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slides_2021/cours_16.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres et tri par tas"
date: "2022-03-02"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Un joli site
## Visualisation d'algorithmes
* <https://visualgo.net/>
* Allons nous rafraîchir la mémoire sur l'insertion / recherche dans un arbre
binaire.
# Pseudocode d'insertion (1/2)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout du fils dans l'arbre.
## Recherche du parent
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudocode d'insertion (2/2)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils
```
ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = noeud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = noeud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = noeud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C (1/2)
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
}
}
return current;
}
```
# Code d'insertion en C (2/2)
## Ajout du fils (ensemble)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le noeud ajouté (ou `NULL`)
. . .
```C
tree_t add_key(tree_t *tree, key_t key) {
node_t *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node)); // nouveauté!
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
tree_t subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# Une nouvelle corde à votre arc!
\footnotesize
```C
void *calloc(size_t nmemb, size_t size); // man 3 calloc
```
```
$ man 3 calloc
The calloc() function allocates memory for an array of nmemb elements
of size bytes each and returns a pointer to the allocated memory.
The memory is set to zero. If nmemb or size is 0, then calloc() re‐
turns either NULL, or a unique pointer value that can later be suc‐
cessfully passed to free(). If the multiplication of nmemb and size
would result in integer overflow, then calloc() returns an error. By
contrast, an integer overflow would not be detected in the following
call to malloc(), with the result that an incorrectly sized block of
memory would be allocated:
malloc(nmemb * size);
```
# La suppression de clé
. . .
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le noeud est absent,
* le noeud est une feuille
* le noeuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
::::
:::: column
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le noeud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le noeud à supprimer à (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10 il se passe quoi?
* On peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution bon sang!
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou
...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le noeud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuill)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
arbre parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
. . .
```
arbre insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne noeud(clé)
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
bool recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
# Lien entre arbre et tableau
* La racine de l'arbre set le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un noeud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du noeud $i=0$, sont à $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du noeud $i=1$, sont à $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du noeud $i=2$, sont à $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du noeud $i=3$, sont à $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du noeud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du noeud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
# Visuellement
::: columns
:::: column
* Où vont les indices correspondant du tableau?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
* Les flèche de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèche de droite à gauche, enfants -> parent.
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
::::
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassée" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
. . .
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
```
::: columns
:::: column
* Quel est l'arbre que cela représente?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((7));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `7`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (3/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (4/N)
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (5/N)
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
* L'arbre est un tas.
# Exemple de tri par tas (6/N)
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
::::
:::
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
# Exemple de tri par tas (7/N)
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (8/N)
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
::::
:::
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/N)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/N)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
::::
:::
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/N)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (12/N)
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
```
::::
:::
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (13/N)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
::::
:::
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exercice (10min)
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
slides_2021/cours_17.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Tri par tas et arbres AVL"
date: "2022-03-09"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Questions sur les notions du dernier cours
* Comment représenter un tableau sous forme d'arbre binaire?
. . .
* Qu'est-ce qu'un tas?
# Exemple de tri par tas (1/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
```
::: columns
:::: column
* Quel est l'arbre que cela représente?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((7));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `4`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (3/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (4/N)
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (5/N)
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
* L'arbre est un tas.
# Exemple de tri par tas (6/N)
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
::::
:::
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
# Exemple de tri par tas (7/N)
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (8/N)
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
::::
:::
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/N)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/N)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
::::
:::
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/N)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (12/N)
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
```
::::
:::
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (13/N)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
::::
:::
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exercice (10min)
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# L'algorithme du tri par tas (1/4)
\footnotesize
## Deux étapes
1. Entassement (tamisage): transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (5 min, matrix)
. . .
```
tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i = size(tab)-1 à 2
promotion(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
entassement(tab)
pour i = size(tab) / 2 - 1 jusqu'à 0
promotion(tab, i)
promotion(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
promotion(tab, ind_max)
```
# L'algorithme du tri par tas (2/4)
* Fonctions utilitaires
```
int ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si tab[ind_max] < tab[l]
ind_max = l
si tab[ind_mx] < tab[r]
ind_max = r
retourne ind_max
int gauche(i)
retourne 2 * i + 1
int droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
# L'algorithme du tri par tas (3/4)
\footnotesize
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
. . .
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
## Fonctions utilitaires
. . .
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
```
# Complexités
::: columns
:::: column
## Complexité de la recherche
1. En moyenne?
2. Dans le pire des cas?
. . .
1. $O(\log_2(N))$
2. $O(N)$
::::
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((9));
id0-->id8(( ));
id1-->id2((7));
id1-->id9(( ));
id2-->id3((6));
id2-->id10(( ));
id3-->id4((5));
id3-->id11(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Un meilleur arbre
* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour être $O(\log_2(N))$?
. . .
* Si on a environ le même nombre de noeuds dans les sous-arbres.
## Définition
Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
arbres gauche et droit vaut au plus 1.
* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
. . .
* $O(\log_2(N))$.
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((W))-->id1((B));
id0-->id8((Y));
id1-->id2((A));
id1-->id9(( ));
id8-->id10((X));
id8-->id11(( ));
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id1-->id3((8));
id1-->id4((12));
id4-->id5((11));
id4-->id6(( ));
id2-->id7((17));
id2-->id8(( ));
id7-->id9(( ));
id7-->id10((18));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
# Arbres AVL
* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
. . .
* A l'insertion/suppression.
* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
nombre de neouds:
* La hauteur $\sim\log_2(N)$.
## Définition
Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
* Relation entre noeuds et hauteur:
$$
\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
$$
* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
# Notation
* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
. . .
* `fe = {-1, 0, 1}`
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
```
::::
:::: column
. . .
```
A
V
L
```
::::
:::
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id4-->id5((37));
id4-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
A
V
L
```
::::
:::
slides_2021/cours_18.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres AVL"
date: "2022-03-16"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Questions sur les notions du dernier cours
* Qu'est-ce qu'un arbre AVL?
. . .
* Un arbre binaire qui a la propriété suivante:
* La différence de hauteur de chaque noeud est d'au plus 1.
* Tous les noeuds ont `fe = hd - hg = {-1, 0, 1}`.
* Pourquoi utiliser un arbre AVL plutôt qu'un arbre binaire de recherche?
. . .
* Insertion/recherche/... toujours en $O(\log_2(N))$.
# AVL ou pas?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((21))-->id1((9));
id0-->id2((40));
id1-->id3((5));
id1-->id4((10));
id3-->id5((3));
id3-->id6((7))
id6-->id7((6))
id6-->id8(( ))
id2-->id9((33))
id2-->id10((61))
id9-->id11((22))
id9-->id12((39))
id10-->id13(( ))
id10-->id14((81))
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
. . .
* Ajouter un noeud pour qu'il le soit plus.
# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
```
::::
:::: column
. . .
* `hd = hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id4(( ));
id1-->id5((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
* `fe = -1`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (2/N)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
* `hd < hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
id1-->id5(( ));
id1-->id6((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
```
* `fe = 0`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id3(( ));
id1-->id4((6));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
* `hd > hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id3(( ));
id1-->id4((6));
id4-->id5((4));
id4-->id6(( ));
id2-->id7(( ));
id2-->id8(( ));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
**Déséquilibre!** Que vaut `fe`?
. . .
* `fe = 2`
# Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 1a
* `u`, `v`, `w` même hauteur.
* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 1a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
::::
:::
# Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 1b (symétrique 1a)
![Après insertion](figs/cas1b_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 1b (symétrique 1a)
* Comment rééquilibrer?
. . .
![Après équilibrage](figs/cas1b_droite.png)
::::
:::
# Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 2a
* `v1`, `v2`, `u`, `w` même hauteur.
* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 2a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* ramène `u`, `v1`, `v2`, `w` à la même hauteur.
* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
::::
:::
# Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 2b (symétrique 2a)
![Après insertion](figs/cas2b_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 2b (symétrique 2a)
* Comment rééquilibrer?
. . .
![Après équilibrage](figs/cas2b_droite.png)
::::
:::
# Le facteur d'équilibre (balance factor)
## Définition
```
fe(arbre) = hauteur(droite(arbre)) - hauteur(gauche(arbre))
```
## Valeurs possibles?
. . .
```
fe = {-1, 0, 1} // arbre AVL
fe = {-2, 2} // arbre déséquilibré
```
![Illustration du `fe`](figs/facteur_equilibre.png){width=40%}
# Algorithme d'insertion
* Insérer le noeud comme d'habitude.
* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
noeud déséquilibré).
* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
## Cas possibles
::: columns
:::: column
## Sous-arbre gauche (avant)
```
fe(P) = 1
fe(P) = 0
fe(P) = -1
```
::::
:::: column
## Sous-arbre gauche (après)
. . .
```
=> fe(P) = 0
=> fe(P) = -1
=> fe(P) = -2 // Rééquilibrer P
```
::::
:::
# Algorithme d'insertion
* Insérer le noeud comme d'habitude.
* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
noeud déséquilibré).
* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
## Cas possibles
::: columns
:::: column
## Sous-arbre droit (avant)
```
fe(P) = 1
fe(P) = 0
fe(P) = -1
```
::::
:::: column
## Sous-arbre droit (après)
. . .
```
=> fe(P) = 0
=> fe(P) = +1
=> fe(P) = +2 // Rééquilibrer P
```
::::
:::
# Rééquilibrage
## Lien avec les cas vus plus tôt
```
fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = -1 => cas 1a
fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = +1 => cas 2a
fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = -1 => cas 2b
fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = +1 => cas 1b
```
## Dessiner les différents cas, sur le dessin ci-dessous
![On verra un peu après les rotations.](figs/rotation_gauche_droite.png)
# La rotation
## La rotation gauche (5min, matrix)
![L'arbre de droite devient celui de gauche. Comment?](figs/rotation_gauche_droite.png)
. . .
\footnotesize
```
arbre rotation_gauche(arbre P)
si est_non_vide(P)
Q = droite(P)
droite(P) = gauche(Q)
gauche(Q) = P
retourne Q
retourne P
```
# La rotation en C (1/2)
## La rotation gauche
```
arbre rotation_gauche(arbre P)
si est_non_vide(P)
Q = droite(P)
droite(P) = gauche(Q)
gauche(Q) = P
retourne Q
retourne P
```
## Écrire le code C correspondant (5min, matrix)
1. Structure de données
2. Fonction `tree_t rotation_left(tree_t tree)`
. . .
\footnotesize
```C
typedef struct _node {
int key;
struct _node *left, *right;
int bf; // balance factor
} node;
typedef node *tree_t;
```
# La rotation en C (2/2)
\footnotesize
```C
tree_t rotation_left(tree_t tree) {
tree_t subtree = NULL;
if (NULL != tree) {
subtree = tree->right;
tree->right = subtree->left;
subtree->left = tree;
}
return subtree;
}
```
. . .
* Et la rotation à droite (5min)?
. . .
```C
tree_t rotation_right(tree_t tree) {
tree_t subtree = NULL;
if (NULL != tree) {
subtree = tree->left;
tree->left = subtree->right;
subtree->right = tree;
}
return subtree;
}
```
# Exemple de rotation (1/2)
## Insertion de 9?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((1));
id0-->id2((6));
id2-->id3(( ));
id2-->id4((8));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
```
# Exemple de rotation (2/2)
::: columns
:::: column
## Quelle rotation et sur quel noeud (5 ou 6)?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((1));
id0-->id2((6));
id2-->id3(( ));
id2-->id4((8));
id4-->id5(( ));
id4-->id6((9));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Sur le plus jeune évidemment!
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id2-->id3((6));
id2-->id4((9));
```
::::
:::
* Cas `1a/b` *check*!
# La rotation gauche-droite
## Là c'est plus difficile (cas 2a/b)
![La double rotation de l'enfer.](figs/double_rotation_gauche_droite.png)
# Exercices
## Faire l'implémentation de la double rotation (pas corrigé, 5min)
# Exercices
::: columns
:::: column
## Insérer 50, ex 10min (matrix)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((89))-->id1((71));
id0-->id2((90));
id1-->id3((44));
id3-->id4((37));
id3-->id5((61));
id1-->id6((81))
id2-->id7(( ))
id2-->id8((100))
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Où se fait la rotation?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((89))-->id1((71));
id0-->id2((90));
id1-->id3((44));
id3-->id4((37));
id3-->id5((61));
id1-->id6((81))
id2-->id7(( ))
id2-->id8((100))
id5-->id9((50))
id5-->id10(( ))
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Exercices
::: columns
:::: column
## Rotation gauche en 44
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((89))-->id1((71));
id0-->id2((90));
id1-->id3((61));
id1-->id10((81));
id3-->id4((44));
id3-->id5(( ));
id4-->id6((37))
id4-->id7((50))
id2-->id8(( ))
id2-->id9((100))
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Rotation à droite en 71
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((89))-->id1((61));
id0-->id2((90));
id1-->id3((44));
id1-->id10((71));
id3-->id4((37));
id3-->id5((50));
id2-->id8(( ));
id2-->id9((100));
id10-->id11(( ))
id10-->id12((81))
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Exercice de la mort
Soit l’arbre AVL suivant:
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((60))-->id1((40));
id0-->id2((120));
id1-->id3((20));
id1-->id4((50));
id3-->id5((10));
id3-->id6((30));
id2-->id7((100));
id2-->id8((140));
id7-->id9((80))
id7-->id10((110))
id9-->id11((70))
id9-->id12((90))
id8-->id13((130))
id8-->id14((160))
id14-->id15((150))
id14-->id16((170))
```
::::
:::: column
1. Montrer les positions des insertions de feuille qui conduiront à un arbre
désequilibré.
2. Donner les facteurs d’equilibre.
3. Dessiner et expliquer les modifications de l’arbre lors de l’insertion de la
valeur `65`. On mentionnera les modifications des facteurs
d’équilibre.
::::
:::
slides_2021/cours_19.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres AVL et quadtrees"
date: "2022-03-23"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Questions sur les notions du dernier cours
## Quel est l'algorithme d'insertion dans un arbre AVL?
. . .
* Insertion comme dans un arbre binaire de recherche.
* Rééquilibrage si le facteur d'équilibre est de -2 ou +2.
## Quelles sont les briques élémentaires du rééquilibrage?
. . .
* La rotation gauche ou droite.
# Encore un petit exercice
* Insérer les nœuds suivants dans un arbre AVL
```
25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40 | 50 | 55 | 30 | 15
```
## Un à un et le/la premier/ère qui poste la bonne réponse sur matrix a un point
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((10));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11((12))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 8
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9(( ))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((14));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((12))
id2-->id10((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
1. On supprime comme d'habitude.
2. On rééquilibre si besoin à l'endroit de la suppression.
* Facile non?
. . .
* Plus dur....
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: suppression de 30
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((30));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation GD autour de 40
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((40));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4(( ));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Argl! 50 est déséquilibré!
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((20));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation DG autour de 50
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((80))-->id1((50));
id0-->id2((100));
id1-->id3((20));
id1-->id4((70));
id3-->id5((10));
id3-->id6((40));
id4-->id9((60))
id4-->id10(( ))
id2-->id7((90))
id2-->id8((200))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Résumé de la suppression
1. On supprime comme pour un arbre binaire de recherche.
2. Si un nœud est déséquilibré, on le rééquilibre.
* Cette opération pour déséquilibrer un autre nœud.
3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer.
# Les arbres quaternaires
## Définition
Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
![Un exemple de quadtree.](figs/quad_ex.svg)
# Les arbres quaternaires
## Cas d'utilisation
Typiquement utilisés pour représenter des données bidimensionnelles.
Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun).
## Cas d'utilisation: images
* Stockage: compression.
* Transformations: symétries, rotations, etc.
## Cas d'utilisation: simulation
* Indexation spatiale.
* Détection de collisions.
* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
# Exemple de compression
::: columns
:::: {.column width=30%}
## Comment représenter l'image
![Image noir/blanc.](figs/board_blacked_parts.svg)
::::
:::: {.column width=70%}
## Sous la forme d'un arbre quaternaire?
. . .
![L'arbre quaternaire correspondant.](figs/quad_img.svg)
**Économie?**
. . .
Image 64 pixels, arbre 25 neouds.
::::
:::
slides_2021/cours_2.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2021-09-29"
---
# Exercice: test si un nombre est premier
## Avec tout ce que vous avez appris la dernière fois:
* Écrivez le code testant si un nombre est premier.
* Quels sont les ajouts possibles par rapport au code de la semaine passée?
* Rencontrez-vous des problèmes éventuels de compilation?
* Voyez-vous une façon de générer des nombres premiers avec votre programme?
. . .
## Implémentez-la et postez votre code sur le salon matrix (10 min).
# Corrigé: enfin pas vraiment mais juste un possible
\footnotesize
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
int main() {
int nb = 1;
printf("Entrez un nombre: ");
scanf("%d", &nb);
bool premier = true;
for (int div = 2; div <= sqrt(nb); div++) {
if (nb % div == 0) {
premier = false;
break;
}
}
if (premier) {
printf("Le nombre %d est premier\n", nb);
} else {
printf("Le nombre %d n'est pas premier\n", nb);
}
return 0;
}
```
# Quelques algorithmes simples
## Voyons quelques algorithmes supplémentaires
- Plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres
- Autre algorithme de calcul du PPCM de deux nombres
- Plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres
# Le calcul du PPCM (1/5)
## Définition
Le plus petit commun multiple (PPCM), `p`, de deux entiers non nuls, `a` et `b`,
est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux
nombres.
