diff --git a/slides/cours_24.md b/slides/cours_24.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..f20a9fd1e7c95a7280feda6d8a82e0fdce792dbf
--- /dev/null
+++ b/slides/cours_24.md
@@ -0,0 +1,696 @@
+---
+title: "Graphes - Plus court chemin"
+date: "2023-05-24"
+---
+
+# Rappel du dernier cours
+
+* Qu'est-ce qu'un graphe? Un graphe orienté? Un graphe pondéré?
+
+. . .
+
+* Ensemble de sommets et arêtes, avec une direction, possédant une pondération.
+* Comment représenter un graphe informatiquement?
+
+. . .
+
+* Liste ou matrice d'adjacence.
+* Quel est le parcours que nous avons vu?
+
+. . .
+
+* Le parcours en largeur.
+
+# Le parcours en largeur
+
+## Le pseudo-code
+
+* Utilisation d'une **file**
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(file)
+ v = défiler(file)
+ file = visiter(v, file)
+
+file visiter(sommet, file)
+ sommet = visité
+ pour w = chaque arête de sommet
+ si w != visité
+ file = enfiler(file, w)
+ retourne file
+```
+
+# Complexité du parcours en largeur
+
+## Étape 1
+
+* Extraire un sommet de la file;
+
+## Étape 2
+
+* Traîter tous les sommets adjacents.
+
+## Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
+* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
+* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---3;
+ 1---4;
+ 2---3;
+ 2---6;
+ 3---6;
+ 3---4;
+ 3---5;
+ 4---5;
+```
+
+
+# Illustration: parcours en profondeur
+
+{width=80%}
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Idée générale
+
+* Initialiser les sommets comme non-lus
+* Visiter un sommet
+* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
+
+## Remarque
+
+* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Pseudo-code (5min)
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(pile)
+ v = dépiler(pile)
+ pile = visiter(v, pile)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+. . .
+
+```C
+pile visiter(sommet, pile)
+ sommet = visité
+ pour w = chaque arête de sommet
+ si w != visité
+ pile = empiler(pile, w)
+ retourne pile
+```
+
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+ 1---2;
+ 1---3;
+ 1---4;
+ 2---3;
+ 2---6;
+ 3---6;
+ 3---4;
+ 3---5;
+ 4---5;
+```
+
+# Interprétation des parcours
+
+* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
+ * Labyrinthe;
+ * Arbre des coups d'un jeu.
+
+. . .
+
+* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
+ * Les deux parcourent *tout* l'espace;
+ * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
+
+. . .
+
+* Quand on a un temps limité
+ * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
+ * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
+
+
+## Contexte: les réseaux (informatique, transport, etc.)
+
+* Graphe orienté;
+* Source: sommet `s`;
+* Destination: sommet `t`;
+* Les arêtes ont des poids (coût d'utilisation, distance, etc.);
+* Le coût d'un chemin est la somme des poids des arêtes d'un chemin.
+
+## Problème à résoudre
+
+* Quel est le plus court chemin entre `s` et `t`.
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Devenir riches!
+
+* On part d'un tableau de taux de change entre devises.
+* Quelle est la meilleure façon de convertir l'or en dollar?
+
+{width=80%}
+
+. . .
+
+* 1kg d'or => 327.25 dollars
+* 1kg d'or => 208.1 livres => 327 dollars
+* 1kg d'or => 455.2 francs => 304.39 euros => 327.28 dollars
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
+
+{width=80%}
+
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
+
+{width=60%}
+
+* Un sommet par devise;
+* Une arête orientée par transaction possible avec le poids égal au taux de change;
+* Trouver le chemin qui maximise le produit des poids.
+
+. . .
+
+## Problème
+
+* On aimerait plutôt avoir une somme...
+
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Conversion du problème en plus court chemin
+
+* Soit `taux(u, v)` le taux de change entre la devise `u` et `v`.
+* On pose `w(u,w)=-log(taux(u,v))`
+* Trouver le chemin poids minimal pour les poids `w`.
+
+{width=60%}
+
+* Cette conversion se base sur l'idée que
+
+$$
+\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
+$$
+
+# Applications de plus courts chemins
+
+## Quelles applications voyez-vous?
+
+. . .
+
+* Déplacement d'un robot;
+* Planificaiton de trajet / trafic urbain;
+* Routage de télécommunications;
+* Réseau électrique optimal;
+* ...
