From 2d1fef9fb9b5e34900795eb1a37b58072713609f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Mon, 22 Feb 2021 23:34:17 +0100
Subject: [PATCH] updated rappel to numbering updated
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01_rappel.md | 109 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
1 file changed, 86 insertions(+), 23 deletions(-)
diff --git a/01_rappel.md b/01_rappel.md
index a19017f..0dddaff 100644
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+++ b/01_rappel.md
@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
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-#### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
+#### Exemple (Fonctions, généralités) #
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned}
@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
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-#### Exemple (Fonctions) {-}
+#### Exemple (Fonctions) #
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
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-#### Exemple (Fonction inverse) {-}
+#### Exemple (Fonction inverse) #
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
## Domaine de définition
+---
-#### Définition (Domaine de définition) {-}
+#### Définition (Domaine de définition) #
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
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-#### Exemple (Domaine de définition) {-}
+---
+
+#### Exemple (Domaine de définition) #
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite
-#### Définition (Limite) {-}
+---
+
+#### Définition (Limite) #
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
-#### Remarque {-}
+---
+
+---
+
+#### Remarque #
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
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-#### Exemple (Limite) {-}
+---
+
+#### Exemple (Limite) #
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
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-#### Définition (Limite, asymptote) {-}
+#### Définition (Limite, asymptote) #
Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
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-#### Exemple (Limite, asymptote) {-}
+#### Exemple (Limite, asymptote) #
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales.
-#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
+---
+
+#### Exemple (Limite à gauche/droite) #
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
+---
+
### Comportement asymptotique
Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité
-#### Définition (Continuité) {-}
+---
+
+#### Définition (Continuité) #
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
-#### Propriétés (Fonctions continues) {-}
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+
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+
+#### Propriétés (Fonctions continues) #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
-#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
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+
+---
+
+#### Définition (Continuité sur un intervalle) #
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue Ã
droite en $a$ et à gauche en $b$.
-#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
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+
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+
+#### Théorème (Valeurs intermédiaires) #
Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
+---
+
## Dérivées
-#### Définition (Dérivée en un point) {-}
+---
+
+#### Définition (Dérivée en un point) #
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
-#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
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+
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+
+#### Définition (Dérivée sur un intervalle) #
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
-#### Propriété {-}
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+#### Propriété #
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
-#### Propriétés {-}
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+#### Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
-#### Définition (Dérivée seconde) {-}
+---
+
+---
+
+#### Définition (Dérivée seconde) #
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$.
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+
### Variation des fonctions
-#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
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+#### Propriétés (Croissance/décroissance) #
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
-#### Définition (Maximum/minimum local) {-}
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+#### Définition (Maximum/minimum local) #
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
-#### Propriété (Maximum/minimum) {-}
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+#### Propriété (Maximum/minimum) #
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
maximum ou un minimum de $f$.
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## Etude de fonction
Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
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