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  • jeremy.meissner/cours
  • radhwan.hassine/cours
  • yassin.elhakoun/cours-algo
  • gaspard.legouic/cours
  • joachim.bach/cours
  • gabriel.marinoja/algo-cours
  • loic.lavorel/cours
  • iliya.saroukha/cours
  • costanti.volta/cours
  • jacquesw.ndoumben/cours
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README.md
View file @ 6a7f0d88
# Remerciements et contributions
Merci aux contributeurs suivants pour leurs efforts (dans un ordre aléatoire):
Merci aux contributeurs suivants pour leurs efforts (dans un ordre alphabétique):
* P. Kunzli
* A. Boyer
* G. Legouic
* P. Albuquerque
* O. Malaspinas
* J. Bach
* A. Boyer
* M. Corboz
* M. Divià
* Y. El Hakouni
* A. Escribano
* P. Kunzli
* G. Legouic
* G. Marino Jarrin
* H. Radhwan
* I. Saroukhanian
* C. Volta
slides/.clang-format 0 → 100644
View file @ 6a7f0d88
---
Language: Cpp
# BasedOnStyle: Google
AccessModifierOffset: -4
AlignAfterOpenBracket: AlwaysBreak
AlignConsecutiveAssignments: None
AlignConsecutiveBitFields: None
AlignConsecutiveDeclarations: None
AlignConsecutiveMacros: true
AlignEscapedNewlines: Left
AlignOperands: Align
AlignTrailingComments: true
AllowAllArgumentsOnNextLine: true
AllowAllConstructorInitializersOnNextLine: true
AllowAllParametersOfDeclarationOnNextLine: true
AllowShortEnumsOnASingleLine: true
AllowShortBlocksOnASingleLine: Never
AllowShortCaseLabelsOnASingleLine: false
AllowShortFunctionsOnASingleLine: Empty
AllowShortLambdasOnASingleLine: Empty
AllowShortIfStatementsOnASingleLine: Never
AllowShortLoopsOnASingleLine: false
AlwaysBreakAfterDefinitionReturnType: None
AlwaysBreakAfterReturnType: None
AlwaysBreakBeforeMultilineStrings: true
AlwaysBreakTemplateDeclarations: Yes
BinPackArguments: true
BinPackParameters: true
BitFieldColonSpacing: Both
BraceWrapping:
AfterCaseLabel: false
AfterClass: false
AfterControlStatement: MultiLine
AfterEnum: false
AfterFunction: false
AfterNamespace: false
AfterObjCDeclaration: false
AfterStruct: false
AfterUnion: false
AfterExternBlock: false
BeforeCatch: false
BeforeElse: false
BeforeLambdaBody: false
BeforeWhile: false
IndentBraces: false
SplitEmptyFunction: false
SplitEmptyRecord: true
SplitEmptyNamespace: true
BreakBeforeBinaryOperators: NonAssignment
BreakBeforeBraces: Custom
BreakBeforeInheritanceComma: false
BreakInheritanceList: AfterColon
BreakBeforeTernaryOperators: true
BreakConstructorInitializersBeforeComma: false
BreakConstructorInitializers: AfterColon
BreakAfterJavaFieldAnnotations: false
BreakStringLiterals: true
ColumnLimit: 100
CommentPragmas: '^ IWYU pragma:'
CompactNamespaces: false
ConstructorInitializerAllOnOneLineOrOnePerLine: true
ConstructorInitializerIndentWidth: 4
ContinuationIndentWidth: 4
Cpp11BracedListStyle: true
DeriveLineEnding: false
DerivePointerAlignment: false
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ExperimentalAutoDetectBinPacking: false
FixNamespaceComments: true
ForEachMacros:
- foreach
- Q_FOREACH
- BOOST_FOREACH
IncludeBlocks: Regroup
IncludeCategories:
- Regex: '^<ext/.*\.h>'
Priority: 2
SortPriority: 0
- Regex: '^<.*\.h>'
Priority: 1
SortPriority: 0
- Regex: '^<.*'
Priority: 2
SortPriority: 0
- Regex: '.*'
Priority: 3
SortPriority: 0
IncludeIsMainRegex: '([-_](test|unittest))?$'
IncludeIsMainSourceRegex: ''
IndentCaseLabels: false
IndentCaseBlocks: false
IndentGotoLabels: false
IndentPPDirectives: None
IndentExternBlock: AfterExternBlock
IndentWidth: 4
IndentWrappedFunctionNames: true
InsertTrailingCommas: None
JavaScriptQuotes: Leave
JavaScriptWrapImports: true
KeepEmptyLinesAtTheStartOfBlocks: false
MacroBlockBegin: ''
MacroBlockEnd: ''
MaxEmptyLinesToKeep: 1
NamespaceIndentation: None
ObjCBinPackProtocolList: Never
ObjCBlockIndentWidth: 2
ObjCBreakBeforeNestedBlockParam: true
ObjCSpaceAfterProperty: false
ObjCSpaceBeforeProtocolList: true
PenaltyBreakAssignment: 2
PenaltyBreakBeforeFirstCallParameter: 1
PenaltyBreakComment: 300
PenaltyBreakFirstLessLess: 120
PenaltyBreakString: 1000
PenaltyBreakTemplateDeclaration: 10
PenaltyExcessCharacter: 1000000
PenaltyReturnTypeOnItsOwnLine: 200
PointerAlignment: Right
RawStringFormats:
- Language: Cpp
Delimiters:
- cc
- CC
- cpp
- Cpp
- CPP
- 'c++'
- 'C++'
CanonicalDelimiter: ''
BasedOnStyle: google
- Language: TextProto
Delimiters:
- pb
- PB
- proto
- PROTO
EnclosingFunctions:
- EqualsProto
- EquivToProto
- PARSE_PARTIAL_TEXT_PROTO
- PARSE_TEST_PROTO
- PARSE_TEXT_PROTO
- ParseTextOrDie
- ParseTextProtoOrDie
- ParseTestProto
- ParsePartialTestProto
CanonicalDelimiter: ''
BasedOnStyle: google
ReflowComments: true
SortIncludes: false
SortUsingDeclarations: false
SpaceAfterCStyleCast: false
SpaceAfterLogicalNot: false
SpaceAfterTemplateKeyword: true
SpaceBeforeAssignmentOperators: true
SpaceBeforeCpp11BracedList: true
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SpaceBeforeInheritanceColon: true
SpaceBeforeParens: ControlStatements
SpaceBeforeRangeBasedForLoopColon: true
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SpaceInEmptyParentheses: false
SpacesBeforeTrailingComments: 2
SpacesInAngles: false
SpacesInConditionalStatement: false
SpacesInContainerLiterals: false
SpacesInCStyleCastParentheses: false
SpacesInParentheses: false
SpacesInSquareBrackets: false
SpaceBeforeSquareBrackets: false
Standard: Auto
StatementMacros:
- Q_UNUSED
- QT_REQUIRE_VERSION
TabWidth: 4
UseCRLF: false
UseTab: Never
WhitespaceSensitiveMacros:
- STRINGIZE
- PP_STRINGIZE
- BOOST_PP_STRINGIZE
...
slides/.gitignore
View file @ 6a7f0d88
*.pdf
*.err
*.markdown
*.html
index.md
diagram*.pdf
cours*.pdf
intro.pdf
mermaid-filter.err
.puppeteer.json
slides/Makefile
View file @ 6a7f0d88
......@@ -18,14 +18,15 @@ all: puppeteer $(PDF)
# all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf
docker: docker-compose.yml
docker-compose run slides
docker compose run slides
docker_clean: docker-compose.yml
docker-compose run slides clean
docker compose run slides clean
puppeteer:
@echo "Setting chromium to $(CHROMIUM) for puppeteer"
@echo -e "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
# @echo "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
index.md: gen_index.sh
$(shell ./gen_index.sh)
......
slides/cours_1.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2022-09-21"
title: "Introduction aux algorithmes I"
date: "2024-09-16"
---
# Qu'est-ce qu'un algorithme?
......@@ -42,7 +42,7 @@ de résoudre typiquement une classe de problèmes ou effectuer un calcul.
. . .
* Opérateurs (arthimétiques / booléens)
* Opérateurs (arithmétiques / booléens)
* Boucles;
* Structures de contrôle;
* Fonctions;
......@@ -79,7 +79,7 @@ booléen est_premier(nombre)
```C
booléen est_premier(nombre) // fonction
soit i = 2; // variable, type, assignation
soit i = 2 // variable, type, assignation
tant que i < nombre // boucle
si nombre modulo i == 0 // expression typée
retourne faux // expression typée
......@@ -99,7 +99,7 @@ bool est_premier(int nombre) {
if (0 == nombre % i) { // is i divise nombre
return false; // i n'est pas premier
}
i += 1; // sinon on incrémente i
i = i + 1; // sinon on incrémente i
}
return true;
}
......@@ -121,8 +121,8 @@ bool est_premier(int nombre) {
- Il existe une multitude d'options de compilation:
```bash
$ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g porg.c -o prog
```console
$ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g prog.c -o prog
-fsanitize=address
```
1. `-std=c11` utilisation de C11.
......@@ -240,7 +240,7 @@ int main() {
# Quiz: compile ou compile pas?
## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033948)
## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501934)
# Types de base (1/4)
......@@ -288,7 +288,7 @@ Type Signification
# Quiz: booléens
## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1032492)
## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501922)
<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
......@@ -332,7 +332,7 @@ if (x) { /* vrai */ }
# Quiz: conversions
## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033446)
## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501925)
<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
......@@ -347,212 +347,3 @@ bool d = 2.78; // 1
bool e = 1.0; // 1
``` -->
# Expressions et opérateurs (1/6)
Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.
## Expressions simples
- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.
```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0; // '0' est un litéral
int y = x; // 'x' est une variable
int z = L; // 'L' est une constante
```
## Expressions complexes
- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*
```C
int x; // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
// dont le résultat est affecté à 'x'
```
# Expressions et opérateurs (2/6)
## Opérateurs relationnels
Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:
- `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.
| Opérateur | Syntaxe | Résultat |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C} | `a < b`{.C} | 1 si a < b; 0 sinon |
| `>`{.C} | `a > b`{.C} | 1 si a > b; 0 sinon |
| `<=`{.C} | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C} | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C} | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C} | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |
# Expressions et opérateurs (3/6)
## Opérateurs logiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C} | `a && b`{.C} | ET logique |
| `||`{.C} | `a || b`{.C} | OU logique |
| `!`{.C} | `!a`{.C} | NON logique |
# Quiz: opérateurs logiques
## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033629)
<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1
Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->
# Expressions et opérateurs (4/6)
## Opérateurs arithmétiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C} | `a + b`{.C} | Addition |
| `-`{.C} | `a - b`{.C} | Soustraction |
| `*`{.C} | `a * b`{.C} | Multiplication |
| `/`{.C} | `a / b`{.C} | Division |
| `%`{.C} | `a % b`{.C} | Modulo |
# Expressions et opérateurs (5/6)
## Opérateurs d'assignation
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C} | `a = b`{.C} | Affecte la valeur `b` à la variable `a` |
| | | et retourne la valeur de `b` |
| `+=`{.C} | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `-=`{.C} | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `*=`{.C} | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `/=`{.C} | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `%=`{.C} | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
# Expressions et opérateurs (6/6)
## Opérateurs d'assignation (suite)
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C} | `++a`{.C} | Incrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a += 1`). |
| `--`{.C} | `--a`{.C} | Décrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a -= 1`). |
| `++`{.C} | `a++`{.C} | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1. |
| `--`{.C} | `a--`{.C} | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1. |
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)
## Syntaxe
```C
if (expression) {
instructions;
} else if (expression) { // optionnel
// il peut y en avoir plusieurs
instructions;
} else {
instructions; // optionnel
}
```
```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
printf("y vaut 8.\n");
} else {
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)
## Pièges
```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
x = -1; // toujours évalué
```
# Quiz: `if ... else`{.C}
## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033916)
# Structures de contrôle: `while`{.C}
## La boucle `while`{.C}
```C
while (condition) {
instructions;
}
do {
instructions;
} while (condition);
```
## La boucle `while`{.C}, un exemple
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
sum += 1;
}
do {
sum += 10;
} while (sum < 100)
```
# Structures de contrôle: `for`{.C}
## La boucle `for`{.C}
```C
for (expression1; expression2; expression3) {
instructions;
}
```
## La boucle `for`{.C}
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
sum += i;
}
for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
slides/cours_10.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Piles"
date: "2022-12-14"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Backtracking et piles"
date: "2024-12-02"
---
# Rappel
# Le problème des 8-reines
## Qu'est-ce qu'une pile?
\Huge Le problème des 8-reines
. . .
# Problème des 8-reines
* Structure de données LIFO.
* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
## Quelles fonctionnalités?
## Conséquence
* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
## Généralisation
* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
N$.
- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
![Problème des 8-reines. Source:
[wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_huit_dames)](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
# Problème des 2-reines
![Le problème des 2 reines n'a pas de solution.](figs/2reines.svg){width=50%}
# Comment trouver les solutions?
* On pose la première reine sur la première case disponible.
* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
possibilité de poser une reine.
* On recommence depuis là.
. . .
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retrouner.
3. Liste vide? (is_empty?).
4. Jeter un oeil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
5. Nombre d'éléments (length).
* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
reines.
# Le tri à deux piles (3/3)
# Problème des 3-reines
## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
![Le problème des 3 reines n'a pas de solution non plus.](figs/3reines.svg)
```C
# Problème des 4-reines
![Le problème des 4 reines a une solution.](figs/4reines.svg)
# Problème des 4-reines, symétrie
![Le problème des 4 reines a une autre solution (symétrie
horizontale).](figs/4reines_sym.svg)
# Problème des 5 reines
## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
matrix.
```C
......@@ -54,349 +76,389 @@ patat:
```
# La calculatrice (1/8)
## Vocabulaire
```C
2 + 3 = 2 3 +,
```
`2` et `3` sont les *opérandes*, `+` l'*opérateur*.
# Quelques observations sur le problème
. . .
* Une reine par colonne au plus.
* On place les reines sur des colonnes successives.
* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
* Trois étapes:
* On place une reine dans une case libre.
* On met à jour le tableau.
* Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
a réussi.
## La notation infixe
# Le code du problème des 8 reines (1/5)
```C
2 * (3 + 2) - 4 = 6.
```
## Quelle structure de données?
## La notation postfixe
. . .
Une matrice de booléens fera l'affaire:
```C
2 3 2 + * 4 - = 6.
bool board[n][n];
```
## Exercice: écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
## Quelles fonctionnalités?
. . .
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
// et compter les solutions
void nbr_solutions(board, column, counter);
// Copier un tableau dans un autre
void copy(board_in, board_out);
// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
void placer_devant(board, li, co);
```
# La calculatrice (2/8)
## De infixe à post-fixe
# Le code du problème des 8 reines (2/5)
* Une *pile* est utilisée pour stocker *opérateurs* et *parenthèses*.
* Les opérateurs on des *priorités* différentes.
## Le calcul du nombre de solutions
```C
^ : priorité 3
* / : priorité 2
+ - : priorité 1
( ) : priorité 0 // pas un opérateur mais bon
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
rien nbr_solutions(board, column, count)
pour chaque ligne
si la case libre
si column < n - 1
copier board dans un "new" board,
y poser une reine
et mettre à jour ce "new" board
nbr_solutions(new_board, column+1, count)
sinon
on a posé la n-ème et on a gagné
count += 1
```
# Le code du problème des 8 reines (3/5)
# La calculatrice (3/8)
## Le calcul du nombre de solutions
## De infixe à post-fixe: algorithme
```C
// Placer une reine et mettre à jour
rien placer_devant(board, ligne, colonne)
board est occupé à ligne/colonne
toutes les cases des colonnes
suivantes sont mises à jour
```
* On lit l'expression infixe de gauche à droite.
# Le code du problème des 8 reines (4/5)
* On examine le prochain caractère de l'expression infixe.
* Si opérande, le placer dans l'expression du résultat.
* Si parenthèse le mettre dans la pile (priorité 0).
* Si opérateur, comparer sa priorité avec celui du sommet de la pile:
* Si sa priorité est plus élevée, empiler.
* Sinon dépiler l'opérateur de la pile dans l'expression du résultat et
recommencer jusqu'à apparition d'un opérateur de priorité plus faible
au sommet de la pile (ou pile vide).
* Si parenthèse fermée, dépiler les opérateurs du sommet de la pile et les
placer dans l'expression du résultat, jusqu'à ce qu'une parenthèse
ouverte apparaisse au sommet, dépiler également la parenthèse.
* Si il n'y a pas de caractère dans l'expression dépiler tous les
opérateurs dans le résultat.
## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
# La calculatrice (4/8)
. . .
## De infixe à post-fixe: exemple
## Le nombre de solutions
\footnotesize
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
(A*B)/D-F)/(G+H) Vide ( 0
A*B)/D-F)/(G+H) Vide (( 0
*B)/D-F)/(G+H) A (( 0
B)/D-F)/(G+H) A ((* 2
)/D-F)/(G+H) AB ((* 2
/D-F)/(G+H) AB* ( 0
D-F)/(G+H) AB* (/ 2
-F)/(G+H) AB*D (/ 2
F)/(G+H) AB*D/ (- 1
)/(G+H) AB*D/F (- 1
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
for (int li = 0; li < n; li++) {
if (board[li][co]) {
if (co < n-1) {
bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
copy(n, board, new_board);
prises_devant(n, new_board, li, co);
nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
} else {
*ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
}
}
}
}
```
# La calculatrice (5/8)
## De infixe à post-fixe: exemple
# Le code du problème des 8 reines (5/5)
\footnotesize
## Placer devant
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
--------------------------------------------------------
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
(G+H) AB*D/F- / 2
G+H) AB*D/F- /( 0
+H) AB*D/F-G /( 0
H) AB*D/F-G /(+ 1
) AB*D/F-GH /(+ 1
Vide AB*D/F-GH+ / 2
Vide AB*D/F-GH+/ Vide Néant
// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
void placer_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
board[li][co] = false; // position de la reine
for (int j = 1; j < n-co; j++) {
// horizontale et diagonales à droite de la reine
if (j <= li) {
board[li-j][co+j] = false;
}
board[li][co+j] = false;
if (li+j < n) {
board[li+j][co+j] = false;
}
}
}
```
# La calculatrice (6/8)
# Les piles
\footnotesize
\Huge Les piles
## Exercice: écrire le code et le poster sur matrix
# Les piles (1/5)
* Quelle est la signature de la fonction?