+
+# Plus courts chemins à source unique
+
+* Soit un graphe, $G=(V, E)$, une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$, et un sommet $s\in V$
+ * Trouver pour tout sommet $v\in V$, le chemin de poids minimal reliant $s$ Ã $v$.
+* Algorithmes standards:
+ * Dijkstra (arêtes de poids positif seulement);
+ * Bellman-Ford (arêtes de poids positifs ou négatifs, mais sans cycles).
+* Comment résoudre le problèmes si tous les poids sont les mêmes?
+
+. . .
+
+* Un parcours en largeur!
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Comment chercher pour un plus court chemin?
+
+. . .
+
+```
+si distance(u,v) > distance(u,w) + distance(w,v)
+ on passe par w plutôt qu'aller directement
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Idée générale
+
+* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
+* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
+* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
+* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
+* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
+* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Pseudo-code (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+tab dijkstra(graph, s, t)
+ pour chaque v dans graphe
+ distance[v] = infini
+ q = ajouter(q, v)
+ distance[s] = 0
+ tant que non_vide(q)
+ u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
+ si u == t
+ retourne distance
+ q = remove(q, u)
+ // voisin de u encore dans q
+ pour chaque v dans voisinage(u, q)
+ n_distance = distance[u] + w(u, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+ retourne distance
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
+* ne nous donne pas le chemin!
+
+## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
+
+. . .
+
+* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
+* On a besoin d'un tableau `précédent`.
+
+## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+```C
+tab, tab dijkstra(graph, s, t)
+ pour chaque v dans graphe
+ distance[v] = infini
+ précédent[v] = indéfini
+ q = ajouter(q, v)
+ distance[s] = 0
+ tant que non_vide(q)
+ u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
+ si u == t
+ retourne distance
+ q = remove(q, u)
+ // voisin de u encore dans q
+ pour chaque v dans voisinage(u, q)
+ n_distance = distance[u] + w(u, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+ précédent[v] = u
+ retourne distance, précédent
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Comment reconstruire un chemin ?
+
+. . .
+
+```C
+pile parcours(précédent, s, t)
+ sommets = vide
+ u = t
+ // on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
+ si u != s && précédent[u] != indéfini
+ tant que vrai
+ sommets = empiler(sommets, u)
+ u = précédent[u]
+ si u == s // la source est atteinte
+ retourne sommets
+ retourne sommets
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![1 visité, `D[2]=1`, `D[4]=3`.](figs/dijkstra_1.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![2 visité, `D[3]=2`, `D[7]=3`.](figs/dijkstra_2.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![3 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[6]=6`.](figs/dijkstra_3.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![4 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[5]=9`.](figs/dijkstra_4.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![7 visité, `D[5]=7`, `D[6]=6` inchangé.](figs/dijkstra_5.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![`6` visité, `D[5]=7` inchangé.](figs/dijkstra_6.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra amélioré
+
+## On peut améliorer l'algorithme
+
+* Avec une file de priorité!
+
+## Une file de priorité est
+
+* Une file dont chaque élément possède une priorité,
+* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
+ * File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
+ * File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
+* On regarde l'implémentation de la `max`.
+
+## Comment on fait ça?
+
+. . .
+
+* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!
+
+# Les files de priorité
+
+## Trois fonction principales
+
+```C
+booléen est_vide(élément) // triviale
+élément enfiler(élément, data, priorité)
+data défiler(élément)
+rien modifier_priorité(élément, data, priotié)
+nombre priorité(data) // utilitaire
+```
+
+## Pseudo-implémentation: structure (1min)
+
+. . .
+
+```C
+struct élément
+ data
+ priorité
+ élément suivant
+```
+
+# Les files de priorité
+
+## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)
+
+. . .
+
+```C
+élément enfiler(élément, data, priorité)
+ n_élément = créer_élément(data, priorité)
+ si est_vide(élément)
+ retourne n_élément
+ si priorité(d) > priorité(e.d)
+ n_élément.suivant = élément
+ retourne n_élément
+ sinon
+ tmp = élément
+ préc = élément
+ tant que !est_vide(tmp) && priorité < tmp.priorité
+ préc = tmp
+ tmp = tmp.suivant
+ prev.suivant = n_élément
+ n_élément.suivant = tmp
+ retourne élément
+```
+
+# Les files de priorité
+
+## Pseudo-implémentation: défiler (2min)
+
+. . .
