans étoiles
étoile.x, étoile.x_precedent =
verlet(étoile.x, étoile.x_precedent,
étoile.f / étoile.m, dt)
```
## Quel arbre cela représente?
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Complexité
* Complexité de chacune des parties?
. . .
![L'arbre correspondant](figs/quad_img_simple.svg)
* $\mathcal{O}(N^2)$, $\mathcal{O}(N)$.
## En temps CPU pour **une itération**
\footnotesize
* Si le temps pour $N=1$ est environ $1\mu s$, on a:
+--------+-------+-------+-----------+
| N | N^2 | t [s] | t [réel] |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10 | 10^2 | 1e-4 | |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^4 | 10^8 | 1e+2 | ~1min |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^6 | 10^12 | 1e+6 | ~11j |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30K ans |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^11 | 10^22 | 1e+16 | ~300M ans |
+--------+-------+-------+-----------+
* Typiquement, il y a des milliers-millions d'itérations.
* Il y a $10^{11}$ étoiles dans la galaxie.
* Houston we have a problem.
# Question
# Fonctions utiles (3/N)
## Comment faire mieux? Des idées?
* On veut transformer une ligne/colonne en feuille.
* Comment?
. . .
* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=40%}
:::: {.column width=50%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
## Illustration: le cas à 10 corps
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
![](figs/nbody_bare.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=70%}
:::: {.column width=50%}
## Trouver un algorithme
## Problématique
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* On veut calculer la force sur $1$.
* Quelle feuille?
* Plus important: quel chemin?
::::
:::
. . .
* `co -> G/D`, `li -> S/I`,
* `2 * (li / 2) + co / 2 -> 2 * 1 + 1 = 3`
* `2 * ((li % 2) / 1) + (co % 2) / 1 -> 2 * 0 + 1 = 1`
* Comment généraliser?
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_n2.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Résultat
* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
::::
:::
# Fonctions utiles (4/N)
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=40%}
:::: {.column width=50%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
## Réduction d'un groupe à un seul corps
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
![](figs/nbody_group.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=70%}
:::: {.column width=50%}
## Trouver un algorithme (prendre plusieurs exemples, 15min, matrix)
## Idée
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
* Autrement l'approximation est trop grossière.
* Comment généraliser?
::::
. . .
:::
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d > 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourn arbre
```
# Solution: l'arbre quaternaire
## Corps célestes - arbre
![](figs/nbody_qt_withtree.png)
* On omet les nœuds vides pour alléger la représentation.
* La numérotation est:
* 0: ID
* 1: SD
* 2: IG
* 3: SG
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 1
![](figs/corps1.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre1.png){width=100%}
* Quadrant ID.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Fonctions utiles (4/N)
# Exemple d'insertion
\footnotesize
::: columns
## Pseudocode
:::: {.column width=50%}
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d > 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourn arbre
```
## Insertion corps 2
## Écrire le code `C` correspondant (5min, matrix)
![](figs/corps2.png){width=100%}
```C
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre2.png){width=100%}
* Quadrant SD.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (1/N)
```
![](figs/corps3_1.png){width=100%}
# Remplir l'arbre
::::
## A partir d'une matrice (pseudo-code, 5min, matrix)?
:::: {.column width=50%}
. . .
## Arbre, niveau 1
```C
arbre matrice_à_arbre(matrice)
arbre = creer_arbre(profondeur)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
noeud.info = matrice[co][li]
retourne arbre
```
![](figs/arbre3_1.png){width=100%}
. . .
* Quadrant SD.
* La feuille est prise par 2.
## A partir d'une matrice (C, 5min, matrix)?
::::
. . .
:::
\footnotesize
# Exemple d'insertion
```C
node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
node *qt = qt_create(depth);
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
current->info = matrix[li][co];
}
}
return qt;
}
```
::: columns
:::: {.column width=50%}
<!--
Deja fait plus haut
# La profondeur?
## Insertion corps 3 (2/N)
## Comment implémenter la fonction profondeur?
![](figs/corps3_2.png){width=100%}
* Quelle signature?
::::
. . .
:::: {.column width=50%}
```C
entier profondeur(arbre)
```
## Arbre, niveau 2
* Quel pseudo-code (3min, matrix)?
![](figs/arbre3_2.png){width=100%}
. . .
* On crée un nouveau nœud.
* Deux corps dans le nœud ID.
* On crée un nouveau nœud.
```C
entier profondeur(arbre)
profondeurs = [0, 0, 0, 0];
si est_feuille(arbre)
retourne 0
sinon
pour i 0 à 3
profondeurs[i] = 1 + profondeur(arbre.enfant[i])
retourn max(p)
```
::::
# La profondeur en C?
:::
## Implémentation (5min, matrix)
# Exemple d'insertion
. . .