## Qu'est-ce donc?
* Structure de données abstraite...
. . .
* Une sorte de corrigé:
* de type `LIFO` (*Last in first out*).
```C
char *infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
for (size_t i = 0; i < strlen(infix); ++i) {
if (is_operand(infix[i])) {
// we just add operands in the new postfix string
} else if (infix[i] == '(') {
// we push opening parenthesis into the stack
} else if (infix[i] == ')') {
// we pop everything into the postfix
} else if (is_operator(infix[i])) {
// this is an operator. We add it to the postfix based
// on the priority of what is already in the stack and push it
}
}
// pop all the operators from the s at the end of postfix
// and end the postfix with `\0`
return postfix;
}
```
![Une pile où on ajoute A, puis B avant de les retirer. Source:
[Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Stack_(data_structure)_LIFO.svg)](figs/Stack.svg){width=70%}
## Des exemples de la vraie vie
# La calculatrice (7/8)
. . .
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
* Pile d'assiettes, de livres, ...
* Adresses visitées par un navigateur web.
* Les calculatrices du passé (en polonaise inverse).
* Les boutons *undo* de vos éditeurs de texte (aka *u* dans vim).
* Chaque *opérateur* porte sur les deux opérandes qui le précèdent.
* Le *résultat d'une opération* est un nouvel *opérande* qui est remis au
sommet de la pile.
# Les piles (2/5)
## Exemple
## Fonctionnalités
```C
2 3 4 + * 5 - = ?
```
. . .
* On parcours de gauche à droite:
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
```C
Caractère lu Pile opérandes
2 2
3 2, 3
4 2, 3, 4
+ 2, (3 + 4)
* 2 * 7
5 14, 5
- 14 - 5 = 9
```
. . .
# La calculatrice (8/8)
4. Jeter un œil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
5. Nombre d'éléments (length).
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
## Comment faire les 4, 5 à partir de 1 à 3?
1. La valeur d'un opérande est *toujours* empilée.
2. L'opérateur s'applique *toujours* au 2 opérandes au sommet.
3. Le résultat est remis au sommet.
. . .
## Exercice: écrire l'algorithme en C (et poster sur matrix)
4. Dépiler l'élément, le copier, puis l'empiler à nouveau.
5. Dépiler jusqu'à ce que la pile soit vide, puis empiler à nouveau.
. . .
```C
bool evaluate(char *postfix, double *val) { // init stack
for (size_t i = 0; i < strlen(postfix); ++i) {
if (is_operand(postfix[i])) {
stack_push(&s, postfix[i]);
} else if (is_operator(postfix[i])) {
double rhs = stack_pop(&s);
double lhs = stack_pop(&s);
stack_push(&s, op(postfix[i], lhs, rhs));
}
}
return stack_pop(&s);
}
```
## Existe en deux goûts
* Pile avec ou sans limite de capacité (à concurrence de la taille de la
mémoire).
# Les piles (3/5)
# La liste chaînée et pile (1/6)
## Implémentation
## Structure de données
* Jusqu'ici on n'a pas du tout parlé d'implémentation (d'où le nom de structure
abstraite).
* Pas de choix unique d'implémentation.
* Chaque élément de la liste contient:
1. une valeur,
2. un pointeur vers le prochain élément.
* La pile est un pointeur vers le premier élément.
## Quelle structure de données allons nous utiliser?
![Un exemple de liste chaînée.](figs/Singly-linked-list.svg){width=80%}
. . .
# La liste chaînée et pile (2/6)
Et oui vous avez deviné: un tableau!
## Une pile-liste-chaînée
## La structure: de quoi avons-nous besoin (pile de taille fixe)?
. . .
```C
typedef struct _element {
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* stack;
#define MAX_CAPACITY 500
typedef struct _stack {
int data[MAX_CAPACITY]; // les données
int top; // indice du sommet
} stack;
```
## Fonctionnalités?
# Les piles (4/5)
## Initialisation
. . .
```C
void stack_create(stack *s); // *s = NULL;
void stack_destroy(stack *s);
void stack_push(stack *s, int val);
void stack_pop(stack *s, int *val);
void stack_peek(stack s, int *val);
bool stack_is_empty(stack s); // reutrn NULL == stack;
void stack_init(stack *s) {
s->top = -1;
}
```
# La liste chaînée et pile (3/6)
## Empiler? (faire un dessin)
## Est vide?
. . .
```C
bool stack_is_empty(stack s) {
return s.top == -1;
}
```
## Empiler (ajouter un élément au sommet)
. . .
```C
void stack_push(stack *s, int val) {
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
```
# Les piles (5/5)
## Dépiler (enlever l'élément du sommet)
. . .
```C
int stack_pop(stack *s) {
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
```
## Empiler? (le code ensemble)
## Jeter un oeil (regarder le sommet)
. . .
```C
void stack_push(stack *s, int val) {
element *elem = malloc(sizeof(*elem));
elem->data = val;
elem->next = *s;
s = elem;
int stack_peek(stack s) {
return s.data[s.top];
}
```
# La liste chaînée et pile (4/6)
## Jeter un oeil? (faire un dessin)
## Quelle est la complexité de ces opérations?
. . .
```C
## Voyez-vous des problèmes potentiels avec cette implémentation?
. . .
* Empiler avec une pile pleine.
* Dépiler avec une pile vide.
* Jeter un oeil au sommet d'une pile vide.
# Gestion d'erreur, level 0
* Il y a plusieurs façon de traiter les erreur:
* Ne rien faire (laisser la responsabilité à l'utilisateur).
* Faire paniquer le programme (il plante plus ou moins violemment).
* Utiliser des codes d'erreurs.
## La panique
* En C, on a les `assert()` pour faire paniquer un programme.
```
# Les assertions
## Jeter un oeil? (le code ensemble)
\Huge Les assertions
. . .
# Assertions (1/3)
```C
void stack_peek(stack s, int *val) {
*val = s->data;
}
#include <assert.h>
void assert(int expression);
```
# La liste chaînée et pile (5/6)
## Dépiler? (faire un dessin)
. . .
```C
## Qu'est-ce donc?
- Macro permettant de tester une condition lors de l'exécution d'un programme:
- Si `expression == 0`{.C} (condition fausse), `assert()`{.C} affiche un message d'erreur sur `stderr`{.C} et termine l'exécution du programme.
- Sinon l'exécution se poursuit normalement.
- Peuvent être désactivés à la compilation avec `-DNDEBUG` (équivalent à `#define NDEBUG`)
## À quoi ça sert?
- Permet de réaliser des tests unitaires.
- Permet de tester des conditions catastrophiques d'un programme.
- **Ne permet pas** de gérer les erreurs.
# Assertions (2/3)
<!-- \footnotesize -->
## Exemple
```C
#include <assert.h>
void stack_push(stack *s, int val) {
assert(s->top < MAX_CAPACITY-1);
s->top += 1;
s->data[s->top] = val;
}
int stack_pop(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
s->top -= 1;
return s->data[s->top+1];
}
int stack_peek(stack *s) {
assert(s->top >= 0);
return s->data[s->top];
}
```
## Dépiler? (le code ensemble)
# Assertions (3/3)
. . .
## Cas typiques d'utilisation
```C
void stack_pop(stack *s, int *val) {
stack_peek(*s, val);
element *tmp = *s;
*s = (*s)->next;
free(tmp);
return val;
}
```
- Vérification de la validité des pointeurs (typiquement `!= NULL`{.C}).
- Vérification du domaine des indices (dépassement de tableau).
# La liste chaînée et pile (6/6)
## Bug vs. erreur de *runtime*
## Détruire? (faire un dessin)
- Les assertions sont là pour détecter les bugs (erreurs d'implémentation).
- Les assertions ne sont pas là pour gérer les problèmes externes au programme (allocation mémoire qui échoue, mauvais paramètre d'entrée passé par l'utilisateur, ...).
. . .
```C
- Mais peuvent être pratiques quand même pour ça...
- Typiquement désactivées dans le code de production.
# La pile dynamique
## Comment modifier le code précédent pour avoir une taille dynamique?
. . .
```C
// alloue une zone mémoire de size octets
void *malloc(size_t size);
// change la taille allouée à size octets (contiguïté garantie)
void *realloc(void *ptr, size_t size);
```
. . .
```
**Attention:** `malloc` sert à allouer un espace mémoire (**pas** de notion de tableau).
## Détruire? (le code ensemble)
## Et maintenant?
. . .
```C
void stack_destroy(stack *s) {
while (!stack_is_empty(*s)) {
int val = stack_pop(s);
}
}
void stack_create(stack *s); // crée une pile avec une taille par défaut
// vérifie si la pile est pleine et réalloue si besoin
void stack_push(stack *s, int val);
// vérifie si la pile est vide/trop grande
// et réalloue si besoin
void stack_pop(stack *s, int *ret);
```
. . .
## Faisons s'implémentation ensemble
slides/cours_11.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Files d'attente et listes triées"
date: "2022-12-21"
title: "Applications des piles, listes chaînées et files d'attente"
date: "2024-12-09"
---
# La file d'attente (1/N)
# Rappel: les piles
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler: extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
## Qu'est-ce donc?
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une liste vide.
* Détruire une liste vide.
* Structure de données abstraite de type LIFO
# La file d'attente (2/N)
## Quelles fonctionnalités?
\footnotesize
. . .
## Implémentation possible
1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
3. Pile vide? (is_empty?).
* La structure file, contient un pointeur vers la tête et un vers le début de la file.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée.
# Le tri à deux piles
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png){width=80%}
\Huge Le tri à deux piles
## Structure de données en C?
# Le tri à deux piles (1/3)
. . .
## Cas pratique
```C
typedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente:
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
```
![Un exemple de tri à deux piles](figs/tri_piles.svg){width=70%}
# Fonctionnalités d'une file d'attente
# Le tri à deux piles (2/3)
## Creation et consultations
## Exercice: formaliser l'algorithme
. . .
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.head->data
int queue_head(queue fa); // return fa.tail->data
```
## Manipulations et destruction
## Algorithme de tri nécessitant 2 piles (G, D)
. . .
Soit `tab` le tableau à trier:
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val);
// adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa);
// removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa);
// dequeues everything into oblivion
pour i de 0 à N-1
tant que (tab[i] > que le sommet de G)
dépiler G dans D
tant que (tab[i] < que le sommet de D)
dépiler de D dans G
empiler tab[i] sur G
dépiler tout D dans G
dépiler tout G dans tab
```
# Enfilage
# Le tri à deux piles (3/3)
## Deux cas différents:
## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
1. La file est vide (faire un dessin):
```C
. . .
![Insertion dans une file d'attente vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
# Enfilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element* elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
}
```
# Défilage
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
```
3. La file est vide (problème)
# La Calculatrice
# Défilage
\Huge La Calculatrice
## Live (implémentation)
# La calculatrice (1/8)
. . .
## Vocabulaire
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
element* elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
2 + 3 = 2 3 +,
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
# Destruction
## Comment on faire la désallocation?
`2` et `3` sont les *opérandes*, `+` l'*opérateur*.
. . .
On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
## La notation infixe
```C
2 * (3 + 2) - 4 = 6.
```
# Complexité
## La notation postfixe
## Quelle sont les complexité de:
```C
2 3 2 + * 4 - = 6.
```
* Enfiler?
## Exercice: écrire `2 * 3 * 4 + 2` en notation `postfixe`
. . .
* Défiler?
```C
2 3 4 * * 2 + = (2 * (3 * 4)) + 2.
```
. . .
# La calculatrice (2/8)
* Détruire?
## De infixe à post-fixe
. . .
* Une *pile* est utilisée pour stocker *opérateurs* et *parenthèses*.
* Les opérateurs ont des *priorités* différentes.
* Est vide?
```C
^ : priorité 3
* / : priorité 2
+ - : priorité 1
( ) : priorité 0 // pas un opérateur mais bon
```
# Implémentation alternative
# La calculatrice (3/8)
## Comment implémenter la file autrement?
## De infixe à post-fixe: algorithme
. . .
* On lit l'expression infixe de gauche à droite.
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` seraient les indices du tableau;
* `capacity` seraient la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
* On examine le prochain caractère de l'expression infixe:
* Si opérande, le placer dans l'expression du résultat.
* Si parenthèse le mettre dans la pile (priorité 0).
* Si opérateur, comparer sa priorité avec celui du sommet de la pile:
* Si sa priorité est plus élevée, empiler.
* Sinon dépiler l'opérateur de la pile dans l'expression du résultat et
recommencer jusqu'à apparition d'un opérateur de priorité plus faible
au sommet de la pile (ou pile vide).
* Si parenthèse fermée, dépiler les opérateurs du sommet de la pile et les
placer dans l'expression du résultat, jusqu'à ce qu'une parenthèse
ouverte apparaisse au sommet, dépiler également la parenthèse.
* Si il n'y a pas de caractère dans l'expression dépiler tous les
opérateurs dans le résultat.
. . .
# La calculatrice (4/8)
## Structure de données
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int tail, capacity;
} queue;
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
(A*B)/D-F)/(G+H) Vide ( 0
A*B)/D-F)/(G+H) Vide (( 0
*B)/D-F)/(G+H) A (( 0
B)/D-F)/(G+H) A ((* 2
)/D-F)/(G+H) AB ((* 2
/D-F)/(G+H) AB* ( 0
D-F)/(G+H) AB* (/ 2
-F)/(G+H) AB*D (/ 2
F)/(G+H) AB*D/ (- 1
)/(G+H) AB*D/F (- 1
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
```
# File basée sur un tableau
# La calculatrice (5/8)
* Initialisation?
. . .
## De infixe à post-fixe: exemple
```C
Infixe Postfixe Pile Priorité
((A*B)/D-F)/(G+H) Vide Vide Néant
--------------------------------------------------------
/(G+H) AB*D/F- Vide Néant
(G+H) AB*D/F- / 2
G+H) AB*D/F- /( 0
+H) AB*D/F-G /( 0
H) AB*D/F-G /(+ 1
) AB*D/F-GH /(+ 1
Vide AB*D/F-GH+ / 2
Vide AB*D/F-GH+/ Vide Néant
```
# La calculatrice (6/8)
\footnotesize
## Exercice: écrire le code et le poster sur matrix
```
* Est vide?
* Quelle est la signature de la fonction?
. . .
* Une sorte de corrigé:
```C
char* infix_to_postfix(char* infix) { // init and alloc stack and postfix
for (size_t i = 0; i < strlen(infix); ++i) {
if (is_operand(infix[i])) {
// we just add operands in the new postfix string
} else if (infix[i] == '(') {
// we push opening parenthesis into the stack
} else if (infix[i] == ')') {
// we pop everything into the postfix
} else if (is_operator(infix[i])) {
// this is an operator. We add it to the postfix based
// on the priority of what is already in the stack and push it
}
}
// pop all the operators from the s at the end of postfix
// and end the postfix with `\0`
return postfix;
}
```
# La calculatrice (7/8)
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
```
* Chaque *opérateur* porte sur les deux opérandes qui le précèdent.
* Le *résultat d'une opération* est un nouvel *opérande* qui est remis au
sommet de la pile.
## Exemple
* Enfiler?
```C
2 3 4 + * 5 - = ?
```
. . .
* On parcours de gauche à droite:
```C
Caractère lu Pile opérandes
2 2
3 2, 3
4 2, 3, 4
+ 2, (3 + 4)
* 2 * 7
5 14, 5
- 14 - 5 = 9
```
# La calculatrice (8/8)
## Évaluation d'expression postfixe: algorithme
1. La valeur d'un opérande est *toujours* empilée.
2. L'opérateur s'applique *toujours* au 2 opérandes au sommet.
3. Le résultat est remis au sommet.
```
* Défiler?
## Exercice: écrire l'algorithme en C (et poster sur matrix)
. . .
```C
double evaluate(char* postfix) {
// declare and initialize stack s
for (size_t i = 0; i < strlen(postfix); ++i) {
if (is_operand(postfix[i])) {
stack_push(&s, postfix[i]);
} else if (is_operator(postfix[i])) {
double rhs = stack_pop(&s);
double lhs = stack_pop(&s);
stack_push(&s, op(postfix[i], lhs, rhs));
}
}
return stack_pop(&s);
}
```
# Complexité
# Liste chaînée et pile
## Quelle sont les complexités de:
\Huge Liste chaînée et pile
* Initialisation?
# La liste chaînée et pile (1/6)
. . .
## Structure de données
```C
* Chaque élément de la liste contient:
1. une valeur,
2. un pointeur vers le prochain élément.
* La pile est un pointeur vers le premier élément.
![Un exemple de liste chaînée.](figs/Singly-linked-list.svg){width=80%}
# La liste chaînée et pile (2/6)
## Une pile-liste-chaînée
```C
typedef struct _element {
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef struct _stack {
element *top;
} stack;
```
* Est vide?
## Fonctionnalités?
. . .
```C
void stack_create(stack *s); // s->top = NULL;
void stack_destroy(stack *s);
void stack_push(stack *s, int val);
void stack_pop(stack *s, int *val);
void stack_peek(stack s, int *val);
bool stack_is_empty(stack s); // return NULL == s.top;
```
# La liste chaînée et pile (3/6)
* Enfiler?
## Empiler? (faire un dessin)
. . .
......@@ -288,227 +323,105 @@ typedef struct _queue {
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Une file plus efficace
## Comment faire une file plus efficace?
* Où est-ce que ça coince?
. . .
* Défiler est particulièrement lent $\mathcal{O}(N)$.
## Solution?
## Empiler? (le code ensemble)
. . .
* Utiliser un indice séparé pour `head`.
