diff --git a/04_edo.md b/04_edo.md
index 3606bf93283c2562eea66b5f6c1a7c2a3002b5b6..cef10024c3aa3d9bb57ca9c44d47dd1fd8670ea5 100644
--- a/04_edo.md
+++ b/04_edo.md
@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned}
\int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
+---
+
### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient Ã
@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned}
\int \int x''=\int \int a,\\
x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
+---
+
### Évolution d’une population
Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux
-----------------------------------
-#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-}
+---
+
+Définition (Équation différentielle ordinaire) #
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$.
---
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes
-#### Définition (Ordre) {-}
+---
+
+Définition (Ordre) #
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
-#### Illustration {-}
+---
+
+---
+
+Illustration #
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
-#### Définition (Condition initiale) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Condition initiale) #
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
pour une valeur $x_0$ donnée on a
$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
+---
+
Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter
---
-#### Théorème (Existence et unicité) {-}
+Théorème (Existence et unicité) #
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
---
-#### Définition (Linéarité) {-}
+Définition (Linéarité) #
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme
@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
-#### Définition (Homogénéité) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Homogénéité) #
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire Ã
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
-#### Illustration (Homogénéité) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Homogénéité) #
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned}
---
-#### Exercice (Homogénéité) {-}
+---
+
+Exercice (Homogénéité) #
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre.
---
-#### Définition (Équations à variable séparables) {-}
+Définition (Équations à variable séparables) #
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
---
-#### Illustration {-}
+Illustration #
L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
---
-#### Exemple {-}
+Exemple #
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
-#### Solution {-}
+Solution #
En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
---
-#### Exercice {-}
+Exercice #
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
-#### Exemple {-}
+---
+
+Exemple #
Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
-#### Solution {-}
+Solution #
On
commence par résoudre l’équation homogène
@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra
où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
$U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
+---
+
Résoudre les équations différentielles suivantes
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
1. $$y'+2y=t^2$$
2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
+---
+
### Équations de Bernoulli
Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin.
---
-#### Exemple {-}
+Exemple #
Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
-#### Solution {-}
+Solution #
Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre.
--
-#### Exercice {-}
+Exercice #
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle.
---
-#### Propriétés {-}
+Propriétés #
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.