::: columns
```C
int max(int x, int y) {
return (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
int m = depths[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
m = max(m, depths[i]);
}
return m;
}
int depth(node *qt) {
int depths[] = {0, 0, 0, 0};
if (is_leaf(qt)) {
return 0;
} else {
depths[i] = 1 + depth(qt->child[i]);
return max_depth(depths);
}
}
``` -->
:::: {.column width=50%}
# Remplir la matrice
## Insertion corps 3 (3/N)
## A partir de l'arbre (pseudo-code, 3min, matrix)?
![](figs/corps3_3.png){width=100%}
. . .
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 3
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
* 2 va dans ID.
* 3 va dans SG.
* C'est des feuilles vides, tout va bien.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Que fait-on avec les nœuds intérieurs?
* On les utilise pour:
* stocker la masse totale;
* stocker le centre de masse.
\begin{align}
m&=m_2+m_3,\\
\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
\end{align}
## Chaque feuille contient **une étoile**
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
::::
:::
# Résumé
* Insertion du corps `c` dans le nœud `n` en partant de la racine.
* Si le nœud `n`
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`;
* est interne, on met à jour masse et centre de masse, `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant;
* est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux nœuds dans les quadrants appropriés.
## Remarque
* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
* Un nœud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
# Algorithme d'insertion
## Structure de données
```C
matrice arbre_à_matrice(arbre)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
matrice[co][li] = noeud.info
retourne arbre
struct node
etoile e // externe: pour stocker
etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
quadrant q // coordonnées du quadrant
node enfants[4]
```
. . .
## Remarque:
## A partir de l'arbre (C, 3min, matrix)?
* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
. . .
# Algorithme d'insertion
\footnotesize
## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
. . .
```C
void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co])
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
matrix[li][co] = current->info;
}
}
rien insertion_etoile(arbre, e)
si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
si (est_feuille(arbre))
si (!contient_etoile(arbre))
arbre.e = e
sinon
// on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
subdivision_arbre(arbre, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, arbre.e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
destruction(arbre.e)
sinon
maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
```
# Transformations avec un arbre quaternaire
# Utilisation de l'arbre
## A faire
* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
* Parcours de l'arbre:
* Si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
* Sinon on continue le parcours.
* Symétrie axiale (horizontale/verticale).
* Rotation quart de cercle (gauche/droite).
* Compression.
# Calcul de la force
# La symétrie verticale
## Calcul de la force sur `1`
## Que donne la symétrie verticale de
![](figs/force_1.png)
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
. . .
# Calcul de la force
```
SG=0 | SD=1
4 | 4 | 12 | 21
4 | 4 | 7 | 9
------------------
31 | 0 | 1 | 1
27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3
```
## Calcul de la force sur `1`
# La symétrie d'axe vertical
![](figs/force_2.png)
## Comment faire sur une matrice (3min, matrix)?
* Le cadrant SG contient `5` corps.
. . .
# Calcul de la force
\footnotesize
## Calcul de la force sur `1`
```C
matrice symétrie(matrice)
pour i de 0 à nb_colonnes(matrice) / 2
pour j de 0 à nb_lignes(matrice)
échanger(matrice[i][j], matrice[nb_colonnes(matrice)-1-i][j])
retourne matrice
```
![](figs/force_3.png)
# La symétrie d'axe vertical
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
## Comment faire sur un arbre?
# Calcul de la force
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
## Calcul de la force sur `1`
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 12 | 21
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 7 | 9
----------------- => ----------------
1 | 1 | 0 | 31 31 | 0 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
![](figs/force_4.png)
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
* Est-ce que `d` est assez grand?
* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
. . .
# Critère $\theta$
\footnotesize
* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
* Le domaine est assez éloigné si
```C
arbre symétrie(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[1])
échanger(arbre.enfant[2], arbre.enfant[3])
pour i de 0 à 3
symétrie(arbre.enfant[i])
retourne arbre
```
$$
\frac{s}{d}<\theta,
$$
* $\theta$ est la valeur de seuil.
* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
# La symétrie d'axe horizontal
$$
d>2s.
$$
* Trivial de faire l'axe horizontal (exercice à la maison)
# Calcul de la force
# Rotation d'un quart de cercle
## Calcul de la force sur `1`
## Comment faire sur un arbre?
![](figs/force_4.png)
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
* On descend dans l'arbre.
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
# Calcul de la force
```
## Calcul de la force sur `1`
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
![](figs/force_5.png)
. . .
* `s` est plus petit, mais....
* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
```C
rien rotation_gauche(arbre)
si !est_feuille(arbre))
échange_cyclique_gauche(arbre.enfant)
pour i de 0 à 3
rotation_gauche(arbre.enfant[i])
```
# Calcul de la force
# Rotation d'un quart de cercle
## Calcul de la force sur `1`
\footnotesize
![](figs/force_6.png)
## Comment faire sur un arbre?
* Les nœuds sont des feuilles, on calcule la force.
* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
# Algorithme pour le calcul de la force
Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
* Si le nœud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon, si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le vrai (5min, matrix)
## Continuons notre exemple précédent!
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_7.png)
* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
. . .
```C
void rotate(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
node *tmp = qt->child[2];
qt->child[2] = qt->child[0];
qt->child[0] = qt->child[1];
qt->child[1] = qt->child[3];
qt->child[3] = tmp;
for (int i=0;i < 4; i++) {
rotate(qt->child[i]);
}
}
}
```
* Et oui! $d>2s$, donc on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
# Algorithme du calcul de force
## Écrire le pseudo-code-code du calcul de la force
\footnotesize
```C
rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
si est_vide(arbre)
retourne
si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre)
&& dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
maj_force(e, arbre.e)
sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
maj_force(e, arbre.sup_etoile)
sinon
pour enfant dans enfants
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
```
slides/cours_21.md
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres quaternaires, compression et Barnes-Hut"
date: "2022-04-06"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Les B-arbres"
date: "2025-04-11"
---
# Le cours précédent
# Les B-arbres
## Questions
\Huge
Les B-arbres
* Structure de données d'un arbre quaternaire?
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```
. . .
* Dessin d'un noeud d'arbre quaternaire (avec correspondance `node`)?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((" "))-->|"child[0]"| id1(("info"));
id0-->|"child[1]"| id2(("info"));
id0-->|"child[2]"| id3(("info"));
id0-->|"child[3]"| id4(("info"));
```
# Le cours précédent
## Questions
* Comment faire la symétrie d'axe horizontal?
. . .
```C
arbre symétrie(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[2])
échanger(arbre.enfant[1], arbre.enfant[4])
pour i de 0 à 3
symétrie(arbre.enfant[i])
retourne arbre
```
# Compression sans perte (1/N)
## Idée générale
* Regrouper les pixels par valeur
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
# Les B-arbres
* Comment faire?
# Compression sans perte (2/N)
## Que devient l'arbre suivant?
![](figs/quad_img_simple.svg)
. . .
## Arbre compressé
![](figs/quad_img_simple_comp.svg)
## Problématique
# Compression sans perte (3/N)
* Grands jeux de données (en 1970).
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre ne tient pas en mémoire.
* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
* Si un noeud a tous ses enfants égaux:
* Donner la valeur au noeud,
* Supprimer les enfants.
* Remonter jusqu'à la racine.
## Exemple
## Écrire le pseudo-code (5min, matrix)
* 100 nœuds par page et l'arbre comporte $10^6$ nœuds:
* Recherche B-arbre: $\log_{100}(10^6)=3$;
* Recherche ABR: $\log_2(10^6)=20$.
* Si on doit lire depuis le disque: $10\mathrm{ms}$ par recherche+lecture:
* $30\mathrm{ms}$ (lecture beaucoup plus rapide que recherche) vs $200\mathrm{ms}=0.2\mathrm{s}$.
. . .
## Remarques
```C
rien compression_sans_pertes(arbre)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_sans_pertes(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
valeur, toutes_égales = valeur_enfants(arbre)
si toutes_egales
arbre.info = valeur
detruire_enfants(arbre)
```
* On ne sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* Variante plus récente B+-arbres.
# Compression sans perte (4/N)
# Les B-arbres
\footnotesize
## Illustration, arbre divisé en pages de 3 nœuds
## Écrire le code C (5min, matrix)
![Arbre divisé en pages de 3 nœuds](figs/barbres_page3.png)
. . .
```C
void lossless_compression(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
for (int i = 0; i < CHILDREN; i++) {
lossless_compression(qt->child[i]);
}
if (is_last_branch(qt)) {
int val = -1;
if (last_value(qt, &val)) {
qt->info = val;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
free(qt->child[i]);
qt->child[i] = NULL;
}
}
}
}
}
```
# Compression sans perte (5/N)
\footnotesize
```C
bool is_last_branch(node *qt) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
if (!is_leaf(qt)) {
return false;
}
}
return true;
}
bool last_value(node *qt, int *val) {
int info = qt->child[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
if (info != qt->child[i]) {
return false;
}
}
*val = info;
return true;
}
```
# Compression avec perte (1/N)
## Idée générale
* Regrouper les pixels par valeur sous certaines conditions
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 3 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => ------------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
2 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
# Compression avec perte (2/N)
## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
![](figs/quad_img_simple_variation.svg)
. . .
