diff --git a/.travis.yml b/.travis.yml
index 10053e0c65ea2f461f9814c027ec6353c87363cc..adb2886afde3100cecb08905c996a167f1c0c365 100644
--- a/.travis.yml
+++ b/.travis.yml
@@ -6,6 +6,10 @@ addons:
packages:
- texlive-latex-recommended lmodern texlive-fonts-recommended texlive-latex-extra
texlive-fonts-extra dvipng texlive-latex-recommended texlive-lang-french
+before_install:
+ - sudo add-apt-repository -y ppa:jonathonf/python-2.7
+ - sudo apt-get update
+ - sudo apt-get install python2.7
install:
- wget https://github.com/jgm/pandoc/releases/download/2.0.6/pandoc-2.0.6-1-amd64.deb
- sudo dpkg -i pandoc-2.0.6-1-amd64.deb
diff --git a/Makefile b/Makefile
index e2586d32b6a22ba0a08a2f03ea4ba8d2c890e4e4..25847e8ad59a54d0ea09b1059845b8208470ec46 100644
--- a/Makefile
+++ b/Makefile
@@ -1,7 +1,5 @@
-NAME=cours
-
-default:
- pandoc -s -o cours.pdf cours.md --filter=pandoc-numbering --filter=$(PANDOC_CROSSREF)pandoc-crossref --template=./default.latex --pdf-engine pdflatex
+cours.pdf: cours.md default.latex
+ pandoc -s -o cours.pdf cours.md --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref --template=./default.latex --pdf-engine pdflatex
# latex:
# pandoc -s -S -o cours.tex cours.md --filter=pandoc-numbering --filter=$(PANDOC_CROSSREF)pandoc-crossref --template=./default.latex
diff --git a/cours.md b/cours.md
index 043f11db42c29255ffcb0d7830b44fc01d24a4b5..009d671f46d133d3b3d0ec28b9dd3c5dfd0c5e09 100644
--- a/cours.md
+++ b/cours.md
@@ -8,7 +8,7 @@ eqnPrefix:
- "éq."
- "éqs."
chapters: true
-numberSections: false
+numberSections: true
chaptersDepth: 1
sectionsDepth: 3
lang: fr
@@ -22,11 +22,12 @@ urlcolor: blue
## Fonctions
-Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat
+Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe un résultat
$$
\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
$$
-Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\real$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
+Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A\subseteq\real$. $A$ est le *domaine de définition* de $f$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
+
---
Exemple (Fonctions, généralités) +.#
@@ -80,7 +81,7 @@ Exemple (Fonction inverse) +.#
positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle
elle satisfait la condition $x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$.
- Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais (f(-1)=f(1)=1$
+ Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais $(f(-1)=f(1)=1$
---
@@ -249,7 +250,8 @@ Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
-$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c|f(c)=y.$$
+$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
+Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
## Dérivées
@@ -282,9 +284,9 @@ et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
3. $(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
-4. Si $g$ ne s’annule pas $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
+4. Si $g$ ne s'annule pas $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
-5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$.
+5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x)\cdot f'(x)$.
Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
@@ -296,7 +298,7 @@ $C\in {\real}$, nous avons
3. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=1/x$.
-4. $f(x)=C, $f'(x)=0.
+4. $f(x)=C$, $f'(x)=0$.
5. $f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
@@ -327,8 +329,8 @@ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
Propriété (Maximum/minimum) +.#
-Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. Si $f$
-admet un extremum en $x_0$ alors $f'(x_0)=0$. De plus si
+Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
+admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
maximum ou un minimum de $f$.
@@ -4090,12 +4092,12 @@ problèmes apparaissent dès que le nombre de tirages atteint un nombre
équivalent à $T^{1/3}$. Une condition primordiale pour avoir un “bonâ€
générateur de nombres pseudo-aléatoire est donc une période élevée. Pour
des générateurs aléatoires modernes, un période $T<2^{100}$ n’est pas
-considéré comme satisfaisant pour la plupart des applications.
+considérée comme satisfaisante pour la plupart des applications.
Évidemment il est impossible de tester la périodicité de tels
générateurs de façon expérimentale ($2^{100}\sim 10^{30}$). Cela ne peut
se faire que par des études analytiques approfondies. Comme expliqué
-dans la section @sec:congr la période maximale d’un générateur
+dans la @sec:congr la période maximale d’un générateur
congruentiel linéaire est $m$. Dans les 3 exemples donnés la période est
respectivement de $2^{32}$, $2^{48}$, ou $2^{32}$. Ils ne devraient donc
plus être utilisés dans des applications modernes. A titre de
@@ -4109,7 +4111,7 @@ avec $m$ aussi grand qu’on veut (disons $m=2^{2000}$ par exemple) mais
la séquence de nombres générés ne sera absolument pas aléatoire, étant
donné qu’on aura
$$X=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\},$$ si
-$X_0=0$. Cela pourrait ne pas être problématique en soit, si la séquence
+$X_0=0$. Cela pourrait ne pas être problématique en soi, si la séquence
avec une graine $X_0=1$ n’était pas si similaire
$$X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\}.$$ Il est donc
nécessaire d’avoir d’autres critères que la seule période. C’est le
@@ -4142,15 +4144,15 @@ expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de
nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales,
mais bien en dehors du champs de ce cours...
-Il existe beaucoup d’autres tests possibles (il y a des recommandations
-sur le site `http://www.random.org` pour tester des nombres aléatoires.
+Il existe beaucoup d’autres possiblités (il y a des recommandations
+sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
Remerciements
=============
Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
-continuera à s’allonger avec les années.Merci à Messieurs
+continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
[^1]: Pour ceux que ça intéresse cette série s’obtient à l’aide d’une