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@@ -134,11 +134,11 @@ Dans le cadre de ce tp, nous allons nous concentrer sur la convolution discrète
\begin{equation}
\label{eqn:mat_exemple}
-A=\begin{pmatrix}
+\mat{A}=\begin{pmatrix}
a_{-1,-1} & a_{-1,0} & a_{-1,1}\\
a_{0,-1} & a_{0,0} & a_{0,1}\\
a_{1,-1} & a_{1,0} & a_{1,1}
-\end{pmatrix} ,\quad B=\begin{pmatrix}
+\end{pmatrix} ,\quad \mat{B}=\begin{pmatrix}
b_{-2,-2} & b_{-2,-1} & b_{-2,0} & b_{-2,1} & b_{-2,2}\\
b_{-1,-2} & b_{-1,-1} & b_{-1,0} & b_{-1,1} & b_{-1,2}\\
b_{0,-2} & b_{0,-1} & b_{0,0} & b_{0,1} & b_{0,2}\\
@@ -150,25 +150,25 @@ b_{2,-2} & b_{2,-1} & b_{2,0} & b_{2,1} & b_{2,2}
Pour rappel, la formule du produit de convolution en 1 dimension d'un signal discret est :
\begin{equation}
-(s\ast u)[t] =\sum_{n=-N}^{+N} s[n]*u[t-n]
+(s\ast u)[t] =\sum_{n=-N}^{+N} s[n]\cdot u[t-n]
\end{equation}
-Lorsque l'on rajoute une nouvelle dimmension la formule devient, avec $-M$ l'indice de ligne le plus petit de la matrice A, et $+M$ le plus grand, ainsi que $-N$, $+N$ pour les indices de colonne :
+Lorsque l'on rajoute une nouvelle dimmension la formule devient, avec $-M$ l'indice de ligne le plus petit de la matrice $\mat{A}$, et $+M$ le plus grand, ainsi que $-N$, $+N$ pour les indices de colonne :
\begin{equation}
-(A\ast B)[i,j] =\sum_{m=-M}^{+M}\sum_{n=-N}^{+N} A[m, n]*B[i-m,j-n]
+(\mat{A}\ast \mat{B})[i,j] =\sum_{m=-M}^{+M}\sum_{n=-N}^{+N} \mat{A}[m, n]\cdot \mat{B}[i-m,j-n]
\end{equation}
-Si on reprend par exemple les matrices $A$ et $B$ de l'équation \ref{eqn:mat_exemple}, et qu'on choisit le centre (1,1), on obtient :
+Si on reprend par exemple les matrices $\mat{A}$ et $\mat{B}$ de l'équation \ref{eqn:mat_exemple}, et qu'on choisit le centre (1,1), on obtient :
\begin{equation}
\begin{aligned}
-(A\ast B)[1,1] =\sum_{m=-1}^{+1}\sum_{n=-1}^{+1} A[m, n]*B[1-m,1-n]\\
-(A\ast B)[1,1] = a_{-1,-1}\cdot b_{2,2}+\dots +a_{1,1}\cdot b_{0,0}\\
+(\mat{A}\ast \mat{B})[1,1] =\sum_{m=-1}^{+1}\sum_{n=-1}^{+1} \mat{A}[m, n]\cdot \mat{B}[1-m,1-n]\\
+(\mat{A}\ast \mat{B})[1,1] = a_{-1,-1}\cdot b_{2,2}+\dots +a_{1,1}\cdot b_{0,0}\\
\end{aligned}
\end{equation}
-Si l'on essaye de calculer $(A\ast B)[2,2]$, on découvre qu'il nous faut des valeurs qui ne sont pas dans notre matrice, comme par exemple, $b_{3,3}$. Voici 3 solutions différentes pour définir nos valeurs manquantes :
+Si l'on essaye de calculer $(\mat{A}\ast \mat{B})[2,2]$, on découvre qu'il nous faut des valeurs qui ne sont pas dans notre matrice, comme par exemple, $b_{3,3}$. Voici 3 solutions différentes pour définir nos valeurs manquantes :
- Les valeurs en dehors de la matrice sont nulles, $b_{3,3} = 0$.
- Recopier la valeur du voisin le plus proche, $b_{3,3} = b_{2,2}$.
@@ -187,11 +187,11 @@ Pour visualiser votre image, vous pouvez à choix l'afficher avec la librairie S
Calculez à la main le produit de convolution de ces deux matrices, en utilisant la méthode de votre choix pour la gestion des bords :
\begin{equation*}
-A=\begin{pmatrix}
+\mat{A}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0
-\end{pmatrix} ,\quad B=\begin{pmatrix}
+\end{pmatrix} ,\quad \mat{B}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
@@ -200,22 +200,22 @@ A=\begin{pmatrix}
#### Partie 2
-Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $F_n\ast \mathcal{I}$, où $\mathcal{I}$ est l'image "part2.pgm" jointe à l'énnoncé. Expliquez avec vos mots l'effet de ces filtres, est essayant d'être le plus descriptif possible (évitez les phrases de 3 mots).
+Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $\mat{F_n}\ast \mat{\mathcal{I}}$, où $\mat{\mathcal{I}}$ est l'image "part2.pgm" jointe à l'énnoncé. Expliquez avec vos mots l'effet de ces filtres, est essayant d'être le plus descriptif possible (évitez les phrases de 3 mots).
\begin{equation*}
-F_0 = \begin{pmatrix}
+\mat{F_0} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
-F_1 = \frac{1}{25}\begin{pmatrix}
+\mat{F_1} = \frac{1}{25}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
-F_2 = \frac{1}{256}\begin{pmatrix}
+\mat{F_2} = \frac{1}{256}\begin{pmatrix}
1 & 4 & 6 & 4 & 1\\
4 & 16 & 24 & 16 & 4\\
6 & 24 & 36 & 24 & 6\\
@@ -224,12 +224,12 @@ F_2 = \frac{1}{256}\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_3 = \begin{pmatrix}
+\mat{F_3} = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
-1 & 5 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
-F_4 = \begin{pmatrix}
+\mat{F_4} = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0\\
-1 & 4 & -1\\
0 & -1 & 0
@@ -242,14 +242,14 @@ F_4 = \begin{pmatrix}
Récupérez sur cyberlearn l'image nommée "part3_\<n\>.pgm", où n est votre numéro de groupe. Cette image a été fortement bruitée, heureusement (quelle chance vraiment :)), le bruit est périodique, et peut être supprimé à l'aide d'un filtre moyenneur.
\begin{equation*}
-F = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}
+\mat{F} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
-Pour débruiter l'image vous devez lui appliquer le filtre $F$. Afin d'éviter les problèmes liés à la gestion des bords, vous n'afficherez que la partie interne de l'image filtrée. Autrement dit, vous supprimerez les 2 premières ainsi que les 2 dernières lignes et colonnes (si votre image fait 100x100, vous garderez le centre de taille 96x96).
+Pour débruiter l'image vous devez lui appliquer le filtre $\mat{F}$. Afin d'éviter les problèmes liés à la gestion des bords, vous n'afficherez que la partie interne de l'image filtrée. Autrement dit, vous supprimerez les 2 premières ainsi que les 2 dernières lignes et colonnes (si votre image fait 100x100, vous garderez le centre de taille 96x96).
[^1]: Vous retrouverez les formules dans le polycopié.
[^2]: Exceptionnellement un stylo est également toléré.
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