## Utilisation
## Arbre compressé
* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
* Systèmes de fichiers.
![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)
# Les B-arbres
# Compression avec perte (3/N)
## Avantages
## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
* Arbres moins profonds;
* Diminution des opérations de rééquilibrage;
* Complexité toujours en $\log(N)$;
. . .
* Avec l'écart-type
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
\begin{equation*}
\mu = \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{3} p[i],\quad \sigma = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=0}^3 (\mu-p[i])
^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^3p[i]^2\right)-\mu^2}
\end{equation*}
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
* $0$ descendants;
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
## Que devient l'algorithme?
# Les B-arbres
. . .
* Si $\sigma<\theta$, $\theta$ est la **tolérance**:
* Remplacer la valeur du pixel par la moyenne des enfants.
* Remonter les valeurs dans l'arbre.
## Est-ce un B-arbre?
## Quelle influence de la valeur de $\theta$ sur la compression?
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
## Oui!
# Compression avec perte (4/N)
* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ nœuds: check;
* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
# Les B-arbres
![L'arbre original.](figs/quad_img_simple_variation.svg)
## Exemple de recherche: trouver `32`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)
# Compression avec perte (6/N)
* Si `C` plus petit que la 1ère clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver où descendre entre 2 éléments.
## Modifications sur la structure de données?
# Les B-arbres
. . .
## Algorithme de recherche de la clé `C`
* On stocke la moyenne, et la moyenne des carrés.
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si `C` est dans la page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C < clé(page)` passer à la clé suivante
* Si `C` est dans la page, retourner la page;
* Sinon descendre
```C
struct noeud
flottant moyenne, moyenne_carre
node enfants[4]
```
# Les B-arbres
* Comment on calcule `moyenne` et `moyenne_carre` sur chaque noeud (pseudo-code)?
## Disclaimer
# Calcul de la moyenne
* Inspiration de <https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree>
## Pseudo-code (5min, matrix)
## Exemples d'insertion: `1`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_1.svg)
. . .
```C
rien moyenne(arbre) {
si !est_feuille(arbre)
pour enfant dans arbre.enfants
moyenne(enfant)
pour enfant dans arbre.enfants
arbre.moyenne += enfant.moyenne
arbre.moyenne_carre += enfant.moyenne_carre
arbre.moyenne /= 4
arbre.moyenne_carre /= 4
```
# La compression avec pertes
* L'arbre est vide, on insère juste dans la première page.
\footnotesize
# Les B-arbres
## Pseudo-code (5min, matrix)
## Exemples d'insertion: `2`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_2.svg)
. . .
```C
rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_avec_pertes(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
si racine(arbre.moyenne_carre - arbre.moyenne^2) < theta
detruire_enfants(arbre)
```
## Le code en entier
```C
arbre = matrice_à_arbre(matrice)
moyenne(arbre)
compression_sans_pertes(arbre)
```
# La dynamique des corps célestes
## Slides très fortement inspirés du cours de J. Latt, Unige
* La première page n'est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
## Simulation du problème à $N$-corps
# Les B-arbres
* Prédiction du mouvement d'un grand nombre de corps célestes.
* Modélisation:
* On se limite aux étoiles;
* Chaque étoile est caractérisée par un point (coordonnées) et une masse;
* On simule en deux dimensions.
* Interactions uniquement par les lois de la gravitation Newtonienne (oui-oui c'est de la **physique**!).
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_2.svg){width=50%}
# Les équations du mouvement
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
## Mouvement de la $i$-ème étoile
# Les B-arbres
* Algorithme de Verlet ($t_{n+1}=t_n+\delta t$)
$$
\vec x_i(t_{n+1})= 2\vec x_i(t_n)-\vec x_i(t_{n-1})+\vec a_i(t_n)\delta t^2.
$$
## Force de gravitation
* $\vec a_i(t_n)=\vec F_i/m_i$.
* Sur l'étoile $i$, la force résultante est donnée par
$$
\vec F_i=\sum_{j=1,j\neq i}^N \vec F_{ij}.
$$
avec
$$
\vec F_{ij}=\frac{G m_i m_j(\vec x_j-\vec x_i)}{||\vec x_j-\vec x_i||^3}.
$$
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Pseudo-code: structure de données
```C
struct étoile
flottant m
vec x, x_precedent, f
```
## Pseudo-code: itération temporelle
```C
rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
pour étoile_une dans étoiles
étoile_une.f = 0
pour étoile_deux dans étoiles
si (étoile_un != étoile_deux)
étoile_une.f +=
force(étoile_une, étoile_deux)
pour étoile dans étoiles
étoile.x, étoile.x_precedent =
verlet(étoile.x, étoile.x_precedent,
étoile.f / étoile.m, dt)
```
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Complexité
* Complexité de chacune des parties?
