From 6310f4767653c062f660c94c5a3feb82f05a9385 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Wed, 30 May 2018 15:39:57 +0200
Subject: [PATCH] ajouts dives
---
cours.md | 70 +++++++++++++++++--------------------
exercices/Makefile | 5 ++-
exercices/fourier_serie1.md | 2 +-
3 files changed, 37 insertions(+), 40 deletions(-)
diff --git a/cours.md b/cours.md
index 009d671..278d2fc 100644
--- a/cours.md
+++ b/cours.md
@@ -2123,7 +2123,7 @@ appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les
propriétés suivantes
--
+-
1. L’addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$,
alors $$u+v=v+u,\quad \mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).$$
@@ -2133,7 +2133,7 @@ propriétés suivantes
3. Tout $v$ admet un opposé, noté $-v$ tel que $$v+(-v)=0_V.$$
--
+-
1. La multiplication par un scalaire est distributive à gauche sur
l’addition (et à droite sur $E$). Pour $u,v\in V$ et
@@ -2896,26 +2896,26 @@ Illustration +.#
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
et $1'000'000$ CHF.
- - Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF.
+ - Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF.
- - Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF.
+ - Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF.
- - Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF.
+ - Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF.
- - Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
+ - Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
2. Cas continu: Lors du benchmark d’une application, $A$, nous
effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d’exécution
(le caractère) de l’application. Les résultats obtenus sont les
suivants:
- - 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
+ - 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
- - 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
+ - 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
- - 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
+ - 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
- - 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
+ - 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
---
@@ -2936,7 +2936,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
Temps d’exécution Nombre
- ------------------- --------
+ ------------------- --------
\[50,51) 7
\[51,52) 12
\[52,53) 8
@@ -3189,8 +3189,8 @@ avons vus plus tôt dans le cours.
---
-Exemple du jeu de dé
---------------------
+Probabilités: Exemple du jeu de dé
+----------------------------------
On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une *expérience
aléatoire*, car on ne peut dire quel sera le résultat avant d’avoir
@@ -3204,29 +3204,23 @@ sera utile pour la suite.
Définition +.#
-- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
+- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
lancer de dé.
-
-- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
+- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
$\omega\in\Omega$, est appelé une *éventualité*.
-
-- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
+- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s’appelle un
*événement*. Un événement composé d’une seule éventualité est appelé
*événement élémentaire*.
-
-- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
+- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
$6$ en lançant le dé.
-
-- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
+- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
réaliser l’événement.
-
-- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
+- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
correspondrait à l’événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé
par exemple.
-
-- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
+- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
soit réalisé.
---
@@ -3753,9 +3747,9 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
tire successivement deux boules sans remise. Calculer et comparer
les probabilités des deux événements suivants
- - Tirer deux boules de même couleur.
+ - Tirer deux boules de même couleur.
- - Tirer deux boules de couleurs différentes.
+ - Tirer deux boules de couleurs différentes.
2. Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l’une des trois boîtes $A$, $B$,
ou $C$. A chaque bifurcation, la bille tombe à gauche avec la
@@ -3765,28 +3759,28 @@ Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
{#fig:bille height="2.8truecm"}
- - Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
+ - Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou
$C$.
- - On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que
+ - On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que
les deux billes tombent dans la même boîte.
- - On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir
+ - On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir
une bille dans chaque boîte.
- - On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au
+ - On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au
moins trois billes dans la boîte B.
3. A la naissance, la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de
$p(G)=0.514$.
- - Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille.
+ - Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille.
- - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
+ - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
- - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
+ - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
probabilité que les deux enfants soient de sexes différents.
Variables aléatoires
@@ -3971,13 +3965,13 @@ exactement).
Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par
exemple
-- la fonction `rand()` du langage $C$
+- la fonction `rand()` du langage $C$
$$a=1103515245,\quad c=12345,\quad m=2^{32}.$$
-- la fonction `drand()` du langage $C$
+- la fonction `drand()` du langage $C$
$$a=25214903917,\quad c=11,\quad m=2^{48}.$$
-- le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960
+- le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960
$$a=65539,\quad c=0,\quad m=2^{32}.$$
Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d’un
diff --git a/exercices/Makefile b/exercices/Makefile
index e5b670e..69f11b1 100644
--- a/exercices/Makefile
+++ b/exercices/Makefile
@@ -2,11 +2,14 @@ FILTERS = --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref
TEMPLATE = --template=./default.latex
PDFENGINE = --pdf-engine pdflatex
-all: fourier.pdf probas.pdf
+all: fourier.pdf fourier_serie1.pdf probas.pdf
fourier.pdf: fourier.md
pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
+fourier_serie1.pdf: fourier_serie1.md
+ pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
+
probas.pdf: probas.md
pandoc -s -o $@ $< $(FILTERS) $(TEMPLATE) $(PDFENGINE)
diff --git a/exercices/fourier_serie1.md b/exercices/fourier_serie1.md
index 107d93d..d134b47 100644
--- a/exercices/fourier_serie1.md
+++ b/exercices/fourier_serie1.md
@@ -123,7 +123,7 @@ On peut assez simplement calculer les coefficients de Fourier $a_j$,
qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le fait que $f(x)\sin(jx)$ est, elle, paire, d'où l'intégration sur le demi-domaine)
\begin{align}
a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\
-&=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
+&=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
\end{align}
Exercice +.#
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GitLab