+
+```C
+data, élément défiler(élément)
+ si est_vide(élément)
+ retourne AARGL!
+ sinon
+ tmp = élément.data
+ n_élément = élément.suivant
+ libérer(élément)
+ retourne tmp, n_élément
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min
+
+```C
+distance, précédent dijkstra(graphe, s, t):
+ distance[source] = 0
+ fp = file_p_vide()
+ pour v dans sommets(graphe)
+ si v != s
+ distance[v] = infini
+ précédent[v] = indéfini
+ fp = enfiler(fp, v, distance[v])
+ tant que !est_vide(fp)
+ u, fp = défiler(fp)
+ pour v dans voisinage de u
+ n_distance = distance[u] + w(u, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+ précédent[v] = u
+ fp = changer_priorité(fp, v, n_distance)
+ retourne distance, précédent
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file
+
+\footnotesize
+
+```C
+distance dijkstra(graphe, s, t)
+---------------------------------------------------------
+ pour v dans sommets(graphe)
+O(V) si v != s
+ distance[v] = infini
+O(V) fp = enfiler(fp, v, distance[v]) // notre impl est nulle
+------------------O(V * V)-------------------------------
+ tant que !est_vide(fp)
+O(1) u, fp = défiler(fp)
+---------------------------------------------------------
+O(E) pour v dans voisinage de u
+ n_distance = distance[u] + w(u, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+O(V) fp = changer_priorité(fp, v, n_distance)
+---------------------------------------------------------
+ retourne distance
+```
+
+* Total: $\mathcal{O}(|V|^2+|E|\cdot |V|)$:
+ * Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^3)$
+ * Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|^2)$
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file
+
+## On peut faire mieux
+
+* Avec une meilleure implémentation de la file de priorité:
+ * Tas binaire: $\mathcal{O}(|V|\log|V|+|E|\log|V|)$.
+ * Tas de Fibonnacci: $\mathcal{O}(|V|+|E|\log|V|)$
+* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
+* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|\log|V|)$.
+
+# Algorithme de Dijkstra (exercice, 5min)
+
+{width=60%}
+
+* Donner la liste de priorité, puis...
+
+## A chaque étape donner:
+
+* Le tableau des distances à `a`;
+* Le tableau des prédécessueurs;
+* L'état de la file de priorité.
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé)
+
+
+
+# Limitation de l'algorithme de Dijkstra
+
+## Que se passe-t-il pour?
+
+{width=50%}
+
+## Quel est le problème?
+
+. . .
+
+* L'algorithme n'essaiera jamais le chemin `s->x->y->v` et prendra direct `s->v`.
+* Ce problème n'apparaît que s'il y a des poids négatifs.
+
diff --git a/slides/figs/dijkstra_0.png b/slides/figs/dijkstra_0.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_0.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_1.png b/slides/figs/dijkstra_1.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_1.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_2.png b/slides/figs/dijkstra_2.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_2.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_3.png b/slides/figs/dijkstra_3.png
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_3.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_4.png b/slides/figs/dijkstra_4.png
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_4.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_5.png b/slides/figs/dijkstra_5.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_5.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_6.png b/slides/figs/dijkstra_6.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_6.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_7.png b/slides/figs/dijkstra_7.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_7.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_ex_0.png b/slides/figs/dijkstra_ex_0.png
new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_0.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_ex_1.png b/slides/figs/dijkstra_ex_1.png
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_1.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_ex_2.png b/slides/figs/dijkstra_ex_2.png
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_2.png differ
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_3.png differ
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new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..1cde97d16dcbb54de1b68c16e6144efc77a932ef
Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_4.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_ex_5.png b/slides/figs/dijkstra_ex_5.png
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..7f3b1d73b3561fa964198133691b8b2cf59ba022
Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_ex_5.png differ
diff --git a/slides/figs/dijkstra_exo.png b/slides/figs/dijkstra_exo.png
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..2478a3febe25b5b5be58488edbd3bd7faf58acd3
Binary files /dev/null and b/slides/figs/dijkstra_exo.png differ
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new file mode 100644
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Binary files /dev/null and b/slides/figs/exemple_neg.png differ