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
. . .
* $\mathcal{O}(N^2)$, $\mathcal{O}(N)$.
## En temps CPU pour **une itération**
\footnotesize
* La page est pleine, on crée deux enfants.
* On choisit, `2`, la médiane de `1, 2, 3` et il est inséré à la racine.
* `1` descend à gauche, `3` descend à droite.
* Si temps pour $N=1$ on calcule en $1\mu s$:
# Les B-arbres
+--------+-------+-------+-----------+
| N | N^2 | t [s] | t [réel] |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10 | 10^2 | 1e-4 | |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^4 | 10^8 | 1e+2 | ~1min |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^6 | 10^12 | 1e+6 | ~11j |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30k ans |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^11 | 10^22 | 1e+16 | ~300M ans |
+--------+-------+-------+-----------+
## Exemples d'insertion: `4`
* Typiquement il y a des milliers-millions d'itérations.
* Il y a $10^{11}$ étoiles dans la galaxie.
* Houston we have a problem.
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Question
# Les B-arbres
## Comment faire mieux, des idées?
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre enfants 0 ou 2.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
. . .
* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_bare.png){width=60%}
* On pourrait insérer à droite de `2`, mais... ça ferait 2 parents pour 2 enfants (mais `m` parents => `m+1` enfants ou `0`);
* On descend à droite (`4 > 2`);
* On insère à droite de `3`.
::::
# Les B-arbres
:::: {.column width=50%}
## Exemples d'insertion: `5`
## Problématique
* On veut calculer la force sur $1$.
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
::::
# Les B-arbres
:::
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg)
. . .
* On descend à droite (on ne peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
* On crée un nouveau nœud à droite de `4`;
* La règle `m => m+1` est ok.
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_n2.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Résultat
* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
::::
:::
# Le cas à 10 corps
# Les B-arbres
::: columns
## Exemples d'insertion: `6`
:::: {.column width=50%}
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
## Réduction d'un groupe à un seul corps
# Les B-arbres
![](figs/nbody_group.png){width=100%}
## Exemples d'insertion: `6`
::::
:::: {.column width=50%}
## Idée
* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
* Autrement l'approximation est trop grossière.
::::
:::
# Solution: l'arbre quaternaire
## Corps célestes - arbre
![](figs/nbody_qt_withtree.png)
* On omet les noeuds vides pour éviter la surcharge.
* La numérotation est:
* 0: ID
* 1: SD
* 2: IG
* 3: SG
# Exemple d'insertion
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg)
. . .
::: columns
* `6 > 4` on descend à droite;
* `6 > 5` et on a à la place à droite, on insère.
:::: {.column width=50%}
# Les B-arbres
## Insertion corps 1
## Exemples d'insertion: `7`
![](figs/corps1.png){width=100%}
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
::::
# Les B-arbres
:::: {.column width=50%}
## Exemples d'insertion: `7`
## Arbre, niveau 1
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
. . .
![](figs/arbre1.png){width=100%}
* `7 > 4` on descend à droite;
* `7 > 6` mais on a dépassé la capacité;
* `6` est la médiane de `5, 6, 7`, remonte à la racine;
* `5` reste à gauche, `7` à droite, mais `6` fait dépasser la capacité de la racine;
* `4` est la médiane de `2, 4, 6`, `4` remonte, `2` reste à gauche, `6` à droite.
* Quadrant ID.
* La feuille est vide, on insère.
# Les B-arbres
::::
## L'algorithme d'insertion
:::
0. Rechercher la feuille (la page n'a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
# Exemple d'insertion
# Les B-arbres
::: columns
## Exercice: insérer `22, 45, 50` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
:::: {.column width=50%}
![](figs/barbres_ex1.png)
## Insertion corps 2
. . .
![](figs/corps2.png){width=100%}
![](figs/barbres_ex2.png)
::::
:::: {.column width=50%}
# Les B-arbres
## Arbre, niveau 1
## Exercice: insérer `5` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/arbre2.png){width=100%}
![](figs/barbres_ex2.png)
* Quadrant SD.
* La feuille est vide, on insère.
. . .
::::
![](figs/barbres_ex3.png)
:::
# Les B-arbres
# Exemple d'insertion
## Exercice: insérer `32, 55, 60` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
::: columns
![](figs/barbres_ex3.png)
:::: {.column width=50%}
. . .