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int head, tail, capacity;
} queue;
void stack_push(stack *s, int val) {
element *elem = malloc(sizeof(*elem));
elem->data = val;
elem->next = s->top;
s->top = elem;
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
# La liste chaînée et pile (4/6)
## Enfilage
## Jeter un oeil? (faire un dessin)
\footnotesize
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
fa->head = fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else if (fa->tail == fa->capacity-1 && fa->head != 0) {
// the tail reached the end of the array
fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Défilage
```C
void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
if (queue_is_empty(*fa)) {
return; // queue is empty
}
*val = fa->data[fa->head];
if (fa->head == fa->tail) { // that was the last element
fa->head = fa->tail = -1;
} else if (fa->head == fa->capacity-1) {
fa->head = 0;
} else {
fa->head += 1;
}
}
```
# Les listes triées
Une liste chaînée triée est:
* une liste chaînée
* dont les éléments sont insérés dans l'ordre.
```
![Exemple de liste triée.](./figs/sorted_list_example.svg)
## Jeter un oeil? (le code ensemble)
. . .
* L'insertion est faite telle que l'ordre est maintenu.
## Quelle structure de données?
```C
void stack_peek(stack s, int *val) {
*val = s.top->val;
}
```
# Les listes triées
# La liste chaînée et pile (5/6)
## Quel but?
## Dépiler? (faire un dessin)
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
## Comment?
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
. . .
# Les listes triées
```C
\footnotesize
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
```C
typedef struct _element { // chaque élément
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* sorted_list; // la liste
```
## Fonctionnalités
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# L'insertion
## Trois cas
1. La liste est vide.
. . .
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
## Dépiler? (le code ensemble)
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
void stack_pop(stack *s, int *val) {
stack_peek(*s, val);
element *tmp = s->top;
s->top = s->top->next;
free(tmp);
}
```
# L'insertion
# La liste chaînée et pile (6/6)
2. L'insertion se fait en première position.
## Détruire? (faire un dessin)
. . .
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
```C
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
}
```
# L'insertion
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data <
val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
```
\footnotesize
## Détruire? (le code ensemble)
. . .
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
void stack_destroy(stack *s) {
while (!stack_is_empty(*s)) {
int val;
stack_pop(s, &val);
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
slides/cours_12.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Listes triées et listes doublement chaînées"
date: "2023-01-11"
title: "File d'attente, liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2024-12-16"
---
# La file d'attente
\Huge La file d'attente
# La file d'attente (1/2)
* Structure de données abstraite permettant le stockage d'éléments.
* *FIFO*: First In First Out, ou première entrée première sortie.
* Analogue de la vie "réelle"":
* File à un guichet,
* Serveur d'impressions,
* Mémoire tampon, ...
## Fonctionnalités
. . .
* Enfiler: ajouter un élément à la fin de la file.
* Défiler: extraire un élément au devant de la file.
* Tester si la file est vide.
. . .
* Lire l'élément de la fin de la file.
* Lire l'élément du devant de la file.
* Créer une file vide.
* Détruire une file.
# La file d'attente (2/2)
\footnotesize
## Implémentation possible
* La structure de file, contient un pointeur vers la tête et un autre vers le début de la file.
* Entre les deux, les éléments sont stockés dans une liste chaînée.
![Illustration d'une file d'attente.](figs/fig_queue_representation.png){width=80%}
## Structure de données en C?
. . .
```C
typedef struct _element { // Elément de liste
int data;
struct _element* next;
} element;
typedef struct _queue { // File d'attente
element* head; // tête de file d'attente
element* tail; // queue de file d'attente
} queue;
```
# Fonctionnalités d'une file d'attente
## Création et consultations
. . .
```C
void queue_init(queue *fa); // head = tail = NULL
bool queue_is_empty(queue fa); // fa.head == fa.tail == NULL
int queue_tail(queue fa); // return fa.tail->data
int queue_head(queue fa); // return fa.head->data
```
## Manipulations et destruction
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val);
// adds an element before the tail
int queue_dequeue(queue *fa);
// removes the head and returns stored value
void queue_destroy(queue *fa);
// dequeues everything into oblivion
```
# Enfilage
## Deux cas différents
1. La file est vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente vide.](./figs/fig_empty_queue_insert.png){width=40%}
2. La file n'est pas vide (faire un dessin):
. . .
![Insertion dans une file d'attente non-vide.](./figs/fig_non_empty_queue_insert.png){width=70%}
# Enfilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
element* elmt = malloc(sizeof(*elmt));
elmt->data = val;
elmt->next = NULL;
if (queue_is_empty(*fa)) {
fa->head = elmt;
fa->tail = elmt;
} else {
fa->tail->next = elmt;
fa->tail = elmt;
}
}
```
# Défilage
## Trois cas différents
1. La file a plus d'un élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente](./figs/fig_queue_extract.png){width=80%}
2. La file un seul élément (faire un dessin):
. . .
![Extraction d'une file d'attente de longueur 1.](./figs/fig_queue_extract_one.svg){width=25%}
3. La file est vide (problème)
# Défilage
## Live (implémentation)
. . .
```C
int queue_dequeue(queue *fa) {
element* elmt = fa->head;
int val = elmt->data;
fa->head = fa->head->next;
free(elmt);
if (NULL == fa->head) {
fa->tail = NULL;
}
return val;
}
```
. . .
## Problème avec cette implémentation?
# Destruction
## Comment on faire la désallocation?
. . .
On défile jusqu'à ce que la file soit vide!
# Complexité
## Quelle est la complexité de
* Enfiler?
. . .
* Défiler?
. . .
* Détruire?
. . .
* Est vide?
# Implémentation alternative
## Comment implémenter la file autrement?
. . .
* Données stockées dans un tableau;
* Tableau de taille connue à la compilation ou pas (réallouable);
* `tail` serait un indice du tableau;
* `capacity` serait la capacité maximale;
* On *enfile* "au bout" du tableau, au défile au début (indice `0`).
. . .
## Structure de données
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int tail, capacity;
} queue;
```
# File basée sur un tableau
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Complexité
## Quelle est les complexités de
* Initialisation?
. . .
```C
```
* Est vide?
. . .
```C
```
* Enfiler?
. . .
```C
```
* Défiler?
. . .
```C
```
# Une file plus efficace
## Comment faire une file plus efficace?
* Où est-ce que ça coince?
. . .
* Défiler est particulièrement lent $\mathcal{O}(N)$.
## Solution?
. . .
* Utiliser un indice séparé pour `head`.
```C
typedef struct _queue {
int *data;
int head, tail, capacity;
} queue;
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Enfilage
\footnotesize
```C
void queue_enqueue(queue *fa, int val) {
if ((fa->head == 0 && fa->tail == fa->capacity-1) ||
(fa->tail == (fa->head-1) % (fa->capacity-1))) {
return; // queue is full
}
if (fa->head == -1) { // queue was empty
fa->head = fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else if (fa->tail == fa->capacity-1 && fa->head != 0) {
// the tail reached the end of the array
fa->tail = 0;
fa->data[fa->tail] = val;
} else {
// nothing particular
fa->tail += 1;
fa->data[fa->tail] = val;
}
}
```
# Une file plus efficace (implémentation)
## Défilage
```C
void queue_dequeue(queue *fa, int *val) {
if (queue_is_empty(*fa)) {
return; // queue is empty
}
*val = fa->data[fa->head];
if (fa->head == fa->tail) { // that was the last element
fa->head = fa->tail = -1;
} else if (fa->head == fa->capacity-1) {
fa->head = 0;
} else {
fa->head += 1;
}
}
```
# Listes triées
\Huge Les listes triées
# Les listes triées
Une liste chaînée triée est:
......@@ -41,8 +413,9 @@ Une liste chaînée triée est:
# Les listes triées
## Quelle structure de données dans notre cas?
\footnotesize
## Quelle structure de données dans notre cas?
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
......@@ -60,14 +433,14 @@ typedef element* sorted_list; // la liste
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool is_empty(sorted_list list); // list == NULL
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
# L'insertion
# L'insertion (1/3)
## Trois cas
......@@ -90,7 +463,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (2/3)
2. L'insertion se fait en première position.
......@@ -113,14 +486,13 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'insertion
# L'insertion (3/3)
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
![Insertion sur une autre position, list->data <
val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
![Insertion sur une autre position, list->data < val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
......@@ -140,8 +512,7 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (1/3)
## Trois cas
......@@ -159,9 +530,9 @@ sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
......@@ -170,8 +541,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (2/3)
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
......@@ -187,10 +557,11 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) { // glue things together
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
free(crt);
}
......@@ -198,7 +569,7 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
}
```
# L'extraction
# L'extraction (3/3)
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
......@@ -217,9 +588,9 @@ On retourne la liste inchangée.
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
......@@ -228,8 +599,6 @@ sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
# La recherche
```C
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
......@@ -245,7 +614,9 @@ element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next && val == pos->next->data) {
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next
&& val == pos->next->data)
{
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
......@@ -313,14 +684,13 @@ $$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
......@@ -340,6 +710,10 @@ Pas possible.
# Liste doublement chaînée
\Huge Liste doublement chaînée
# Liste doublement chaînée
## Exercices
* Partir du dessin suivant et par **groupe de 5**
......@@ -354,7 +728,7 @@ Pas possible.
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
```C
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
......@@ -373,9 +747,9 @@ void dll_print(dll list);
# Liste doublement chaînée
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
```C
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
......@@ -404,6 +778,5 @@ int dll_extract(dll *list);
// extrait la donnée en tête de liste
int dll_pop(dll *list);
// vide la liste
void dll_destroy(dll *list)
void dll_destroy(dll *list);
```
slides/cours_13.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Tables de hachage"
date: "2023-01-18"
title: "Liste triée, liste doublement chaînée"
date: "2025-01-06"
---
# Tableau vs Table
# Les listes triées
## Tableau
## Quel but?
* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
* Permet de retrouver rapidement un élément.
* Utile pour la recherche de plus court chemin dans des graphes.
* Ordonnancement de processus par degré de priorité.
```C
annuaire tab[2] = {
"+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
};
tab[1] == "+41 22 123 45 67";
```
## Table
* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
```C
annuaire tab = {
// Clé , Valeur
"Paul", "+41 22 123 45 67",
"Orestis", "+41 22 234 56 78",
};
tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
```
# Table
## Définition
Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
argument).
On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
## Donnez des exemples de telles paires
. . .
## Comment?
* Annuaire (nom-téléphone),
* Catalogue (objet-prix),
* Table de valeur fonctions (nombre-nombre),
* Index (nombre-page)
* ...
* Les implémentations les plus efficaces se basent sur les tableaux.
* Possibles aussi avec des listes chaînées.
# Table
# Les listes triées
## Opérations principales sur les tables
\footnotesize
* Insertion d'élément (`insert(clé, valeur)`{.C}), insère la paire `clé-valeur`
* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
## Quelle structure de données dans notre cas?
## Structure de données / implémentation
Une liste chaînée bien sûr (oui c'est pour vous entraîner)!
Efficacité dépend de différents paramètres:
```C
typedef struct _element { // chaque élément
int data;
struct _element *next;
} element;
typedef element* sorted_list; // la liste
```
* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
* données triées/non-triées,
* ...
## Fonctionnalités
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
```C
// insertion de val
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val);
// la liste est-elle vide?
bool sorted_list_is_empty(sorted_list list); // list == NULL
// extraction de val (il disparaît)
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val);
// rechercher un élément et le retourner
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
## Séquentielle
# L'insertion (1/3)
* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
## Trois cas
```C
typedef struct {
key_t key;
value_t value;
} key_value_t;
```
* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
retourne la valeur.
1. La liste est vide.
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
. . .
## Implémentation? Une idée?
![Insertion dans une liste vide, `list == NULL`.](figs/sorted_list_insert_one.svg){width=30%}
. . .
```C
bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
value_t *value)
{
int pos = n - 1;
while (pos >= 0) {
if (key == table[pos].key) {
*value = table[pos].value;
return true;
}
pos--;
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (sorted_list_is_empty(list)) {
list = malloc(sizeof(*list));
list->data = val;
list->next = NULL;
return list;
}
return false;
}
```
. . .
## Inconvénient?
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
# L'insertion (2/3)
## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
Poster le résultat sur matrix.
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Dichotomique
* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
retourne la valeur,
* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Implémentation? Une idée?
2. L'insertion se fait en première position.
. . .
```C
bool binary_get1(int n, value_key_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (top > bottom) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle+1;
} else {
top = middle;
}
}
if (key == table[top].key) {
*value = table[top].value;
return true;
} else {
return false;
}
}
```
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
![Insertion en tête de liste, `list->data >=
val`.](figs/sorted_list_insert_first.svg){width=80%}
## Autre implémentation
. . .
```C
bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (true) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle + 1;
} else if (key < table[middle].key) {
top = middle;
} else {
*value = table[middle].value;
return true;
}
if (top < bottom) {
break;
}
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
if (list->data >= val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
tmp->next = list;
list = tmp;
return list;
}
return false;
}
```
## Quelle est la différence avec le code précédent?
# Transformation de clé (hashing)
# L'insertion (3/3)
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
```
Numéro AVS | Nom
0000000000000 | -------
... | ...
1063123849213 | Paul
... | ...
3066713878328 | Orestis
... | ...
9999999999999 | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
3. L'insertion se fait sur une autre position que la première.
. . .
* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
![Insertion sur une autre position, list->data < val.](figs/sorted_list_insert_any.svg){width=70%}
. . .
* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
ordinateur.
# Transformation de clé (hashing)
\footnotesize
## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
```C
sorted_list sorted_list_push(sorted_list list, int val) {
element *tmp = malloc(sizeof(*tmp));
tmp->data = val;
element *crt = list;
while (NULL != crt->next && val > crt->next->data) {
crt = crt->next;
}
tmp->next = crt->next;
crt->next = tmp;
return list;
}
```
* Format: 8 caractères (simplification)
# L'extraction (1/3)
```
Identificateur | Adresse
aaaaaaaa | -------
... | ...
resultat | 3aeff
compteur | 4fedc
... | ...
zzzzzzzz | -------
```
## Trois cas
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
1. L'élément à extraire n'est **pas** le premier élément de la liste
. . .
* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
![Extraction d'un élément qui n'est pas le premier.](figs/sorted_list_extract_any.svg){width=70%}
. . .
* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
* La table est représentée avec un tableau.
* La taille du tableau est beaucoup plus petit que le nombre de clés.
* On produit un indice du tableau à partir d'une clé:
$$
h(key) = n,\quad n\in\mathbb{N}.
$$
En français: on transforme `key` en nombre entier qui sera l'indice dans le
tableau correspondant à `key`.
## La fonction de hash
* La taille du domaine des clés est beaucoup plus grand que le domaine des
indices.
* Plusieurs indices peuvent correspondre à la **même clé**:
* Il faut traiter les **collisions**.
* L'ensemble des indices doit être plus petit ou égal à la taille de la table.
## Une bonne fonction de hash
* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par troncature
\begin{align*}
&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
\end{align*}
\scriptsize
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL != crt && prec != crt && crt->data == val) { // glue things together
prec->next = crt->next;
free(crt);
}
return list;
}
```
Key | Index
0003 | 0
1123 | 2 \
1234 | 3 |-> collision.
1224 | 2 /
1264 | 6
```
## Quelle est la taille de la table?
. . .
# L'extraction (2/3)
C'est bien dix oui.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par découpage
Taille de l'index: 3 chiffres.
```
key = 321 991 24 -> 321
991
+ 24
----
1336 -> index = 336
```
## Devinez l'algorithme?
2. L'élément à extraire est le premier élément de la liste
. . .
On part de la gauche:
1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
2. On somme les nombres obtenus.
3. On tronque à la longueur de l'index.
![Extraction d'un élément qui est le premier.](figs/sorted_list_extract_first.svg){width=70%}
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode multiplicative
. . .
Taille de l'index: 2 chiffres.
\footnotesize
```
key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
```C
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
// glue things together
if (NULL != crt && crt->data == val && prec == crt) {
list = list->next;
free(crt);
}
return list;
}
```
On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
# L'extraction (3/3)
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par division modulo
Taille de l'index: `N` chiffres.
```
h(key) = key % N.
```
## Quelle doit être la taille de la table?
3. L'élément à extraire n'est **pas** dans la liste.
* La liste est vide.
* La valeur est plus grande que le dernier élément de la liste.
* La valeur est plus petite que la valeur de `crt`.
. . .
Oui comme vous le pensiez au moins `N`.
# Traitement des collisions
## La collision
```
key1 != key2, h(key1) == h(key2)
```
## Traitement (une idée?)
On retourne la liste inchangée.
. . .
* La première clé occupe la place prévue dans le tableau.
* La deuxième (troisième, etc.) est placée ailleurs de façon **déterministe**.
Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
# La méthode séquentielle
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
trouver une libre.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + 1) % table_size; // attention à pas dépasser
sorted_list sorted_list_extract(sorted_list list, int val) {
element *prec = *crt = list; // needed to glue elements together
while (NULL != crt && val > crt->data) {
prec = crt;
crt = crt->next;
}
if (NULL == crt || crt->data != val) { // val not present
return list;
}
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Problème?
. . .
* Regroupement d'éléments (clustering).
# Méthode linéaire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
# La recherche
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val);
```
## Quelle valeur de `k` éviter?
* Retourne `NULL` si la valeur n'est pas présente (ou la liste vide).
* Retourne un pointeur vers l'élément si la valeur est présente.
. . .
* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
# Méthode du double hashing
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
element* sorted_list_search(sorted_list list, int val) {
// search for element smaller than val
element* pos = sorted_list_position(list, val);
if (NULL == pos && val == list->data) {
return list; // first element contains val
} else if (NULL != pos && NULL != pos->next
&& val == pos->next->data)
{
return pos->next; // non-first element contains val
} else {
return NULL; // well... val's not here
}
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle propriété doit avoir `h2`?
# La recherche
## Exemple
## La fonction `sorted_list_position`
```C
h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
# Méthode pseudo-aléatoire
\footnotesize
## Comment ça marche?
![Trois exemples de retour de la fonction `sorted_list_position()`.](figs/sorted_list_position.svg)
* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
# La recherche
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + random_number) % table_size;
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Exercice: implémenter
## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val);
```
. . .
* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
```C
srand(h(key));
while {
random_number = rand();
```C
element* sorted_list_position(sorted_list list, int val) {
element* pos = list;
if (sorted_list_is_empty(list) || val <= list->data) {
pos = NULL;
} else {
while (NULL != pos->next && val > pos->next->data) {
pos = pos->next;
}
}
```
# Méthode quadratique
* La fonction des indices de collision est de degré 2.
* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
return pos;
}
```
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
```
# Complexité de la liste chaînée triée
## Problème possible?
## L'insertion?
. . .
* Calculer le carré peut-être "lent".
* En fait on peut ruser un peu.
# Méthode quadratique
\footnotesize
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100
\
d_0 = 1
/ \
J_1 = 101 Delta = 2
\ /
d_1 = 3
/ \
J_2 = 104 Delta = 2
\ /
d_2 = 5
/ \
J_3 = 109 Delta = 2
\ /
d_3 = 7
/
J_4 = 116
--------------------------------------
J_{i+1} = J_i + d_i,
d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
```
# Méthode de chaînage
$$
\mathcal{O}(N).
$$
## Comment ça marche?
## L'extraction?
* Chaque index de la table contient un pointeur vers une liste chaînée
contenant les paires clés-valeurs.
. . .
## Un petit dessin
$$
\mathcal{O}(N).
$$
```
## La recherche?
. . .
$$
\mathcal{O}(N).
$$
# Liste doublement chaînée
## Application: navigateur ou éditeur de texte
* Avec une liste chaînée:
* Comment implémenter les fonctions `back` et `forward` d'un navigateur?
* Comment implémenter les fonctions `undo` et `redo` d'un éditeur de texte?
. . .
Pas possible.
## Solution?
. . .
* Garder un pointeur supplémentaire sur l'élément précédent et pas seulement le
suivant.
```
. . .
# Méthode de chaînage
* Cette structure de donnée est la **liste doublement chaînée** ou **doubly
linked list**.
## Exemple
# Liste doublement chaînée
On hash avec la fonction `h(key) = key % 11` (`key` est le numéro de la lettre
de l'alphabet)
\Huge Liste doublement chaînée
```
U | N | E | X | E | M | P | L | E | D | E | T | A | B | L | E
10 | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 1 | 5 | 4 | 5 | 9 | 1 | 2 | 1 | 5
```
# Liste doublement chaînée
## Comment on représente ça? (à vous)
## Exercices
. . .
* Partir du dessin suivant et par **groupe de 5**
![La méthode de chaînage](figs/fig_hash.png){width=80%}
![Un schéma de liste doublement chaînée d'entiers.](figs/doubly_linked_list.svg)
# Méthode de chaînage
1. Écrire les structures de données pour représenter la liste doublement
chaînée dont le type sera `dll` (pour
`doubly_linked_list`)
Avantages:
# Liste doublement chaînée
* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
sont `NULL`).
* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
* Pas de problème de regroupement (clustering).
2. Écrire les fonctionnalités de création et consultation
# Exercice 1
```C
// crée la liste doublement chaînée
dll dll_create();
// retourne la valeur à la position actuelle dans la liste
int dll_value(dll list);
// la liste est-elle vide?
bool dll_is_empty(dll list);
// Est-ce que pos est le 1er élément?
bool dll_is_head(dll list);
// Est-ce que pos est le dernier élément?
bool dll_is_tail(dll list);
// data est-elle dans la liste?
bool dll_is_present(dll list, int data);
// affiche la liste
void dll_print(dll list);
```
* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
```
R, E, C, O, U, P, A, N, T
```
# Liste doublement chaînée
* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
3. Écrire les fonctionnalités de manipulation
# Exercice 2
```C
// déplace pos au début de la liste
dll dll_move_to_head(dll list);
// déplace pos à la position suivante dans la liste
dll dll_next(dll list);
// déplace pos à la position précédente dans la liste
dll dll_prev(dll list);
```
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
# Liste doublement chaînée
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
4. Écrire les fonctionnalités d'insertion
```C
// insertion de data dans l'élément après pos
dll dll_insert_after(dll list, int data);
// insertion de data en tête de liste
dll dll_push(dll list, int data);
```
# Exercice 3
5. Écrire les fonctionnalités d'extraction
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
$$
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
```C
// extraction de la valeur se trouvant dans l'élément pos
// l'élément pos est libéré
int dll_extract(dll *list);
// extrait la donnée en tête de liste
int dll_pop(dll *list);
// vide la liste
void dll_destroy(dll *list);
```
slides/cours_14.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Tables de hachage"
date: "2023-02-24"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
date: "2025-02-21"
---
# Rappel sur les tables de hachage (1/N)
# Les tables de hachage
## Définition? Qui se souvient?
\Huge Les tables de hachage
. . .
# Tableau vs Table
## Tableau
* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
```C
annuaire tab[2] = {
"+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
};
tab[1] == "+41 22 123 45 67";
```
## Table
* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
```C
annuaire tab = {
// Clé , Valeur
"Paul", "+41 22 123 45 67",
"Orestis", "+41 22 234 56 78",
};
tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
```
# Table
## Définition
Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
argument).
......@@ -36,7 +53,7 @@ On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
* Index (nombre-page)
* ...
# Rappel sur les tables de hachage (1/N)
# Table
## Opérations principales sur les tables
......@@ -44,7 +61,135 @@ On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
## Transformation de clé (hashing)
## Structure de données / implémentation
Efficacité dépend de différents paramètres:
* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
* données triées/non-triées,
* ...
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Séquentielle
* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
```C
typedef struct {
key_t key;
value_t value;
} key_value_t;
```
* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
retourne la valeur.
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
value_t *value)
{
int pos = n - 1;
while (pos >= 0) {
if (key == table[pos].key) {
*value = table[pos].value;
return true;
}
pos--;
}
return false;
}
```
. . .
## Inconvénient?
# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
Poster le résultat sur matrix.
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
## Dichotomique
* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
retourne la valeur,
* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Implémentation? Une idée?
. . .
```C
bool binary_get1(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (top > bottom) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle+1;
} else {
top = middle;
}
}
if (key == table[top].key) {
*value = table[top].value;
return true;
} else {
return false;
}
}
```
# Consultation dichotomique (`binary_get`)
\footnotesize
## Autre implémentation
```C
bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
int top = n - 1, bottom = 0;
while (true) {
int middle = (top + bottom) / 2;
if (key > table[middle].key) {
bottom = middle + 1;
} else if (key < table[middle].key) {
top = middle;
} else {
*value = table[middle].value;
return true;
}
if (top < bottom) {
break;
}
}
return false;
}
```
## Quelle est la différence avec le code précédent?
# Transformation de clé (hashing)
\footnotesize
## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
* Format: 106.3123.8492.13
......@@ -58,7 +203,50 @@ On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
... | ...
9999999999999 | -------
```
* Nombre de numéros >> nombre d'entrées.
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
. . .
* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
ordinateur.
# Transformation de clé (hashing)
## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
* Format: 8 caractères (simplification)
```
Identificateur | Adresse
aaaaaaaa | -------
... | ...
resultat | 3aeff
compteur | 4fedc
... | ...
zzzzzzzz | -------
```
## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
. . .
* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
. . .
* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
......@@ -83,7 +271,67 @@ tableau correspondant à `key`.
* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
# Fonctions de transformation de clés: exemple
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par troncature
\begin{align*}
&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
\end{align*}
```
Key | Index
0003 | 0
1123 | 2 \
1234 | 3 |-> collision.
1224 | 2 /
1264 | 6
```
## Quelle est la taille de la table?
. . .
C'est bien dix oui.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par découpage
Taille de l'index: 3 chiffres.
```
key = 321 991 24 -> 321
991
+ 24
----
1336 -> index = 336
```
## Devinez l'algorithme?
. . .
On part de la gauche:
1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
2. On somme les nombres obtenus.
3. On tronque à la longueur de l'index.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode multiplicative
Taille de l'index: 2 chiffres.
```
key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
```
On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
# Fonctions de transformation de clés: exemples
## Méthode par division modulo
......@@ -120,6 +368,8 @@ Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
trouver une libre.
......@@ -132,6 +382,138 @@ table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Problème?
. . .
* Regroupement d'éléments (clustering).
# Méthode linéaire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle valeur de `k` éviter?
. . .
* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
# Méthode du double hashing
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Quelle propriété doit avoir `h2`?
## Exemple
```C
h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
```
# Méthode pseudo-aléatoire
\footnotesize
## Comment ça marche?
* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
index = (index + random_number) % table_size;
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
. . .
* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
```C
srand(h(key));
while {
random_number = rand();
}
```
# Méthode quadratique
* La fonction des indices de collision est de degré 2.
* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
```
## Problème possible?
. . .
* Calculer le carré peut-être "lent".
* En fait on peut ruser un peu.
# Méthode quadratique
\footnotesize
```C
J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
J_0 = 100
\
d_0 = 1
/ \
J_1 = 101 Delta = 2
\ /
d_1 = 3
/ \
J_2 = 104 Delta = 2
\ /
d_2 = 5
/ \
J_3 = 109 Delta = 2
\ /
d_3 = 7
/
J_4 = 116
--------------------------------------
J_{i+1} = J_i + d_i,
d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
```
# Méthode de chaînage
## Comment ça marche?
......@@ -173,6 +555,15 @@ de l'alphabet)
![La méthode de chaînage](figs/fig_hash.png){width=80%}
# Méthode de chaînage
Avantages:
* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
sont `NULL`).
* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
* Pas de problème de regroupement (clustering).
# Exercice 1
* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
......@@ -196,7 +587,6 @@ h_2(k)&=1+(k\mod 11).
* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
collision.
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
......@@ -218,150 +608,3 @@ $$
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
# Préambule
\small
* On considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* L'insertion est construite avec une forme du type
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED
&& table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
\normalsize
* Gestion de l'état d'une case *explicite*
```C
typedef enum {EMPTY, OCCUPIED, DELETED} state;
```
# L'insertion
## Pseudocode?
. . .
```C
insert(table, key, value) {
index = hash de la clé;
index =
si "index" est déjà "occupé"
et la clé correspondante n'est pas "key"
alors gérer la collision;
changer l'état de la case "index" à "occupé";
changer la valeur de la case "index" à "value";
}
```
# La suppression
## Pseudocode?
. . .
```C
value_t remove(table, key) {
index = hash de la clé;
tant que l'état de la case n'est pas "vide"
si "index" est "occupé" et la clé est "key"
changer l'état de la case à "supprimé"
sinon
index = rehash
}
```
# La recherche
## Pseudocode?
. . .
```C
bool search(table, key, value) {
index = hash de la clé;
tant que l'état de la case n'est pas "vide"
si "index" est "occupé" et la clé est "key"
retourner vrai
sinon
index = rehash
}
```
# Écrivons le code!
* Mais avant:
* Quelles sont les structures de données dont nous avons besoin?
* Y a-t-il des fonctions auxiliaires à écrire?
* Écrire les signatures des fonctions.
. . .
## Structures de données
\footnotesize
. . .
```C
typedef enum {empty, deleted, occupied};
typedef ... key_t;
typedef ... value_t;
typedef struct _cell_t {
key_t key;
value_t value;
state_t state;
} cell_t;
typedef struct _hm {
cell_t *table;
int capacity;
int size;
} hm;
```
# Écrivons le code!
## Fonctions auxiliaires
. . .
```C
static int hash(key_t key);
static int rehash(int index, key_t key);
static int find_index(hm h, key_t key);
```
## Signature de l'API
. . .
```C
void hm_init(hm *h, int capacity);
void hm_destroy(hm *h);
bool hm_set(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_get(hm h, key_t key, value_t *value);
bool hm_remove(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_search(hm h, key_t key);
void hm_print(hm h);
```
# Live code session!
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. . .
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slides/cours_15.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Arbres"
date: "2023-03-10"
title: "Fin des tables de hachages et arbres"
date: "2025-02-28"
---
# Rappel
* Qu'est-ce qu'une table de hachage?
. . .
* Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou argument).
* Quelles sont les fonctions typiques définies sur les tables?
. . .
* Insertion, consultation, suppression.
```C
void insert(table, key, value)
value get(table, key)
value remove(table, key)
```
* Comment fait-on le lien entre une clé et une valeur dans le tableau?
. . .
* On hache!
# Exercice 2
* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
les collisions avec
\begin{align*}
h_1(k)&=k\mod 13,\\
h_2(k)&=1+(k\mod 11).
\end{align*}
* En cas de collision, on fait un saut de $h_2(k)$, c.-à-d. $$index = (index + h_2(k)) \mod 13.$$
# Exercice 3
* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise dans un
tableau de 10 positions.
* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
$$
h(N)=N\mod 10.
$$
* La fonction de gestion des collisions est
$$
C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10
$$
où $i$ compte les collisions.
* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
* Rechercher 35.
* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
* Expliquer se qui se passe si on utilise?
$$
C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
$$
# Préambule
\small
* Ici, on ne considère pas le cas du chaînage en cas de collisions.
* L'insertion est construite avec une forme du type
```C
index = h(key);
while (table[index].state == OCCUPIED
&& table[index].key != key) {
index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
}
table[index].key = key;
table[index].state = OCCUPIED;
```
\normalsize
* Gestion de l'état d'une case *explicite*
```C
typedef enum {EMPTY, OCCUPIED, DELETED} state;
```
# L'insertion
## Pseudocode?
. . .
```C
rien insertion(table, clé, valeur) {
index = hash(clé)
index =
tant que état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) != clé:
index = rehash(clé)
état(table[index]) = occupé
table[index] = valeur
}
```
# La suppression
## Pseudocode?
. . .
```C
valeur suppression(table, clé):
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
état(table[index]) = supprimé
sinon
index = rehash(clé)
}
```
# La recherche
## Pseudocode?
. . .
```C
booléen recherche(table, clé) {
index = hash(clé)
tant que état(table[index]) != vide:
si état(table[index]) == occupé
et clé(table[index]) == clé:
retourner vrai
sinon
index = rehash
retourner faux
}
```
# Écrivons le code!
* Mais avant:
* Quelles sont les structures de données dont nous avons besoin?
* Y a-t-il des fonctions auxiliaires à écrire?
* Écrire les signatures des fonctions.
. . .
## Structures de données
\footnotesize
. . .
```C
typedef enum {empty, deleted, occupied};
typedef ... key_t;
typedef ... value_t;
typedef struct _cell_t {
key_t key;
value_t value;
state_t state;
} cell_t;
typedef struct _hm {
cell_t *table;
int capacity;
int size;
} hm;
```
# Écrivons le code!
## Fonctions auxiliaires
. . .
```C
static int hash(key_t key);
static int rehash(int index, key_t key);
static int find_index(hm h, key_t key);
```
## Signature de l'API
. . .
```C
void hm_init(hm *h, int capacity);
void hm_destroy(hm *h);
bool hm_set(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_get(hm h, key_t key, value_t *value);
bool hm_remove(hm *h, key_t key, value_t *value);
bool hm_search(hm h, key_t key);
void hm_print(hm h);
```
# Live code session!
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. . .
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# Les arbres
\Huge Les arbres
# Les arbres: définition
"Un arbre est un graphe acyclique orienté possédant une unique racine, et tel que tous les nœuds sauf la racine ont un unique parent."
......@@ -13,16 +227,16 @@ date: "2023-03-10"
## Plus sérieusement
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe),
* Ensemble de **nœuds** et d'**arêtes** (graphe).
* Les arêtes relient les nœuds entre eux, mais pas n'importe comment: chaque
nœud a au plus un **parent**,
* Le seul nœud sans parent est la **racine**,
* Chaque nœud a un nombre fini de **fils**,
* La hiérarchie des nœuds rend les arêtes **orientées** (parent -> fils), et empêche les
nœud a au plus un **parent**.
* Le seul nœud sans parent est la **racine**.
* Chaque nœud a un nombre fini d'**enfants**.
* La hiérarchie des nœuds rend les arêtes **orientées** (parent -> enfants), et empêche les
**cycles** (acyclique, orienté).
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants,
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les fils,
* Le **degré** d'un nœud est le nombre de fils du nœud.
* La **feuille** ou **nœud terminal** est un nœud sans enfants.
* Le **niveau** est 1 à la racine et **niveau+1** pour les enfants.
* Le **degré** d'un nœud est le nombre de enfants du nœud.
. . .
......@@ -119,7 +333,7 @@ graph BT;
# Degré et niveau
* Illustration du degré (nombre de fils) et du niveau (profondeur)
* Illustration du degré (nombre d'enfants) et du niveau (profondeur)
::: columns
......@@ -149,11 +363,11 @@ graph TD;
:::
* Les nœuds de degré 0, sont des feuilles.
* Les nœuds de degré 0 sont des feuilles.
# Application: recherche rapide
## Pouvez vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
## Pouvez-vous construire un arbre pour résoudre le nombre secret?
. . .
......@@ -185,7 +399,7 @@ graph LR;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Botanique
* **Exercice:** Ajouter les degrés/niveaux et feuilles
......@@ -204,7 +418,7 @@ graph TD;
H-->K;
```
# Autres représentation
# Autres représentations
* Ensembliste
......@@ -234,7 +448,7 @@ graph TD;
:::
# Autres représentation
# Autres représentations
* Liste
......@@ -325,605 +539,3 @@ A
:::
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque nœud a au plus deux fils: gauche et droite,
* Chaque fils est un arbre.
## Comment représenteriez vous une telle structure?
. . .
```C
<R, G, D>
R: racine
G: sous-arbre gauche
D: sous-arbre droite
```
## Comment cela s'écrirait en C?
. . .
```C
typedef struct _node {
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
typedef node *tree;
```
# L'arbre binaire
## Que se passerait-il avec
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node left, right;
} node;
```
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
## Interface minimale
* Qu'y mettriez vous?
. . .
