diff --git a/practical_work/planets/OrbitalEccentricityDemo.svg b/practical_work/planets/OrbitalEccentricityDemo.svg
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--- /dev/null
+++ b/practical_work/planets/OrbitalEccentricityDemo.svg
@@ -0,0 +1,17 @@
+<svg width="350" height="350" version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
+<rect width="350" height="350" fill="#FFF"/>
+<circle cx="222.78" cy="175" r="3.82"/>
+<g fill="none" stroke-width="1.9">3.611794,3.601832
+<circle cx="222.78" cy="175" r="95.44" stroke="#B3B3B3"/>
+<ellipse cx="159" cy="175" rx="127.42" ry="110" stroke="#F00"/>
+<path d="M111.2.96c212.48 116.03 212.48 232.05 0 348.08" stroke="#0C0"/>
+<path d="M181.23 1.75C208.94 54.41 254.64 127 254.64 175s-45.7 120.59-73.41 173.25" stroke="#00F"/>
+</g>
+<g font-family="DejaVu Sans" font-size="24">
+<text y="202.6" x="210.1">F</text>
+<text y="183.33" x="133.34" fill="#B3B3B3">e=0</text>
+<text y="183.33" x="34.91" fill="#F00">e=0·5</text>
+<text y="31.72" x="72.34" fill="#0C0">e=1</text>
+<text y="31.87" x="2024" fill="#00F">e=2</text>
+</g>
+</svg>
\ No newline at end of file
diff --git a/practical_work/planets/enonce.md b/practical_work/planets/enonce.md
index cd5fcbece7e16421fbcfaa3f6cc849a4ae270485..c6e02b75a4d8e757786fd8a7b72110314555d1a1 100644
--- a/practical_work/planets/enonce.md
+++ b/practical_work/planets/enonce.md
@@ -43,12 +43,19 @@ Dans notre univers, tous les corps sont soumis à des forces. Une force est une
La force de gravitation est une force qui apparaît entre tous les objets ayant une masse (un corps). Elle régit le mouvements des objets massifs (planètes, étoiles, trou noir, galaxies...). La force de gravité causée par un corps *B* et subie par un corps *A* s'obtient avec la formule suivante :
$$
-\vec{F}_{BA} = G\displaystyle\frac{m_Am_B}{\| \vec{r}_{AB} \|^3}\vec{r}_{AB}
+\vec{F}_{BA} = G\displaystyle\frac{m_Am_B}{\| \vec{r}_{AB} \|^3}\vec{r}_{AB},
$$
-Avec $G$ en [$\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot \text{s}^2}$], $m_a$,$m_b$ en [kg] et $\| \vec{r}_{AB} \|$ en [m].
+où $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot \text{s}^2}$],
+$m_A$,$m_B$ sont les masses du corps $A$ et $B$ en [kg] et $\| \vec{r}_{AB} \|$
+le vecteur reliant $A$ et $B$ en [m].
-\pagebreak
+<!-- \pagebreak -->
+
+## Les orbites planétaires
+
+Les planètes, dont la terre, tournent autour du soleil (ce n'est pas la terre
+le centre du système solaire comme on le croyait il y a longtemps).
L'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, il s'agit en réalité d'une ellipsoïde. Cette orbite ellipsoïdale est définie par trois paramètres :
@@ -58,26 +65,27 @@ L'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, il s'agit en réalité d'un
{#fig:orbite width=50%}
-Sur la figure \ref{fig:e}, vous observer différentes orbites pour différentes valeurs de $e$.
+Sur la figure \ref{fig:e}, vous observez différentes orbites pour différentes valeurs de $e$.
-{#fig:e width=30%}
+{#fig:e width=30%}
-\pagebreak
+<!-- \pagebreak -->
## Simulation d'un système planétaire
### Idée générale
-Dans notre simulation, nous représentrons un système planétaire sur un plan, basé sur notre système solaire. Au centre nous aurons une étoile (fixe) et un certain nombre de planètes qui orbitent autour de cette dernière.
+Dans notre simulation, nous représenterons un système planétaire sur un plan, basé sur notre système solaire. Au centre nous aurons une étoile (fixe) et un certain nombre de planètes qui orbitent autour de cette dernière.
Pour simuler un système planétaire, on peut effectuer les étapes suivantes :
1. Créer une étoile au centre de notre domaine.
2. On ajoute autant de planètes que l'on désire autour de l'étoile.
- 3. On définit nos conditions initiales.
+ 3. On définit nos conditions initiales (en particulier la vitesse de chaque
+ planère).
4. On affiche puis on simule l'évolution :
- 1. [On affiche notre système.]{#here4}
+ 1. [On affiche notre système ($\vec{x}_p(t))$.]{#here4}
2. On calcule la force résultante sur chacune des planètes.
3. On calcule la prochaine position de chacune des planètes ($\vec{x}_p(t + \Delta t)$).
4. On met à jour la position des planètes de notre système.
@@ -85,13 +93,16 @@ Pour simuler un système planétaire, on peut effectuer les étapes suivantes :
# Évolution
-Concentrons nous tout d'abord sur l'évolution de la simulation, nous verrons les conditions initiales dans un second temps. Pour déterminer les informations néccéssaires, on commence par calculer la force résultante :
+Concentrons nous tout d'abord sur l'évolution de la simulation, nous verrons
+les conditions initiales dans un second temps. Pour déterminer les informations
+nécessaires, on commence par calculer la force résultante sur la planète
+$p$:
$$
- \vec{F}_p = \sum_{\{q \in \mathcal{C}\ |\ q \neq p\}}\vec{F}_{qp}
+ \vec{F}_p = \sum_{\{q \in \mathcal{C}\ |\ q \neq p\}}\vec{F}_{qp},
$$
-Où $\mathcal{C}$ est l'ensemble des corps célèstes (les planètes et l'étoile) de votre simulation.
+où $\mathcal{C}$ est l'ensemble des corps célestes (les planètes et l'étoile) de votre simulation.
Ensuite, on calcule la nouvelle position à partir de l'ancienne. En reprenant les équations du mouvement uniformément accéléré on a :
@@ -103,7 +114,9 @@ $$
\end{aligned}
$$
-Avec $t$ et $\Delta t$ en [s], $\| \vec{x}_p(t) \|$ en [m], $\| \vec{v}_p(t) \|$ en [$\frac{m}{s}$] et $\| \vec{a}_p(t) \|$ en [$\frac{m}{s^2}$].
+Avec $t$ et $\Delta t$ en [s], $\vec{x}_p(t)$ la position de la planète $p$ en
+[m], $\vec{v}_p(t)$ la vitesse de la planète $p$ en [$\frac{m}{s}$] et
+$\vec{a}_p(t)$ l'accélération de la planète $p$ en [$\frac{m}{s^2}$].
En additionnant les deux équations de \eqref{eq:verlet}, on obtient :
@@ -115,25 +128,38 @@ $$
\end{aligned}
$$
-On remarque donc qu'il n'est pas nécessaire de retenir l'évolution de $\vec{v}_p$ pour calculer le prochain état de notre simulation. Nous n'avons besoin que des deux dernières positions ($\vec{x}_p(t), \vec{x}_p(t-\Delta t)$) et de l'accélération ($\vec{a}_p(t)$). Nous calculerons donc les $\vec{x}_p$ itérativement et je vous laisse le soin de déduire comment nous pouvons obtenir $\vec{a}_p(t)$ à partir des formules données.
+On remarque donc qu'il n'est pas nécessaire de retenir l'évolution de
+$\vec{v}_p$ pour calculer le prochain état de notre simulation. Nous n'avons
+besoin que des deux dernières positions ($\vec{x}_p(t), \vec{x}_p(t-\Delta t)$)
+et de l'accélération ($\vec{a}_p(t)$). Nous calculerons donc les $\vec{x}_p$
+itérativement et je vous laisse le soin de déduire comment nous pouvons obtenir
+$\vec{a}_p(t)$ à partir des formules données (oui cela est un exercice).