## Insertion corps 3 (1/N)
![](figs/barbres_ex4.png)
![](figs/corps3_1.png){width=100%}
# Les B-arbres
::::
## Exercice: insérer `41` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
:::: {.column width=50%}
![](figs/barbres_ex4.png)
## Arbre, niveau 1
. . .
![](figs/arbre3_1.png){width=100%}
![](figs/barbres_ex5.png)
* Quadrant SD.
* La feuille est prise par 2.
# Les B-arbres
::::
## Exercice (matrix, 15min)
:::
* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
* Dans un B-arbre d'ordre 2.
# Exemple d'insertion
# Les B-arbres
::: columns
\footnotesize
:::: {.column width=50%}
## Structure de données
## Insertion corps 3 (2/N)
* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un nœud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
![](figs/corps3_2.png){width=100%}
```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
```
::::
* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?
:::: {.column width=50%}
# Les B-arbres
## Arbre, niveau 2
## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
![](figs/arbre3_2.png){width=100%}
. . .
* On crée un nouveau noeud.
* Deux corps dans le noeud ID.
* On crée un nouveau noeud.
![Structure d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
::::
1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
:::
# Les B-arbres
# Exemple d'insertion
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?
::: columns
![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}
:::: {.column width=50%}
. . .
## Insertion corps 3 (3/N)
## Solution
![](figs/corps3_3.png){width=100%}
![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
::::
# Les B-arbres
:::: {.column width=50%}
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`
## Arbre, niveau 3
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
# Les B-arbres
* 2 va dans ID.
* 3 va dans SG.
* C'est des feuilles vides, tout va bien.
## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?
::::
![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}
:::
. . .
# Exemple d'insertion
## Solution
::: columns
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
:::: {.column width=50%}
# Les B-arbres
## Que fait-on avec les noeuds intérieurs?
## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?
* On les utilise pour:
* stocker la masse totale;
* stocker le centre de masse.
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
\begin{align}
m&=m_2+m_3,\\
\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
\end{align}
. . .
## Chaque feuille contient **une étoile**
## Solution
::::
![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
:::: {.column width=50%}
# Les B-arbres
## Arbre
## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page est pleine:
* On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
* On crée une nouvelle page de droite;
* On copie les valeurs à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On promeut `M` dans la page du dessus;
* On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
::::
# Les B-arbres
:::
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
# Résumé
. . .
* Insertion du corps `c` dans le noeud `n` en partant de la racine.
* Si le noeud `n`
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
* est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
* est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux noeuds dans les quadrants appropriés.
```C
struct page
entier ordre, nb
element tab[2*ordre + 2]
```
## Remarque
```C
struct element
entier clé
page pg
```
* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
* Un noeud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
# Les B-arbres
# Algorithme d'insertion
\footnotesize
## Structure de données
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
struct node
etoile e // externe: pour stocker
etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
quadrant q // coordonnées du quadrant
node enfants[4]
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
```
## Remarque:
. . .
* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
```C
booléen est_feuille(page)
retourne (page.tab[0].pg == vide)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
booléen est_dans_page(page, valeur)
i = position(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```
# Algorithme d'insertion
# Les B-arbres
\footnotesize
## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
page nouvelle_page(ordre) // créer une page
rien liberer_memoire(page) // libérer tout un arbre!
```
. . .
```C
rien insertion_etoile(arbre, e)
si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
si (est_feuille(arbre))
si (!contient_etoile(arbre))
arbre.e = e
sinon
// on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
subdivision_arbre(arbre, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, arbre.e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
destruction(arbre.e)
sinon
maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
page nouvelle_page(ordre)
page = allouer(page)
page.ordre = ordre
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Utilisation de l'arbre
* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
* Parcours de l'arbre:
* si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
* sinon, on continue le parcours
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_1.png)
* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_2.png)
* Le cadrant SG ne contient `5` corps.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_3.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
* Est-ce que `d` est assez grand?
* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
# Critère $\theta$
* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
* Le domain est assez éloigné si
$$
\frac{s}{d}<\theta,
$$
* $\theta$ est la valeur de seuil.
* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
$$
d>2s.
$$
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
# Les B-arbres
* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
* ON descend dans l'arbre.
## Les fonctions (5min matrix)
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_5.png)
* `s` est plus petit, mais....
* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_6.png)
* Les noeuds sont des feuilles, on calcule la force.
* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
# Algorithme pour le calcul de la force
Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
* Si le noeud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
## Cotinuous notre exemple précédent!
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_7.png)
* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
// la valeur ou vide
```
. . .