Exemples:
```C
PPCM(3, 4) = 12,
PPCM(4, 6) = 12,
PPCM(5, 15) = 15.
```
. . .
## Mathématiquement
Décomposition en nombres premiers:
$$
36 = 2^2\cdot 3^2,\quad 90=2\cdot 5\cdot 3^2,
$$
On garde tous les premiers à la puissance la plus élevée
$$
PPCM(36, 90)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180.
$$
# Le calcul du PPCM (2/5)
## Exemple d'algorithme
```C
PPCM(36, 90):
36 < 90 // 36 + 36
72 < 90 // 72 + 36
108 > 90 // 90 + 90
108 < 180 // 108 + 36
144 < 180 // 144 + 36
180 = 180 // The End!
```
* 5 additions, 5 assignations, et 6 comparaisons.
. . .
## Transcrivez cet exemple en algorithme (groupe de 3), 5min
. . .
## et codez-le!
# Le calcul du PPCM (3/5)
## Tentative de correction
```C
int main() {
int m = 15, n = 12;
int mult_m = m, mult_n = n;
while (mult_m != mult_n) {
if (mult_m > mult_n) {
mult_n += n;
} else {
mult_m += m;
}
}
printf("Le ppcm de %d et %d est %d\n", n, m, mult_m);
}
```
. . .
* Combien d'additions / comparaisons au pire?
# Le calcul du PPCM (4/5)
## Réusinage: Comment décrire une fonction qui ferait ce calcul (arguments, sorties)?
. . .
En `C` on pourrait la décrire comme
```C
int ppcm(int a, int b); // La **signature** de cette fonction
```
. . .
## Algorithme
Par groupe de 3 (5-10min):
* réfléchissez à un algorithme alternatif donnant le PPCM de deux nombres;
* écrivez l'algorithme en pseudo-code.
# Le calcul du PPCM (5/5)
## Indication
Si un nombre, `p`, est multiple de `a` et de `b` alors il peut s'écrire `p = a
* i = b * j` ou encore `p / a = i` et `p / b = j`.
<!-- Si un nombre, $p$, est multiple de $a$ et de $b$ alors il peut s'écrire -->
<!-- $$ -->
<!-- p = a \cdot i = b \cdot j, -->
<!-- $$ -->
<!-- ou encore $p / a = i$ et $p / b = j$. -->
. . .
## Pseudo-code
```C
int ppcm(int a, int b) {
for (i in [1, b]) {
if a * i is divisible by b {
return a * i
}
}
}
```
# Le code du PPCM de 2 nombres (1/2)
## Implémentez le pseudo-code et postez le code sur matrix (5min).
. . .
## Un corrigé possible
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int n = 15, m = 12;
int i = 1;
while (n * i % m != 0) {
i++;
}
printf("Le ppcm de %d et %d est %d\n", n, m, n*i);
}
```
# Le code du PPCM de 2 nombres (2/2)
## Corrigé alternatif
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int res = n*m;
for (int i = 2; i <= m; i++) {
if (n * i % m == 0) {
res = n * i;
break;
}
}
printf("Le ppcm de %d et %d est %d\n", n, m, res);
}
```
# Le calcul du PGCD (1/5)
## Définition
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est le
plus grand entier qui les divise en même temps.
## Exemples:
```C
PGCD(3, 4) = 1,
PGCD(4, 6) = 2,
PGCD(5, 15) = 5.
```
. . .
## Mathématiquement
Décomposition en nombres premiers:
$$
36 = 2^2\cdot 3^2,\quad 90=2\cdot 5\cdot 3^2,
$$
On garde tous les premiers à la puissance la plus basse
$$
PGCD(36, 90)=2^{\min{1,2}}\cdot 3^{\min{2,2}}\cdot 5^{\min{0,1}}=18.
$$
# Le calcul du PGCD (2/5)
## Algorithme
Par groupe de 3 (5-10min):
* réfléchissez à un algorithme alternatif donnant le PGCD de deux nombres;
* écrivez l'algorithme en pseudo-code.
. . .
## Exemple d'algorithme
```C
PGCD(36, 90):
90 % 36 != 0 // otherwise 36 would be PGCD
90 % 35 != 0 // otherwise 35 would be PGCD
90 % 34 != 0 // otherwise 34 would be PGCD
...
90 % 19 != 0 // otherwise 19 would be PGCD
90 % 18 == 0 // The end!
```
* 18 modulos, 18 assignations, et 18 comparaisons.
# Le calcul du PGCD (3/5)
## Transcrivez cet exemple en algorithme (groupe de 3) et codez-le (5-10min)!
. . .
## Optimisation
* Combien d'additions / comparaisons au pire?
* Un moyen de le rendre plus efficace?
. . .
## Tentative de correction
```C
void main() {
int n = 90, m = 78;
int gcd = 1;
for (int div = n; div >= 2; div--) { // div = m, sqrt(n)
if (n % div == 0 && m % div == 0) {
gcd = div;
break;
}
}
printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, gcd);
}
```
# Le calcul du PGCD (4/5)
## Réusinage: l'algorithme d'Euclide
`Dividende = Diviseur * Quotient + Reste`
```C
PGCD(35, 60):
35 = 60 * 0 + 35 // 60 -> 35, 35 -> 60
60 = 35 * 1 + 25 // 35 -> 60, 25 -> 35
35 = 25 * 1 + 10 // 25 -> 35, 20 -> 25
25 = 10 * 2 + 5 // 10 -> 25, 5 -> 10
10 = 5 * 2 + 0 // PGCD = 5!
```
. . .
## Algorithme
Par groupe de 3 (5-10min):
* analysez l'exemple ci-dessus;
* transcrivez le en pseudo-code.
# Le calcul du PGCD (5/5)
## Pseudo-code
```C
int pgcd(int a, int b) {
tmp_n = n
tmp_m = m
while (tmp_m does not divide tmp_n) {
tmp = tmp_n
tmp_n = tmp_m
tmp_m = tmp modulo tmp_m
}
return tmp_m
}
```
# Le code du PGCD de 2 nombres
## Implémentez le pseudo-code et postez le code sur matrix (5min).
. . .
## Un corrigé possible
```C
#include <stdio.h>
void main() {
int n = 90;
int m = 78;
printf("n = %d et m = %d\n", n, m);
int tmp_n = n;
int tmp_m = m;
while (tmp_n%tmp_m > 0) {
int tmp = tmp_n;
tmp_n = tmp_m;
tmp_m = tmp % tmp_m;
}
printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, tmp_m);
}
```
slides_2021/cours_20.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres quaternaires et compression"
date: "2022-03-30"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Le cours précédent
## Questions
* Qu'est-ce qu'un arbre quaternaire?
. . .
* Un arbre où chaque noeud a soit **4 enfants** soit **aucun**.
* A quoi peut servir un arbre quaternaire?
. . .
* Compression
# Les arbres quaternaires
## Définition
Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
![Un exemple de quadtree.](figs/quad_ex.svg)
# Les arbres quaternaires
## Cas d'utilisation
Typiquement utilisés pour représenter des données bidimensionnelles.
Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun).
## Cas d'utilisation: images
* Stockage: compression.
* Transformations: symétries, rotations, etc.
## Cas d'utilisation: simulation
* Indexation spatiale.
* Détection de collisions.
* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
# Exemple de compression
::: columns
:::: {.column width=30%}
## Comment représenter l'image
![Image noir/blanc (0/1).](figs/board_blacked_parts.svg)
::::
:::: {.column width=70%}
## Sous la forme d'un arbre quaternaire (5min, matrix)?
. . .
![L'arbre quaternaire correspondant.](figs/quad_img.svg)
**Économie?**
. . .
Image 64 pixels, arbre 25 noeuds.
::::
:::
# Structure de données
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Pseudocode?
. . .
```python
struct node
info
node sup_gauche, sup_droit,
inf_gauche, inf_droit
```
![Un nœud d'arbre quaternaire.](figs/quad_struct.svg)
::::
:::: {.column width=50%}
## En C?
. . .
```C
struct _node {
int info;
struct _node *sup_left;
struct _node *sup_right;
struct _node *inf_left;
struct _node *inf_right;
};
```
* Pourquoi le `*` est important?
. . .
* Type récursif => taille inconnue à la compilation.
::::
:::
# Une fonctionnalité simple
\footnotesize
## La fonction `est_feuille(noeud)`
* Problème avec cette implémentation?
```pyrhon
bool est_feuille(noeud)
retourne
est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
est_vide(sup_droit(noeud)) &&
est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
est_vide(inf_droit(noeud))
```
. . .
* Inutile d'avoir 4 conditions (soit 4 enfants soit aucun!)
* Facile d'en oublier un!
* Comment changer la structure pour que ça soit moins terrible?
. . .
```python
struct node
info
node enfant[4]
```
# Structure de données
## En C?
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```
## Fonction `is_leaf(node *tree)`?
. . .
```C
bool is_leaf(node *tree) {
return (NULL == tree->child[0]); // only first matters
}
```
# Problème à résoudre
* Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
* Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds),
* Le remplir avec les valeurs des pixels.
* Compression de l'image:
* Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
* Si les pixels dévient pas trop on supprime le quadrant (avec perte)
# Fonctions utiles (1/N)
## Comment créer un arbre de profondeur `prof` (3min)?
. . .
```python
arbre creer_arbre(prof)
n = nouveau_noeud() # alloue la mémoire
si prof > 0
pour i = 0 à 3
n.enfant[i] = creer_arbre(prof-1)
retourne n
```
## En `C` (3 min, matrix)?
. . .
```C
node *qt_create(int depth) {
node *n = calloc(1, sizeof(node));
if (depth > 0) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
n->child[i] = qt_create(depth-1);
}
}
return n;
}
```
# Le nombre de noeuds?
## Comment implémenter la fonction (pseudo-code, 5min, matrix)?
. . .
```C
entier nombre_noeuds(arbre)
si est_feuille(arbre)
retourne 1
sinon
somme = 1
pour i de 0 à 3
somme += nombre_noeuds(arbre.enfant[i])
retourne somme
```
# Le nombre de noeuds?
## Comment implémenter la fonction en C (3min, matrix)?
. . .
```C
int size(node *qt) {
if (is_leaf(qt)) {
return 1;
} else {
int sum = 1;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
sum += size(qt->child[i]);
}
return sum;
}
}
```
# La profondeur en C?
## Implémentation (5min, matrix)
. . .
\footnotesize
```C
int max(int x, int y) {
return (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
int m = depths[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
m = max(m, depths[i]);
}
return m;
}
int depth(node *qt) {
int depths[] = {0, 0, 0, 0};
if (is_leaf(qt)) {
return 0;
} else {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
depths[i] = depth(qt->child[i]);
}
return 1 + max_depth(depths);
}
}
```
# Fonctions utiles (2/N)
## Comment remplir un arbre depuis une matrice?
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
## Quel arbre cela représente?
. . .
![L'arbre correspondant](figs/quad_img_simple.svg)
# Fonctions utiles (3/N)
* On veut transformer une ligne/colonne en feuille.
* Comment?
::: columns
:::: {.column width=40%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
::::
:::: {.column width=70%}
## Trouver un algorithme
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* Quelle feuille?
* Plus important: quel chemin?
. . .
* `co -> G/D`, `li -> S/I`,
* `2 * (li / 2) + co / 2 -> 2 * 1 + 1 = 3`
* `2 * ((li % 2) / 1) + (co % 2) / 1 -> 2 * 0 + 1 = 1`
* Comment généraliser?
::::
:::
# Fonctions utiles (4/N)
::: columns
:::: {.column width=40%}
## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
::::
:::: {.column width=70%}
## Trouver un algorithme (prendre plusieurs exemples, 15min, matrix)
![Déterminer un algorithme.](figs/quad_img_simple.svg)
* Comment généraliser?
. . .
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d > 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourn arbre
```
::::
:::
# Fonctions utiles (4/N)
\footnotesize
## Pseudocode
```C
noeud position(li, co, arbre)
d = profondeur(arbre);
tant_que (d > 1)
index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
(col % 2^d) / 2^(d-1)
arbre = arbre.enfant[index]
d -= 1
retourn arbre
```
## Écrire le code `C` correspondant (5min, matrix)
```C
```
# Remplir l'arbre
## A partir d'une matrice (pseudo-code, 5min, matrix)?
. . .
```C
arbre matrice_à_arbre(matrice)
arbre = creer_arbre(profondeur)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
noeud.info = matrice[co][li]
retourne arbre
```
. . .
## A partir d'une matrice (C, 5min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
node *qt = qt_create(depth);
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
current->info = matrix[li][co];
}
}
return qt;
}
```
<!--
Deja fait plus haut
# La profondeur?
## Comment implémenter la fonction profondeur?
* Quelle signature?
. . .
```C
entier profondeur(arbre)
```
* Quel pseudo-code (3min, matrix)?
. . .
```C
entier profondeur(arbre)
profondeurs = [0, 0, 0, 0];
si est_feuille(arbre)
retourne 0
sinon
pour i 0 à 3
profondeurs[i] = 1 + profondeur(arbre.enfant[i])
retourn max(p)
```
# La profondeur en C?
## Implémentation (5min, matrix)
. . .
```C
int max(int x, int y) {
return (x >= y ? x : y);
}
int max_depth(int depths[4]) {
int m = depths[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
m = max(m, depths[i]);
}
return m;
}
int depth(node *qt) {
int depths[] = {0, 0, 0, 0};
if (is_leaf(qt)) {
return 0;
} else {
depths[i] = 1 + depth(qt->child[i]);
return max_depth(depths);
}
}
``` -->
# Remplir la matrice
## A partir de l'arbre (pseudo-code, 3min, matrix)?
. . .
```C
matrice arbre_à_matrice(arbre)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
matrice[co][li] = noeud.info
retourne arbre
```
. . .
## A partir de l'arbre (C, 3min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co])
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
matrix[li][co] = current->info;
}
}
```
# Transformations avec un arbre quaternaire
## A faire
* Symétrie axiale (horizontale/verticale).
* Rotation quart de cercle (gauche/droite).
* Compression.
# La symétrie verticale
## Que donne la symétrie verticale de
```
SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4
9 | 7 | 4 | 4
-----------------
1 | 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27
IG=2 | ID=3
```
. . .
```
SG=0 | SD=1
4 | 4 | 12 | 21
4 | 4 | 7 | 9
------------------
31 | 0 | 1 | 1
27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3
```
# La symétrie d'axe vertical
## Comment faire sur une matrice (3min, matrix)?
. . .
\footnotesize
```C
matrice symétrie(matrice)
pour i de 0 à nb_colonnes(matrice) / 2
pour j de 0 à nb_lignes(matrice)
échanger(matrice[i][j], matrice[nb_colonnes(matrice)-1-i][j])
retourne matrice
```
# La symétrie d'axe vertical
## Comment faire sur un arbre?
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 12 | 21
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 7 | 9
----------------- => ----------------
1 | 1 | 0 | 31 31 | 0 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 27 | 3 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
. . .
\footnotesize
```C
arbre symétrie(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[1])
échanger(arbre.enfant[2], arbre.enfant[3])
pour i de 0 à 3
symétrie(arbre.enfant[i])
retourne arbre
```
# La symétrie d'axe horizontal
* Trivial de faire l'axe horizontal (exercice à la maison)
# Rotation d'un quart de cercle
## Comment faire sur un arbre?
* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
. . .
```C
rien rotation_gauche(arbre)
si !est_feuille(arbre))
échange_cyclique_gauche(arbre.enfant)
pour i de 0 à 3
rotation_gauche(arbre.enfant[i])
```
# Rotation d'un quart de cercle
\footnotesize
## Comment faire sur un arbre?
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le vrai (5min, matrix)
. . .
```C
void rotate(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
node *tmp = qt->child[2];
qt->child[2] = qt->child[0];
qt->child[0] = qt->child[1];
qt->child[1] = qt->child[3];
qt->child[3] = tmp;
for (int i=0;i < 4; i++) {
rotate(qt->child[i]);
}
}
}
```
slides_2021/cours_21.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Arbres quaternaires, compression et Barnes-Hut"
date: "2022-04-06"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Le cours précédent
## Questions
* Structure de données d'un arbre quaternaire?
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```
. . .
* Dessin d'un noeud d'arbre quaternaire (avec correspondance `node`)?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((" "))-->|"child[0]"| id1(("info"));
id0-->|"child[1]"| id2(("info"));
id0-->|"child[2]"| id3(("info"));
id0-->|"child[3]"| id4(("info"));
```
# Le cours précédent
## Questions
* Comment faire la symétrie d'axe horizontal?
. . .
```C
arbre symétrie(arbre)
si !est_feuille(arbre)
échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[2])
échanger(arbre.enfant[1], arbre.enfant[4])
pour i de 0 à 3
symétrie(arbre.enfant[i])
retourne arbre
```
# Compression sans perte (1/N)
## Idée générale
* Regrouper les pixels par valeur
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 4 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => -----------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
1 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Comment faire?
