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title: "Représentation des nombres et récursivité"
date: "2021-10-20"
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# Représentation des nombres (1/2)
* Le nombre `247`.
## Nombres décimaux: Les nombres en base 10
+--------+--------+--------+
| $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
+--------+--------+--------+
| `2` | `4` | `7` |
+--------+--------+--------+
$$
247 = 2\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.
$$
# Représentation des nombres (2/2)
* Le nombre `11110111`.
## Nombres binaires: Les nombres en base 2
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| `1` | `1` | `1` | `1` | `0` | `1` | `1` | `1` |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
$$
1\cdot 2^7 + 1\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +1\cdot 2^2
+1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0
$$
. . .
$$
= 247.
$$
# Conversion de décimal à binaire (1/2)
## Convertir 11 en binaire?
. . .
* On décompose en puissances de 2 en partant de la plus grande possible
```
11 / 8 = 1, 11 % 8 = 3
3 / 4 = 0, 3 % 4 = 3
3 / 2 = 1, 3 % 2 = 1
1 / 1 = 1, 1 % 1 = 0
```
* On a donc
$$
1011 \Rightarrow 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot
2^0=11.
$$
# Conversion de décimal à binaire (2/2)
## Convertir un nombre arbitraire en binaire: 247?
* Par groupe établir un algorithme.
. . .
## Algorithme
1. Initialisation
```C
num = 247
while (2^N < num) {
N += 1
}
```
. . .
2. Boucle
```C
while (N >= 0) {
bit = num / 2^N
num = num % 2^N
N += 1
}
```
# Les additions en binaire
Que donne l'addition `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 8+4+0+1 = 13
+ 0110 + 0+4+2+0 = 6
------- -----------------
10011 16+0+0+2+1 = 19
```
* Les entiers sur un ordinateur ont une précision **fixée** (ici 4 bits).
* Que se passe-t-il donc ici?
. . .
## Dépassement de capacité: le nombre est "tronqué"
* `10011 (19) -> 0011 (3)`.
* On fait "le tour"."
# Entier non-signés minimal/maximal
* Quel est l'entier non-signé maximal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(1111)_2 = 8+4+2+1 = 15
$$
* Quel est l'entier non-signé minimal représentable avec 4 bit?
. . .
$$
(0000)_2 = 0+0+0+0 = 0
$$
* Quel est l'entier non-signé min/max représentable avec N bit?
. . .
$$
0\mbox{ et }2^N-1.
$$
* Donc `uint32_t?` maximal est?
. . .
$$
4294967295
$$
# Les multiplications en binaire (1/2)
Que donne la multiplication de `1101` avec `0110`?
* L'addition est la même que dans le système décimal
```
1101 13
* 0110 * 6
--------- --------------
0000 78
11010
110100
+ 0000000
--------- --------------
1001110 64+0+0+8+4+2+0
```
# Les multiplications en binaire (2/2)
## Que fait la multiplication par 2?
. . .
* Décalage de un bit vers la gauche!
```
0110
* 0010
---------
0000
+ 01100
---------
01100
```
. . .
## Que fait la multiplication par $2^N$?
. . .
* Décalage de $N$ bits vers la gauche!
# Entiers signés (1/2)
Pas de nombres négatifs encore...
## Comment faire?
. . .
## Solution naïve:
* On ajoute un bit de signe (le bit de poids fort):
```
00000010: +2
10000010: -2
```
## Problèmes?
. . .
* Il y a deux zéros (pas trop grave): `10000000` et `00000000`
* Les additions différentes que pour les non-signés (très grave)
```
00000010 2
+ 10000100 + -4
---------- ----
10000110 = -6 != -2
```
# Entiers signés (2/2)
## Beaucoup mieux
* Complément à un:
* on inverse tous les bits: `1001 => 0110`.
## Encore un peu mieux
* Complément à deux:
* on inverse tous les bits,
* on ajoute 1 (on ignore les dépassements).
. . .
* Comment écrit-on `-4` en 8 bits?
. . .
```
4 = 00000100
________
-4 => 00000100
11111011
+ 00000001
----------
11111100
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Questions:
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
* Quel est le complément à 2 de `1000 0000`?
. . .
## Réponses
* Comment on écrit `+0` et `-0`?
```
+0 = 00000000
-0 = 11111111 + 00000001 = 100000000 => 00000000
```
* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
```
00000010 2
+ 11111100 + -4
---------- -----
11111110 -2
```
* En effet
```
11111110 => 00000001 + 00000001 = 00000010 = 2.
```
# Le complément à 2 (1/2)
## Quels sont les entiers représentables en 8 bits?
. . .
