From eff150ab7385722b8c9816401808b7d8a400e195 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Sun, 6 Mar 2022 23:11:32 +0100
Subject: [PATCH] ajout 3 cas AVL
---
slides/cours_17.md | 394 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
1 file changed, 392 insertions(+), 2 deletions(-)
diff --git a/slides/cours_17.md b/slides/cours_17.md
index 404f331..f90dac0 100644
--- a/slides/cours_17.md
+++ b/slides/cours_17.md
@@ -1,5 +1,5 @@
---
-title: "Arbres et tri par tas"
+title: "Tri par tas et arbres AVL"
date: "2022-03-09"
patat:
eval:
@@ -841,7 +841,7 @@ void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
}
```
-# L'algorithme du tri par tas (3/4)
+# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
@@ -873,3 +873,393 @@ int right(int i) {
}
```
+
+# Complexités
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Complexité de la recherche
+
+1. En moyenne?
+2. Dans le pire des cas?
+
+. . .
+
+1. $O(\log_2(N))$
+2. $O(N)$
+
+::::
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((10))-->id1((9));
+ id0-->id8(( ));
+ id1-->id2((7));
+ id1-->id9(( ));
+ id2-->id3((6));
+ id2-->id10(( ));
+ id3-->id4((5));
+ id3-->id11(( ));
+ style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id10 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Un meilleur arbre
+
+* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour être $O(\log_2(N))$?
+
+. . .
+
+* Si on a environ le même nombre de noeuds dans les sous-arbres.
+
+## Définition
+
+Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
+nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
+arbres gauche et droit vaut au plus 1.
+
+* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
+* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
+
+. . .
+
+* $O(\log_2(N))$.
+
+
+# Équilibre parfait ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((W))-->id1((B));
+ id0-->id8((Y));
+ id1-->id2((A));
+ id1-->id9(( ));
+ id8-->id10((X));
+ id8-->id11(( ));
+ style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+É
+Q
+U
+I
+L
+I
+B
+R
+É
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Équilibre parfait ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((16))-->id1((10));
+ id0-->id2((19));
+ id1-->id3((8));
+ id1-->id4((12));
+ id4-->id5((11));
+ id4-->id6(( ));
+ id2-->id7((17));
+ id2-->id8(( ));
+ id7-->id9(( ));
+ id7-->id10((18));
+ style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+P
+A
+S
+
+É
+Q
+U
+I
+L
+I
+B
+R
+É
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Arbres AVL
+
+* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
+
+. . .
+
+* A l'insertion/suppression.
+* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
+* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
+ nombre de neouds:
+ * La hauteur $\sim\log_2(N)$.
+
+## Définition
+
+Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
+lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
+
+* Relation entre noeuds et hauteur:
+$$
+\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq\leq 25.
+$$
+* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $\O(\log_2(N))$.
+
+# Notation
+
+* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
+* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
+* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
+* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
+
+. . .
+
+* `fe = {-1, 0, 1}`
+
+
+# AVL ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((10));
+ id0-->id2((19));
+ id2-->id3((17));
+ id2-->id4((97));
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+A
+V
+L
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# AVL ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id2-->id3((17));
+ id2-->id4((97));
+ id4-->id5((37));
+ id4-->id6(( ));
+ style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+P
+A
+S
+
+A
+V
+L
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd = hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id1-->id4(( ));
+ id1-->id5((4));
+ style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (2/N)
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id2-->id3((18));
+ id2-->id4(( ));
+ style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd < hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id2-->id3((18));
+ id2-->id4(( ));
+ id1-->id5(( ));
+ id1-->id6((4));
+ style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id1-->id3(( ));
+ id1-->id4((6));
+ id2-->id5(( ));
+ id2-->id6(( ));
+ style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd > hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+ id0((12))-->id1((1));
+ id0-->id2((19));
+ id1-->id3(( ));
+ id1-->id4((6));
+ id4-->id5((4));
+ id4-->id6(( ));
+ id2-->id7(( ));
+ id2-->id8(( ));
+ style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+ style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
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