# Compression sans perte (2/N)
## Que devient l'arbre suivant?
![](figs/quad_img_simple.svg)
. . .
## Arbre compressé
![](figs/quad_img_simple_comp.svg)
# Compression sans perte (3/N)
* Si un noeud a tous ses enfants égaux:
* Donner la valeur au noeud,
* Supprimer les enfants.
* Remonter jusqu'à la racine.
## Écrire le pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
rien compression_sans_pertes(arbre)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_sans_pertes(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
valeur, toutes_égales = valeur_enfants(arbre)
si toutes_egales
arbre.info = valeur
detruire_enfants(arbre)
```
# Compression sans perte (4/N)
\footnotesize
## Écrire le code C (5min, matrix)
. . .
```C
void lossless_compression(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
for (int i = 0; i < CHILDREN; i++) {
lossless_compression(qt->child[i]);
}
if (is_last_branch(qt)) {
int val = -1;
if (last_value(qt, &val)) {
qt->info = val;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
free(qt->child[i]);
qt->child[i] = NULL;
}
}
}
}
}
```
# Compression sans perte (5/N)
\footnotesize
```C
bool is_last_branch(node *qt) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
if (!is_leaf(qt)) {
return false;
}
}
return true;
}
bool last_value(node *qt, int *val) {
int info = qt->child[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
if (info != qt->child[i]) {
return false;
}
}
*val = info;
return true;
}
```
# Compression avec perte (1/N)
## Idée générale
* Regrouper les pixels par valeur sous certaines conditions
```
SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
21 | 12 | 4 | 3 21 | 12 | 4
9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
----------------- => ------------------
1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
2 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
# Compression avec perte (2/N)
## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
![](figs/quad_img_simple_variation.svg)
. . .
## Arbre compressé
![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)
# Compression avec perte (3/N)
## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
. . .
* Avec l'écart-type
\begin{equation*}
\mu = \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{3} p[i],\quad \sigma = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=0}^3 (\mu-p[i])
^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^3p[i]^2\right)-\mu^2}
\end{equation*}
## Que devient l'algorithme?
. . .
* Si $\sigma<\theta$, $\theta$ est la **tolérance**:
* Remplacer la valeur du pixel par la moyenne des enfants.
* Remonter les valeurs dans l'arbre.
## Quelle influence de la valeur de $\theta$ sur la compression?
. . .
* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
# Compression avec perte (4/N)
## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
![L'arbre original.](figs/quad_img_simple_variation.svg)
. . .
![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)
# Compression avec perte (6/N)
## Modifications sur la structure de données?
. . .
* On stocke la moyenne, et la moyenne des carrés.
```C
struct noeud
flottant moyenne, moyenne_carre
node enfants[4]
```
* Comment on calcule `moyenne` et `moyenne_carre` sur chaque noeud (pseudo-code)?
# Calcul de la moyenne
## Pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
rien moyenne(arbre) {
si !est_feuille(arbre)
pour enfant dans arbre.enfants
moyenne(enfant)
pour enfant dans arbre.enfants
arbre.moyenne += enfant.moyenne
arbre.moyenne_carre += enfant.moyenne_carre
arbre.moyenne /= 4
arbre.moyenne_carre /= 4
```
# La compression avec pertes
\footnotesize
## Pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_avec_pertes(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
si racine(arbre.moyenne_carre - arbre.moyenne^2) < theta
detruire_enfants(arbre)
```
## Le code en entier
```C
arbre = matrice_à_arbre(matrice)
moyenne(arbre)
compression_sans_pertes(arbre)
```
# La dynamique des corps célestes
## Slides très fortement inspirés du cours de J. Latt, Unige
## Simulation du problème à $N$-corps
* Prédiction du mouvement d'un grand nombre de corps célestes.
* Modélisation:
* On se limite aux étoiles;
* Chaque étoile est caractérisée par un point (coordonnées) et une masse;
* On simule en deux dimensions.
* Interactions uniquement par les lois de la gravitation Newtonienne (oui-oui c'est de la **physique**!).
# Les équations du mouvement
## Mouvement de la $i$-ème étoile
* Algorithme de Verlet ($t_{n+1}=t_n+\delta t$)
$$
\vec x_i(t_{n+1})= 2\vec x_i(t_n)-\vec x_i(t_{n-1})+\vec a_i(t_n)\delta t^2.
$$
## Force de gravitation
* $\vec a_i(t_n)=\vec F_i/m_i$.
* Sur l'étoile $i$, la force résultante est donnée par
$$
\vec F_i=\sum_{j=1,j\neq i}^N \vec F_{ij}.
$$
avec
$$
\vec F_{ij}=\frac{G m_i m_j(\vec x_j-\vec x_i)}{||\vec x_j-\vec x_i||^3}.
$$
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Pseudo-code: structure de données
```C
struct étoile
flottant m
vec x, x_precedent, f
```
## Pseudo-code: itération temporelle
```C
rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
pour étoile_une dans étoiles
étoile_une.f = 0
pour étoile_deux dans étoiles
si (étoile_un != étoile_deux)
étoile_une.f +=
force(étoile_une, étoile_deux)
pour étoile dans étoiles
étoile.x, étoile.x_precedent =
verlet(étoile.x, étoile.x_precedent,
étoile.f / étoile.m, dt)
```
# Algorithme du problème à $n$-corps
## Complexité
* Complexité de chacune des parties?
. . .
* $\mathcal{O}(N^2)$, $\mathcal{O}(N)$.
## En temps CPU pour **une itération**
\footnotesize
* Si temps pour $N=1$ on calcule en $1\mu s$:
+--------+-------+-------+-----------+
| N | N^2 | t [s] | t [réel] |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10 | 10^2 | 1e-4 | |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^4 | 10^8 | 1e+2 | ~1min |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^6 | 10^12 | 1e+6 | ~11j |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30k ans |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^11 | 10^22 | 1e+16 | ~300M ans |
+--------+-------+-------+-----------+
* Typiquement il y a des milliers-millions d'itérations.
* Il y a $10^{11}$ étoiles dans la galaxie.
* Houston we have a problem.
# Question
## Comment faire mieux, des idées?
. . .
* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_bare.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Problématique
* On veut calculer la force sur $1$.
::::
:::
. . .
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_n2.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Résultat
* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
::::
:::
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Réduction d'un groupe à un seul corps
![](figs/nbody_group.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Idée
* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
* Autrement l'approximation est trop grossière.
::::
:::
# Solution: l'arbre quaternaire
## Corps célestes - arbre
![](figs/nbody_qt_withtree.png)
* On omet les noeuds vides pour éviter la surcharge.
* La numérotation est:
* 0: ID
* 1: SD
* 2: IG
* 3: SG
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 1
![](figs/corps1.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre1.png){width=100%}
* Quadrant ID.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 2
![](figs/corps2.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre2.png){width=100%}
* Quadrant SD.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (1/N)
![](figs/corps3_1.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre3_1.png){width=100%}
* Quadrant SD.
* La feuille est prise par 2.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (2/N)
![](figs/corps3_2.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 2
![](figs/arbre3_2.png){width=100%}
* On crée un nouveau noeud.
* Deux corps dans le noeud ID.
* On crée un nouveau noeud.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (3/N)
![](figs/corps3_3.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 3
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
* 2 va dans ID.
* 3 va dans SG.
* C'est des feuilles vides, tout va bien.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Que fait-on avec les noeuds intérieurs?
* On les utilise pour:
* stocker la masse totale;
* stocker le centre de masse.
\begin{align}
m&=m_2+m_3,\\
\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
\end{align}
## Chaque feuille contient **une étoile**
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
::::
:::
# Résumé
* Insertion du corps `c` dans le noeud `n` en partant de la racine.
* Si le noeud `n`
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
* est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
* est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux noeuds dans les quadrants appropriés.
## Remarque
* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
* Un noeud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
# Algorithme d'insertion
## Structure de données
```C
struct node
etoile e // externe: pour stocker
etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
quadrant q // coordonnées du quadrant
node enfants[4]
```
## Remarque:
* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
# Algorithme d'insertion
\footnotesize
## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
. . .
```C
rien insertion_etoile(arbre, e)
si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
si (est_feuille(arbre))
si (!contient_etoile(arbre))
arbre.e = e
sinon
// on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
subdivision_arbre(arbre, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, arbre.e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
destruction(arbre.e)
sinon
maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
```
# Utilisation de l'arbre
* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
* Parcours de l'arbre:
* si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
* sinon, on continue le parcours
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_1.png)
* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_2.png)
* Le cadrant SG ne contient `5` corps.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_3.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
* Est-ce que `d` est assez grand?
* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
# Critère $\theta$
* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
* Le domain est assez éloigné si
$$
\frac{s}{d}<\theta,
$$
* $\theta$ est la valeur de seuil.
* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
$$
d>2s.
$$
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
* ON descend dans l'arbre.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_5.png)
* `s` est plus petit, mais....
* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_6.png)
* Les noeuds sont des feuilles, on calcule la force.
* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
# Algorithme pour le calcul de la force
Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
* Si le noeud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
## Cotinuous notre exemple précédent!
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_7.png)
* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
. . .
* Et oui! $d>2s$ on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
# Algorithme du calcul de force
## Écrire le psuedo-code du calcul de la force
\footnotesize
```C
rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
si est_vide(arbre)
retourne
si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
maj_force(e, arbre.e)
sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
maj_force(e, arbre.sup_etoile)
sinon
pour enfant dans enfants
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
```
slides_2021/cours_22.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "B-Arbres"
date: "2022-04-13"
patat:
eval:
tai:
command: fish
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replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Les B-arbres
## Problématique
* Grands jeux de données (en 1970).
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre tiens pas en mémoire.
* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
## Exemple
* 100 noeuds par page et l'arbre comporte $10^6$ noeuds:
* Recherche B-arbre: $\log_{100}(10^6)=3$;
* Recherche ABR: $\log_2(10^6)=20$.
* Si on doit lire depuis le disque: $10\mathrm{ms}$ par recherche+lecture:
* $30\mathrm{ms}$ (lecture beaucoup plus rapide que recherche) vs $200\mathrm{ms}=0.2\mathrm{s}$.
## Remarques
* On sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* Variante plus récente B+-arbres.
# Les B-arbres
## Illustration, arbre divisé en pages de 3 noeuds
![Arbre divisé en pages de 3 noeuds](figs/barbres_page3.png)
. . .
## Utilisation
* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
* Système de fichier.
# Les B-arbres
## Avantages
* Arbres moins profonds;
* Diminue les opération de rééquilibrage;
* Complexité toujours en $\log(N)$;
. . .
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
* $0$ descendants;
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Est-ce un B-arbre?
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
## Oui!
* Dans chaque noeud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ noeuds: check;
* Chaque noeud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Exemple de recherche: trouver `32`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
# Les B-arbres
## La recherche de la clé `C` algorithme
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si la `C` est dans une page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C > page` passer à la page suivante
* Descendre
# Les B-arbres
## Disclaimer
* Inspiration de <https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree>
## Exemples d'insertion: `1`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_1.svg)
. . .
* L'arbre est vide, on insère juste dans la première page.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `2`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_2.svg)
. . .
* La première page est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_2.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
. . .
* La page est pleine, on crée deux enfants.
* On choisit, `2`, la médiane de `1, 2, 3` et il est inséré à la racine.
* `1` descend à gauche, `3` descend à droite.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre enfants 0 ou 2.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
. . .
* On pourrait insérer à droite de `2`, mais... ça ferait 2 parents pour 2 enfants (mais `m` parents => `m+1` enfants ou `0`);
* On descend à droite (`4 > 2`);
* On insère à droite de `3`.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_5.svg)
. . .
* On descend à droite (on peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
* On crée un nouveau noeud à droite de `4`;
* La règle `m => m+1` est ok.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_6.svg)
. . .
* `6 > 4` on descend à droite;
* `6 > 5` et on a à la place à droite, on insère.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
. . .
* `7 > 4` on descend à droite;
* `7 > 6` mais on a dépassé la capacité;
* `6` est la médiane de `5, 6, 7`, remonte à la racine;
* `5` reste à gauche, `7` à droite, mais `6` fait dépasser la capacité de la racine;
* `4` est la médiane de `2, 4, 6`, `4` remonte, `2` reste à gauche, `6` à droite.
# Les B-arbres
## L'algorithme d'insertion
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `22, 45, 50` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex1.png)
. . .
![](figs/barbres_ex2.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `5` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex2.png)
. . .
![](figs/barbres_ex3.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `32, 55, 60` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex3.png)
. . .
![](figs/barbres_ex4.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `41` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex4.png)
. . .
![](figs/barbres_ex5.png)
# Les B-arbres
## Exercice (matrix, 15min)
* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
* Dans un B-arbre d'ordre 2.
# Les B-arbres
## Structure de données
* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un noeud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | | P_i | K_{i+1} | | P_{m-1} | K_m | P_m
```
* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?
# Les B-arbres
## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
. . .
![Strcture d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud pas plein, insertion `4`?
![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud pas plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud plein, insertion `2`?
![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud plein, promotion `3`?
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
# Les B-arbres
## L'insertion cas noeud plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page est pleine:
* On trouve la valent médiance `M` de la page (quel indice?);
* On crée une nouvelle page de droite;
* On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On promeut `M` dans la page du dessus;
* On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
# Les B-arbres
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
. . .
```C
struct page
entier ordre, nb
element tab[2*ordre + 2]
```
```C
struct element
int clé
page pg
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
```
. . .
```C
booléen est_feuille(page)
retourne (page.tab[0].pg == vide)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && val >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
booléen est_dans_page(page, valeur)
i = position(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
page nouvelle_page(ordre) // creer une page
rien liberer_memoire(page) // liberer tout un arbre!
```
. . .
```C
page nouvelle_page(ordre)
page = allouer(page)
page.ordre = ordre
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
// la valeur ou vide
```
. . .
```C
page recherche(page, valeur)
si est_dans_page(page, valeur)
retourne page
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
recherche(page.tab[position(page, valeur)], valeur)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions
```C
page inserer_valeur(page, valeur) // inserer une valeur
```
. . .
```C
page inserer_valeur(page, valeur)
element = nouvel_element(valeur)
// on change element pour savoir s'il faut le remonter
inserer_element(page, element)
si element.page != vide && page.nb > 2*page.ordre
// si on atteint le sommet!
page = ajouter_niveau(page, element)
retourne page
```
# Les B-arbres
## Les fonctions
```C
rien inserer_element(page, element) // inserer un element et voir s'il remonte
```
. . .
```C
rien inserer_element(page, element)
si est_feuille(page)
placer(page, element)
sinon
sous_page = page.tab[position(page, element)].page
inserer_element(sous_page, element)
// un element a été promu
si element.page != vide
placer(page, element)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
rien placer(page, element) // inserer un élément
```
. . .
```C
rien placer(page, element)
pos = position(page, element.clé)
pour i de 2*page.ordre à pos+1
page.tab[i+1] = page.tab[i]
page.tab[pos+1] = element
page.nb += 1
si page.nb > 2*page.ordre
scinder(page, element)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
```
. . .
```C
rien scinder(page, element)
new_page = new_page(page.ordre)
new_page.nb = page.ordre
pour i de 0 à ordre inclu
new_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
element.clé = page.tab[ordre+1].clé
element.page = new_page
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la racine...
// on doit créer une nouvelle racine
```
. . .
```C
page ajouter_niveau(page, element)
tmp = nouvelle_page(page.ordre)
tmp.tab[0].page = page
tmp.tab[1].clé = element.clé
tmp.tab[1].page = element.page
retourne tmp
```
<!-- # Les B-arbres -->
<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
<!-- . . . -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct _page { -->
<!-- int order, nb; -->
<!-- struct _element *tab; -->
<!-- } page; -->
<!-- ``` -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct element { -->
<!-- int key; -->
<!-- struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
slides_2021/cours_23.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "B-Arbres"
date: "2022-05-03"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Rappel: Les B-arbres
## Pourquoi utiliser un B-arbre?
. . .
## À quoi ressemble un B-arbre?
. . .
## Qu'est-ce qu'un B-arbre d'ordre $n$
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
* $0$ descendants;
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
# Rappel: Les B-arbres
## Quelques propriétés
* Dans chaque noeud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ noeuds: check;
* Chaque noeud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Exemple de recherche: trouver `32`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
# Les B-arbres
## La recherche de la clé `C` algorithme
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si la `C` est dans une page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C > page` passer à la page suivante
* Descendre
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `22, 45, 50, 5, 32, 55, 60, 41` dans l'arbre d'ordre 2
![](figs/barbres_ex1.png)
. . .
![](figs/barbres_ex5.png)
# Les B-arbres
## L'algorithme d'insertion
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine:
1. On décale les éléments plus grand que `N`;
2. On insère `N` dans la place "vide";
3. On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
4. On crée une nouvelle page de droite;
5. On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
6. On promeut `M` dans la page du dessus;
7. On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
# Les B-arbres
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
. . .
```C
struct page
entier ordre, nb
element tab[2*ordre + 2]
```
```C
struct element
int clé
page pg
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
```
. . .
```C
booléen est_feuille(page)
retourne (page.tab[0].pg == vide)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && val >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
booléen est_dans_page(page, valeur)
i = position(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].clef == valeur)
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
page nouvelle_page(ordre) // creer une page
rien liberer_memoire(page) // liberer tout un arbre!
```
. . .
```C
page nouvelle_page(ordre)
page = allouer(page)
page.ordre = ordre
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
// la valeur ou vide
```
. . .
```C
page recherche(page, valeur)
si est_dans_page(page, valeur)
retourne page
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
recherche(page.tab[position(page, valeur)], valeur)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions
```C
page inserer(page, valeur) // inserer une valeur
```
. . .
```C
page inserer(page, valeur)
element = nouvel_element(valeur)
// on change element pour savoir s'il faut le remonter
inserer_element(page, element)
si element != vide && element.page != vide
// si on atteint le sommet
page = ajouter_niveau(page, element)
retourne page
```
# Les B-arbres
## Les fonctions
```C
// inserer un element et voir s'il remonte
rien inserer_element(page, element)
```
. . .
```C
rien inserer_element(page, element)
si est_feuille(page)
placer(page, element)
sinon
sous_page = page.tab[position(page, element)].page
inserer_element(sous_page, element)
si element != vide && element.page != vide
placer(page, element)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
rien placer(page, element) // inserer un élément
```
. . .
```C
rien placer(page, element)
i = position(page, element.clef)
pour i de 2*page.ordre à i+1
page.tab[i+1] = page.tab[i]
page.tab[i+1] = element
page.nb += 1
si page.nb > 2*page.ordre
scinder(page, element)
sinon
element = vide
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
```
. . .
```C
rien scinder(page, element)
new_page = new_page(page.ordre)
new_page.nb = page.ordre
pour i de 0 à ordre inclu
new_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
element.clef = page.tab[ordre+1].clé
element.page = new_page
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la racine...
// on doit créer une nouvelle racine
```
. . .
```C
page ajouter_niveau(page, element)
tmp = nouvelle_page(page.ordre)
tmp.tab[0].page = page
tmp.tab[1].clef = element.clef
tmp.tab[1].page = element.page
retourne tmp
```
# Les B-arbres: suppression
## Cas simplissime
![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}
. . .
![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas simple
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}
. . .
* On retire 27, mais....
* Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
* On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?
. . .
![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas moins simple
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}
. . .
* Un élément à droite, comment on fait?
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
* On redistribue les feuilles.
. . .
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`, .](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas ultra moins simple
![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}
. . .
* `7` seul:
* Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?
. . .
![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas ultra moins simple
![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
. . .
* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
* Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
. . .
![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}
. . .
* La profondeur a diminué de 1.
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une feuille:
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le noeud voisin et on descend la clé médiane.
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?
. . .
![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
* Ensuite?
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!
. . .
![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les non-feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
* On supprime comme pour une feuille!
## Et maintenant des exos par millions!
<!-- # Les B-arbres -->
<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
<!-- . . . -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct _page { -->
<!-- int order, nb; -->
<!-- struct _element *tab; -->
<!-- } page; -->
<!-- ``` -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct element { -->
<!-- int key; -->
<!-- struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
slides_2021/cours_24.md 0 → 100644
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---
title: "Graphes - Généralités"
date: "2022-05-03"
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command: fish
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backend: auto
---
# Historique
**Un mini-peu d'histoire...**
## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
![Les ponts c'est beau. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/37h0yOG>](figs/Konigsberg_bridges.png){width=50%}
. . .
* Réponse: ben non!
# Utilisation quotidienne
## Réseau social
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/Social_Network.svg){width=40%}
* Chaque sommet est un individu.
* Chaque trait une relation d'amitié.
* Miam, Miam, Facebook.
# Utilisation quotidienne
## Moteurs de recherche
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/PageRanks-Example.svg){width=40%}
* Sommet est un site.
* Liens sortants;
* Liens entrants;
* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
* Miam, Miam, Google (PageRank).
# Introduction
## Définition, plus ou moins
* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
![Deux exemples de graphes.](figs/ex_graphes.png)
* Des sommets (numérotés 1 à 6);
* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
# Généralités
## Définitions
* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
* $V$: un ensemble de sommets;
* $E$: un ensemble d'arêtes.
* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
## Remarques
* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_non_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
|E|&=4.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
|E|&=5.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
## Exemple
::: columns
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$, $c$ adjacent à $a$.](figs/ex_adj_non_or.svg){width=80%}
::::
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$.](figs/ex_adj_or.svg){width=80%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
## Exemples
![Graphe pondéré orienté (gauche) et non-orienté (droite).](figs/ex_graph_pond.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que
$$
(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
$$
avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
## Exemples
![Illustration d'une chaîne, ou pas chaîne dans un graphe.](figs/ex_graphe_chaine.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
## Exemples
![Illustration d'une chaîne élémentaire.](figs/ex_graphe_chaine_elem.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
## Exemples
![Illustration d'une boucle.](figs/ex_graphe_boucle.pdf){width=40%}
# Généralités
## Définition
* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe connexe. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3yiUzUv>](figs/graphe_connexe.svg){width=80%}
::::
:::: column
![Graphe non-connexe avec composantes connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3KJB76d>](figs/composantes_connexes.svg){width=60%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe fortement connexe.](figs/ex_graph_fort_connexe.pdf){width=60%}
::::
:::: column
![Composantes fortement connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3w5PL2l>](figs/composantes_fortement_connexes.svg){width=100%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\leq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
## Exemples
![Illustration de cycles, ou pas.](figs/ex_graphe_cycle.pdf){width=100%}
# Question de la mort
* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
. . .
* Un arbre!
# Représentations
* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
* Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
* Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
## Question
* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
. . .
* Matrice/liste d'adjacence.
# Matrice d'adjacence
* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
$$
A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
0 & \mbox{sinon}.
\end{array} \right.
$$
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
## Remarques
* Zéro sur la diagonale.
* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
$$
A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
$$.
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
* Pour un graphe orienté (digraphe)
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
2-->1;
1-->4;
2-->5;
5-->2;
4-->5;
5-->3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
---||---|---|---|---|---
4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
```
::::
:::
* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
$$
A_{ij}\neq A_{ji}.
$$
# Stockage
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
# Considérations d'efficacité
* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
. . .
* Dans les graphes denses.
* Pourquoi?
. . .
* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
## Remarque
* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
* Comment représenter un graphe autrement?
# La liste d'adjacence (non-orienté)
* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
. . .
* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
::: columns
:::: column
## Exemple
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graph_adj.pdf){width=80%}
::::
:::: column
## Quelle liste d'adjacence?
. . .
![La liste d'adjacence.](figs/ex_graph_list_adj.pdf)
::::
:::
# La liste d'adjacence (orienté)
::: columns
:::: column
## Quelle liste d'adjacence pour...
* Matrix (2min)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0-->1;
0-->2;
1-->2;
3-->0;
3-->1;
3-->2;
```
::::
:::: column
```
```
::::
:::
# Complexité
## Stockage
* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
. . .
$$
\mathcal{O}(|E|)
$$
* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}2|E|$.
* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}|E|$.
## Définition
* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
. . .
* C'est la longueur de la liste chaînée.
# Parcours
* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
* Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
* Trouver si le graphe est connexe;
* Il existe *deux* parcours principaux:
* en largeur (Breadth-First Search);
* en profondeur (Depth-First Search).
* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
# Illustration: parcours en largeur
![Le parcours en largeur.](figs/parcours_larg.pdf){width=80%}
# Exemple
## Étape par étape (blanc non-visité)
![Initialisation.](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
## Étape par étape (gris visité)
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
## Étape par étape (vert à visiter)
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![The end. Plus rien à visiter!](figs/parcours_larg_6.pdf){width=50%}
# En faisant ce parcours...
::: columns
:::: column
## Du parcours de l'arbre
![](figs/parcours_larg_6.pdf){width=100%}
::::
:::: column
## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0[x]-->1[w];
0-->2[t];
0-->3[y];
2-->9[u];
1-->4[s];
4-->5[r];
5-->6[v];
```
::::
:::
## Remarques
* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
. . .
```C
v = un sommet du graphe
i = 1
pour sommet dans graphe et sommet non-visité
visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité
i += 1
```
## Remarque
* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
* Comment garder la trace de la distance?
. . .
* Utilisation d'une **file**
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(file)
v = défiler(file)
file = visiter(v, file)
```
## Que fait visiter?
```
file visiter(sommet, file)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
file = enfiler(file, w)
retourne file
```
# Exercice (5min)
## Appliquer l'algorithme sur le graphe
![](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
# Complexité du parcours en largeur
## Étape 1
* Extraire un sommet de la file;
## Étape 2
* Traîter tous les sommets adjacents.
## Quelle est la complexité?
. . .
* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Illustration: parcours en profondeur
![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}
# Parcours en profondeur
## Idée générale
* Initialiser les sommets comme non-lus
* Visiter un sommet
* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
## Remarque
* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
# Parcours en profondeur
## Pseudo-code (5min)
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(pile)
v = dépiler(pile)
pile = visiter(v, pile)
```
## Que fait visiter?
. . .
```C
pile visiter(sommet, pile)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
pile = empiler(pile, w)
retourne pile
```
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Interprétation des parcours
* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
* Labyrinthe;
* Arbre des coups d'un jeu.
. . .
* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
* Les deux parcourent *tout* l'espace;
* Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
. . .
* Quand on a un temps limité
* BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
* DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
slides_2021/cours_25.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Graphes - Plus court chemin"
date: "2022-05-03"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Questions
* Qu'est-ce qu'un graphe? Un graphe orienté? Un graphe pondéré?
. . .
* Ensemble de sommets et arêtes, avec une direction, possédant une pondération.
* Comment représenter un graphe informatiquement?
. . .
* Liste ou matrice d'adjacence.
* Quels sont les deux parcours que nous avons vus?
. . .
* Parcours en largeur et profondeur.
* Donner l'idée générale des deux parcours.
# Illustration: plus courts chemins
![Illustration de plus court chemin de `s` à `t`.](figs/courts_chemin_intro.pdf)
# Plus courts chemins
## Contexte: les réseaux (informatique, transport, etc.)
* Graphe orienté;
* Source: sommet `s`;
* Destination: sommet `t`;
* Les arêtes ont des poids (coût d'utilisation, distance, etc.);
* Le coût d'un chemin est la somme des poids des arêtes d'un chemin.
## Problème à résoudre
* Quel est le plus court chemin entre `s` et `t`.
# Exemples d'application de plus court chemin
## Devenir riches!
* On part d'un tableau de taux de change entre devises.
* Quelle est la meilleure façon de convertir l'or en dollar?
![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
. . .
* 1kg d'or => 327.25 dollars
* 1kg d'or => 208.1 livres => 327 dollars
* 1kg d'or => 455.2 francs => 304.39 euros => 327.28 dollars
# Exemples d'application de plus court chemin
## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
# Exemples d'application de plus court chemin
## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
![Graphes des taux de change.](figs/taux_change_graphe.pdf){width=60%}
* Un sommet par devise;
* Une arête orientée par transaction possible avec le poids égal au taux de change;
* Trouver le chemin qui maximise le produit des poids.
. . .
## Problème
* On aimerait plutôt avoir une somme...
# Exemples d'application de plus court chemin
## Conversion du problème en plus court chemin
* Soit `taux(u, v)` le taux de change entre la devise `u` et `v`.
* On pose `w(u,w)=-log(taux(u,v))`
* Trouver le chemin poids minimal pour les poids `w`.
![Graphe des taux de change avec logs.](figs/taux_change_graphe_log.pdf){width=60%}
* Cette conversion se base sur l'idée que
$$
\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
$$
# Applications de plus courts chemins
## Quelles applications voyez-vous?
. . .
* Déplacement d'un robot;
* Planificaiton de trajet / trafic urbain;
* Routage de télécommunications;
* Réseau électrique optimal;
* ...
# Plus courts chemins à source unique
* Soit un graphe, $G=(V, E)$, une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$, et un sommet $s\in V$
* Trouver pour tout sommet $v\in V$, le chemin de poids minimal reliant $s$ à $v$.
* Algorithmes standards:
* Dijkstra (arêtes de poids positif seulement);
* Bellman-Ford (arêtes de poids positifs ou négatifs, mais sans cycles).
* Comment résoudre le problèmes si tous les poids sont les mêmes?
. . .
* Un parcours en largeur!
# Algorithme de Dijkstra
## Comment chercher pour un plus court chemin?
. . .
```
si distance(u,v) > distance(u,w) + distance(w,v)
on passe par w plutôt qu'aller directement
```
# Algorithme de Dijkstra
## Idée générale
* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
# Algorithme de Dijkstra
## Pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
si u == t
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
retourne distance
```
# Algorithme de Dijkstra
* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
* ne nous donne pas le chemin!
## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
. . .
* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
* On a besoin d'un tableau `précédent`.
## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
# Algorithme de Dijkstra
```C
tab, tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
précédent[v] = indéfini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
si u == t
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
précédent[v] = u
retourne distance, précédent
```
# Algorithme de Dijkstra
## Comment reconstruire un chemin ?
. . .
```C
pile parcours(précédent, s, t)
sommets = vide
u = t
// on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
si u != s && précédent[u] != indéfini
tant que vrai
sommets = empiler(sommets, u)
u = précédent[u]
si u == s // la source est atteinte
retourne sommets
retourne sommets
```
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Initialisation.](figs/dijkstra_0.png)
::::
:::: column
. . .
![1 visité, `D[2]=1`, `D[4]=3`.](figs/dijkstra_1.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est 2.](figs/dijkstra_1.png)
::::
:::: column
. . .
![2 visité, `D[3]=2`, `D[7]=3`.](figs/dijkstra_2.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est 3.](figs/dijkstra_2.png)
::::
:::: column
. . .
![3 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[6]=6`.](figs/dijkstra_3.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est 4 ou 7.](figs/dijkstra_3.png)
::::
:::: column
. . .
![4 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[5]=9`.](figs/dijkstra_4.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est `7`.](figs/dijkstra_4.png)
::::
:::: column
. . .
![7 visité, `D[5]=7`, `D[6]=6` inchangé.](figs/dijkstra_5.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est 6.](figs/dijkstra_5.png)
::::
:::: column
. . .
![`6` visité, `D[5]=7` inchangé.](figs/dijkstra_6.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra
::: columns
:::: column
![Plus court est 5 et c'est la cible.](figs/dijkstra_6.png)
::::
:::: column
. . .
![The end, tous les sommets ont été visités.](figs/dijkstra_7.png)
::::
:::
# Algorithme de Dijkstra amélioré
## On peut améliorer l'algorithme
* Avec une file de priorité!
## Une file de priorité est
* Une file dont chaque élément possède une priorité,
* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
* File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
* File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
* On regarde l'implémentation de la `max`.
## Comment on fait ça?
. . .
* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!
# Les files de priorité
## Trois fonction principales
```C
booléen est_vide(élément) // triviale
élément enfiler(élément, data, priorité)
data défiler(élément)
rien modifier_priorité(élément, data, priotié)
nombre priorité(data) // utilitaire
```
## Pseudo-implémentation: structure (1min)
. . .
```C
struct élément
data
priorité
élément suivant
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)
. . .
```C
élément enfiler(élément, data, priorité)
n_élément = créer_élément(data, priorité)
si est_vide(élément)
retourne n_élément
si priorité(d) > priorité(e.d)
n_élément.suivant = élément
retourne n_élément
sinon
tmp = élément
préc = élément
tant que !est_vide(tmp) && priorité < tmp.priorité
préc = tmp
tmp = tmp.suivant
prev.suivant = n_élément
n_élément.suivant = tmp
retourne élément
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: défiler (2min)
. . .
```C
data, élément défiler(élément)
si est_vide(élément)
retourne AARGL!
sinon
tmp = élément.data
n_élément = élément.suivant
libérer(élément)
retourne tmp, n_élément
```
# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min
```C
distance, précédent dijkstra(graphe, s, t):
distance[source] = 0
fp = file_p_vide()
pour v dans sommets(graphe)
si v != s
distance[v] = infini
précédent[v] = indéfini
fp = enfiler(fp, v, distance[v])
tant que !est_vide(fp)
u, fp = défiler(fp)
pour v dans voisinage de u
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
précédent[v] = u
fp = changer_priorité(fp, v, n_distance)
retourne distance, précédent
```
# Algorithme de Dijkstra avec file
\footnotesize
```C
distance dijkstra(graphe, s, t)
---------------------------------------------------------
pour v dans sommets(graphe)
O(V) si v != s
distance[v] = infini
O(V) fp = enfiler(fp, v, distance[v]) // notre impl est nulle
------------------O(V * V)-------------------------------
tant que !est_vide(fp)
O(1) u, fp = défiler(fp)
---------------------------------------------------------
O(E) pour v dans voisinage de u
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
O(V) fp = changer_priorité(fp, v, n_distance)
---------------------------------------------------------
retourne distance
```
* Total: $\mathcal{O}(|V|^2+|E|\cdot |V|)$:
* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^3)$
* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|^2)$
# Algorithme de Dijkstra avec file
## On peut faire mieux
* Avec une meilleure implémentation de la file de priorité:
* Tas binaire: $\mathcal{O}(|V|\log|V|+|E|\log|V|)$.