```
01111111 => 127
10000000 => -128 // par définition
```
## Quels sont les entiers représentables sur $N$ bits?
. . .
$$
-2^{N-1} ... 2^{N-1}-1.
$$
## Remarque: dépassement de capacité en `C`
* Comportement indéfini!
# Nombres à virgule (1/3)
## Comment manipuler des nombres à virgule?
$$
0.1 + 0.2 = 0.3.
$$
Facile non?
. . .
## Et ça?
```C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
float a = atof(argv[1]);
float b = atof(argv[2]);
printf("%.10f\n", (double)(a + b));
}
```
. . .
## Que se passe-t-il donc?
# Nombres à virgule (2/3)
## Nombres à virgule fixe
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
| $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ | `.` | $2^{-1}$ | $2^{-2}$ | $2^{-3}$ | $2^{-4}$ |
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
| `1` | `0` | `1` | `0` | `.` | `0` | `1` | `0` | `1` |
+-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
## Qu'est-ce ça donne en décimal?
. . .
$$
2^3+2^1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4} = 8+2+0.5+0.0625=10.5625.
$$
## Limites de cette représentation?
. . .
* Tous les nombres `> 16`.
* Tous les nombres `< 0.0625`.
* Tous les nombres dont la décimale est pas un multiple de `0.0625`.
# Nombres à virgule (3/3)
## Nombres à virgule fixe
* Nombres de $0=0000.0000$ à $15.9375=1111.1111$.
* Beaucoup de "trous" (au moins $0.0625$) entre deux nombres.
## Solution partielle?
. . .
* Rajouter des bits.
* Bouger la virgule.
# Nombres à virgule flottante (1/2)
## Notation scientifique
* Les nombres sont représentés en terme:
* Une mantisse
* Une base
* Un exposant
$$
\underbrace{22.1214}_{\mbox{nombre}}=\underbrace{221214}_{\mbox{mantisse}}\cdot
{\underbrace{10}_{\mbox{base}}}{\overbrace{^{-4}}^{\mbox{exp.}}},
$$
. . .
On peut donc séparer la représentation en 2:
* La mantisse
* L'exposant
# Nombres à virgule flottante (2/2)
## Quel est l'avantage?
. . .
On peut représenter des nombres sur énormément d'ordres de grandeur avec un
nombre de bits fixés.
## Différence fondamentale avec la virgule fixe?
. . .
La précision des nombres est **variable**:
* On a uniquement un nombre de chiffres **significatifs**.
$$
123456\cdot 10^{23}+ 123456\cdot 10^{-23}.
$$
## Quel inconvénient y a-t-il?
. . .
Ce mélange d'échelles entraîne un **perte de précision**.
# Nombres à virgule flottante simple précision (1/4)
Aussi appelés *IEEE 754 single-precision binary floating point*.
](figs/Float_example_bare.svg)
## Spécification
* 1 bit de signe,
* 8 bits d'exposant,
* 23 bits de mantisse.
$$
(-1)^{b_{31}}\cdot 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\cdot (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2},
$$
## Calculer la valeur décimale du nombre ci-dessus
# Nombres à virgule flottante simple précision (2/4)
](figs/Float_example.svg)
. . .
\begin{align}
\mbox{exposant}&=\sum_{i=0}^7 b_{23+i}2^i=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=124-127,\\
\mbox{mantisse}&=1+\sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+2^{-2}=1.25,\\
&\Rightarrow (-1)^0\cdot 2^{-3}\cdot 1.25=0.15625
\end{align}
# Nombres à virgule flottante simple précision (3/4)
## Quel nombre ne peux pas être vraiment représenté?
. . .
## Zéro: exception pour l'exposant
* Si l'exposant est `00000000` (zéro)
$$
(-1)^{\mbox{sign}}\cdot 2^{-126}\cdot 0.\mbox{mantisse},
$$
* Sinon si l'exposant est `00000001` à `11111110`
$$
\mbox{valeur normale},
$$
* Sinon `11111111` donne `NaN`.
# Nombres à virgule flottante simple précision (4/4)
## Quels sont les plus petits/grands nombres positifs représentables?
. . .
\begin{align}
0\ 0\dots0\ 0\dots01&=2^{-126}\cdot 2^{-23}=1.4...\cdot
10^{-45},\\
0\ 1\dots10\ 1\dots1&=2^{127}\cdot (2-2^{-23})=3.4...\cdot
10^{38}.
\end{align}
## Combien de chiffres significatifs en décimal?
. . .
* 24 bits ($23 + 1$) sont utiles pour la mantisse, soit $2^{24}-1$:
* La mantisse fait $\sim2^{24}\sim 10^7$, ou encore
* Ou encore $\sim \log_{10}(2^{24})\sim 7$,
* Environ **sept** chiffres significatifs.
