diff --git a/06_probas_stats.md b/06_probas_stats.md
index 4401c7a0f10f042196313a9861b396256a700c69..6c97df39a8d222d3db90b450122dfcbbc0d6f8dc 100644
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@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
---
-#### Illustration {-}
+Illustration #
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
-{#fig:salaires width="50.00000%"}
+{#fig:salaires width="50.00000%"}
ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
Fig. @fig:exec).
-{#fig:exec width="50.00000%"}
+{#fig:exec width="50.00000%"}
### Fréquences
@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
---
-#### Exemple (Fréquences) {-}
+Exemple (Fréquences) #
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
---
-#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
+Propriété (Propriétés de la fréquence) #
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$
@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
-#### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
+---
+
+Exercice (Fréquence cumulée) #
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus.
@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
valeur maximale)?
+---
+
### Mesures de tendance centrale
Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
---
-#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
+Exercice (Propriétés de la moyenne) #
1. Démontrer la relation précédente.
@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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-#### Illustration (Moyenne) {-}
+Illustration (Moyenne) #
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
-#### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
+---
+
+Exercice (Moyenne, médiane) #
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
d’exécution[^7]).
+---
+
### Mesures de dispersion
Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
---
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
Démontrer les relations suivantes
@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
---
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application.
@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
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-#### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
+Exercice (Semi-inter quartile) #
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours.
@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
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-#### Définition {-}
+Définition #
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
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-#### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
+Définition (Axiomes des probabilités) #
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
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-#### Théorème {-}
+Théorème #
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
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-#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
+Exercice (Probabilités conditionnelles) #
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
---
-#### Exercice (Événements indépendants) {-}
+Exercice (Événements indépendants) #
On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
@fig:arbre).
-{#fig:arbre width="\textwidth"}
+{#fig:arbre width="\textwidth"}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires
$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
-{#fig:arbre2 width="\textwidth"}
+{#fig:arbre2 width="\textwidth"}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
@fig:arbre3).
-{#fig:arbre3 width="\textwidth"}
+{#fig:arbre3 width="\textwidth"}
Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
---
-#### Exercice {-}
+Exercice #
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés.
@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
---
-#### Exercice {-}
+Exercice #
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
la @fig:loto.
-{#fig:loto height="1.8truecm"}
+{#fig:loto height="1.8truecm"}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
$\frac{1}{6}$.
-{#fig:loto2 height="1.8truecm"}
+{#fig:loto2 height="1.8truecm"}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
@fig:loto3).
-{#fig:loto3 height="1.8truecm"}
+{#fig:loto3 height="1.8truecm"}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
@fig:loto4).
-{#fig:loto4 height="1.8truecm"}
+{#fig:loto4 height="1.8truecm"}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
ainsi de suite.
@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
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-#### Exercice {-}
+Exercice #
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles†parmi 11 possibles.
@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
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-#### Définition (Variable aléatoire) {-}
+Définition (Variable aléatoire) #
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
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-#### Définition (Fonction de répartition) {-}
+Définition (Fonction de répartition) #
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout