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  • iliya.saroukha/cours
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lessons/tris/figures/etape_2_1.eps 0 → 100644
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
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4 -2 roll mul srgb} bind def
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/newcodesandnames exch def /newfontname exch def /basefontname exch def
/basefontdict basefontname findfont def /newfont basefontdict maxlength dict def
basefontdict { exch dup /FID ne { dup /Encoding eq
{ exch dup length array copy newfont 3 1 roll put }
{ exch newfont 3 1 roll put } ifelse } { pop pop } ifelse } forall
newfont /FontName newfontname put newcodesandnames aload pop
128 1 255 { newfont /Encoding get exch /.notdef put } for
newcodesandnames length 2 idiv { newfont /Encoding get 3 1 roll put } repeat
newfontname newfont definefont pop end } def
/isovec [
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8#352 /ecircumflex 8#353 /edieresis 8#354 /igrave 8#355 /iacute
8#356 /icircumflex 8#357 /idieresis 8#360 /eth 8#361 /ntilde 8#362 /ograve
8#363 /oacute 8#364 /ocircumflex 8#365 /otilde 8#366 /odieresis 8#367 /divide
8#370 /oslash 8#371 /ugrave 8#372 /uacute 8#373 /ucircumflex
8#374 /udieresis 8#375 /yacute 8#376 /thorn 8#377 /ydieresis] def
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/Times-Roman /Times-Roman-iso isovec ReEncode
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4 0 0 50 -1 0 20 0.0000 4 255 4965 1200 1875 Exemple de tableau ne formant pas un tas :\001
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$F2psEnd
rs
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View file @ febfc3f8
#FIG 3.2
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2 1 2.00 60.00 150.00
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2 1 2.00 60.00 150.00
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2 1 2.00 60.00 150.00
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-6
lessons/tris/heapsort.tex 0 → 100644
View file @ febfc3f8
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\begin{document}
\section*{\center Le tri par tas ({\it Heapsort})}
Le tableau à trier est interprété abstraitement comme un arbre
binaire. Le rôle de cette représentation mentale est de permettre de
réorganiser les données en "tas" ce qui permettra de les trier
efficacement.
Les performances du tri par tas sont celles du tri par arbre dans le cas
moyen, soit $O(N\log_2(N))$, avec le double avantage de n'avoir pas de
pointeurs à manipuler (moins d'occupation mémoire) et d'être stable en
complexité. Il est en moyenne plus lent que le {\it Quicksort}, mais ne
dégénère pas en $O(N^2)$ dans le pire cas.
\paragraph{Lien entre tableau et arbre.}
Le tableau à trier peut être représenté sous forme d'arbre comme
structure abstraite (uniquement pour le raisonnement). On établit
une correspondance entre arbre et tableau:
\begin{itemize}
\itemsep=-1pt
\item La racine de l'arbre correspond au premier élément du tableau.
\item Les deux fils d'un noeud d'indice $i$ ont pour indices: $2i+1$ et $2i+2$.
\item Un élément de rang $i$ a pour parent l'élément d'indice: $(i-1)/2$.
\end{itemize}
Les éléments du tableau sont donc rangés dans l'arbre niveau par
niveau, de gauche à droite. Ainsi tous les niveaux de l'arbre sont
complets sauf peut-être le dernier, qui ne peut être incomplet qu'à
droite. Le parcours des indices du tableau correspond à un parcours
en largeur de l'arbre (parcours de gauche à droite par niveau).
La figure~\ref{corresp-arbre-tab} illustre la correspondance entre
tableau et arbre.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/arbre_tab.eps, height=9cm, clip=}
\caption{Correspondance entre tableau et arbre: les flèches donnent
la structure d'arbre à partir des opérations sur les indices ($2i+1$ et
$2i+2$ pour déterminer les fils, et $(i-2)/2$~pour~le~parent).}
\label{corresp-arbre-tab}
\end{center}
\end{figure}
\paragraph{Définition.}
Un arbre est un tas si pour chacun de ses noeuds la valeur de
chacun de ces descendants est inférieure ou égale à sa propre
valeur. Le mot "tas" est la traduction française du mot anglais
{\it heap}. Une meilleure terminologie, proposée par J. Arsac, serait:
structure d'épi.
\noindent
Exemple de tas et de non-tas:
\qquad 16 8 14 6 2 10 12 4 5
est un tas
\qquad 16 14 8 6 2 10 12 4 5
ne forme pas un tas (10 > 8, 12 > 8)
\noindent
Ce tri opère en deux phases:
\begin{itemize}
\itemsep=-1pt
\item entassement (ou tamisage) pour chaque noeud;
\item algorithme de tri: extraction de la racine et entassement à
la racine.
\end{itemize}
\paragraph{Phase 1: entassement (ou tamisage).}
Un entassement (ou tamisage) est l'opération de remplacer la valeur d'un noeud par
$\max(noeud, fils\_gauche, fils\_droit)$ récursivement. Cette action de
prendre l'élément maximum parmi un parent et ses fils, s'appelle
promotion. L'entassement, qui est donc une succession de promotions,
débute depuis le noeud d'indice $N/2$ où $N$ est la taille du tableau.
\paragraph{Phase 2: tri des tas.}
A chaque étape $i=1,...,N-1$, on itère
le procédé suivant sur le sous-tableau allant de l'indice $0$ à $N-i$ inclus:
\begin{itemize}
\itemsep=-1pt
\item on place l'élément maximal (qui se trouve à la racine de l'arbre) à sa position définitive $N-i$;
\item l'élément qui se trouvait en position $N-i$ est placé à la racine;
\item le noeud le plus à droite du plus bas niveau prend la place de la racine, et est lui-même supprimé;
\item on applique l'algorithme d'entassement à la racine.
\end{itemize}
\end{document}
lessons/tris/heapsort_expl.tex 0 → 100755
View file @ febfc3f8
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\title{Exemple pour le tri par tas}
\date{}
\begin{document}
%\maketitle
\section*{Exemple pour le tri par tas}
\subsection*{Départ}
\noindent
La figure 1 présente la situation de départ, le tableau à trier ainsi que sa représentation sous forme d'arbre. L'arbre a été rempli de gauche à droite par niveaux en partant de la racine.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/depart.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Situation de départ}
\end{figure}
\subsection*{Phase 1}
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Il faut maintenant transformer l'arbre de départ en tas. Ceci commence au noeud correspondant à l'indice $N/2$ du tableau. Comme le montre la figure 2, ce noeud contient la valeur 4 qui ne forme pas un tas car son fils contient une valeur plus grande 7. Il faut donc intervertir les valeurs.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_1_1.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Premier noeud traité}
\end{figure}
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Le noeud suivant à traiter contient la valeur 12, il forme un tas car 10 et 6 sont plus petit~que~lui.
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Le noeud suivant à traiter contient la valeur 5, qui ne forme pas un tas. Il faut réorganiser le sous-arbre afin qu'il forme un tas en plaçant $\max(5,3,8)$, c'est à dire 8, à la place de 5. Ceci est réalisé à la figure 3.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_1_2.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Second noeud traité}
\end{figure}
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Le noeud suivant à traiter contient la valeur 16, il forme un tas car 10 et 6 sont plus petit~que~lui.
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Il faut maintenant traiter la racine. La valeur 1 est remplacée par $\max(1,16,8)$, ce qui est représenté à la figure 4.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_1_2b.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Traitement de la racine}
\end{figure}
\newpage
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Il faut maintenant réitérer ce traitement jusqu'à la feuille. Ceci donne le résultat final de la première phase présenté à la figure 5.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_1_3.eps,height=6cm,}
\end{center}
\caption{Traitement de la racine}
\end{figure}
\subsection*{Phase 2}
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La seconde phase consiste à enlever l'élément racine de l'arbre et à le placer en fin de tableau. L'élément qui se trouvait à cette place est placé à la racine et traité comme dans la première phase. L'arbre doit toujours être un tas. Le traitement de la valeur 16 est présenté à la figure 6.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_2_1.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Plus grande valeur traitée}
\end{figure}
\newpage
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Il faut maintenant traiter la valeur 12 de manière similaire sur un arbre et un tableau de dimensions $N-1$. Et ainsi de suite pour tous les éléments du tableau (respectivement de l'arbre). Deux étapes sont présentées aux figures 7 et 8.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_2_2.eps,height=6cm}
\end{center}
\caption{Deuxième valeur traitée}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file=figures/etape_2_3.eps,height=5cm}
\end{center}
\caption{Troisième valeur traitée}
\end{figure}
\end{document}