### Conditions initiales
-Si l'on regarde \eqref{eq:mouvement}, on remarque que pour calculer $\vec{x}_p(t + \Delta t)$ en $t=0$ ($\vec{x}_p(\Delta t)$), il nous faudrait la position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considirons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule \eqref{eq:mouvement}. Ce qui nous donne :
+Si l'on regarde \eqref{eq:mouvement}, on remarque que pour calculer
+$\vec{x}_p(t + \Delta t)$ en $t=0$ ($\vec{x}_p(\Delta t)$), il nous faudrait la
+position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considérons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule \eqref{eq:mouvement}. Ce qui nous donne :
$$
\vec{x}_p(\Delta t) = \vec{x}_p(0) + \Delta t\vec{v}_p(0) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(0)
$$
-Commencons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est éllipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir \ref{fig:orbite}) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc :
+Commençons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est ellipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir \ref{fig:orbite}) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc :
$$
-\vec{v}_p(0) = \displaystyle\sqrt{\frac{GM_{\odot}(1+e_p)}{a_p(1-e_p)}}\cdot\frac{\vec{r}_{p\bot}}{\| \vec{r}_{p\bot} \|}
+\vec{v}_p(0) =
+\displaystyle\sqrt{\frac{GM_{\odot}(1+e_p)}{a_p(1-e_p)}}\cdot\frac{\vec{r}_{p\bot}}{\|
+\vec{r}_{p\bot} \|},
$$
-Où $M_{\odot}$ est la masse de l'étoile en [kg], $a_p$ est le demi-grand axe, de l'orbite de la planète $p$, en [m], $e$ l'exentricité, de l'orbite de la planète $p$, sans unité et $\vec{r}_{\bot}$ est le vecteur perdiculaire ($\vec{r}_{p\bot} = \vectwo{-{r_p}_y}{{r_p}_x}$) au vecteur allant de la planète $p$ à son étoile.
+où $M_{\odot}$ est la masse de l'étoile en [kg], $a_p$ est le demi-grand axe
+de l'orbite de la planète $p$, en [m], $e$ l'excentricité de l'orbite de la
+planète $p$ sans unités et $\vec{r}_{\bot}$ est le vecteur perpendiculaire ($\vec{r}_{p\bot} = \vectwo{-{r_p}_y}{{r_p}_x}$) au vecteur allant de la planète $p$ à son étoile.
-Par conséquent, puisque que nous connaissons la vitesse à la périhélie, nous placerons intelligement $\vec{x}_p(0)$ à la périhélie. Pour $\vec{a}_p(0)$, on peut le calculer de la même manière qu'avec n'importe quelle autre valeur de $t$.
+Par conséquent, puisque que nous connaissons la vitesse à la périhélie, nous
+placerons intelligemment la position initiale de la planète $p$,
+$\vec{x}_p(0)$, à la périhélie. Pour $\vec{a}_p(0)$, on peut le calculer de la même manière qu'avec n'importe quelle autre valeur de $t$.
Dans votre simulation vous utiliserez des données en mètres, vous aurez donc vraisemblablement (vu l'échelle cosmique) des valeurs en millions de kilomètres. Lors d'un précédent travail pratique, vous avez implementé une fonction permettant de convertir un vecteur en deux dimensions $\vec{r}\in\{[-1;1]\}^2$ en coordonnées d'écran $\vec{c}\in\{[0;lignes[\}\times\{[0;colonnes[\}$. Pour obtenir un vecteur $\vec{r}$, vous devrez définir le rayon de votre écran en mètres $R_S$ (p.ex : 110% du demi-grand axe de l'orbite de la planète la plus éloignée de l'étoile). Puis à partir de votre vecteur position en mètres $\vec{x}_p$, vous obtiendrez la nouvelle position $\vec{r} = \frac{\vec{x}_p}{R_S}$. Vous pourrez ensuite convertir cette position en coordonnées d'écran $\vec{c}$ grâce à votre fonction.
@@ -166,3 +192,4 @@ Pour que votre simulation marche, vous serez amené, à un moment ou à un autre
- Un rapport succint (moins de 6 pages) présentant le travail réalisé, avec des images de ce dernier.
- Le repos git contenant le code réalisé.
- (Bonus) Une vidéo du résultat, si vous réussissez à créer un système cool.
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