* Et oui! $d>2s$ on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
# Algorithme du calcul de force
## Écrire le psuedo-code du calcul de la force
\footnotesize
```C
rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
si est_vide(arbre)
retourne
si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
maj_force(e, arbre.e)
sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
maj_force(e, arbre.sup_etoile)
page recherche(page, valeur)
si est_dans_page(page, valeur)
retourne page
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
pour enfant dans enfants
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1], valeur)
```
slides/cours_22.md
View file @ febfc3f8
---
title: "B-Arbres"
date: "2022-04-13"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Les B-arbres"
date: "2025-05-09"
---
# Les B-arbres
## Problématique
* Grands jeux de données (en 1970).
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre tiens pas en mémoire.
* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
## Exemple
* 100 noeuds par page et l'arbre comporte $10^6$ noeuds:
* Recherche B-arbre: $\log_{100}(10^6)=3$;
* Recherche ABR: $\log_2(10^6)=20$.
* Si on doit lire depuis le disque: $10\mathrm{ms}$ par recherche+lecture:
* $30\mathrm{ms}$ (lecture beaucoup plus rapide que recherche) vs $200\mathrm{ms}=0.2\mathrm{s}$.
## Remarques
* On sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* Variante plus récente B+-arbres.
# Les B-arbres
## Illustration, arbre divisé en pages de 3 noeuds
![Arbre divisé en pages de 3 noeuds](figs/barbres_page3.png)
. . .
## Utilisation
# Les B-arbres (rappel)
* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
* Système de fichier.
# Les B-arbres
## Avantages
* Arbres moins profonds;
* Diminue les opération de rééquilibrage;
* Complexité toujours en $\log(N)$;
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
. . .
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
......@@ -68,7 +16,7 @@ patat:
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Est-ce un B-arbre?
......@@ -76,253 +24,24 @@ patat:
. . .
## Oui!
* Dans chaque noeud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ noeuds: check;
* Chaque noeud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Exemple de recherche: trouver `32`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
# Les B-arbres
## La recherche de la clé `C` algorithme
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si la `C` est dans une page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C > page` passer à la page suivante
* Descendre
# Les B-arbres
## Disclaimer
* Inspiration de <https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree>
## Exemples d'insertion: `1`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_1.svg)
. . .
* L'arbre est vide, on insère juste dans la première page.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `2`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_2.svg)
. . .
* La première page est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_2.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
. . .
* La page est pleine, on crée deux enfants.
* On choisit, `2`, la médiane de `1, 2, 3` et il est inséré à la racine.
* `1` descend à gauche, `3` descend à droite.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
### Bien sûr!
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres (rappel)
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre enfants 0 ou 2.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
. . .
* On pourrait insérer à droite de `2`, mais... ça ferait 2 parents pour 2 enfants (mais `m` parents => `m+1` enfants ou `0`);
* On descend à droite (`4 > 2`);
* On insère à droite de `3`.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_5.svg)
. . .
* On descend à droite (on peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
* On crée un nouveau noeud à droite de `4`;
* La règle `m => m+1` est ok.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_6.svg)
. . .
* `6 > 4` on descend à droite;
* `6 > 5` et on a à la place à droite, on insère.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
## L'algorithme d'insertion
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
. . .
* `7 > 4` on descend à droite;
* `7 > 6` mais on a dépassé la capacité;
* `6` est la médiane de `5, 6, 7`, remonte à la racine;
* `5` reste à gauche, `7` à droite, mais `6` fait dépasser la capacité de la racine;
* `4` est la médiane de `2, 4, 6`, `4` remonte, `2` reste à gauche, `6` à droite.
# Les B-arbres
## L'algorithme d'insertion
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
1. Si la page n'est pas pleine, insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `22, 45, 50` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex1.png)
. . .
![](figs/barbres_ex2.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `5` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex2.png)
. . .
![](figs/barbres_ex3.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `32, 55, 60` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex3.png)
. . .
![](figs/barbres_ex4.png)
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Exercice: insérer `41` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex4.png)
. . .
![](figs/barbres_ex5.png)
# Les B-arbres
## Exercice (matrix, 15min)
* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
* Dans un B-arbre d'ordre 2.
# Les B-arbres
## Structure de données
* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un noeud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | | P_i | K_{i+1} | | P_{m-1} | K_m | P_m
```
* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?
# Les B-arbres
## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
. . .
![Strcture d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud pas plein, insertion `4`?
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?
![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}
......@@ -332,17 +51,17 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | | P_i | K_{i+1} | | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas noeud pas plein, insertion `N`
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
* Comme la page ne déborde pas, on a terminé.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas noeud plein, insertion `2`?
## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?
![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}
......@@ -352,9 +71,9 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | | P_i | K_{i+1} | | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas noeud plein, promotion `3`?
## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
......@@ -364,22 +83,22 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | | P_i | K_{i+1} | | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas noeud plein, insertion `N`
## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On décale les éléments plus grands que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page est pleine:
* On trouve la valent médiance `M` de la page (quel indice?);
* On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
* On crée une nouvelle page de droite;
* On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On copie les valeurs à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On promeut `M` dans la page du dessus;
* On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
## Pseudo-code structure de données
. . .
......@@ -391,20 +110,20 @@ struct page
```C
struct element
int clé
entier clé
page pg
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
booléen est_feuille(page) // la page est-elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice insère-t-on?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est-elle dans la page?
```
. . .
......@@ -415,7 +134,7 @@ booléen est_feuille(page)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && val >= page.tab[i+1].clef
tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
......@@ -424,15 +143,14 @@ booléen est_dans_page(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
## Les fonctions utilitaires
```C
page nouvelle_page(ordre) // creer une page
rien liberer_memoire(page) // liberer tout un arbre!
page nouvelle_page(ordre) // créer une page
```
. . .
......@@ -443,21 +161,11 @@ page nouvelle_page(ordre)
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Les fonctions (5min matrix)
## Recherche de page
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
......@@ -473,15 +181,16 @@ page recherche(page, valeur)
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
recherche(page.tab[position(page, valeur)], valeur)
recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1],
valeur)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (nouveautés)
## Les fonctions
```C
page inserer_valeur(page, valeur) // inserer une valeur
page inserer_valeur(page, valeur) // insérer une valeur
```
. . .
......@@ -489,7 +198,8 @@ page inserer_valeur(page, valeur) // inserer une valeur
```C
page inserer_valeur(page, valeur)
element = nouvel_element(valeur)
// on change element pour savoir s'il faut le remonter
// ici élément est modifié pour savoir
// s'il faut le remonter
inserer_element(page, element)
si element.page != vide && page.nb > 2*page.ordre
// si on atteint le sommet!
......@@ -502,7 +212,8 @@ page inserer_valeur(page, valeur)
## Les fonctions
```C
rien inserer_element(page, element) // inserer un element et voir s'il remonte
rien inserer_element(page, element) // insérer un element
// et voir s'il remonte
```
. . .
......@@ -512,7 +223,8 @@ rien inserer_element(page, element)
si est_feuille(page)
placer(page, element)
sinon
sous_page = page.tab[position(page, element)].page
sous_page =
page.tab[position(page, element.clé) - 1].page
inserer_element(sous_page, element)
// un element a été promu
si element.page != vide
......@@ -524,7 +236,7 @@ rien inserer_element(page, element)
## Les fonctions (5min matrix)
```C
rien placer(page, element) // inserer un élément
rien placer(page, element) // inserer un element
```
. . .
......@@ -552,12 +264,12 @@ rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
```C
rien scinder(page, element)
new_page = new_page(page.ordre)
new_page.nb = page.ordre
nouvelle_page = nouvelle_page(page.ordre)
nouvelle_page.nb = page.ordre
pour i de 0 à ordre inclu
new_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
nouvelle_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
element.clé = page.tab[ordre+1].clé
element.page = new_page
element.page = nouvelle_page
```
# Les B-arbres
......@@ -565,8 +277,9 @@ rien scinder(page, element)
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la racine...
// on doit créer une nouvelle racine
page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la
// racine, on doit créer
// une nouvelle racine
```
. . .
......@@ -581,6 +294,9 @@ page ajouter_niveau(page, element)
```
<!-- # Les B-arbres -->
<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
......@@ -600,3 +316,134 @@ page ajouter_niveau(page, element)
<!-- struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
# Les B-arbres: suppression
## Cas simplissime
![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}
. . .
![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas simple
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=50%}
. . .
* On retire 27, mais....
* Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
* On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?
. . .
![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas moins simple
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=50%}
. . .
* Un élément à droite, comment on fait?
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... ce n'est pas forcément le cas.
* On redistribue les feuilles.
. . .
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=50%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas ultra moins simple
![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}
. . .
* `7` seul:
* Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?
. . .
![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas ultra moins simple
![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
. . .
* `8` est seul, ce n'est plus un B-arbre :
* Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
. . .
![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}
. . .
* La profondeur a diminué de 1.
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une feuille:
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille, on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?
. . .
![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
* Ensuite?
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!
. . .
![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les non-feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche.
* On supprime comme pour une feuille!
## Et maintenant des exercices par millions!