# Nombres à virgule flottante double précision (64bits)
## Spécification
* 1 bit de signe,
* 11 bits d'exposant,
* 52 bits de mantisse.
. . .
## Combien de chiffres significatifs?
* La mantisse fait $\sim 2^{53}\sim10^{16}$,
* Ou encore $\sim \log_{10}(2^{53})\sim 16$,
* Environ **seize** chiffres significatifs.
## Plus petit/plus grand nombre représentable?
. . .
* Plus petite mantisse et exposant: $\sim 2^{-52}\cdot 2^{-1022}\sim 4\cdot 10^{-324}$,
* Plus grande mantisse et exposant: $\sim 2\cdot 2^{1023}\sim \cdot 1.8\cdot 10^{308}$.
# Précision finie (1/3)
## Erreur de représentation
* Les nombres réels ont potentiellement un **nombre infini** de décimales
* $1/3=0.\overline{3}$,
* $\pi=3.1415926535...$.
* Les nombres à virgule flottante peuvent en représenter qu'un **nombre
fini**.
* $1/3\cong 0.33333$, erreur $0.00000\overline{3}$.
* $\pi\cong3.14159$, erreur $0.0000026535...$.
On rencontre donc des **erreurs de représentation** ou **erreurs
d'arrondi**.
. . .
## Et quand on calcule?
* Avec deux chiffres significatifs
\begin{align}
&8.9+(0.02+0.04)=8.96=9.0,\\
&(8.9+0.02)+0.04=8.9+0.04=8.9.
\end{align}
. . .
## Même pas associatif!
# Précision finie (2/3)
## Erreur de représentation virgule flottante
$$
(1.2)_{10} = 1.\overline{0011}\cdot 2^0\Rightarrow 0\ 01111111\
00110011001100110011010.
$$
Erreur d'arrondi dans les deux derniers bits et tout ceux qui viennent
ensuite
$$
\varepsilon_2 = (00000000000000000000011)_2.
$$
Ou en décimal
$$
\varepsilon_{10} = 4.76837158203125\cdot 10^{-8}.
$$
# Précision finie (3/3)
## Comment définir l'égalité de 2 nombres à virgule flottante?
. . .
Ou en d'autres termes, pour quel $\varepsilon>0$ (appelé `epsilon-machine`) on a
$$
1+\varepsilon = 1,
$$
pour un nombre à virgule flottante?
. . .
Pour un `float` (32 bits) la différence est à
$$
2^{-23}=1.19\cdot 10^{-7},
$$
Soit la précision de la mantisse.
## Comment le mesurer (par groupe)?
. . .
```C
float eps = 1.0;
while ((float)1.0 + (float)0.5 * eps != (float)1.0) {
eps = (float)0.5 * eps;
}
printf("eps = %g\n", eps);
```
# Erreurs d'arrondi
Et jusqu'ici on a encore pas fait d'arithmétique!
## Multiplication avec deux chiffres significatifs, décimal
$$
(1.1)_{10}\cdot (1.1)_{10}=(1.21)_{10}=(1.2)_{10}.
$$
En continuant ce petit jeu:
$$
\underbrace{1.1\cdot 1.1\cdots 1.1}_{\mbox{10 fois}}=2.0.
$$
Alors qu'en réalité
$$
1.1^{10}=2.5937...
$$
Soit une erreur de près de 1/5e!
. . .
## Le même phénomène se produit (à plus petite échelle) avec les `float` ou
`double`.
# Exemple de récursivité (1/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On empile les appels
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | | `factorial(1)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# Exemple de récursivité (2/2)
## La factorielle
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
. . .
## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
. . .
## On dépile les calculs
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `1` | | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
+----------------+----------------+----------------+----------------+
# La récursivité (1/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) {
return n * factorial(n - 1);
} else {
return 1;
}
}
```
# La récursivité (2/4)
## Formellement
* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
## Pour la factorielle, qui est qui?
```C
int factorial(int n) {
if (n > 1) { // Condition de récursivité
return n * factorial(n - 1);
} else { // Condition d'arrêt
return 1;
}
}
```
# La récursivité (3/4)
## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
. . .
```C
double epsilon_machine(double eps) {
if (1.0 + eps != 1.0) {
return epsilon_machine(eps / 2.0);
} else {
return eps;
}
}
```
# La récursivité (4/4)
## Exercice: que fait ce code récursif?
```C
void recurse(int n) {
printf("%d ", n % 2);
if (n / 2 != 0) {
recurse(n / 2);
} else {
printf("\n");
}
}
recurse(13);
```
. . .
```C
binaire(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
binaire(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
binaire(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
binaire(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
// affiche: 1 1 0 1
```