* Tas de Fibonnacci: $\mathcal{O}(|V|+|E|\log|V|)$
* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|\log|V|)$.
# Algorithme de Dijkstra (exercice, 5min)
![L'exercice.](figs/dijkstra_exo.png){width=60%}
* Donner la liste de priorité, puis...
## A chaque étape donner:
* Le tableau des distances à `a`;
* Le tableau des prédécessueurs;
* L'état de la file de priorité.
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 1.](figs/dijkstra_ex_0.png)
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 2.](figs/dijkstra_ex_1.png)
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 3.](figs/dijkstra_ex_2.png)
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 4.](figs/dijkstra_ex_3.png)
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 5.](figs/dijkstra_ex_4.png)
# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
![Le corrigé partie 6.](figs/dijkstra_ex_5.png)
# Limitation de l'algorithme de Dijkstra
## Que se passe-t-il pour?
![Exemple.](figs/exemple_neg.png){width=50%}
## Quel est le problème?
. . .
* L'algorithme n'essaiera jamais le chemin `s->x->y->v` et prendra direct `s->v`.
* Ce problème n'apparaît que s'il y a des poids négatifs.
slides_2021/cours_26.md 0 → 100644
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title: "Graphes - Plus court chemin (2)"
date: "2022-05-03"
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ccc:
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replace: true
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---
# Questions
* A quoi sert l'algorithme de Dijkstra?
. . .
* A trouver le plus court chemin entre un sommet, $s$, d'un graphe pondéré et tous les autres sommets.
* Quelle est la limitation de l'algorithme de Dijkstra?
. . .
* Les poids doivent être positifs.
* Résumer les étapes de l'algorithme de Dijkstra.
. . .
* `distance[source] = 0`, `ditance[reste]=inf`;
* enfiler tous les sommets, `distance <=> priorité`;
* tant qu'il y a des sommets dans la file:
* u = défiler;
* pour tous les sommets `v` dans le voisinage de `u`;
* mettre à jour `distance[v]` (priorité et précédence) si `distance[v] > distance[u] + w(u,v)`.
# Plus cours chemin pour toute paire de sommets
## Comment faire pour avoir toutes les paires?
. . .
* Appliquer Dijkstra sur tous les sommets d'origine.
* Complexité:
* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|)\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)=\mathcal{O}(|V|^3\log|V|)$.
* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|)\mathcal{O}(|V|\log|V|)=\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
. . .
## Solution alternative: Floyd--Warshall
* Pour toutes paires de sommets $u,v\in V$, trouver le chemin de poids minimal reliant $u$ à $v$.
* Complexité $\mathcal{O}(|V|^3)$, indiqué pour graphes denses.
* Fonctionne avec la matrice d'adjacence.
# Algorithme de Floyd--Warshall
## Idée générale
* Soit l'ensemble de sommets $V=\{1, 2, 3, 4, ..., n\}$.
* Pour toute paire de sommets, $i,j$, on considère tous les chemins passant par les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$ avec $k\leq n$.
* On garde pour chaque $k$ la plus petite valeur.
## Principe
* A chaque étape, $k$, on vérifie s'il est plus court d'aller de $i$ à $j$ en passant par le sommet $k$.
* Si à l'étape $k-1$, le coût du parcours est $p$, on vérifie si $p$ est plus petit que $p_1+p_2$, le chemin de $i$ à $k$, et $k$ à $j$ respectivement.
# Algorithme de Floyd--Warshall
## The algorithme
Soit $d_{ij}(k)$ le plus court chemin de $i$ à $j$ passant par les sommets $\in\{1,2,...,k\}$
$$
d_{ij}(k)=\left\{
\begin{array}{ll}
w(i,j), & \mbox{si } k=0,\\
\min(d_{ij}(k-1),d_{ik}(k-1)+d_{kj}(k-1)), & \mbox{sinon}.
\end{array}
\right.
$$
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(0)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(0)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 8 & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & \infty & \infty & 0 & 5 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(0)}$?
$$
D^{(0)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 8 & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & \infty & \infty & 0 & 5 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(1)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(0)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & \mathbf{6} & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & \mathbf{3} & \mathbf{5} & 0 & \mathbf{4} \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(0)}$
$$
D^{(0)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 8 & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & \infty & \infty & 0 & 5 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(1)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(1)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & \mathbf{6} & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & \mathbf{3} & \mathbf{5} & 0 & \mathbf{4} \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
## Exemple
$$
D_{42}^{(1)}=D_{41}^{(0)}+D_{12}^{(0)}=1+2<\infty.
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(1)}$
$$
D^{(1)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 6 & \infty & 1 \\
6 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(2)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(2)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 6 & \infty & 1 \\
\mathbf{4} & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(2)}$
$$
D^{(2)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \infty & 3 \\
2 & 0 & 6 & \infty & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(3)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(3)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \mathbf{8} & 3 \\
2 & 0 & 6 & \mathbf{10} & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(3)}$
$$
D^{(3)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & 8 & 3 \\
2 & 0 & 6 & 10 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\infty & \infty & \infty & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(4)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(4)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & 8 & 3 \\
2 & 0 & 6 & 10 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
\mathbf{2} & \mathbf{4} & \mathbf{6} & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
::: columns
:::: column
## On part de $D^{(4)}$
$$
D^{(4)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & 8 & 3 \\
2 & 0 & 6 & 10 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::: column
## Que vaut $D^{(5)}$ (3min)?
. . .
$$
D^{(5)}=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 4 & \mathbf{4} & 3 \\
2 & 0 & 6 & \mathbf{2} & 1 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 5 & 0 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall
## The pseudo-code (10min)
* Quelle structure de données?
* Quelle initialisation?
* Quel est le code pour le calcul de la matrice $D$?
# Algorithme de Floyd--Warshall
## The pseudo-code
* Quelle structure de données?
```C
int distance[n][n];
```
. . .
* Quelle initialisation?
```C
matrice ini_floyd_warshall(distance, n, w)
pour i de 1 à n
pour j de 1 à n
distance[i][j] = w(i,j)
retourne distance
```
# Algorithme de Floyd--Warshall
## The pseudo-code
* Quel est le code pour le calcul de la matrice $D$?
```C
matrice floyd_warshall(distance, n, w)
pour k de 1 à n
pour i de 1 à n
pour j de 1 à n
distance[i][j] = min(distance[i][j],
distance[i][k] + distance[k][j])
retourne distance
```
# Algorithme de Floyd--Warshall
## La matrice de précédence
* On a pas encore vu comment reconstruire le plusc court chemin!
* On définit, $P_{ij}^{(k)}$, qui est le prédécesseur du sommet $j$ depuis $i$ avec les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$.
$$
P^{(0)}_{ij}=\left\{
\begin{array}{ll}
\mbox{vide}, & \mbox{si } i=j\mbox{, ou }w(i,j)=\infty\\
i, & \mbox{sinon}.
\end{array}
\right.
$$
* Mise à jour
$$
P^{(k)}_{ij}=\left\{
\begin{array}{ll}
P^{(k-1)}_{\mathbf{i}j}, & \mbox{si } d_{ij}^{(k)}\leq d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}\\
P^{(k-1)}_{\mathbf{k}j}, & \mbox{sinon}.
\end{array}
\right.
$$
. . .
* Moralité: si le chemin est plus court en passant par $k$, alors il faut utiliser son prédécesseur!
# Algorithme de Floyd--Warshall
## La matrice de précédence (pseudo-code, 3min)
. . .
```C
matrice, matrice floyd_warshall(distance, n, w)
pour k de 1 à n
pour i de 1 à n
pour j de 1 à n
n_distance = distance[i][k] + distance[k][j]
if n_distance < distance[i][j]
distance[i][j] = n_distance
précédence[i][j] = précédence[k][j]
retourne distance, précédence
```
# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
::: columns
:::: column
![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
::::
:::: column
## Que vaut $P^{(0)}$ (3min)?
. . .
$$
P^{(0)}=\begin{bmatrix}
- & 1 & 1 & - & 1 \\
2 & - & 2 & - & 2 \\
3 & 3 & - & 3 & 3 \\
4 & - & - & - & 4 \\
- & - & - & 5 & - \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
::: columns
:::: column
![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
::::
:::: column
## Que vaut $P^{(5)}$ (10min)?
. . .
$$
P^{(5)}=\begin{bmatrix}
- & 1 & 1 & 5 & 1 \\
2 & - & 1 & 5 & 2 \\
2 & 3 & - & 3 & 3 \\
4 & 1 & 1 & - & 1 \\
4 & 1 & 1 & 5 & - \\
\end{bmatrix}
$$
::::
:::
# Exercice: retrouver le chemin entre 1 et 4 (5min)
$$
P=\begin{bmatrix}
- & 1 & 1 & 5 & 1 \\
2 & - & 1 & 5 & 2 \\
2 & 3 & - & 3 & 3 \\
4 & 1 & 1 & - & 4 \\
4 & 1 & 1 & 5 & - \\
\end{bmatrix}
$$
. . .
## Solution
* Le sommet $5=P_{14}$, on a donc, $5\rightarrow 4$, on veut connaître le prédécesseur de 5.
* Le sommet $1=P_{15}$, on a donc, $1\rightarrow 5\rightarrow 4$. The end.
# Exercice complet
## Appliquer l'algorithme de Floyd--Warshall au graphe suivant
![The exorcist.](figs/floyd_exercice.png){width=50%}
* Bien indiquer l'état de $D$ et $P$ à chaque étape!
* Ne pas oublier de faire la matrice d'adjacence évidemment...
# La suite
* Sans transition.... la suite!
# Trouver un réseau électrique pour
![Ces maisons n'ont pas d'électricité.](figs/arbre_couvrant_vide.png)
# Solution: pas optimale
![Le réseau simple, mais nul.](figs/arbre_couvrant_mal.png)
* La longueur totale des câbles est super longue!
# Solution: optimale
![Le meilleur réseau.](figs/arbre_couvrant_bien.png)
# Formalisation: Les arbres couvrants
## Application: minimisation des coûrs
* Équipement d'un lotissement avec des lignes électriques/téléphoniques, des canalisations, ...
. . .
* Pour réduire les coûts, on cherche à minimiser la longueur totale des câbles/tuyaux.
. . .
* Les lignes/tuyaux forment un *arbre couvrant*.
. . .
* La meilleure option est un *arbre couvrant minimal*.
# Formalisation: Les arbres couvrants
* Qu'est-ce qu'un arbre couvrant? Des idées? De quel objet on part? Où va-t-on?
. . .
* Un arbre couvrant d'un graphe non-orienté et connexe est:
* un arbre inclu dans le graphe qui connecte tous les sommets du graphe.
. . .
![Exemple d'arbres couvrants d'un graphe connexe.](figs/arbre_couvrant_exemples.png)
# Arbres couvrants
* Quels algorithmes que nous avons déjà vus permettent de construire des arbres couvrants?
. . .
* Les parcours en largeur et en profondeur!
. . .
![Graphe, et parcours comme arbres couvrants.](figs/arbres_couvrants_parcours.png)
# Arbres couvrants minimaux
* Un *arbre couvrant minimal* est un sous-graphe d'un graphe non-orienté pondéré $G(V,E)$, tel quel:
* C'est un arbre (graphe acyclique);
* Il couvre tous les sommets de $G$ et contient $|V|-1$ arêtes;
* Le coût total associé aux arêtes de l'arbre est minimum parmi tous les arbres couvrants possibles.
. . .
* Est-il unique?
. . .
* Pas forcément.
# Arbres couvrants minimaux
* Comment générer un arbre couvrant minimal?
![Un graphe, connexe, non-orienté, pondéré, et son arbre couvrant minimal.](figs/arbre_couvrant_minimal_exemple.png)
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## Un exemple
![Le graphe de départ.](figs/prim_0.png)
::::
:::: column
## On part de `e` (au hasard)
![Le sommet `e` est couvert.](figs/prim_1.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_1.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `e->d`
![Le sommet `d` est couvert.](figs/prim_2.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_2.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `d->a`
![Le sommet `a` est couvert.](figs/prim_3.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_3.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `d->c`
![Le sommet `c` est couvert.](figs/prim_4.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_4.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `e->b`
![Le sommet `b` est couvert.](figs/prim_5.png)
::::
:::
* Game over!
slides_2021/cours_27.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Graphes - Arbres couvrants"
date: "2022-05-03"
patat:
eval:
tai:
command: fish
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replace: true
ccc:
command: fish
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replace: true
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backend: auto
---
# Questions
* A quoi sert l'algorithme de Floyd--Warshall?
. . .
* A trouver le plus court chemin entre n'importe quelle paire de sommets d'un graphe pondéré.
* Quelle est la limitation de l'algorithme de Dijkstra n'est pas présente pour l'algorithme de Floyd--Warshall?
. . .
* Les poids peuvent être négatifs.
* Qu'est-ce qu'un *arbre couvrant minimal*?
. . .
* Un arbre couvrant minimal d'un graphe non-orienté et connexe est:
* un arbre inclu dans le graphe qui connecte tous les sommets du graphe et dont le poids total des arêtes est minimal.
# Arbres couvrants minimaux
* Comment générer un arbre couvrant minimal?
![Un graphe, connexe, non-orienté, pondéré, et son arbre couvrant minimal.](figs/arbre_couvrant_minimal_exemple.png)
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## Un exemple
![Le graphe de départ.](figs/prim_0.png)
::::
:::: column
## On part de `e` (au hasard)
![Le sommet `e` est couvert.](figs/prim_1.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_1.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `e->d`
![Le sommet `d` est couvert.](figs/prim_2.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_2.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `d->a`
![Le sommet `a` est couvert.](figs/prim_3.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_3.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `d->c`
![Le sommet `c` est couvert.](figs/prim_4.png)
::::
:::
# Algorithme de Prim
::: columns
:::: column
## On choisit comment?
![Quelle arête choisir?](figs/prim_4.png)
. . .
* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
::::
:::: column
. . .
## L'arête `e->b`
![Le sommet `b` est couvert.](figs/prim_5.png)
::::
:::
* Game over!
# Algorithme de Prim
## Structures de données
* Dans quoi allons nous stocker les sommets?
. . .
* File de priorité min.
* Autre chose?
. . .
* Tableau des distances (comme pour Dijkstra).
* Autre chose?
. . .
* Tableau des parents (presque comme pour Dijkstra).
* Autre chose?
. . .
* Non.
# Algorithme de Prim
## Initialisation: Pseudo-code (2min)
. . .
```C
file_priorité, distance, parent initialisation(graphe)
r = aléatoire(graphe)
distance[r] = 0
parent[r] = indéfini
fp = file_p_vide()
pour v dans sommets(graphe)
si v != r
distance[v] = infini
parent[v] = indéfini
fp = enfiler(fp, v, distance[v])
retourne fp, distance, parent
```
# Algorithme de Prim
## Algorithme: Pseudo-code (5min)
. . .
```C
sommets, parent prim(file_priorité, distance, parent)
sommets = vide
tant que !est_vide(file_priorité)
u, fp = défiler(file_priorité)
sommets = insérer(sommets, u)
pour v dans voisinage de u et pas dans sommets
// ou dans file_priorité
si w(u, v) < distance[v]
parent[w] = u
distance[w] = w(u, v)
fp = changer_priorité(fp, w, w(u, v))
retourne sommets, parent
```
# Exemple d'algorithme de Prim
::: columns
:::: {.column width="40%"}
## Un exemple
![Étape 1.](figs/prim_1.png)
::::
:::: column
```
FP | e | d | b | c | a |
----------------------------------
D | 0 | inf | inf | inf | inf |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | - | - | - | - |
```
## Devient?
. . .
```
FP | d | b | c | a |
----------------------------
D | 4 | 5 | 5 | inf |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | e | - |
```
::::
:::
# Exemple d'algorithme de Prim
::: columns
:::: {.column width="40%"}
## Un exemple
![Étape 2.](figs/prim_2.png)
::::
:::: column
```
FP | d | b | c | a |
----------------------------
D | 4 | 5 | 5 | inf |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | e | - |
```
## Devient?
. . .
```
FP | a | c | b |
----------------------
D | 2 | 4 | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
::::
:::
# Exemple d'algorithme de Prim
::: columns
:::: {.column width="40%"}
## Un exemple
![Étape 3.](figs/prim_3.png)
::::
:::: column
```
FP | a | c | b |
----------------------
D | 2 | 4 | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
## Devient?
. . .
```
FP | c | b |
----------------
D | 4 | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
::::
:::
# Exemple d'algorithme de Prim
::: columns
:::: {.column width="40%"}
## Un exemple
![Étape 4.](figs/prim_4.png)
::::
:::: column
```
FP | c | b |
----------------
D | 4 | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
## Devient?
. . .
```
FP | b |
----------
D | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
::::
:::
# Exemple d'algorithme de Prim
::: columns
:::: {.column width="40%"}
## Un exemple
![Étape 5.](figs/prim_4.png)
::::
:::: column
```
FP | b |
----------
D | 5 |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
## Devient?
. . .
```
FP |
----
D |
| e | d | b | c | a |
----------------------------------
P | - | e | e | d | d |
```
::::
:::
# Exercice: algorithme de Prim
## Appliquer l'algorithme de Prim à (15min):
![En démarrant du sommet $V_1$.](figs/prim_exercice.png)
# Exercice: algorithme de Prim
## Solution
![](figs/prim_solution.png)
# Complexité de l'algorithme de Prim
\footnotesize
```C
file_priorité, distance, parent initialisation(graphe)
// choix r et initialisation
pour v dans sommets(graphe)
O(|V|) // initialisation distance et parent
fp = enfiler(fp, v, distance[v])
retourne fp, distance, parent
sommets, parent prim(file_priorité, distance, parent)
sommets = vide
tant que !est_vide(file_priorité)
O(|V|) u, fp = défiler(file_priorité)
sommets = insérer(sommets, u)
pour v dans voisinage de u et pas dans sommets
O(|E|) si w(u, v) < distance[v]
// màj dista + parent
O(|V|) fp = changer_priorité(fp, w, w(u, v))
retourne sommets, parent
```
* $O(|V|)+O(|E|)+O(|V|^2)=O(|E|+|V|^2)$
* Remarque: $O(|E|)$ n'est pas mutliplié par $O(|V|)$, car les arêtes parcourues qu'une fois en **tout**.
# Algorithme de Kruskal
* On ajoute les arêtes de poids minimal:
* si cela ne crée pas de cycle;
* on s'arrête quand on a couvert tout le graphe.
. . .
* Comment on fait ça?
. . .
* Faisons un exemple pour voir.
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
## Un exemple
![Le graphe de départ.](figs/kruskal_0.png)
::::
:::: column
## On part de `(a, d)` (poids le plus faible)
![Les sommets `a, d` sont couverts.](figs/kruskal_1.png)
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
## On continue avec `(c, d)`
![On aurait pu choisir `(d, e)` aussi.](figs/kruskal_1.png)
::::
:::: column
## Résultat
![Les sommets `a, d, c` sont couverts.](figs/kruskal_2.png)
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
## On continue avec `(d, e)`
![Le poids de `(d, e)` est le plus bas.](figs/kruskal_2.png)
::::
:::: column
## Résultat
![Les sommets `a, d, c, e` sont couverts.](figs/kruskal_3.png)
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
## On continue avec `(b, e)`
![Le poids de `(b, e)` est le plus bas.](figs/kruskal_3.png)
::::
:::: column
## Résultat
![Les sommets `a, d, c, e, b` sont couverts.](figs/kruskal_4.png)
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
## Mais pourquoi pas `(c, e)`?
![Le poids de `(b, e)` ou `(a,c)` est le même.](figs/kruskal_3.png)
::::
:::: column
## Résultat: un cycle
![Les sommets `a, d, c, e` sont couverts.](figs/kruskal_cycle.png)
::::
:::
* Comment faire pour empêcher l'ajout de `(c, e)` ou `(a, c)`?
. . .
* Si les deux sommets sont déjà couverts nous sommes sauvés (presque)!
# Algorithme de Kruskal
## L'initialisation
* Créer un ensemble de sommets pour chaque de sommet du graphe ($V_1$, $V_2$, ...):
* $V_1=\{v_1\}$, $V_2=\{v_2\}$, ...
* S'il y a $n$ sommets, il y a $n$ $V_i$.
* Initialiser l'ensemble $A$ des arêtes "sûres" constituant l'arbre couvrant minimal, $A=\emptyset$.
* Initialiser l'ensemble des sommets couverts $F=\emptyset$
* Trier les arêtes par poids croissant dans l'ensemble $E$.
## Mise à jour
* Tant qu'il reste plus d'un $V_i$:
* Pour $(u,v)\in A$ à poids minimal:
* Retirer $(u,v)$ de $A$,
* Si $u\in V_i$ et $v\in V_j$ avec $V_i\cap V_j=\emptyset$:
* Ajouter $(u,v)$ à $A$;
* Fusionner $U$ et $V$ dans $F$.
# Algorithme de Kruskal: exemple
::: columns
:::: column
![Couvrir cet arbre bon sang!](figs/kruskal_enonce.png)
::::
:::: column
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: solution
![La solution!](figs/kruskal_solution.png)
# Algorithme de Kruskal: exercice
::: columns
:::: column
![Couvrir cet arbre bon sang!](figs/kruskal_exercice.png)
::::
:::: column
::::
:::
# Algorithme de Kruskal: solution
![La solution!](figs/kruskal_solution_exercice.png)
slides_2021/cours_3.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2021-10-06"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Quelques algorithmes simples
## Quelques algorithmes supplémentaires
* Remplissage d'un tableau et recherche de la valeur minimal
* Anagrammes
* Palindromes
* Crible d'ératosthène
# Collections: tableaux statiques
* Objets de même type: leur nombre est **connu à la compilation**;
* Stockés contigüement en mémoire (très efficace);
```C
#define SIZE 10
int entiers[] = {2, 1, 4, 5, 7}; // taille 5, initialisé
int tab[3]; // taille 3, non initialisé
float many_floats[SIZE]; // taille 10, non initialisé
```
* Les indices sont numérotés de `0` à `taille-1`;
```C
int premier = entier[0]; // premier = 2
int dernier = entier[4]; // dernier = 7
```
* Les tableaux sont **non-initialisés** par défaut;
* Les bornes ne sont **jamais** vérifiées.
```C
int indetermine_1 = tab[1]; // undefined behavior
int indetermine_2 = entiers[5]; // UB
```
# Remarques
* Depuis `C99` possibilité d'avoir des tableaux dont la taille est *inconnue à
la compilation*;
```C
int size;
scanf("%d", &size);
char string[size];
```
. . .
* Considéré comme une mauvaise pratique: que se passe-t-il si `size == 1e9`?
* On préfère utiliser l'allocation **dynamique** de mémoire pour ce genre de
cas-là (spoiler du futur du cours).
# Initialisation
* Les variables ne sont **jamais** initialisées en `C` par défaut.
* Question: Que contient le tableau suivant?
```C
double tab[4];
```
. . .
* Réponse: On en sait absolument rien!
* Comment initialiser un tableau?
. . .
```C
#define SIZE 10
double tab[SIZE];
for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
tab[i] = rand() / (double)RAND_MAX * 10.0 - 5.0;
// tab[i] contient un double dans [-5;5]
}
```
# Recherche du minimum dans un tableau (1/2)
## Problématique
Trouver la valeur minimale contenue dans un tableau et l'indice de l'élément le plus petit.
## Écrire un pseudo-code résolvant ce problème (groupe de 3), 2min
. . .
```C
index = 0
min = tab[0]
for i in [1; SIZE] {
if min > tab[i] {
min = tab[i]
index = i
}
}
```
# Recherche du minimum dans un tableau (2/2)
## Implémenter ce bout de code en C (groupe de 3), 4min
. . .
```C
int index = 0;
float min = tab[0];
for (int i = 1; i < SIZE; ++i) {
if min > tab[i] {
min = tab[i];
index = i;
}
}
```
# Tri par sélection (1/2)
## Problématique
Trier un tableau par ordre croissant.
## Idée d'algorithme
```C
ind = 0
boucle (ind < SIZE-1) {
Trouver le minimum du tableau, tab_min[ind:SIZE].
Échanger tab_min avec tab[ind]
ind += 1
}
```
# Tri par sélection (2/2)
## Implémentation par groupe de 3
* Initialiser aléatoirement un tableau de `double` de taille 10;
* Afficher le tableau;
* Trier par sélection le tableau;
* Afficher le résultat trié;
* Vérifier algorithmiquement que le résultat est bien trié.
# Un type de tableau particulier
## Les chaînes de caractères
```C
string = tableau + char + magie noire
```
# Le type `char`{.C}
- Le type `char`{.C} est utilisé pour représenter un caractère.
- C'est un entier 8 bits signé.
- En particulier:
- Écrire
```C
char c = 'A';
```
- Est équivalent à:
```C
char c = 65;
```
- Les fonctions d'affichage interprètent le nombre comme sa valeur ASCII.
# Chaînes de caractères (strings)
- Chaîne de caractère `==` tableau de caractères **terminé par la valeur** `'\0'`{.C} ou `0`{.C}.
## Exemple
```C
char *str = "HELLO !";
char str[] = "HELLO !";
```
Est représenté par
| `char` | `H` | `E` | `L` | `L` | `O` | | `!` | `\0`|
|---------|------|------|------|------|------|------|------|-----|
| `ASCII` | `72` | `69` | `76` | `76` | `79` | `32` | `33` | `0` |
. . .
## A quoi sert le `\0`?
. . .
Permet de connaître la fin de la chaîne de caractères (pas le cas des autres
sortes de tableaux).
# Syntaxe
```C
char name[5];
name[0] = 'P'; // = 70;
name[1] = 'a'; // = 97;
name[2] = 'u'; // = 117;
name[3] = 'l'; // = 108;
name[4] = '\0'; // = 0;
char name[] = {'P', 'a', 'u', 'l', '\0'};
char name[5] = "Paul";
char name[] = "Paul";
char name[100] = "Paul is not 100 characters long.";
```
# Fonctions
- Il existe une grande quantités de fonction pour la manipulation de chaînes de caractères dans `string.h`.
- Fonctions principales:
```C
// longueur de la chaîne (sans le \0)
size_t strlen(char *str);
// copie jusqu'à un \0
char *strcpy(char *dest, const char *src);
// copie len char
char *strncpy(char *dest, const char *src, size_t len);
// compare len chars
int strncmp(char *str1, char *str2, size_t len);
// compare jusqu'à un \0
int strcmp(char *str1, char *str2);
```
- Pour avoir la liste complète: `man string`.
. . .
## Quels problèmes peuvent se produire avec `strlen`, `strcpy`, `strcmp`?
# Les anagrammes
## Définition
Deux mots sont des anagrammes l'un de l'autre quand ils contiennent les mêmes
lettres mais dans un ordre différent.
## Exemple
| `t` | `u` | `t` | `u` | `t` | `\0` | ` ` | ` ` |
|------|------|------|------|------|------|------|-----|
| `t` | `u` | `t` | `t` | `u` | `\0` | ` ` | ` ` |
## Problème: Trouvez un algorithme pour déterminer si deux mots sont des anagrammes.
# Les anagrammes
## Il suffit de:
1. Trier les deux mots.
2. Vérifier s'ils contiennent les mêmes lettres.
## Implémentation en live (offerte par HepiaVPN)
```C
int main() { // pseudo C
tri(mot1);
tri(mot2);
if egalite(mot1, mot2) {
// anagrammes
} else {
// pas anagrammes
}
}
```
<!-- TODO: Live implémentation hors des cours? -->
# Les palindromes
Mot qui se lit pareil de droite à gauche que de gauche à droite:
. . .
* rotor, kayak, ressasser, ...
## Problème: proposer un algorithme pour détecter un palindrome
. . .
## Solution 1
```C
while (first_index < last_index {
if (mot[first_index] != mot [last_index]) {
return false;
}
first_index += 1;
last_index -= 1;
}
return true;
```
. . .
## Solution 2
```C
mot_tmp = revert(mot);
return mot == mot_tmp;
```
# Crible d'Ératosthène
Algorithme de génération de nombres premiers.
## Exercice
* À l'aide d'un tableau de booléens,
* Générer les nombres premiers plus petits qu'un nombre $N$
## Pseudo-code
* Par groupe de trois, réfléchir à un algorithme.
## Programme en C
* Implémenter l'algorithme et le poster sur le salon `Element`.
slides_2021/cours_4.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2021-10-13"
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command: fish
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ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Crible d'Ératosthène: solution
\footnotesize
```C
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define SIZE 51
int main() {
bool tab[SIZE];
for (int i=0;i<SIZE;i++) {
tab[i] = true;
}
for (int i = 2; i < SIZE; i++) {
if (tab[i]) {
printf("%d ", i);
int j = i;
while (j < SIZE) {
j += i;
tab[j] = false;
}
}
}
printf("\n");
}
```
# Réusinage de code (refactoring)
## Le réusinage est?
. . .
* le processus de restructuration d'un programme:
* en modifiant son design,
* en modifiant sa structure,
* en modifiant ses algorithmes
* mais en **conservant ses fonctionalités**.
. . .
## Avantages?
. . .
* Amélioration de la lisibilité,
* Amélioration de la maintenabilité,
* Réduction de la complexité.
. . .
## "Make it work, make it nice, make it fast", Kent Beck.
. . .
## Exercice:
* Réusiner le code se trouvant sur
[Cyberlearn](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/resource/view.php?id=1627712).
# Tableau à deux dimensions (1/4)
## Mais qu'est-ce donc?
. . .
* Un tableau où chaque cellule est un tableau.
## Quels cas d'utilisation?
. . .
* Tableau à double entrée;
* Image;
* Écran (pixels);
* Matrice (mathématique);
# Tableau à deux dimensions (2/4)
## Exemple: tableau à 3 lignes et 4 colonnes d'entiers
+-----------+-----+-----+-----+-----+
| `indices` | `0` | `1` | `2` | `3` |
+-----------+-----+-----+-----+-----+
| `0` | `7` | `4` | `7` | `3` |
+-----------+-----+-----+-----+-----+
| `1` | `2` | `2` | `9` | `2` |
+-----------+-----+-----+-----+-----+
| `2` | `4` | `8` | `8` | `9` |
+-----------+-----+-----+-----+-----+
## Syntaxe
```C
int tab[3][4]; // déclaration d'un tableau 4x3
tab[2][1]; // accès à la case 2, 1
tab[2][1] = 14; // assignation de 14 à la position 2, 1
```
# Tableau à deux dimensions (3/4)
## Exercice: déclarer et initialiser aléatoirement un tableau `50x100`
. . .
```C
#define NX 50
#define NY 100
int tab[NX][NY];
for (int i = 0; i < NX; ++i) {
for (int j = 0; j < NY; ++j) {
tab[i][j] = rand() % 256; // 256 niveaux de gris
}
}
```
## Exercice: afficher le tableau
. . .
```C
for (int i = 0; i < NX; ++i) {
for (int j = 0; j < NY; ++j) {
printf("%d ", tab[i][j]);
}
printf("\n");
}
```
# Tableau à deux dimensions (4/4)
## Attention
* Les éléments ne sont **jamais** initialisés.
* Les bornes ne sont **jamais** vérifiées.
```C
int tab[3][2] = { {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} };
printf("%d\n", tab[2][1]); // affiche?
printf("%d\n", tab[10][9]); // affiche?
printf("%d\n", tab[3][1]); // affiche?
```
# La couverture de la reine
* Aux échecs la reine peut se déplacer horizontalement et verticalement
* Pour un échiquier `5x6`, elle *couvre* les cases comme ci-dessous
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| ` ` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| `0` | `*` | ` ` | `*` | ` ` | `*` | ` ` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| `1` | ` ` | `*` | `*` | `*` | ` ` | ` ` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| `2` | `*` | `*` | `R` | `*` | `*` | `*` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| `3` | ` ` | `*` | `*` | `*` | ` ` | ` ` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| `4` | `*` | ` ` | `*` | ` ` | `*` | ` ` |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
## Exercice
* En utilisant les conditions, les tableaux à deux dimensions, et des
`char` uniquement.
* Implémenter un programme qui demande à l'utilisateur d'entrer les
coordonnées de la reine et affiche un tableau comme ci-dessus pour un
échiquier `8x8`.
## Poster le résultat sur `Element`
# Types énumérés (1/2)
* Un **type énuméré**: ensemble de *variantes* (valeurs constantes).
* En `C` les variantes sont des entiers numérotés à partir de 0.
```C
enum days {
monday, tuesday, wednesday,
thursday, friday, saturday, sunday
};
```
* On peut aussi donner des valeurs "custom"
```C
enum days {
monday = 2, tuesday = 8, wednesday = -2,
thursday = 1, friday = 3, saturday = 12, sunday = 9
};
```
* S'utilise comme un type standard et un entier
```C
enum days d = monday;
(d + 2) == tuesday + tuesday; // true
```
# Types énumérés (2/2)
* Très utile dans les `switch ... case`{.C}
```C
enum days d = monday;
switch (d) {
case monday:
// trucs
break;
case tuesday:
printf("0 ou 1\n");
break;
}
```
* Le compilateur vous prévient qu'il en manque!
# Utilisation des types énumérés
## Réusiner votre couverture de la reine avec des `enum`
# Représentation des nombres (1/2)
* Le nombre `247`.
## Nombres décimaux: Les nombres en base 10
+--------+--------+--------+
| $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
+--------+--------+--------+
| `2` | `4` | `7` |
+--------+--------+--------+
$$
247 = 2\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.
$$
# Représentation des nombres (2/2)
* Le nombre `11110111`.
## Nombres binaires: Les nombres en base 2
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| `1` | `1` | `1` | `1` | `0` | `1` | `1` | `1` |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
$$
1\cdot 2^7 + 1\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +1\cdot 2^2
+1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0
$$
. . .
$$
= 247.
$$
# Conversion de décimal à binaire (1/2)
## Convertir 11 en binaire?
. . .
* On décompose en puissances de 2 en partant de la plus grande possible
```
11 / 8 = 1, 11 % 8 = 3
3 / 4 = 0, 3 % 4 = 3
3 / 2 = 1, 3 % 2 = 1
1 / 1 = 1, 1 % 1 = 0
```
* On a donc
$$
1011 \Rightarrow 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot
2^0=11.
$$
# Conversion de décimal à binaire (2/2)
## Convertir un nombre arbitraire en binaire: 247?
* Par groupe établir un algorithme.
. . .
## Algorithme
1. Initialisation
```C
num = 247
while (2^N < num) {
N += 1
}
```
. . .
2. Boucle
```C
while (N >= 0) {
bit = num / 2^N
num = num % 2^N
N += 1
}
```
# Les additions en binaire
Que donne l'addition `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 8+4+0+1 = 13
+ 0110 + 0+4+2+0 = 6
------- -----------------
10011 16+0+0+2+1 = 19
```
* Les entiers sur un ordinateur ont une précision **fixée** (ici 4 bits).
* Que se passe-t-il donc ici?
. . .
## Dépassement de capacité: le nombre est "tronqué"
* `10011 (19) -> 0011 (3)`.
* On fait "le tour"."
# Entier non-signés minimal/maximal
* Quel est l'entier non-signé maximal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(1111)_2 = 8+4+2+1 = 15
$$
* Quel est l'entier non-signé minimal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(0000)_2 = 0+0+0+0 = 0
$$
* Quel est l'entier non-signé min/max représentable avec N bit?
. . .
$$
0\mbox{ et }2^N-1.
$$
* Donc `uint32_t?` maximal est?
. . .
$$
4294967295
$$
# Les multiplications en binaire (1/2)
Que donne la multiplication de `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 13
* 0110 * 6
--------- --------------
0000 78
11010
110100
+ 0000000
--------- --------------
1001110 64+0+0+8+4+2+0
```
# Les multiplications en binaire (2/2)
## Que fait la multiplication par 2?
. . .
* Décalage de un bit vers la gauche!
```
0110
* 0010
---------
0000
+ 01100
---------
01100
```
. . .
## Que fait la multiplication par $2^N$?
. . .
* Décalade de $N$ bits vers la gauche!
# Entiers signés (1/2)
Pas de nombres négatifs encore...
## Comment faire?
. . .
## Solution naïve:
* On ajoute un bit de signe (le bit de poids fort):
```
00000010: +2
10000010: -2
```
## Problèmes?
. . .
* Il y a deux zéros (pas trop grave): `10000000` et `00000000`
* Les additions différentes que pour les non-signés (très grave)
```
00000010 2
+ 10000100 + -4
---------- ----
10000110 = -6 != -2
```
# Entiers signés (2/2)
## Beaucoup mieux
* Complément à un:
* on inverse tous les bits: `1001 => 0110`.
## Encore un peu mieux
* Complément à deux:
* on inverse tous les bits,
* on ajoute 1 (on ignore les dépassements).
. . .
* Comment écrit-on `-4` en 8 bits?
. . .
```
4 = 00000100
________
-4 => 00000100
11111011
+ 00000001
----------
11111100
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Questions:
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
* Quel est le complément à 2 de `1000 0000`?
. . .
## Réponses
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
```
+0 = 00000000
-0 = 11111111 + 00000001 = 100000000 => 00000000
```
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
```
00000010 2
+ 11111100 + -4
---------- -----
11111110 -2
```
* En effet
```
11111110 => 00000001 + 00000001 = 00000010 = 2.
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Quels sont les entiers représentables en 8 bits?
. . .
```
01111111 => 127
10000000 => -128 // par définition
```
## Quels sont les entiers représentables sur $N$ bits?
. . .
$$
-2^{N-1} ... 2^{N-1}-1.
$$
## Remarque: dépassement de capacité en `C`
* Comportement indéfini!
<!-- # TODO --
<!-- ## Entiers, entiers non-signés -->
<!-- ## Complément à 1, 2 -->
<!-- ## Nombres à virgule flottante, simple/double précision -->
# Types composés: `struct`{.C} (1/6)
## Fractions
* Numérateur: `int num`;
* Dénominateur: `int denom`.
## Addition
```C
int num1 = 1, denom1 = 2;
int num2 = 1, denom2 = 3;
int num3 = num1 * denom2 + num2 * denom1;
int denom3 = denom1 * denom2;
```
## Pas super pratique....
# Types composés: `struct`{.C} (2/6)
## On peut faire mieux
* Plusieurs variables qu'on aimerait regrouper dans un seul type: `struct`{.C}.
```C
struct fraction { // déclaration du type
int32_t num, denom;
}
struct fraction frac; // déclaration de frac
```
# Types composés: `struct`{.C} (3/6)
## Simplifications
- `typedef`{.C} permet de définir un nouveau type.
```C
typedef unsinged int uint;
typedef struct fraction fraction_t;
typedef struct fraction {
int32_t num, denom;
} fraction_t;
```
- L'initialisation peut aussi se faire avec
```C
fraction_t frac = {1, -2}; // num = 1, denom = -2
fraction_t frac = {.denom = 1, .num = -2};
fraction_t frac = {.denom = 1}; // argl! .num non initialisé
fraction_t frac2 = frac; // copie
```
# Types composés: `struct`{.C} (4/6)
## Pointeurs
- Comme pour tout type, on peut avoir des pointeurs vers un `struct`{.C}.
- Les champs sont accessible avec le sélecteur `->`{.C}
```C
fraction_t *frac; // on crée un pointeur
frac->num = 1; // seg fault...
frac->denom = -1; // mémoire pas allouée.
```
![La représentation mémoire de
`fraction_t`.](figs/pointer_struct.svg){width=50%}
# Types composés: `struct`{.C} (5/6)
## Initialisation
- Avec le passage par **référence** on peut modifier un struct *en place*.
- Les champs sont accessible avec le sélecteur `->`{.C}
```C
void fraction_init(fraction_t *frac,
int32_t re, int32_t im)
{
// frac a déjà été allouée
frac->num = frac;
frac->denom = denom;
}
int main() {
fraction_t frac; // on alloue une fraction
fraction_init(&frac, 2, -1); // on l'initialise
}
```
# Types composés: `struct`{.C} (6/6)
## Initialisation version copie
* On peut allouer une fraction, l'initialiser et le retourner.
* La valeur retournée peut être copiée dans une nouvelle structure.
```C
fraction_t fraction_create(int32_t re, int32_t im) {
fraction_t frac;
frac.num = re;
frac.denom = im;
return frac;
}
int main() {
// on crée une fraction et on l'initialise
// en copiant la fraction créé par fraction_create
// deux allocation et une copie
fraction_t frac = fraction_create(2, -1);
}
```
<!-- # TODO jusqu'aux vacances -->
<!-- * Refactorisation -->
<!-- * Tris et complexité -->
<!-- * Récursivité -->
slides_2021/cours_5.md 0 → 100644
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---
title: "Représentation des nombres et récursivité"
date: "2021-10-20"
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---
# Représentation des nombres (1/2)
* Le nombre `247`.
## Nombres décimaux: Les nombres en base 10
+--------+--------+--------+
| $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
+--------+--------+--------+
| `2` | `4` | `7` |
+--------+--------+--------+
$$
247 = 2\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.
$$
# Représentation des nombres (2/2)
* Le nombre `11110111`.
## Nombres binaires: Les nombres en base 2
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| `1` | `1` | `1` | `1` | `0` | `1` | `1` | `1` |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
$$
1\cdot 2^7 + 1\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +1\cdot 2^2
+1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0
$$
. . .
$$
= 247.
$$
# Conversion de décimal à binaire (1/2)
## Convertir 11 en binaire?
. . .
* On décompose en puissances de 2 en partant de la plus grande possible
```
11 / 8 = 1, 11 % 8 = 3
3 / 4 = 0, 3 % 4 = 3
3 / 2 = 1, 3 % 2 = 1
1 / 1 = 1, 1 % 1 = 0
```
* On a donc
$$
1011 \Rightarrow 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot
2^0=11.
$$
# Conversion de décimal à binaire (2/2)
## Convertir un nombre arbitraire en binaire: 247?
* Par groupe établir un algorithme.
. . .
## Algorithme
1. Initialisation
```C
num = 247
while (2^N < num) {
N += 1
}
```
. . .
2. Boucle
```C
while (N >= 0) {
bit = num / 2^N
num = num % 2^N
N += 1
}
```
# Les additions en binaire
Que donne l'addition `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 8+4+0+1 = 13
+ 0110 + 0+4+2+0 = 6
------- -----------------
10011 16+0+0+2+1 = 19
```
* Les entiers sur un ordinateur ont une précision **fixée** (ici 4 bits).
* Que se passe-t-il donc ici?
. . .
## Dépassement de capacité: le nombre est "tronqué"
* `10011 (19) -> 0011 (3)`.
* On fait "le tour"."
# Entier non-signés minimal/maximal
* Quel est l'entier non-signé maximal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(1111)_2 = 8+4+2+1 = 15
$$
* Quel est l'entier non-signé minimal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(0000)_2 = 0+0+0+0 = 0
$$
* Quel est l'entier non-signé min/max représentable avec N bit?
. . .
$$
0\mbox{ et }2^N-1.
$$
* Donc `uint32_t?` maximal est?
. . .
$$
4294967295
$$
# Les multiplications en binaire (1/2)
Que donne la multiplication de `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 13
* 0110 * 6
--------- --------------
0000 78
11010
110100
+ 0000000
--------- --------------
1001110 64+0+0+8+4+2+0
```
# Les multiplications en binaire (2/2)
## Que fait la multiplication par 2?
. . .
* Décalage de un bit vers la gauche!
```
0110
* 0010
---------
0000
+ 01100
---------
01100
```
. . .
## Que fait la multiplication par $2^N$?
. . .
* Décalage de $N$ bits vers la gauche!
# Entiers signés (1/2)
Pas de nombres négatifs encore...
## Comment faire?
. . .
## Solution naïve:
* On ajoute un bit de signe (le bit de poids fort):
```
00000010: +2
10000010: -2
```
## Problèmes?
. . .
* Il y a deux zéros (pas trop grave): `10000000` et `00000000`
* Les additions différentes que pour les non-signés (très grave)
```
00000010 2
+ 10000100 + -4
---------- ----
10000110 = -6 != -2
```
# Entiers signés (2/2)
## Beaucoup mieux
* Complément à un:
* on inverse tous les bits: `1001 => 0110`.
## Encore un peu mieux
* Complément à deux:
* on inverse tous les bits,
* on ajoute 1 (on ignore les dépassements).
. . .
* Comment écrit-on `-4` en 8 bits?
. . .
```
4 = 00000100
________
-4 => 00000100
11111011
+ 00000001
----------
11111100
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Questions:
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
* Quel est le complément à 2 de `1000 0000`?
. . .
## Réponses
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
```
+0 = 00000000
-0 = 11111111 + 00000001 = 100000000 => 00000000
```
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
```
00000010 2
+ 11111100 + -4
---------- -----
11111110 -2
```
* En effet
```
11111110 => 00000001 + 00000001 = 00000010 = 2.
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Quels sont les entiers représentables en 8 bits?
. . .
```
01111111 => 127
10000000 => -128 // par définition
```
## Quels sont les entiers représentables sur $N$ bits?
. . .
$$
-2^{N-1} ... 2^{N-1}-1.
$$
## Remarque: dépassement de capacité en `C`
* Comportement indéfini!
# Nombres à virgule (1/3)
## Comment manipuler des nombres à virgule?
$$
0.1 + 0.2 = 0.3.
$$
Facile non?
. . .
## Et ça?
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
float a = atof(argv[1]);
float b = atof(argv[2]);
printf("%.10f\n", (double)(a + b));
}
```
. . .
## Que se passe-t-il donc?
# Nombres à virgule (2/3)
## Nombres à virgule fixe
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
| $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ | `.` | $2^{-1}$ | $2^{-2}$ | $2^{-3}$ | $2^{-4}$ |
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
| `1` | `0` | `1` | `0` | `.` | `0` | `1` | `0` | `1` |
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
## Qu'est-ce ça donne en décimal?
. . .
$$
2^3+2^1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4} = 8+2+0.5+0.0625=10.5625.
$$
## Limites de cette représentation?
. . .
* Tous les nombres `> 16`.
* Tous les nombres `< 0.0625`.
* Tous les nombres dont la décimale est pas un multiple de `0.0625`.
# Nombres à virgule (3/3)
## Nombres à virgule fixe
* Nombres de $0=0000.0000$ à $15.9375=1111.1111$.
* Beaucoup de "trous" (au moins $0.0625$) entre deux nombres.
## Solution partielle?
. . .
* Rajouter des bits.
* Bouger la virgule.
# Nombres à virgule flottante (1/2)
## Notation scientifique
* Les nombres sont représentés en terme:
* Une mantisse
* Une base
* Un exposant
$$
\underbrace{22.1214}_{\mbox{nombre}}=\underbrace{221214}_{\mbox{mantisse}}\cdot
{\underbrace{10}_{\mbox{base}}}{\overbrace{^{-4}}^{\mbox{exp.}}},
$$
. . .
On peut donc séparer la représentation en 2:
* La mantisse
* L'exposant
# Nombres à virgule flottante (2/2)
## Quel est l'avantage?
. . .
On peut représenter des nombres sur énormément d'ordres de grandeur avec un
nombre de bits fixés.
## Différence fondamentale avec la virgule fixe?
. . .
La précision des nombres est **variable**:
* On a uniquement un nombre de chiffres **significatifs**.
$$
123456\cdot 10^{23}+ 123456\cdot 10^{-23}.
$$
## Quel inconvénient y a-t-il?
. . .
Ce mélange d'échelles entraîne un **perte de précision**.
# Nombres à virgule flottante simple précision (1/4)
Aussi appelés *IEEE 754 single-precision binary floating point*.
![Nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example_bare.svg)
## Spécification
* 1 bit de signe,
* 8 bits d'exposant,
* 23 bits de mantisse.
$$
(-1)^{b_{31}}\cdot 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\cdot (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2},
$$
## Calculer la valeur décimale du nombre ci-dessus
# Nombres à virgule flottante simple précision (2/4)
![Un exercice de nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example.svg)
. . .
\begin{align}
\mbox{exposant}&=\sum_{i=0}^7 b_{23+i}2^i=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=124-127,\\
\mbox{mantisse}&=1+\sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+2^{-2}=1.25,\\
&\Rightarrow (-1)^0\cdot 2^{-3}\cdot 1.25=0.15625
\end{align}
# Nombres à virgule flottante simple précision (3/4)
## Quel nombre ne peux pas être vraiment représenté?
. . .
## Zéro: exception pour l'exposant
* Si l'exposant est `00000000` (zéro)
$$
(-1)^{\mbox{sign}}\cdot 2^{-126}\cdot 0.\mbox{mantisse},
$$
* Sinon si l'exposant est `00000001` à `11111110`
$$
\mbox{valeur normale},
$$
* Sinon `11111111` donne `NaN`.
# Nombres à virgule flottante simple précision (4/4)
## Quels sont les plus petits/grands nombres positifs représentables?
. . .
\begin{align}
0\ 0\dots0\ 0\dots01&=2^{-126}\cdot 2^{-23}=1.4...\cdot
10^{-45},\\
0\ 1\dots10\ 1\dots1&=2^{127}\cdot (2-2^{-23})=3.4...\cdot
10^{38}.
\end{align}
## Combien de chiffres significatifs en décimal?
. . .
* 24 bits ($23 + 1$) sont utiles pour la mantisse, soit $2^{24}-1$:
* La mantisse fait $\sim2^{24}\sim 10^7$, ou encore
* Ou encore $\sim \log_{10}(2^{24})\sim 7$,
* Environ **sept** chiffres significatifs.
# Nombres à virgule flottante double précision (64bits)
## Spécification
* 1 bit de signe,
* 11 bits d'exposant,
* 52 bits de mantisse.
. . .
## Combien de chiffres significatifs?
* La mantisse fait $\sim 2^{53}\sim10^{16}$,
* Ou encore $\sim \log_{10}(2^{53})\sim 16$,
* Environ **seize** chiffres significatifs.
## Plus petit/plus grand nombre représentable?
. . .
* Plus petite mantisse et exposant: $\sim 2^{-52}\cdot 2^{-1022}\sim 4\cdot 10^{-324}$,
* Plus grande mantisse et exposant: $\sim 2\cdot 2^{1023}\sim \cdot 1.8\cdot 10^{308}$.
# Précision finie (1/3)
## Erreur de représentation
* Les nombres réels ont potentiellement un **nombre infini** de décimales
* $1/3=0.\overline{3}$,
* $\pi=3.1415926535...$.
* Les nombres à virgule flottante peuvent en représenter qu'un **nombre
fini**.
* $1/3\cong 0.33333$, erreur $0.00000\overline{3}$.
* $\pi\cong3.14159$, erreur $0.0000026535...$.
On rencontre donc des **erreurs de représentation** ou **erreurs
d'arrondi**.
. . .
## Et quand on calcule?
* Avec deux chiffres significatifs
\begin{align}
&8.9+(0.02+0.04)=8.96=9.0,\\
&(8.9+0.02)+0.04=8.9+0.04=8.9.
\end{align}
. . .
## Même pas associatif!
# Précision finie (2/3)
## Erreur de représentation virgule flottante
$$
(1.2)_{10} = 1.\overline{0011}\cdot 2^0\Rightarrow 0\ 01111111\
00110011001100110011010.
$$
Erreur d'arrondi dans les deux derniers bits et tout ceux qui viennent
ensuite
$$
\varepsilon_2 = (00000000000000000000011)_2.
$$
Ou en décimal
$$
\varepsilon_{10} = 4.76837158203125\cdot 10^{-8}.
$$
# Précision finie (3/3)
## Comment définir l'égalité de 2 nombres à virgule flottante?
. . .
Ou en d'autres termes, pour quel $\varepsilon>0$ (appelé `epsilon-machine`) on a
$$
1+\varepsilon = 1,
$$
pour un nombre à virgule flottante?
. . .
Pour un `float` (32 bits) la différence est à
$$
2^{-23}=1.19\cdot 10^{-7},
$$
Soit la précision de la mantisse.
## Comment le mesurer (par groupe)?
. . .
```C
float eps = 1.0;
while ((float)1.0 + (float)0.5 * eps != (float)1.0) {
eps = (float)0.5 * eps;
}
printf("eps = %g\n", eps);
```
# Erreurs d'arrondi
Et jusqu'ici on a encore pas fait d'arithmétique!
## Multiplication avec deux chiffres significatifs, décimal
$$
(1.1)_{10}\cdot (1.1)_{10}=(1.21)_{10}=(1.2)_{10}.
$$
En continuant ce petit jeu:
$$
\underbrace{1.1\cdot 1.1\cdots 1.1}_{\mbox{10 fois}}=2.0.
$$
Alors qu'en réalité
$$
1.1^{10}=2.5937...
$$
Soit une erreur de près de 1/5e!
. . .
## Le même phénomène se produit (à plus petite échelle) avec les `float` ou
`double`.
# Exemple de récursivité (1/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On empile les appels
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | | `factorial(1)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# Exemple de récursivité (2/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On dépile les calculs
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `1` | | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# La récursivité (1/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
# La récursivité (2/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) { // Condition de récursivité
return n * factorial(n - 1);
} else { // Condition d'arrêt
return 1;
}
}
```
# La récursivité (3/4)
## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
. . .
```C
double epsilon_machine(double eps) {
if (1.0 + eps != 1.0) {
return epsilon_machine(eps / 2.0);
} else {
return eps;
}
}
```
# La récursivité (4/4)
## Exercice: que fait ce code récursif?
```C
void recurse(int n) {
printf("%d ", n % 2);
if (n / 2 != 0) {
recurse(n / 2);
} else {
printf("\n");
}
}
recurse(13);
```
. . .
```C
binaire(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
binaire(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
binaire(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
binaire(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
// affiche: 1 1 0 1
```
slides_2021/cours_6.md 0 → 100644
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title: "Récursivité et complexité"
date: "2021-11-03"
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---
# La récursivité (1/2)
* Code récursif
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) { // Condition de récursivité
return n * factorial(n - 1);
} else { // Condition d'arrêt
return 1;
}
}
```
. . .
* Code impératif
```C
int factorial(int n) {
int f = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
f *= i;
}
return f;
}
```
# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15
27 = 15 * 1 + 12
15 = 12 * 1 + 3
12 = 3 * 4 + 0
```
# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
## Étudier l'exécution
```C
42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
```
## Effectuer l'empilage - dépilage
. . .
```C
PGCD(12, 3) | 3
PGCD(15, 12) | 3
PGCD(27, 15) | 3
PGCD(42, 27) | 3
```
# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
## Écrire le code
. . .
```C
int pgcd(int n, int m) {
if (n % m > 0) {
return pgcd(m, n % m);
} else {
return m;
}
}
```
# La suite de Fibonacci (1/2)
## Règle
$$
\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
$$
## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
. . .
## En récursif (6 lignes)
```C
int fib(int n) {
if (n > 1) {
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return n;
}
```
# La suite de Fibonacci (2/2)
## Et en impératif (11 lignes)
```C
int fib_imp(int n) {
int fib0 = 1;
int fib1 = 1;
int fib = n == 0 ? 0 : fib1;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
fib = fib0 + fib1;
fib0 = fib1;
fib1 = fib;
}
return fib;
}
```
# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
## But: Calculer $x^n$
* Algorithme naîf et impératif
```C
int pow(x, n) {
if (0 == n) {
return 1;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) {
x *= x;
}
return x;
}
```
. . .
* Complexité? Combien de multiplication en fonction de `n`?
# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
* Algorithme naïf et récursif
```C
int pow(x, n) {
if (n != 0) {
return x * pow(x, n-1);
} else {
return 1;
}
}
```
# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
$d\sim\log_2(n)$).
*
$$
x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
$$
* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
## Combien de calculs en terme de $n$?
. . .
* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
## Le vrai algorithme
* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\right)^2$,
* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2$.
## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (1 == n) {
return x;
} else if (n % 2 == 0) {
return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
} else {
return x * pow(x, (n-1));
}
}
```
# Efficacité d'un algorithmique
Comment mesurer l'efficacité d'un algorithme?
. . .
* Mesurer le temps CPU,
* Mesurer le temps d'accès à la mémoire,
* Mesurer la place prise mémoire,
. . .
Dépendant du **matériel**, du **compilateur**, des **options de compilation**,
etc!
## Mesure du temps CPU
```C
#include <time.h>
struct timespec tstart={0,0}, tend={0,0};
clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tstart);
// some computation
clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tend);
printf("computation about %.5f seconds\n",
((double)tend.tv_sec + 1e-9*tend.tv_nsec) -
((double)tstart.tv_sec + 1e-9*tstart.tv_nsec));
```
# Programme simple: mesure du temps CPU
## Preuve sur un [petit exemple](../source_codes/complexity/sum.c)
```bash
source_codes/complexity$ make bench
RUN ONCE -O0
the computation took about 0.00836 seconds
RUN ONCE -O3
the computation took about 0.00203 seconds
RUN THOUSAND TIMES -O0
the computation took about 0.00363 seconds
RUN THOUSAND TIMES -O3
the computation took about 0.00046 seconds
```
Et sur votre machine les résultats seront **différents**.
. . .
## Conclusion
* Nécessité d'avoir une mesure indépendante du/de la
matériel/compilateur/façon de mesurer/météo.
# Analyse de complexité algorithmique (1/4)
* On analyse le **temps** pris par un algorithme en fonction de la **taille de
l'entrée**.
## Exemple: recherche d'un élément dans une liste triée de taille N
```C
int sorted_list[N];
bool in_list = is_present(N, sorted_list, elem);
```
* Plus `N` est grand, plus l'algorithme prend de temps sauf si...
. . .
* l'élément est le premier de la liste (ou à une position toujours la même).
* ce genre de cas pathologique ne rentre pas en ligne de compte.
# Analyse de complexité algorithmique (2/4)
## Recherche linéaire
```C
bool is_present(int n, int tab[], int elem) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (tab[i] == elem) {
return true;
} else if (elem < tab[i]) {
return false;
}
}
return false;
}
```
* Dans le **meilleurs des cas** il faut `1` comparaison.
* Dans le **pire des cas** (élément absent p.ex.) il faut `n`
comparaisons.
. . .
La **complexité algorithmique** est proportionnelle à `N`: on double la taille
du tableau $\Rightarrow$ on double le temps pris par l'algorithme.
# Analyse de complexité algorithmique (3/4)
## Recherche dichotomique
```C
bool is_present_binary_search(int n, int tab[], int elem) {
int left = 0;
int right = n - 1;
while (left <= right) {
int mid = (right + left) / 2;
if (tab[mid] < elem) {
left = mid + 1;
} else if (tab[mid] > elem) {
right = mid - 1;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
```
# Analyse de complexité algorithmique (4/4)
## Recherche dichotomique
![Source:
[Wikipédia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Binary_search_complexity.svg)](figs/Binary_search_complexity.svg){width=80%}
. . .
* Dans le **meilleurs de cas** il faut `1` comparaison.
* Dans le **pire des cas** il faut $\log_2(N)+1$ comparaisons
. . .
## Linéaire vs dichotomique
* $N$ vs $\log_2(N)$ comparaisons logiques.
* Pour $N=1000000$: `1000000` vs `21` comparaisons.
# Notation pour la complexité
## Constante de proportionnalité
* Pour la recherche linéaire ou dichotomique, on a des algorithmes qui sont
$\sim N$ ou $\sim \log_2(N)$
* Qu'est-ce que cela veut dire?
. . .
* Temps de calcul est $t=C\cdot N$ (où $C$ est le temps pris pour une
comparaisons sur une machine/compilateur donné)
* La complexité ne dépend pas de $C$.
## Le $\mathcal{O}$ de Leibnitz
* Pour noter la complexité d'un algorithme on utilise le symbole
$\mathcal{O}$ (ou "grand Ô de").
* Les complexités les plus couramment rencontrées sont
. . .
$$
\mathcal{O}(1),\quad \mathcal{O}(\log(N)),\quad \mathcal{O}(N),\quad
\mathcal{O}(\log(N)\cdot N), \quad \mathcal{O}(N^2), \quad
\mathcal{O}(N^3).
$$
# Ordres de grandeur
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\caption{Valeurs approximatives de quelques fonctions usuelles de complexité.}
\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$\log_2(N)$ & $\sqrt{N}$ & $N$ & $N\log_2(N)$ & $N^2$ \\
\hline\hline
$3$ & $3$ & $10$ & $30$ & $10^2$ \\
\hline
$6$ & $10$ & $10^2$ & $6\cdot 10^2$ & $10^4$ \\
\hline
$9$ & $31$ & $10^3$ & $9\cdot 10^3$ & $10^6$ \\
\hline
$13$ & $10^2$ & $10^4$ & $1.3\cdot 10^5$ & $10^8$ \\
\hline
$16$ & $3.1\cdot 10^2$ & $10^5$ & $1.6\cdot 10^6$ & $10^{10}$ \\
\hline
$19$ & $10^3$ & $10^6$ & $1.9\cdot 10^7$ & $10^{12}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
# Quelques exercices (1/3)
## Complexité de l'algorithme de test de primalité naïf?
```C
for (i = 2; i < sqrt(N); ++i) {
if (N % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
```
. . .
## Réponse
$$
\mathcal{O}(\sqrt{N}).
$$
# Quelques exercices (2/3)
## Complexité de trouver le minimum d'un tableau?
```C
min = MAX;
for (i = 0; i < N; ++i) {
if (tab[i] < min) {
min = tab[i];
}
}
return min;
```
. . .
## Réponse
$$
\mathcal{O}(N).
$$
# Quelques exercices (3/3)
## Complexité du tri par sélection?
```C
ind = 0
while (ind < SIZE-1) {
min = find_min(tab[ind:SIZE]);
swap(min, tab[ind]);
ind += 1
}
```
. . .
## Réponse
### `min = find_min`
$$
(N-1)+(N-2)+...+2+1=\sum_{i=1}^{N-1}i=N\cdot(N-1)/2=\mathcal{O}(N^2).
$$
## Finalement
$$
\mathcal{O}(N^2\mbox{ comparaisons}) + \mathcal{O}(N\mbox{
swaps})=\mathcal{O}(N^2).
$$
slides_2021/cours_7.md 0 → 100644
View file @ febfc3f8
---
title: "Tris"
date: "2021-11-10"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Tri par insertion (1/3)
## But
* trier un tableau par ordre croissant
## Algorithme
Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmis les éléments déjà
triés du tableau.
![Tri par insertion d'un tableau d'entiers](figs/tri_insertion.svg)
# Tri par insertion (2/3)
## Exercice: Proposer un algorithme
. . .
```C
void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
for (int i = 1; i < N; i++) {
int tmp = tab[i];
int pos = i;
while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
tab[pos] = tab[pos - 1];
pos = pos - 1;
}
tab[pos] = tmp;
}
}
```
# Tri par insertion (3/3)
## Question: Quelle est la complexité?
. . .
* Parcours de tous les éléments ($N-1$ passages dans la boucle)
* Placer: en moyenne $i$ comparaisons et affectations à l'étape $i$
* Moyenne: $\mathcal{O}(N^2)$
. . .
* Pire des cas, liste triée à l'envers: $\mathcal{O}(N^2)$
* Meilleurs des cas, liste déjà triée: $\mathcal{O}(N)$
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par insertion le tableau `[5, -2, 1, 3, 10]`
```C
```
# Tri rapide ou quicksort (1/8)
## Idée: algorithme `diviser pour régner` (`divide-and-conquer`)
* Diviser: découper un problème en sous problèmes;
* Régner: résoudre les sous-problèmes (souvent récursivement);
* Combiner: à partir des sous problèmes résolu, calculer la solution.
## Le pivot
* Trouver le **pivot**, un élément qui divise le tableau en 2, tels que:
1. Éléments à gauche sont **plus petits** que le pivot.
2. Élements à droite sont **plus grands** que le pivot.
# Tri rapide ou quicksort (2/8)
## Algorithme `quicksort(tableau)`
1. Choisir le pivot et l'amener à sa place:
* Les éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
* Les éléments à droite sont plus grand que le pivot.
2. `quicksort(tableau_gauche)` en omettant le pivot.
3. `quicksort(tableau_droite)` en omettant le pivot.
4. S'il y a moins de deux éléments dans le tableau, le tableau est trié.
. . .
Compris?
. . .
Non c'est normal, faisons un exemple.
# Tri rapide ou quicksort (3/8)
Deux variables sont primordiales:
```C
int low, high; // les indices min/max des tableaux à trier
```
![Un exemple de quicksort.](figs/quicksort.svg)
# Tri rapide ou quicksort (4/8)
Deux variables sont primordiales:
```C
int low, high; // les indices min/max des tableaux à trier
```
## Pseudocode: quicksort
```C
void quicksort(array, low, high) {
if (more than 1 elems) {
pivot_ind = partition(array, low, high);
if (something left of pivot)
quicksort(array, low, pivot_ind - 1);
if (something right of pivot)
quicksort(array, pivot_ind + 1, high);
}
}
```
# Tri rapide ou quicksort (5/8)
## Pseudocode: partition
```C
int partition(array, low, high) {
pivot = array[high]; // choix arbitraire
i = low;
j = high-1;
while i < j {
en remontant i trouver le premier élément > pivot;
en descendant j trouver le premier élément < pivot;
swap(array[i], array[j]);
// les plus grands à droite
// mettre les plus petits à gauche
}
// on met le pivot "au milieu"
swap(array[i], array[pivot]);
return i; // on retourne l'indice pivot
}
```
# Tri rapide ou quicksort (6/8)
## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
. . .
```C
void quicksort(int size, int array[size], int first,
int last)
{
if (first < last) {
int midpoint = partition(size, array, first, last);
if (first < midpoint - 1) {
quicksort(size, array, first, midpoint - 1);
}
if (midpoint + 1 < last) {
quicksort(size, array, midpoint + 1, last);
}
}
}
```
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par tri rapide le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
```C
```
# Tri rapide ou quicksort (7/8)
\footnotesize
## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
```C
int partition(int size, int array[size], int first, int last) {
int pivot = array[last];
int i = first - 1, j = last;
do {
do {
i++;
} while (array[i] < pivot && i < j);
do {
j--;
} while (array[j] > pivot && i < j);
if (j > i) {
swap(&array[i], &array[j]);
}
} while (j > i);
swap(&array[i], &array[last]);
return i;
}
```
# Tri rapide ou quicksort (8/8)
## Quelle est la complexité du tri rapide?
. . .
* Pire des cas plus: $\mathcal{O}(N^2)$
* Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée ($N-1$
éléments d'un côté $1$ de l'autre).
* $N$ boucles et $N$ comparaisons $\Rightarrow N^2$.
* Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot): $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
* Chaque fois le tableau est séparé en $2$ parties égales.
* On a $\log_2(N)$ partitions, et $N$ boucles $\Rightarrow N\cdot
\log_2(N)$.
* En moyenne: $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
# Tri à bulle (1/4)
## Algorithme
* Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
- Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
* On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à
faire.
## Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?
. . .
* Le plus grand élément est **à la fin** du tableau.
* Plus besoin de le traiter.
* A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.
# Tri à bulle (2/4)
## Exemple
![Tri à bulles d'un tableau d'entiers](figs/tri_bulles.svg)
# Tri à bulle (3/4)
## Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)
. . .
```C
void bubble_sort(int size, int array[]) {
for i in [size-1, 1] {
sorted = true;
for j in [0, i-1] {
if (array[j] > array[j+1]) {
swap(array[j], array[j+1]);
sorted = false;
}
}
if (sorted) {
return;
}
}
}
```
# Tri à bulle (4/4)
## Quelle est la complexité du tri à bulles?
. . .
* Dans le meilleurs des cas:
* Le tableau est déjà trié: $\mathcal{O}(N)$ comparaisons.
* Dans le pire des cas, $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$:
$$
\sum_{i=1}^{N-1}i\mbox{ comparaison et }3\sum_{i=1}^{N-1}i \mbox{ affectations
(swap)}\Rightarrow \mathcal{O}(N^2).
$$
* En moyenne, $\mathcal{O}(N^2)$ ($N^2/2$ comparaisons).
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par tri à bulles le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
```C
```