```C
NULL -> arbre (vide)
<n, arbre, arbre> -> arbre
visiter(arbre) -> nœud (la racine de l'arbre)
gauche(arbre) -> arbre (sous-arbre de gauche)
droite(arbre) -> arbre (sous-arbre de droite)
```
* Les autres opérations (insertion, parcours, etc) dépendent de ce qu'on stocke
dans l'arbre.
# Exemple d'arbre binaire
* Représentez `(c - a * b) * (d + e / f)` à l'aide d'un arbre binaire (matrix)
. . .
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
## Remarques
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info est pas le même sur chaque nœud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les nœuds internes contiennent les opérateurs.
::::
:::
# Parcours d'arbres binaires
* Appliquer une opération à tous les nœuds de l'arbre,
* Nécessité de **parcourir** l'arbre,
* Utiliser uniquement l'interface: visiter, gauche,
droite.
## Une idée de comment parcourir cet arbre?
* 3 parcours (R: Racine, G: sous-arbre gauche, D: sous-arbre droit):
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
1. Parcours **préfixe** (R, G D),
2. Parcours **infixe** (G, R, D),
3. Parcours **postfixe** (G, D, R).
::::
:::
# Le parcours infixe (G, R, D)
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il est pas vide,
2. On visite la racine du sous arbre,
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il est pas vide),
4. On recommence.
. . .
## Incompréhensible?
* La récursivité c'est la vie.
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Graphiquement (dessinons)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
::::
:::
# Graphiquement (`mermaid` c'est super)
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
A[*]-->B[-];
A[*]-.->|1|B[-];
B-->C[c];
B-.->|2|C[c];
C-.->|3|B;
B-->D[*];
B-.->|4|D;
D-->E[a];
D-.->|5|E;
E-.->|6|D;
D-->F[b];
D-.->|7|F;
F-.->|8|A;
A-->G[+];
A-.->|9|G;
G-->H[d];
G-.->|10|H;
H-.->|11|G;
G-->I["/"];
G-.->|12|I;
I-->J[e];
I-.->|13|J;
J-.->|14|I;
I-->K[f];
I-.->|15|K;
```
::::
:::: column
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
## Remarque
Le nœud est visité à la **remontée**.
## Résultat
```
c - a * b * d + e / f
```
::::
:::
# Et en C?
## Live code
\footnotesize
. . .
```C
typedef int data;
typedef struct _node {
data info;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
void tree_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
tree_print(tree->right, n+1);
}
}
```
# Question
## Avez-vous compris le fonctionnement?
. . .
## Vous en êtes sûr·e·s?
. . .
## OK, alors deux exercices:
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix),
## Rappel
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(A)
si est_pas_vide(droite(A))
parcours_infixe(droite(A))
```
# Correction
\footnotesize
* Les deux parcours sont des modifications **triviales**[^1] de l'algorithme
infixe.
## Le parcours postfixe
```python
parcours_postfixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_postfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_postfixe(droite(a))
visiter(a)
```
## Le parcours préfixe
```python
parcours_préfixe(arbre a)
visiter(a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_préfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_préfixe(droite(a))
```
. . .
**Attention:** L'implémentation de ces fonctions en C sont **à faire** en
exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
# Exercice: parcours
## Comment imprimer l'arbre ci-dessous?
```
f
/
e
+
d
*
c
-
b
*
a
```
. . .
## Bravo vous avez trouvé!
* Il s'agissait du parcours D, R, G.
# Implémentation
## Vous avez 5 min pour implémenter cette fonction et la poster sur matrix!
. . .
```C
void pretty_print(tree_t tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
pretty_print(tree->left, n+1);
}
}
```
# Exercice supplémentaire (sans corrigé)
Écrire le code de la fonction
```C
int depth(tree_t t);
```
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
Indice: la profondeur à chaque niveau peut-être calculée à partir du niveau des
sous-arbres de gauche et de droite.
# La recherche dans un arbre binaire
* Les arbres binaires peuvent retrouver une information très rapidement.
* À quelle complexité? À quelle condition?
. . .
## Condition
* Le contenu de l'arbre est **ordonné** (il y a une relation d'ordre (`<`, `>`
entre les éléments).
## Complexité
* La profondeur de l'arbre (ou le $\mathcal{O}(\log_2(N))$)
. . .
## Exemple: les arbres lexicographiques
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**,
* Par construction, pour chaque nœud $N$:
* Toutes clé du sous-arbre à gauche de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
* Toutes clé du sous-arbre à droite de $N$ sont inférieurs à la clé de $N$.
# Algorithme de recherche
* Retourner le nœud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```python
arbre recherche(clé, arbre)
tante_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
arbre = droite(arbre)
sinon
retourne arbre
retourne NULL
```
# Algorithme de recherche, implémentation (live)
\footnotesize
. . .
```C
typedef int key_t;
typedef struct _node {
key_t key;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
typedef node* tree_t;
tree_t search(key_t key, tree_t tree) {
tree_t current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > X) {
current = current->gauche;
} else if (current->key < X){
current = current->droite;
} else {
return current;
}
}
return NULL;
}
```
# Exercice (5-10min)
Écrire le code de la fonction
```C
int tree_size(tree_t tree);
```
qui retourne le nombre total de nœuds d'un arbre et poster le résultat sur
matrix.
Indication: la taille, est 1 + le nombre de nœuds du sous-arbre de gauche
additionné au nombre de nœuds dans le sous-arbre de droite.
. . .
```C
int arbre_size(tree_t tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
return 1 + tree_size(tree->left)
+ tree_size(tree->right);
}
}
```
# L'insertion dans un arbre binaire
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on peut
pas construire l'arbre....
## Pour un arbre lexicographique
* Rechercher la position dans l'arbre où insérer.
* Créer un nœud avec la clé et le rattacher à l'arbre.
# Exemple d'insertions
* Clés uniques pour simplifier.
* Insertion de 5, 15, 10, 25, 2, -5, 12, 14, 11.
* Rappel:
* Plus petit que la clé courante => gauche,
* Plus grand que la clé courante => droite.
* Faisons le dessins ensemble
```
```
## Exercice (3min, puis matrix)
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
# Pseudo-code d'insertion (1/2)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout du fils dans l'arbre.
## Recherche du parent
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudo-code d'insertion (2/2)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils
```
ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C (1/2)
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t current = tree;
if (NULL != current) {
tree_t subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key ? current->right :
current->left;
}
}
return current;
}
```
[^1]: Copyright cours de mathématiques pendant trop d'années.
slides/cours_16.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Arbres et tri par tas"
date: "2023-03-17"
title: "Arbres binaires"
date: "2025-03-07"
---
# Un joli site
# Les arbres binaires
## Visualisation d'algorithmes
\Huge Les arbres binaires
* <https://visualgo.net/>
* Allons nous rafraîchir la mémoire sur l'insertion / recherche dans un arbre
binaire.
# L'arbre binaire
* Structure de données abstraite,
* Chaque nœud a au plus deux enfants: gauche et droite,
* Chaque enfant est un arbre.
# L'insertion (1/4)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout du fils dans l'arbre.
## Recherche du parent (pseudo-code)
```
arbre position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# L'insertion (2/4)
## Recherche du parent (code)
## Comment représenteriez vous une telle structure?
. . .
```C
tree_t position(tree_t tree, key_t key) {
tree_t curr = tree;
if (NULL != curr) {
tree_t subtree =
key > curr->key ? curr->right : curr->left;
while (key != curr->key && NULL != subtree) {
curr = subtree;
subtree = key > curr->key ? curr->right :
curr->left;
}
}
return curr;
}
<R, G, D>
R: racine
G: sous-arbre gauche
D: sous-arbre droite
```
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# L'insertion (4/4)
## Ajout du fils (code)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
## Comment cela s'écrirait en C?
. . .
```C
tree_t add_key(tree_t *tree, key_t key) {
node_t *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
tree_t subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# La version PK (1/5)
```C
typedef struct _node {
int info;
contenu info;
struct _node *left, *right;
} node;
typedef node *tree;
void parcours_infixe(tree arbre, int n){
if(arbre!=NULL){
parcours_infixe(arbre->left, n+1);
for(int i=0; i<n; i++){
printf(" ");
}
printf("%d\n", arbre->info);
parcours_infixe(arbre->right, n+1);
}
}
```
# La version PK (2/5)
```C
tree recherche(int cle, tree arbre){
while(arbre != NULL){
if(arbre->info == cle) return arbre;
if(arbre->info > cle){
arbre = arbre->left;
}else if(arbre->info < cle){
arbre = arbre->right;
}
}
return NULL;
}
```
# La version PK (3/5)
# L'arbre binaire
\footnotesize
```C
node* parent_insertion(int donnee, tree arbre){
if(arbre != NULL){
node* suivant = NULL;
if(arbre->info > donnee){
suivant = arbre->left;
} else {
suivant = arbre->right;
}
while(suivant != NULL && arbre->info != donnee){
arbre = suivant;
if(arbre->info > donnee){
suivant = arbre->left;
} else {
suivant = arbre->right;
}
}
}
return arbre;
}
```
# La version PK (4/5)
\footnotesize
```C
node* nouveau_noeud(int donnee){
node* new_node = malloc(sizeof(node));
new_node->info = donnee;
new_node->left = NULL;
new_node->right = NULL;
return new_node;
}
tree insertion(int donnee, tree arbre){
if(arbre == NULL){
arbre = nouveau_noeud(donnee);
} else {
node* parent = parent_insertion(donnee, arbre);
if(donnee > parent->info){
parent->right = nouveau_noeud(donnee);
} else if(donnee < parent->info) {
parent->left = nouveau_noeud(donnee);
}
}
return arbre;
}
```
# La version PK (5/5)
## Que se passerait-il avec
```C
int main(){
tree arbre = NULL;
arbre = insertion(2, arbre);
arbre = insertion(1, arbre);
arbre = insertion(8, arbre);
arbre = insertion(10, arbre);
arbre = insertion(5, arbre);
parcours_infixe(arbre, 0);
}
typedef struct _node {
int info;
struct _node left, right;
} node;
```
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille
* le nœuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
. . .
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
* On ne sait pas quelle est la taille de node, on ne peut pas l'allouer!
::::
## Interface minimale
:::: column
* Qu'y mettriez vous?
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```C
NULL -> arbre (vide)
<n, arbre, arbre> -> arbre
visiter(arbre) -> nœud (la racine de l'arbre)
gauche(arbre) -> arbre (sous-arbre de gauche)
droite(arbre) -> arbre (sous-arbre de droite)
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
* Les autres opérations (insertion, parcours, etc) dépendent de ce qu'on stocke
dans l'arbre.
::::
# Exemple d'arbre binaire
:::
# La suppression de clé
* Représentez `(c - a * b) * (d + e / f)` à l'aide d'un arbre binaire (matrix)
. . .
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le nœud à supprimer à (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
graph TD;
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10 il se passe quoi?
. . .
* On peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution bon sang!
. . .
:::: column
## Solution
## Remarques
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou
...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
* L'arbre est **hétérogène**: le genre d'info n'est pas le même sur chaque nœud
(opérateur, opérande).
* Les feuilles contiennent les opérandes.
* Les nœuds internes contiennent les opérateurs.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
arbre parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbreou est_
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
# Parcours d'arbres binaires
. . .
* Appliquer une opération à tous les nœuds de l'arbre,
* Nécessité de **parcourir** l'arbre,
* Utiliser uniquement l'interface: visiter, gauche,
droite.
```
arbre insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne nœud(clé)
## Une idée de comment parcourir cet arbre?
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
* 3 parcours (R: Racine, G: sous-arbre gauche, D: sous-arbre droit):
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
bool recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
# Lien entre arbre et tableau
* La racine de l'arbre set le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un nœud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du nœud $i=0$, sont à $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du nœud $i=1$, sont à $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du nœud $i=2$, sont à $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du nœud $i=3$, sont à $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du nœud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du nœud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
# Visuellement
::: columns
:::: column
* Où vont les indices correspondant du tableau?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
* Les flèche de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèche de droite à gauche, enfants -> parent.
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
1. Parcours **préfixe** (R, G, D),
2. Parcours **infixe** (G, R, D),
3. Parcours **postfixe** (G, D, R).
::::
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassée" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
# Le parcours infixe (G, R, D)
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
* Gauche, Racine, Droite:
1. On descend dans l'arbre de gauche tant qu'il n'est pas vide.
2. On visite la racine du sous arbre.
3. On descend dans le sous-arbre de droite (s'il n'est pas vide).
4. On recommence.
. . .
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/N)
## Incompréhensible?
* La récursivité, c'est la vie.
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
# Graphiquement (dessinons)
::: columns
:::: column
* Quel est l'arbre que cela représente?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((7));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
A[*]-->B[-];
B-->C[c];
B-->D[*];
D-->E[a];
D-->F[b];
A-->G[+];
G-->H[d];
G-->I["/"];
I-->J[e];
I-->K[f];
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `4`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
::::
:::
. . .
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/N)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Graphiquement (`mermaid` c'est super)
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
A[*]-->B[-];
A[*]-.->|1|B[-];
B-->C[c];
B-.->|2|C[c];
C-.->|3|B;
B-->D[*];
B-.->|4|D;
D-->E[a];
D-.->|5|E;
E-.->|6|D;
D-->F[b];
D-.->|7|F;
F-.->|8|A;
A-->G[+];
A-.->|9|G;
G-->H[d];
G-.->|10|H;
H-.->|11|G;
G-->I["/"];
G-.->|12|I;
I-->J[e];
I-.->|13|J;
J-.->|14|I;
I-->K[f];
I-.->|15|K;
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
::::
## Remarque
:::
Le nœud est visité à la **remontée**.
. . .
## Résultat
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
c - a * b * d + e / f
```
# Exemple de tri par tas (3/N)
::::
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
:::
::: columns
# Et en C?
:::: column
## Live code
**But:** Transformer l'arbre en tas.
\footnotesize
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```C
typedef int data;
typedef struct _node {
data info;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
void tree_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
tree_print(tree->left, n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
tree_print(tree->right, n+1);
}
}
```
::::
:::: column
# Question
**But:** Transformer l'arbre en tas.
## Avez-vous compris le fonctionnement?
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
## Vous en êtes sûr·e·s?
::::
. . .
:::
## OK, alors deux exercices:
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
1. Écrire le pseudo-code pour le parcours R, G, D (matrix).
2. Écrire le pseudo-code pour la parcours G, D, R (matrix).
# Exemple de tri par tas (4/N)
## Rappel
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
parcours_infixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_infixe(gauche(a))
visiter(a)
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_infixe(droite(a))
```
::: columns
# Correction
:::: column
\footnotesize
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Les deux parcours sont des modifications **triviales** de l'algorithme
infixe.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
## Le parcours postfixe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```python
parcours_postfixe(arbre a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_postfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_postfixe(droite(a))
visiter(a)
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
## Le parcours préfixe
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```python
parcours_préfixe(arbre a)
visiter(a)
si est_pas_vide(gauche(a))
parcours_préfixe(gauche(a))
si est_pas_vide(droite(a))
parcours_préfixe(droite(a))
```
::::
:::
. . .
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
**Attention:** L'implémentation de ces fonctions en C sont **à faire** en
exercice (inspirez vous de ce qu'on a fait avant)!
# Exercice: parcours
# Exemple de tri par tas (5/N)
## Comment imprimer l'arbre ci-dessous?
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
f
/
e
+
d
*
c
-
b
*
a
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Transformer l'arbre en tas.
## Bravo vous avez trouvé!
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
* Il s'agissait du parcours D, R, G.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
# Implémentation
::::
## Vous avez 5 min pour implémenter cette fonction et la poster sur matrix!
:::
. . .
```
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```C
void pretty_print(node *tree, int n) {
if (NULL != tree) {
pretty_print(tree->right, n+1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf(" ");
}
printf("%d\n", tree->info);
pretty_print(tree->left, n+1);
}
}
```
* L'arbre est un tas.
# Exercice supplémentaire (sans corrigé)
# Exemple de tri par tas (6/N)
Écrire le code de la fonction
```C
int depth(node *t);
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
qui retourne la profondeur maximale d'un arbre.
**But:** Trier les tas.
Indice: la profondeur à chaque niveau peut-être calculée à partir du niveau des
sous-arbres de gauche et de droite.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
# La recherche dans un arbre binaire
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
* Les arbres binaires peuvent retrouver une information très rapidement.
* À quelle complexité? À quelle condition?
::::
. . .
:::: column
## Condition
**But:** Trier les tas.
* Le contenu de l'arbre est **ordonné** (il y a une relation d'ordre (`<`, `>`
entre les éléments).
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
## Complexité
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
* La profondeur de l'arbre (ou le $\mathcal{O}(\log_2(N))$)
::::
. . .
:::
## Exemple: les arbres lexicographiques
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
* Chaque nœud contient une information de type ordonné, la **clé**.
* Par construction, pour chaque nœud $N$:
* Toute clé du sous-arbre à gauche de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
* Toute clé du sous-arbre à droite de $N$ est inférieure à la clé de $N$.
# Algorithme de recherche
# Exemple de tri par tas (7/N)
* Retourner le nœud si la clé est trouvée dans l'arbre.
```python
tree recherche(clé, arbre)
tant_que est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
arbre = gauche(arbre)
sinon si clé > clé(arbre)
arbre = droite(arbre)
sinon
retourne arbre
retourne NULL
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
::: columns
:::: column
# Algorithme de recherche, implémentation (live)
**But:** Trier les tas.
\footnotesize
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```C
typedef int key_t;
typedef struct _node {
key_t key;
struct _node* left;
struct _node* right;
} node;
node *search(key_t key, node *tree) {
node *current = tree;
while (NULL != current) {
if (current->key > key) {
current = current->left;
} else if (current->key < key){
current = current->right;
} else {
return current;
}
}
return NULL;
}
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
# Exercice (5-10min)
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
Écrire le code de la fonction
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```C
int tree_size(node *tree);
```
::::
:::
qui retourne le nombre total de nœuds d'un arbre et poster le résultat sur
matrix.
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
Indication: la taille, est 1 + le nombre de nœuds du sous-arbre de gauche
additionné au nombre de nœuds dans le sous-arbre de droite.
# Exemple de tri par tas (8/N)
. . .
```C
int tree_size(node *tree) {
if (NULL == tree) {
return 0;
} else {
return 1 + tree_size(tree->left)
+ tree_size(tree->right);
}
}
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
# L'insertion dans un arbre binaire
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
```
* C'est bien joli de pouvoir faire des parcours, recherches, mais si on ne peut
pas construire l'arbre....
::::
## Pour un arbre lexicographique
:::: column
* Rechercher la position dans l'arbre où insérer.
* Créer un nœud avec la clé et le rattacher à l'arbre.
**But:** Trier les tas.
# Exemple d'insertions
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
* Clés uniques pour simplifier.
* Insertion de 5, 15, 10, 25, 2, -5, 12, 14, 11.
* Rappel:
* Plus petit que la clé courante => gauche,
* Plus grand que la clé courante => droite.
* Faisons le dessins ensemble
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
::::
:::
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/N)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
## Exercice (3min, puis matrix)
:::: column
* Dessiner l'arbre en insérant 20, 30, 60, 40, 10, 15, 25, -5
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
**But:** Trier les tas.
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
## Recherche du parent
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
tree position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
::::
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
:::
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout de l'enfant
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Exemple de tri par tas (10/N)
# Code d'insertion en C
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
## Recherche du parent (ensemble)
::: columns
. . .
:::: column
```C
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
**But:** Trier les tas.
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
# L'insertion (4/4)
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
## Ajout du fils (code)
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
\scriptsize
::::
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
:::
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/N)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (12/N)
# La suppression de clé
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
## Cas compliqué
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
```
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Exemple de tri par tas (13/N)
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
tree parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
::: columns
# Le pseudo-code de la suppression
:::: column
\footnotesize
**But:** Trier les tas.
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
::::
:::: column
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
::::
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
:::
. . .
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
tree insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne nœud(clé)
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
# Exercice (10min)
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
* Trier par tas le tableau
. . .
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
booléen recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
slides/cours_17.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Tri par tas et arbres AVL"
date: "2023-03-24"
title: "Arbres binaires, tri par tas"
date: "2025-03-14"
---
# Questions sur les notions du dernier cours (1/2)
# Les arbres binaires
* Comment représenter un tableau sous forme d'arbre binaire?
\Huge Les arbres binaires
# Rappel pour l'insertion
* Les éléments insérés ont une notion d'ordre
* On parcourt l'arbre jusqu'à pouvoir ajouter une nouvelle feuille
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
\footnotesize
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
## Recherche du parent
```python
arbre position(tree, clé)
si est_non_vide(tree)
si clé < clé(tree)
suivant = gauche(tree)
sinon
suivant = droite(tree)
tant que clé(tree) != clé && est_non_vide(suivant)
tree = suivant
si clé < clé(tree)
suivant = gauche(tree)
sinon
suivant = droite(tree)
retourne tree
```
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout de l'enfant
```
rien ajout(tree, clé)
si est_vide(tree)
tree = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(tree)
gauche(tree) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(tree)
droite(tree) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```
rien ajout(tree, clé)
si est_vide(tree)
tree = nœud(clé)
sinon
tree = position(tree, clé)
si clé < clé(tree)
gauche(tree) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(tree)
droite(tree) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# L'insertion (4/4)
## Ajout du fils (code)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# La suppression dans un arbre binaire
\Huge La suppression dans un arbre binaire
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->19
20-->21
```
::::
:::: column
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
. . .
* Qu'est-ce qu'un tas?
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
arbre parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
arbre suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
. . .
```
arbre insert(tree, clé)
si est_vide(tree)
retourne nœud(clé)
si (clé < tree(clé))
gauche(tree) = insert(gauche(tree), clé)
sinon
droite(tree) = insert(droite(tree), clé)
retourne tree
```
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
booléen recherche(tree, clé)
si est_vide(tree)
retourne faux // pas trouvée
si clé(tree) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(tree)
retourne recherche(gauche(tree), clé)
sinon
retourne recherche(droite(tree), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche l'arbre.
# Le tri par tas
\Huge Le tri par tas
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
# Lien entre arbre et tableau
* La racine de l'arbre est le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un nœud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du nœud $i=0$ sont en $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du nœud $i=1$ sont en $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du nœud $i=2$ sont en $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du nœud $i=3$ sont en $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du nœud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du nœud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
# Visuellement
::: columns
:::: column
* Où vont les indices correspondant du tableau?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
* Les flèches de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèches de droite à gauche, enfants -> parent.
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
::::
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassées" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
. . .
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
```
* Quel est l'arbre que cela représente?
::: columns
:::: column
# Questions sur les notions du dernier cours (2/2)
* Quel est l'arbre que cela représente?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
......@@ -38,658 +488,828 @@ graph TD;
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
# Exercice
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::::
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
:::: column
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
**But:** Transformer l'arbre en tas.
\footnotesize
* On commence à l'indice $N/2-1 = 4$: `4`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
## Deux étapes
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
::::
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
:::
. . .
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
# Exemple de tri par tas (2/13)
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
tamisage(tab, ind_max)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
::: columns
* Fonctions utilitaires
:::: column
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si tab[ind_max] < tab[g] && size(tab) > g
ind_max = g
si tab[ind_mx] < tab[d] && size(tab) > d
ind_max = d
retourne ind_max
**But:** Transformer l'arbre en tas.
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
::::
\footnotesize
:::: column
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
**But:** Transformer l'arbre en tas.
. . .
* On continue à l'indice $N/2-3 = 2$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
::::
## Fonctions utilitaires
:::
. . .
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
``` -->
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (3/13)
# Complexités
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
## Complexité de la recherche
1. En moyenne?
2. Dans le pire des cas?
**But:** Transformer l'arbre en tas.
. . .
* Indice $N/2-2 = 3$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
1. $O(\log_2(N))$
2. $O(N)$
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 2$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((9));
id0-->id8(( ));
id1-->id2((7));
id1-->id9(( ));
id2-->id3((6));
id2-->id10(( ));
id3-->id4((5));
id3-->id11(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Un meilleur arbre
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour être $O(\log_2(N))$?
# Exemple de tri par tas (4/13)
. . .
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
* Si on a environ le même nombre de nœuds dans les sous-arbres.
::: columns
## Définition
:::: column
Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
arbres gauche et droit vaut au plus 1.
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
* Indice $N/2-4 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-5 = 0$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
* $O(\log_2(N))$.
:::
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Équilibre parfait ou pas?
# Exemple de tri par tas (5/13)
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((W))-->id1((B));
id0-->id8((Y));
id1-->id2((A));
id1-->id9(( ));
id8-->id10((X));
id8-->id11(( ));
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::::
* L'arbre est un tas.
:::
# Exemple de tri par tas (6/13)
# Équilibre parfait ou pas?
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id1-->id3((8));
id1-->id4((12));
id4-->id5((11));
id4-->id6(( ));
id2-->id7((17));
id2-->id8(( ));
id7-->id9(( ));
id7-->id10((18));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Trier les tas.
```
P
A
S
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
::::
:::
# Arbres AVL
\footnotesize
* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
. . .
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
* A l'insertion/suppression.
* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
nombre de nœuds:
* La hauteur $\sim\log_2(N)$.
## Définition
# Exemple de tri par tas (7/13)
Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
* Relation entre nœuds et hauteur:
$$
\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
$$
* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
::: columns
# Notation
:::: column
* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
**But:** Trier les tas.
. . .
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
* `fe = {-1, 0, 1}`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
# AVL ou pas?
:::: column
::: columns
**But:** Trier les tas.
:::: column
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
:::
```
A
V
L
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::::
:::
# Exemple de tri par tas (8/13)
# AVL ou pas?
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id4-->id5((37));
id4-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Trier les tas.
```
P
A
S
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
A
V
L
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/13)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Trier les tas.
* `hd = hg`
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id4(( ));
id1-->id5((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
* `fe = -1`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (2/N)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/13)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
**But:** Trier les tas.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Trier les tas.
* `hd < hg`
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
id1-->id5(( ));
id1-->id6((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
* `fe = 0`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
\footnotesize
# Exemple de tri par tas (11/13)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
**But:** Trier les tas.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id3(( ));
id1-->id4((6));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
**But:** Trier les tas.
* `hd < hg`
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id3(( ));
id1-->id4((6));
id4-->id5((4));
id4-->id6(( ));
id2-->id7(( ));
id2-->id8(( ));
style id3 fill:#fff,stroke:#fff
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
**Déséquilibre!** Que vaut `fe`?
. . .
* `fe = 2`
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Les cas de déséquilibre
# Exemple de tri par tas (12/13)
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
## Cas 1a
**But:** Trier les tas.
* `u`, `v`, `w` même hauteur.
* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
```
::::
:::: column
## Cas 1a
* Comment rééquilibrer?
**But:** Trier les tas.
. . .
* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
```
::::
:::
# Les cas de déséquilibre
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (13/13)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
## Cas 1b (symétrique 1a)
**But:** Trier les tas.
![Après insertion](figs/cas1b_gauche.png)
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
## Cas 1b (symétrique 1a)
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
* Comment rééquilibrer?
. . .
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
![Après équilibrage](figs/cas1b_droite.png)
::::
:::
# Les cas de déséquilibre
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
# Exercice (10min)
:::: column
* Trier par tas le tableau
## Cas 2a
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
::::
\footnotesize
:::: column
## Deux étapes
## Cas 2a
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
* Comment rééquilibrer?
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
. . .
* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
::::
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
tamisage(tab, ind_max)
```
:::
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
* Fonctions utilitaires
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si g < size(tab) && tab[ind_max] < tab[g]
ind_max = g
si d < size(tab) > d && tab[ind_max] < tab[d]
ind_max = d
retourne ind_max
# Les cas de déséquilibre
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
::: columns
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
:::: column
\footnotesize
## Cas 2b (symétrique 2a)
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
![Après insertion](figs/cas2b_gauche.png)
. . .
::::
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```
:::: column
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
## Cas 2b (symétrique 2a)
\footnotesize
* Comment rééquilibrer?
## Fonctions utilitaires
. . .
![Après équilibrage](figs/cas2b_droite.png)
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
``` -->
::::
:::
slides/cours_18.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Arbres AVL"
date: "2023-03-31"
date: "2025-03-21"
---
# Questions sur les notions du dernier cours
# Exercice (que vous avez dû faire à la maiso)
* Qu'est-ce qu'un arbre AVL?
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
\footnotesize
## Deux étapes
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
. . .
* Un arbre binaire qui a la propriété suivante:
* La différence de hauteur de chaque noeud est d'au plus 1.
* Tous les noeuds ont `fe = hd - hg = {-1, 0, 1}`.
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
tamisage(tab, ind_max)
```
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
* Fonctions utilitaires
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si g < size(tab) && tab[ind_max] < tab[g]
ind_max = g
si d < size(tab) > d && tab[ind_max] < tab[d]
ind_max = d
retourne ind_max
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
* Pourquoi utiliser un arbre AVL plutôt qu'un arbre binaire de recherche?
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
\footnotesize
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
. . .
* Insertion/recherche/... toujours en $O(\log_2(N))$.
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```
# AVL ou pas?
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
## Fonctions utilitaires
. . .
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
``` -->
# Les arbres AVL
\Huge Les arbres AVL
# Un meilleur arbre
* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour que la recherche soit $O(\log_2(N))$?
. . .
* Si on a environ le même nombre de nœuds dans les sous-arbres.
## Définition
Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
arbres gauche et droit vaut au plus 1.
* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
. . .
* $O(\log_2(N))$.
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((21))-->id1((9));
id0-->id2((40));
id1-->id3((5));
id1-->id4((10));
id3-->id5((3));
id3-->id6((7))
id6-->id7((6))
id6-->id8(( ))
id2-->id9((33))
id2-->id10((61))
id9-->id11((22))
id9-->id12((39))
id10-->id13(( ))
id10-->id14((81))
id0((W))-->id1((B));
id0-->id8((Y));
id1-->id2((A));
id1-->id9(( ));
id8-->id10((X));
id8-->id11(( ));
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
# Équilibre parfait ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id1-->id3((8));
id1-->id4((12));
id4-->id5((11));
id4-->id6(( ));
id2-->id7((17));
id2-->id8(( ));
id7-->id9(( ));
id7-->id10((18));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
```
P
A
S
É
Q
U
I
L
I
B
R
É
```
::::
:::
# Arbres AVL
\footnotesize
* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
. . .
* A l'insertion/suppression.
* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
nombre de nœuds:
* La hauteur $\sim\log_2(N)$.
## Définition
Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
* Relation entre nœuds et hauteur:
$$
\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
$$
* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
# Notation
* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
. . .
* `fe = {-1, 0, 1}`
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
```
::::
:::: column
. . .
```
A
V
L
```
::::
:::
# AVL ou pas?
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((17));
id2-->id4((97));
id4-->id5((37));
id4-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
* Ajouter un noeud pour qu'il le soit plus.
```
P
A
S
A
V
L
```
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
```
::::
:::: column
. . .
* `hd = hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id1-->id4(( ));
id1-->id5((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
* `fe = -1`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL (2/N)
1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.
::: columns
:::: column
* `hd ? hg`.
* Insertion de `4`?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
* `hd < hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((1));
id0-->id2((19));
id2-->id3((18));
id2-->id4(( ));
id1-->id5(( ));
id1-->id6((4));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
```
* `fe = 0`
::::
:::
# Insertion dans un arbre AVL
# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
\footnotesize
......@@ -80,7 +474,7 @@ graph TD;
. . .
* `hd > hg`
* `hd < hg`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
......
slides/cours_19.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Arbres quaternaires"
date: "2023-04-28"
title: "Arbres AVL et arbres quaternaires"
date: "2025-03-28"
---
# Rappel: Algorithme d'insertion
* Insérer le noeud comme d'habitude.
* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
noeud déséquilibré).
* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
# Rappel: les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 1a
* `u`, `v`, `w` même hauteur.
* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 1a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
::::
:::
# Rappel: Les cas de déséquilibre
::: columns
:::: column
## Cas 2a
* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
::::
:::: column
## Cas 2a
* Comment rééquilibrer?
. . .
* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
::::
:::
# Rappel: Rééquilibrage
## Rotation simple
![On verra un peu après les rotations.](figs/rotation_gauche_droite.png)
# Rappel: La rotation gauche-droite
## Le cas 2a/b
![La double rotation de l'enfer.](figs/double_rotation_gauche_droite.png)
# Un petit exercice
* Insérer les nœuds suivants dans un arbre AVL
```
25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40
| 50 | 55 | 30 | 15
```
```
```
# La suppression dans un arbre AVL
\Huge La suppression dans un arbre AVL
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((10));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11((12))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: supprimer 10
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: supprimer 8
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((9))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((12));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9(( ))
id2-->id10((14))
id10-->id11(( ))
id10-->id12((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
style id9 fill:#fff,stroke:#fff
style id11 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: rotation de 12
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((9))-->id1((4));
id0-->id2((14));
id1-->id3((2));
id1-->id4((6));
id3-->id5((1));
id3-->id6(( ))
id4-->id7(( ))
id4-->id8((7))
id2-->id9((12))
id2-->id10((16))
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
style id7 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
1. On supprime comme d'habitude.
2. On rééquilibre si besoin à l'endroit de la suppression.
* Facile non?
. . .
* Plus dur....
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Algorithme par problème: suppression de 30
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((30));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation GD autour de 40
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((40));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4(( ));
id3-->id5(( ));
id3-->id6((20))
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
style id5 fill:#fff,stroke:#fff
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Suppression dans un arbre AVL 2.0
::: columns
:::: column
## Argl! 50 est déséquilibré!
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((50))-->id1((20));
id0-->id2((100));
id1-->id3((10));
id1-->id4((40));
id2-->id7((80))
id2-->id8((200))
id7-->id9((70))
id7-->id10((90))
id9-->id11((60))
id9-->id12(( ))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id12 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
. . .
## Algorithme par problème: rotation DG autour de 50
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((80))-->id1((50));
id0-->id2((100));
id1-->id3((20));
id1-->id4((70));
id3-->id5((10));
id3-->id6((40));
id4-->id9((60))
id4-->id10(( ))
id2-->id7((90))
id2-->id8((200))
id8-->id13(( ))
id8-->id14((300))
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
style id13 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
# Résumé de la suppression
1. On supprime comme pour un arbre binaire de recherche.
2. Si un nœud est déséquilibré, on le rééquilibre.
* Cette opération peut déséquilibrer un autre nœud sur le chemin menant au noeud supprimé.
3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer en remontant le chemin.
# Les arbres quaternaires
\Huge Les arbres quaternaires
# Les arbres quaternaires
......@@ -29,7 +432,7 @@ Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun
* Indexation spatiale.
* Détection de collisions.
* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
* Simulation de galaxies (algorithme de Barnes-Hut).
# Exemple de compression
......@@ -76,7 +479,7 @@ Image 64 pixels, arbre 25 nœuds.
struct node
info
node sup_gauche, sup_droit,
inf_gauche, inf_droit
inf_gauche, inf_droit
```
![Un nœud d'arbre quaternaire.](figs/quad_struct.svg)
......@@ -121,7 +524,7 @@ struct _node {
bool est_feuille(noeud)
retourne
est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
est_vide(sup_droit(noeud)) &&
est_vide(sup_droit(noeud)) &&
est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
est_vide(inf_droit(noeud))
```
......@@ -166,11 +569,11 @@ bool is_leaf(node *tree) {
# Problème à résoudre
* Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
* Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds),
* Le remplir avec les valeurs des pixels.
* Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds)
* Remplir l'arbre avec les valeurs des pixels
* Compression de l'image:
* Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
* Si les pixels dévient pas trop on supprime le quadrant (avec perte)
* Si les pixels ne dévient pas trop, on supprime le quadrant (avec perte)
# Création de l'arbre
......@@ -294,7 +697,7 @@ int depth(node *qt) {
# Fonctions utiles (2/4)
* On veut transformer une ligne/colonne en feuille.
* On veut transférer la valeur d'une case ligne/colonne dans une feuille.
* Comment?
::: columns
......@@ -421,7 +824,7 @@ noeud position(li, co, arbre)
. . .
```C
arbre matrice_à_arbre(matrice)
arbre matrice_vers_arbre(matrice)
arbre = creer_arbre(profondeur)
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
......@@ -439,11 +842,10 @@ arbre matrice_à_arbre(matrice)
\footnotesize
```C
node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
{
node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth) {
node *qt = qt_create(depth);
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
for (int li = 0; li < nb_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nb_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
current->info = matrix[li][co];
}
......@@ -459,13 +861,16 @@ node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
. . .
\footnotesize
```C
matrice arbre_à_matrice(arbre)
matrice arbre_vers_matrice(arbre)
matrice = creer_matrice(nb_lignes(arbre), nb_colonnes(arbre))
pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
noeud = position(li, co, arbre)
matrice[co][li] = noeud.info
retourne arbre
retourne matrice
```
. . .
......@@ -477,11 +882,14 @@ matrice arbre_à_matrice(arbre)
\footnotesize
```C
void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co])
for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co]) {
for (int li = 0; li < nb_li; ++li) {
for (int co = 0; co < nb_co; ++co) {
node *current = position(li, co, qt);
matrix[li][co] = current->info;
}
}
}
```
slides/cours_2.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2022-09-28"
title: "Introduction aux algorithmes II"
date: "2024-09-23"
---
# Rappel (1/2)
# Rappel
* Quel est l'algorithme pour le calcul des nombres 1ers?
......@@ -22,16 +22,216 @@ bool est_premier(int nombre) {
}
```
# Rappel (2/2)
# Expressions et opérateurs (1/6)
* Quelles structures de contrôles avons nous vues?
Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.
. . .
## Expressions simples
- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.
```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0; // '0' est un litéral
int y = x; // 'x' est une variable
int z = L; // 'L' est une constante
```
## Expressions complexes
- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*
```C
int x; // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
// dont le résultat est affecté à 'x'
```
# Expressions et opérateurs (2/6)
## Opérateurs relationnels
Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:
- `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.
| Opérateur | Syntaxe | Résultat |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C} | `a < b`{.C} | 1 si a < b; 0 sinon |
| `>`{.C} | `a > b`{.C} | 1 si a > b; 0 sinon |
| `<=`{.C} | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C} | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C} | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C} | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |
# Expressions et opérateurs (3/6)
## Opérateurs logiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C} | `a && b`{.C} | ET logique |
| `||`{.C} | `a || b`{.C} | OU logique |
| `!`{.C} | `!a`{.C} | NON logique |
# Quiz: opérateurs logiques
## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501928)
<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1
Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->
# Expressions et opérateurs (4/6)
## Opérateurs arithmétiques
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C} | `a + b`{.C} | Addition |
| `-`{.C} | `a - b`{.C} | Soustraction |
| `*`{.C} | `a * b`{.C} | Multiplication |
| `/`{.C} | `a / b`{.C} | Division |
| `%`{.C} | `a % b`{.C} | Modulo |
# Expressions et opérateurs (5/6)
## Opérateurs d'assignation
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C} | `a = b`{.C} | Affecte la valeur `b` à la variable `a` |
| | | et retourne la valeur de `b` |
| `+=`{.C} | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `-=`{.C} | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `*=`{.C} | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `/=`{.C} | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
| `%=`{.C} | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
| | | assigne le résultat à `a`. |
# Expressions et opérateurs (6/6)
## Opérateurs d'assignation (suite)
| Opérateur | Syntaxe | Signification |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C} | `++a`{.C} | Incrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a += 1`). |
| `--`{.C} | `--a`{.C} | Décrémente la valeur de `a` de 1 et |
| | | retourne le résultat (`a -= 1`). |
| `++`{.C} | `a++`{.C} | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1. |
| `--`{.C} | `a--`{.C} | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1. |
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)
## Syntaxe
```C
if (expression) {
instructions;
} else if (expression) { // optionnel
// il peut y en avoir plusieurs
instructions;
} else {
instructions; // optionnel
}
```
```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
printf("y vaut 8.\n");
} else {
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```
# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)
## Pièges
```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
x = -1; // toujours évalué
```
# Quiz: `if ... else`{.C}
## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501931)
# Structures de contrôle: `while`{.C}
## La boucle `while`{.C}
```C
while (condition) {
instructions;
}
do {
instructions;
} while (condition);
```
## La boucle `while`{.C}, un exemple
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
sum += 1;
}
do {
sum += 10;
} while (sum < 100);
```
# Structures de contrôle: `for`{.C}
## La boucle `for`{.C}
```C
for (expression1; expression2; expression3) {
instructions;
}
```
## La boucle `for`{.C}
```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
sum += i;
}
for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
* La boucle `while`,
* La boucle `do ... while`,
* La boucle `for`,
* La condition `if ... else if ... else`,
# Exercice: la factorielle
......
slides/cours_20.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Arbres quarternaires, compression et Barnes-Hut"
date: "2023-05-05"
title: "Arbres quaternaires"
date: "2025-04-04"
---
# Le cours précédent (1/2)
# Rappel sur les arbres quaternaires
## Questions
* Qu'est-ce qu'un arbre quaternaire?
. . .
* Un arbre où chaque nœud a soit **4 enfants** soit **aucun**.
* A quoi peut servir un arbre quaternaire?
## Définition?
. . .
* Compression
# Le cours précédent (2/2)
## Questions
* Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
* Structure de données d'un arbre quaternaire?
. . .
```C
typedef struct _node {
int info;
struct _node *child[4];
} node;
```
## Utilisation dans ce cours?
. . .
* Dessin d'un nœud d'arbre quaternaire (avec correspondance `node`)?
* Stockage/compression d'image
* Chaque pixel correspond à une feuille
* Des portions de l'image peuvent être compressées sans/avec perte
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((" "))-->|"child[0]"| id1(("info"));
id0-->|"child[1]"| id2(("info"));
id0-->|"child[2]"| id3(("info"));
id0-->|"child[3]"| id4(("info"));
```
# Transformations avec un arbre quaternaire
......@@ -92,9 +65,9 @@ graph TD;
```C
matrice symétrie(matrice)
pour i de 0 à nb_colonnes(matrice) / 2
pour j de 0 à nb_lignes(matrice)
échanger(matrice[i][j], matrice[nb_colonnes(matrice)-1-i][j])
pour i de 0 à nb_lignes(matrice)
pour j de 0 à nb_colonnes(matrice)/2
échanger(matrice[i][j], matrice[i][nb_colonnes(matrice)-1-j])
retourne matrice
```
......@@ -179,7 +152,7 @@ rien rotation_gauche(arbre)
IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
```
* Écrire le vrai (5min, matrix)
* Écrire le vrai code (5min, matrix)
. . .
......@@ -191,14 +164,14 @@ void rotate(node *qt) {
qt->child[0] = qt->child[1];
qt->child[1] = qt->child[3];
qt->child[3] = tmp;
for (int i=0;i < 4; i++) {
for (int i=0; i<CHILDREN; i++) {
rotate(qt->child[i]);
}
}
}
```
# Compression sans perte (1/N)
# Compression sans perte (1/5)
## Idée générale
......@@ -216,7 +189,7 @@ void rotate(node *qt) {
* Comment faire?
# Compression sans perte (2/N)
# Compression sans perte (2/5)
## Que devient l'arbre suivant?
......@@ -228,22 +201,22 @@ void rotate(node *qt) {
![](figs/quad_img_simple_comp.svg)
# Compression sans perte (3/N)
# Compression sans perte (3/5)
* Si un nœud a tous ses enfants égaux:
* Donner la valeur au nœud,
* Supprimer les enfants.
* Remonter jusqu'à la racine.
* Stocker cette valeur dans ce nœud,
* Supprimer ses enfants.
* Jusqu'à remonter à la racine.
## Écrire le pseudo-code (5min, matrix)
. . .
```C
rien compression_sans_pertes(arbre)
rien compression_sans_perte(arbre)
si !est_feuille(arbre)
pour i de 0 à 3
compression_sans_pertes(arbre.enfant[i])
compression_sans_perte(arbre.enfant[i])
si derniere_branche(arbre)
valeur, toutes_égales = valeur_enfants(arbre)
si toutes_egales
......@@ -251,7 +224,7 @@ rien compression_sans_pertes(arbre)
detruire_enfants(arbre)
```
# Compression sans perte (4/N)
# Compression sans perte (4/5)
\footnotesize
......@@ -262,14 +235,14 @@ rien compression_sans_pertes(arbre)
```C
void lossless_compression(node *qt) {
if (!is_leaf(qt)) {
for (int i = 0; i < CHILDREN; i++) {
for (int i=0; i<CHILDREN; i++) {
lossless_compression(qt->child[i]);
}
if (is_last_branch(qt)) {
int val = -1;
if (last_value(qt, &val)) {
qt->info = val;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
for (int i=0; i<CHILDREN; ++i) {
free(qt->child[i]);
qt->child[i] = NULL;
}
......@@ -279,13 +252,13 @@ void lossless_compression(node *qt) {
}
```
# Compression sans perte (5/N)
# Compression sans perte (5/5)
\footnotesize
```C
bool is_last_branch(node *qt) {
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
for (int i = 0; i < CHILDREN; ++i) {
if (!is_leaf(qt)) {
return false;
}
......@@ -294,7 +267,7 @@ bool is_last_branch(node *qt) {
}
bool last_value(node *qt, int *val) {
int info = qt->child[0];
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
for (int i = 1; i < CHILDREN; ++i) {
if (info != qt->child[i]) {
return false;
}
......@@ -305,7 +278,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
```
# Compression avec perte (1/N)
# Compression avec perte (1/5)
## Idée générale
......@@ -323,7 +296,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
# Compression avec perte (2/N)
# Compression avec perte (2/5)
## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
......@@ -335,7 +308,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)
# Compression avec perte (3/N)
# Compression avec perte (3/5)
## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
......@@ -352,7 +325,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
. . .
* Si $\sigma<\theta$, $\theta$ est la **tolérance**:
* Si $\sigma<\theta$, où $\theta$ est la **tolérance**:
* Remplacer la valeur du pixel par la moyenne des enfants.
* Remonter les valeurs dans l'arbre.
......@@ -362,7 +335,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
# Compression avec perte (4/N)
# Compression avec perte (4/5)
## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
......@@ -372,7 +345,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)
# Compression avec perte (6/N)
# Compression avec perte (5/5)
## Modifications sur la structure de données?
......@@ -429,7 +402,7 @@ rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
```C
arbre = matrice_à_arbre(matrice)
moyenne(arbre)
compression_sans_pertes(arbre)
compression_avec_pertes(arbre)
```
# La dynamique des corps célestes
......@@ -509,7 +482,7 @@ rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
\footnotesize
* Si temps pour $N=1$ on calcule en $1\mu s$:
* Si le temps pour $N=1$ est environ $1\mu s$, on a:
+--------+-------+-------+-----------+
| N | N^2 | t [s] | t [réel] |
......@@ -520,18 +493,18 @@ rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^6 | 10^12 | 1e+6 | ~11j |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30k ans |
| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30K ans |
+--------+-------+-------+-----------+
| 10^11 | 10^22 | 1e+16 | ~300M ans |
+--------+-------+-------+-----------+
* Typiquement il y a des milliers-millions d'itérations.
* Typiquement, il y a des milliers-millions d'itérations.
* Il y a $10^{11}$ étoiles dans la galaxie.
* Houston we have a problem.
# Question
## Comment faire mieux, des idées?
## Comment faire mieux? Des idées?
. . .
......@@ -615,7 +588,7 @@ rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
![](figs/nbody_qt_withtree.png)
* On omet les nœuds vides pour éviter la surcharge.
* On omet les nœuds vides pour alléger la représentation.
* La numérotation est:
* 0: ID
* 1: SD
......@@ -784,8 +757,8 @@ m&=m_2+m_3,\\
* Insertion du corps `c` dans le nœud `n` en partant de la racine.
* Si le nœud `n`
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
* est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`;
* est interne, on met à jour masse et centre de masse, `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant;
* est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux nœuds dans les quadrants appropriés.
## Remarque
......@@ -793,3 +766,175 @@ m&=m_2+m_3,\\
* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
* Un nœud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
# Algorithme d'insertion
## Structure de données
```C
struct node
etoile e // externe: pour stocker
etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
quadrant q // coordonnées du quadrant
node enfants[4]
```
## Remarque:
* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
# Algorithme d'insertion
\footnotesize
## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
. . .
```C
rien insertion_etoile(arbre, e)
si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
si (est_feuille(arbre))
si (!contient_etoile(arbre))
arbre.e = e
sinon
// on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
subdivision_arbre(arbre, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, arbre.e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
destruction(arbre.e)
sinon
maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
```
# Utilisation de l'arbre
* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
* Parcours de l'arbre:
* Si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
* Sinon on continue le parcours.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_1.png)
* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_2.png)
* Le cadrant SG contient `5` corps.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_3.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
* Est-ce que `d` est assez grand?
* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
# Critère $\theta$
* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
* Le domaine est assez éloigné si
$$
\frac{s}{d}<\theta,
$$
* $\theta$ est la valeur de seuil.
* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
$$
d>2s.
$$
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
* On descend dans l'arbre.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_5.png)
* `s` est plus petit, mais....
* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_6.png)
* Les nœuds sont des feuilles, on calcule la force.
* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
# Algorithme pour le calcul de la force
Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
* Si le nœud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon, si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
## Continuons notre exemple précédent!
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_7.png)
* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
. . .
* Et oui! $d>2s$, donc on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
# Algorithme du calcul de force
## Écrire le pseudo-code-code du calcul de la force
\footnotesize
```C
rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
si est_vide(arbre)
retourne
si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre)
&& dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
maj_force(e, arbre.e)
sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
maj_force(e, arbre.sup_etoile)
sinon
pour enfant dans enfants
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
```
slides/cours_21.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Barnes-Hut et B-arbres"
date: "2023-05-12"
title: "Les B-arbres"
date: "2025-04-11"
---
# Le cours précédent
## A quoi sert l'algorithme de Barnes-Hut?
. . .
* A accélérer la résolution du problème à $n$-corps avec la gravitation,
* si on peut vivre avec une réduction de précision.
## Sur quelle structure de données se base l'algorithme?
* L'arbre quaternaire.
. . .
## Quelle est l'idée générale?
. . .
* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_bare.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Problématique
* On veut calculer la force sur $1$.
::::
:::
. . .
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Illustration: le cas à 10 corps
![](figs/nbody_n2.png){width=60%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Résultat
* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
::::
:::
# Le cas à 10 corps
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Réduction d'un groupe à un seul corps
![](figs/nbody_group.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Idée
* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
* Autrement l'approximation est trop grossière.
::::
:::
# Solution: l'arbre quaternaire
## Corps célestes - arbre
![](figs/nbody_qt_withtree.png)
* On omet les nœuds vides pour éviter la surcharge.
* La numérotation est:
* 0: ID
* 1: SD
* 2: IG
* 3: SG
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 1
![](figs/corps1.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre1.png){width=100%}
* Quadrant ID.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 2
![](figs/corps2.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre2.png){width=100%}
* Quadrant SD.
* La feuille est vide, on insère.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (1/N)
![](figs/corps3_1.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 1
![](figs/arbre3_1.png){width=100%}
* Quadrant SD.
* La feuille est prise par 2.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (2/N)
![](figs/corps3_2.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 2
![](figs/arbre3_2.png){width=100%}
* On crée un nouveau nœud.
* Deux corps dans le nœud ID.
* On crée un nouveau nœud.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Insertion corps 3 (3/N)
![](figs/corps3_3.png){width=100%}
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre, niveau 3
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
* 2 va dans ID.
* 3 va dans SG.
* C'est des feuilles vides, tout va bien.
::::
:::
# Exemple d'insertion
::: columns
:::: {.column width=50%}
## Que fait-on avec les nœuds intérieurs?
* On les utilise pour:
* stocker la masse totale;
* stocker le centre de masse.
\begin{align}
m&=m_2+m_3,\\
\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
\end{align}
## Chaque feuille contient **une étoile**
::::
:::: {.column width=50%}
## Arbre
![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
::::
:::
# Résumé
* Insertion du corps `c` dans le nœud `n` en partant de la racine.
* Si le nœud `n`
* ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
* est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
* est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux nœuds dans les quadrants appropriés.
## Remarque
* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
* Un nœud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
# Algorithme d'insertion
## Structure de données
```C
struct node
etoile e // externe: pour stocker
etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
quadrant q // coordonnées du quadrant
node enfants[4]
```
## Remarque:
* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
# Algorithme d'insertion
\footnotesize
## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
. . .
```C
rien insertion_etoile(arbre, e)
si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
si (est_feuille(arbre))
si (!contient_etoile(arbre))
arbre.e = e
sinon
// on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
subdivision_arbre(arbre, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, arbre.e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
destruction(arbre.e)
sinon
maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
pour enfant dans arbre.enfants
insertion_etoile(enfant, e)
```
# Utilisation de l'arbre
* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
* Parcours de l'arbre:
* si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
* sinon, on continue le parcours
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_1.png)
* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_2.png)
* Le cadrant SG ne contient `5` corps.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_3.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
* Est-ce que `d` est assez grand?
* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
# Critère $\theta$
* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
* Le domain est assez éloigné si
$$
\frac{s}{d}<\theta,
$$
* $\theta$ est la valeur de seuil.
* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
$$
d>2s.
$$
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_4.png)
* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
* ON descend dans l'arbre.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_5.png)
* `s` est plus petit, mais....
* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_6.png)
* Les nœuds sont des feuilles, on calcule la force.
* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
# Algorithme pour le calcul de la force
Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
* Si le nœud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
## Continuons notre exemple précédent!
# Calcul de la force
## Calcul de la force sur `1`
![](figs/force_7.png)
* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
. . .
* Et oui! $d>2s$ on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
# Les B-arbres
# Algorithme du calcul de force
\Huge
## Écrire le pseudo-code-code du calcul de la force
Les B-arbres
\footnotesize
```C
rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
si est_vide(arbre)
retourne
si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
maj_force(e, arbre.e)
sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
maj_force(e, arbre.sup_etoile)
sinon
pour enfant dans enfants
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
```
# Les B-arbres
## Problématique
* Grands jeux de données (en 1970).
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre tiens pas en mémoire.
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre ne tient pas en mémoire.
* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
## Exemple
......@@ -470,7 +28,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## Remarques
* On sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* On ne sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* Variante plus récente B+-arbres.
# Les B-arbres
......@@ -484,14 +42,14 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## Utilisation
* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
* Système de fichier.
* Systèmes de fichiers.
# Les B-arbres
## Avantages
* Arbres moins profonds;
* Diminue les opération de rééquilibrage;
* Diminution des opérations de rééquilibrage;
* Complexité toujours en $\log(N)$;
. . .
......@@ -528,20 +86,21 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
. . .
* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
* Si `C` plus petit que la 1ère clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver où descendre entre 2 éléments.
# Les B-arbres
## La recherche de la clé `C` algorithme
## Algorithme de recherche de la clé `C`
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si la `C` est dans une page, retourner la page;
* Si `C` est dans la page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C > page` passer à la page suivante
* Descendre
* Tant que `C < clé(page)` passer à la clé suivante
* Si `C` est dans la page, retourner la page;
* Sinon descendre
# Les B-arbres
......@@ -565,7 +124,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
. . .
* La première page est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
* La première page n'est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
# Les B-arbres
......@@ -619,11 +178,11 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_5.svg)
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg)
. . .
* On descend à droite (on peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On descend à droite (on ne peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
* On crée un nouveau nœud à droite de `4`;
......@@ -641,7 +200,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_6.svg)
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg)
. . .
......@@ -660,7 +219,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
. . .
......@@ -674,7 +233,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
## L'algorithme d'insertion
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
0. Rechercher la feuille (la page n'a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
......@@ -729,3 +288,189 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
* Dans un B-arbre d'ordre 2.
# Les B-arbres
\footnotesize
## Structure de données
* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un nœud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
```
* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?
# Les B-arbres
## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
. . .
![Structure d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
# Les B-arbres
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?
![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
# Les B-arbres
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
# Les B-arbres
## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?
![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
# Les B-arbres
## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
. . .
## Solution
![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
# Les B-arbres
## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`
* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page est pleine:
* On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
* On crée une nouvelle page de droite;
* On copie les valeurs à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On promeut `M` dans la page du dessus;
* On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
# Les B-arbres
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
. . .
```C
struct page
entier ordre, nb
element tab[2*ordre + 2]
```
```C
struct element
entier clé
page pg
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
```
. . .
```C
booléen est_feuille(page)
retourne (page.tab[0].pg == vide)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
booléen est_dans_page(page, valeur)
i = position(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```
# Les B-arbres
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
page nouvelle_page(ordre) // créer une page
rien liberer_memoire(page) // libérer tout un arbre!
```
. . .
```C
page nouvelle_page(ordre)
page = allouer(page)
page.ordre = ordre
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Les B-arbres
## Les fonctions (5min matrix)
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
// la valeur ou vide
```
. . .
```C
page recherche(page, valeur)
si est_dans_page(page, valeur)
retourne page
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1], valeur)
```
slides/cours_22.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "B-arbres"
date: "2023-05-19"
title: "Les B-arbres et graphes"
date: "2025-05-09"
---
# Rappel: Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Pourquoi utiliser un B-arbre?
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
. . .
## À quoi ressemble un B-arbre?
. . .
## Qu'est-ce qu'un B-arbre d'ordre $n$
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
......@@ -22,47 +16,30 @@ date: "2023-05-19"
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres (rappel)
# Rappel: Les B-arbres
## Est-ce un B-arbre?
## Quelques propriétés
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ nœuds: check;
* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
\footnotesize
## Structure de données
* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un nœud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
```
. . .
* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?
### Bien sûr!
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
## L'algorithme d'insertion
. . .
![Structure d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine, insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?
......@@ -74,7 +51,7 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`
......@@ -82,7 +59,7 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?
......@@ -94,7 +71,7 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?
......@@ -106,7 +83,7 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`
......@@ -115,13 +92,13 @@ P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
* Si la page est pleine:
* On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
* On crée une nouvelle page de droite;
* On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On copie les valeurs à droite de `M` dans la nouvelle page;
* On promeut `M` dans la page du dessus;
* On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
## Pseudo-code structure de données
. . .
......@@ -133,20 +110,20 @@ struct page
```C
struct element
int clé
entier clé
page pg
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
```C
booléen est_feuille(page) // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
booléen est_feuille(page) // la page est-elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice insère-t-on?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est-elle dans la page?
```
. . .
......@@ -157,7 +134,7 @@ booléen est_feuille(page)
entier position(page, valeur)
i = 0
tant que i < page.nb && val >= page.tab[i+1].clef
tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
i += 1
retourne i
......@@ -166,15 +143,14 @@ booléen est_dans_page(page, valeur)
retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
\footnotesize
## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
## Les fonctions utilitaires
```C
page nouvelle_page(ordre) // creer une page
rien liberer_memoire(page) // liberer tout un arbre!
page nouvelle_page(ordre) // créer une page
```
. . .
......@@ -185,21 +161,11 @@ page nouvelle_page(ordre)
page.nb = 0
page.tab = allouer(2*ordre+2)
retourner page
rien liberer_memoire(page)
si est_feuille(page)
liberer(page.tab)
liberer(page)
sinon
pour fille dans page.tab
liberer_memoire(fille)
liberer(page.tab)
liberer(page)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (rappel)
## Les fonctions (5min matrix)
## Recherche de page
```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
......@@ -215,15 +181,16 @@ page recherche(page, valeur)
sinon si est_feuille(page)
retourne vide
sinon
recherche(page.tab[position(page, valeur)], valeur)
recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1],
valeur)
```
# Les B-arbres
# Les B-arbres (nouveautés)
## Les fonctions
```C
page inserer_valeur(page, valeur) // inserer une valeur
page inserer_valeur(page, valeur) // insérer une valeur
```
. . .
......@@ -231,7 +198,8 @@ page inserer_valeur(page, valeur) // inserer une valeur
```C
page inserer_valeur(page, valeur)
element = nouvel_element(valeur)
// on change element pour savoir s'il faut le remonter
// ici élément est modifié pour savoir
// s'il faut le remonter
inserer_element(page, element)
si element.page != vide && page.nb > 2*page.ordre
// si on atteint le sommet!
......@@ -255,7 +223,8 @@ rien inserer_element(page, element)
si est_feuille(page)
placer(page, element)
sinon
sous_page = page.tab[position(page, element)].page
sous_page =
page.tab[position(page, element.clé) - 1].page
inserer_element(sous_page, element)
// un element a été promu
si element.page != vide
......@@ -295,12 +264,12 @@ rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
```C
rien scinder(page, element)
new_page = new_page(page.ordre)
new_page.nb = page.ordre
nouvelle_page = nouvelle_page(page.ordre)
nouvelle_page.nb = page.ordre
pour i de 0 à ordre inclu
new_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
nouvelle_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
element.clé = page.tab[ordre+1].clé
element.page = new_page
element.page = nouvelle_page
```
# Les B-arbres
......@@ -324,6 +293,31 @@ page ajouter_niveau(page, element)
retourne tmp
```
<!-- # Les B-arbres -->
<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
<!-- . . . -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct _page { -->
<!-- int order, nb; -->
<!-- struct _element *tab; -->
<!-- } page; -->
<!-- ``` -->
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct element { -->
<!-- int key; -->
<!-- struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
# Les B-arbres: suppression
## Cas simplissime
......@@ -341,7 +335,7 @@ page ajouter_niveau(page, element)
## Cas simple
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=50%}
. . .
......@@ -357,17 +351,17 @@ page ajouter_niveau(page, element)
## Cas moins simple
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=50%}
. . .
* Un élément à droite, comment on fait?
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... ce n'est pas forcément le cas.
* On redistribue les feuilles.
. . .
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=50%}
# Les B-arbres: suppression
......@@ -394,7 +388,7 @@ page ajouter_niveau(page, element)
. . .
* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
* `8` est seul, ce n'est plus un B-arbre :
* Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
. . .
......@@ -410,8 +404,8 @@ page ajouter_niveau(page, element)
## Algorithme pour les feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une feuille:
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le noeud voisin et on descend la clé médiane.
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille, on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.
# Les B-arbres: suppression
......@@ -448,30 +442,880 @@ page ajouter_niveau(page, element)
## Algorithme pour les non-feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche.
* On supprime comme pour une feuille!
## Et maintenant des exos par millions!
## Et maintenant des exercices par millions!
# Les graphes
\Huge
<!-- # Les B-arbres -->
Les graphes
<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
# Les graphes! Historique
<!-- . . . -->
**Un mini-peu d'histoire...**
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct _page { -->
<!-- int order, nb; -->
<!-- struct _element *tab; -->
<!-- } page; -->
<!-- ``` -->
## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
<!-- ```C -->
<!-- typedef struct element { -->
<!-- int key; -->
<!-- struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
![Les ponts c'est beau. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/37h0yOG>](figs/Konigsberg_bridges.png){width=40%}
. . .
* Réponse: ben non!
# Utilisation quotidienne
## Réseau social
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/Social_Network.svg){width=40%}
* Chaque sommet est un individu.
* Chaque trait une relation d'amitié.
* Miam, Miam, Facebook.
# Utilisation quotidienne
## Moteurs de recherche
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/PageRanks-Example.svg){width=40%}
* Sommet est un site.
* Liens sortants;
* Liens entrants;
* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
* Miam, Miam, Google (PageRank).
# Introduction
## Définition, plus ou moins
* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
![Deux exemples de graphes.](figs/ex_graphes.png)
* Des sommets (numérotés 1 à 6);
* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
# Généralités
## Définitions
* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
* $V$: un ensemble de sommets;
* $E$: un ensemble d'arêtes.
* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
## Remarques
* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_non_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
|E|&=4.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe orienté.](figs/ex_graphe_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
|E|&=5.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
## Exemple
::: columns
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$, $c$ adjacent à $a$.](figs/ex_adj_non_or.svg){width=60%}
::::
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$.](figs/ex_adj_or.svg){width=60%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
## Exemples
![Graphe pondéré orienté (gauche) et non-orienté (droite).](figs/ex_graph_pond.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que
$$
(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
$$
avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
## Exemples
![Illustration d'une chaîne, ou pas chaîne dans un graphe.](figs/ex_graphe_chaine.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
## Exemples
![Illustration d'une chaîne élémentaire.](figs/ex_graphe_chaine_elem.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
## Exemples
![Illustration d'une boucle.](figs/ex_graphe_boucle.pdf){width=40%}
# Généralités
## Définition
* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe connexe. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3yiUzUv>](figs/graphe_connexe.svg){width=60%}
::::
:::: column
![Graphe non-connexe avec composantes connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3KJB76d>](figs/composantes_connexes.svg){width=40%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe fortement connexe.](figs/ex_graph_fort_connexe.pdf){width=60%}
::::
:::: column
![Composantes fortement connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3w5PL2l>](figs/composantes_fortement_connexes.svg){width=100%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\geq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
## Exemples
![Illustration de cycles, ou pas.](figs/ex_graphe_cycle.pdf){width=100%}
# Question de la mort
* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
. . .
* Un arbre!
# Représentations
* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
* Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
* Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
## Question
* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
. . .
* Matrice/liste d'adjacence.
# Matrice d'adjacence
* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
$$
A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
0 & \mbox{sinon}.
\end{array} \right.
$$
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
## Remarques
* Zéro sur la diagonale.
* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
$$
A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
$$.
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
* Pour un graphe orienté (digraphe)
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
2-->1;
1-->4;
2-->5;
5-->2;
4-->5;
5-->3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
---||---|---|---|---|---
4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
```
::::
:::
* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
$$
A_{ij}\neq A_{ji}.
$$
# Stockage
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
# Considérations d'efficacité
* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
. . .
* Dans les graphes denses.
* Pourquoi?
. . .
* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
## Remarque
* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
* Comment représenter un graphe autrement?
# La liste d'adjacence (non-orienté)
* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
. . .
* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
::: columns
:::: column
## Exemple
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graph_adj.pdf){width=80%}
::::
:::: column
## Quelle liste d'adjacence?
. . .
![La liste d'adjacence.](figs/ex_graph_list_adj.pdf)
::::
:::
# La liste d'adjacence (orienté)
::: columns
:::: column
## Quelle liste d'adjacence pour...
* Matrix (2min)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0-->1;
0-->2;
1-->2;
3-->0;
3-->1;
3-->2;
```
::::
:::: column
```
```
::::
:::
# Complexité
## Stockage
* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
. . .
$$
\mathcal{O}(|E|)
$$
* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}(2|E|)$.
* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}(|E|)$.
## Définition
* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
. . .
* C'est la longueur de la liste chaînée.
# Parcours
* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
* Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
* Trouver si le graphe est connexe;
* Il existe *deux* parcours principaux:
* en largeur (Breadth-First Search);
* en profondeur (Depth-First Search).
* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
# Illustration: parcours en largeur
![Le parcours en largeur.](figs/parcours_larg.pdf){width=80%}
# Exemple
## Étape par étape (blanc non-visité)
![Initialisation.](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
## Étape par étape (gris visité)
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
## Étape par étape (vert à visiter)
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![The end. Plus rien à visiter!](figs/parcours_larg_6.pdf){width=50%}
# En faisant ce parcours...
::: columns
:::: column
## Du parcours de l'arbre
![](figs/parcours_larg_6.pdf){width=100%}
::::
:::: column
## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0[x]-->1[w];
0-->2[t];
0-->3[y];
2-->9[u];
1-->4[s];
4-->5[r];
5-->6[v];
```
::::
:::
## Remarques
* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
. . .
```C
v = un sommet du graphe
i = 1
pour sommet dans graphe et sommet non-visité
visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité
i += 1
```
## Remarque
* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
* Comment garder la trace de la distance?
. . .
* Utilisation d'une **file**
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(file)
v = défiler(file)
file = visiter(v, file)
```
## Que fait visiter?
```
file visiter(sommet, file)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
file = enfiler(file, w)
retourne file
```
# Exercice (5min)
## Appliquer l'algorithme sur le graphe
![](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
# Complexité du parcours en largeur
## Étape 1
* Extraire un sommet de la file;
## Étape 2
* Traîter tous les sommets adjacents.
## Quelle est la complexité?
. . .
* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Illustration: parcours en profondeur
![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}
# Parcours en profondeur
## Idée générale
* Initialiser les sommets comme non-lus
* Visiter un sommet
* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
## Remarque
* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
# Parcours en profondeur
## Pseudo-code (5min)
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(pile)
v = dépiler(pile)
pile = visiter(v, pile)
```
## Que fait visiter?
. . .
```C
pile visiter(sommet, pile)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
pile = empiler(pile, w)
retourne pile
```
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Interprétation des parcours
* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
* Labyrinthe;
* Arbre des coups d'un jeu.
. . .
* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
* Les deux parcourent *tout* l'espace;
* Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
. . .
* Quand on a un temps limité
* BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
* DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
slides/cours_3.md
View file @ 6a7f0d88
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2022-10-05"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
title: "Introduction aux algorithmes III"
date: "2024-09-30"
---
# Rappel (1/2)
......@@ -23,7 +11,6 @@ patat:
* L'algorithme de la factorielle.
* L'algorithme du PPCM.
* Le début de l'algorithme du PGCD.
# Rappel (2/2)
......@@ -158,16 +145,15 @@ Par groupe de 3 (5-10min):
## Pseudo-code
```C
entier pgcd(m, n) {
entier pgcd(m, n)
tmp_n = n
tmp_m = m
tant que (tmp_m ne divise pas tmp_n) {
tant que (tmp_m ne divise pas tmp_n)
tmp = tmp_n
tmp_n = tmp_m
tmp_m = tmp modulo tmp_m
}
retourne tmp_m
}
```
# Le code du PGCD de 2 nombres
......@@ -200,7 +186,7 @@ void main() {
* Remplissage d'un tableau et recherche de la valeur minimal
* Anagrammes
* Palindromes
* Crible d'ératosthène
* Crible d’Ératosthène
. . .
......@@ -211,7 +197,7 @@ void main() {
\footnotesize
* Objets de même type: leur nombre est **connu à la compilation**;
* Stockés contigüement en mémoire (très efficace);
* Stockés de façon contiguë en mémoire (très efficace);
```C
#define SIZE 10
......@@ -235,8 +221,7 @@ void main() {
# Remarques
* Depuis `C99` possibilité d'avoir des tableaux dont la taille est *inconnue à
la compilation*;
* Depuis `C99` la taille peut être *inconnue à la compilation* (VLA);
```C
int size;
......@@ -273,6 +258,7 @@ for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
tab[i] = rand() / (double)RAND_MAX * 10.0 - 5.0;
// tab[i] contient un double dans [-5;5]
}
int other_tab[4] = {0}; // pareil que {0, 0, 0, 0}
```
# Recherche du minimum dans un tableau (1/2)
......@@ -304,7 +290,7 @@ pour i de 1 à SIZE - 1
int index = 0;
float min = tab[0];
for (int i = 1; i < SIZE; ++i) {
if min > tab[i] {
if (min > tab[i]) {
min = tab[i];
index = i;
}
......@@ -322,18 +308,10 @@ Trier un tableau par ordre croissant.
```C
ind = 0
tant que (ind < SIZE-1)
Trouver le minimum du tableau, tab_min[ind:SIZE].
Trouver le minimum du tableau, tab_min = min([ind:SIZE]).
Échanger tab_min avec tab[ind]
ind += 1
```
# Tri par sélection (2/2)
## Implémentation par groupe de 3
* Initialiser aléatoirement un tableau de `double` de taille 10;
* Afficher le tableau;
* Trier par sélection le tableau;
* Afficher le résultat trié;
* Vérifier algorithmiquement que le résultat est bien trié.