diff --git a/exercices/champs_electrique.md b/exercices/champs_electrique.md index ef95e4a16ed291d2adcb8591358f308aa4310b04..c9e9fcc2b9a7adb64358a2f6b2d54f5cf1d7d837 100644 --- a/exercices/champs_electrique.md +++ b/exercices/champs_electrique.md @@ -46,190 +46,190 @@ accélération de $100\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$. Que vaut le champs électrique? Exercice (Annulation) # -Soient deux charge $Q_1$ et $Q_2$ séparée par une distance $r$. On sait qu'en +Soient deux charges $Q_1$ et $Q_2$ séparée par une distance $r$. On sait qu'en $r/3$ le champs électrique s'annule. Que vaut le rapport $Q_1/Q_2$? -Exercice (Gauss) # +<!-- Exercice (Gauss) # --> -Soit un cube de $10\mathrm{cm}$ de côté placé dans un champs électrique -uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs -électrique. +<!-- Soit un cube de $10\mathrm{cm}$ de côté placé dans un champs électrique --> +<!-- uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs --> +<!-- électrique. --> -1. Que vaut le flux total à travers la surface du cube? -2. Que vaut le flux à travers chaque surface du cube? +<!-- 1. Que vaut le flux total à travers la surface du cube? --> +<!-- 2. Que vaut le flux à travers chaque surface du cube? --> -# Correction {.unnumbered} +<!-- # Correction {.unnumbered} --> -## Ex 1: {.unnumbered} +<!-- ## Ex 1: {.unnumbered} --> -\begin{align*} -e&= 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ -m&= 10g = 10^{-2}kg\\ -Q&= 1\mu C= 10^{-6}C -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- e&= 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ --> +<!-- m&= 10g = 10^{-2}kg\\ --> +<!-- Q&= 1\mu C= 10^{-6}C --> +<!-- \end{align*} --> -Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ : +<!-- Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ : --> -\begin{align*} -n = \frac{Q}{e} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- n = \frac{Q}{e} --> +<!-- \end{align*} --> -On sait que la masse perdue $m_{perdue}$ vaut : +<!-- On sait que la masse perdue $m_{perdue}$ vaut : --> -\begin{align*} -m_{perdue}=m_e\cdot n -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- m_{perdue}=m_e\cdot n --> +<!-- \end{align*} --> -Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire : +<!-- Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire : --> -\begin{align*} -100\cdot(1-\frac{m-m_{perdue}}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-n\cdot m_e}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-\frac{m_e\cdot Q}{e}}{m}) -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- 100\cdot(1-\frac{m-m_{perdue}}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-n\cdot m_e}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-\frac{m_e\cdot Q}{e}}{m}) --> +<!-- \end{align*} --> -Ce qui nous donne : +<!-- Ce qui nous donne : --> -\begin{align*} -&100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\ -&= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\% -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- &100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\ --> +<!-- &= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\% --> +<!-- \end{align*} --> -Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse. +<!-- Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse. --> -## Ex 2: {.unnumbered} +<!-- ## Ex 2: {.unnumbered} --> -\begin{align*} -E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\ -Q_1&=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\ -d&=10cm=10^{-1}m -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\ --> +<!-- Q_1&=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\ --> +<!-- d&=10cm=10^{-1}m --> +<!-- \end{align*} --> -Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition : +<!-- Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition : --> -\begin{align*} -E&=\sum_{i} E_i\\ -E&= E_1+E_2 -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=\sum_{i} E_i\\ --> +<!-- E&= E_1+E_2 --> +<!-- \end{align*} --> -On a donc : +<!-- On a donc : --> -\begin{align*} -E_1&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\ -E_2&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E_1&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\ --> +<!-- E_2&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ --> +<!-- \end{align*} --> -Ce qui nous donne : +<!-- Ce qui nous donne : --> -\begin{align*} -E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ -E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\ -E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\ -E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\ -E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ --> +<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\ --> +<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\ --> +<!-- E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\ --> +<!-- E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C} --> +<!-- \end{align*} --> -La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$. +<!-- La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$. --> -## Ex 3: {.unnumbered} +<!-- ## Ex 3: {.unnumbered} --> -\begin{align*} -q_e&=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ -a&=100\frac{m}{s^2}\\ -F&=Eq=m\cdot a -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- q_e&=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ --> +<!-- a&=100\frac{m}{s^2}\\ --> +<!-- F&=Eq=m\cdot a --> +<!-- \end{align*} --> -Pour trouver la valeur de notre champs électrique, on doit déterminer la force subie par notre électron : +<!-- Pour trouver la valeur de notre champs électrique, on doit déterminer la force subie par notre électron : --> -\begin{align*} -F=m_e\cdot a -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- F=m_e\cdot a --> +<!-- \end{align*} --> -On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique : +<!-- On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique : --> -\begin{align*} -F&=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\ -E&=\frac{m_e\cdot a}{q_e} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- F&=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\ --> +<!-- E&=\frac{m_e\cdot a}{q_e} --> +<!-- \end{align*} --> -Ce qui nous donne : +<!-- Ce qui nous donne : --> -\begin{align*} -E&=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\ -E&=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\ --> +<!-- E&=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C} --> +<!-- \end{align*} --> -## Ex 4: {.unnumbered} +<!-- ## Ex 4: {.unnumbered} --> -\begin{align*} -E&=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\ -E&= E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\ -r_1&= \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\ --> +<!-- E&= E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\ --> +<!-- r_1&= \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r --> +<!-- \end{align*} --> -On souhaite connaître le rapport entre $Q_1$ et $Q_2$, on commence donc par poser l'équation suivante : +<!-- On souhaite connaître le rapport entre $Q_1$ et $Q_2$, on commence donc par poser l'équation suivante : --> -\begin{align*} -E = E_1 + E_2 = k\cdot \frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+k\cdot \frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}\\ -E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}) -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E = E_1 + E_2 = k\cdot \frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+k\cdot \frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}\\ --> +<!-- E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}) --> +<!-- \end{align*} --> -On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne : +<!-- On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne : --> -\begin{align*} -E&=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\ -0&=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ -0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ -0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\ -0&=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\ -0&=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\ --36\cdot Q_1&=9\cdot Q_2\\ -\frac{Q_1}{Q_2}&=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- E&=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\ --> +<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ --> +<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ --> +<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\ --> +<!-- 0&=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\ --> +<!-- 0&=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\ --> +<!-- -36\cdot Q_1&=9\cdot Q_2\\ --> +<!-- \frac{Q_1}{Q_2}&=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4} --> +<!-- \end{align*} --> -Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$. +<!-- Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$. --> -## Ex 5: {.unnumbered} +<!-- ## Ex 5: {.unnumbered} --> -\begin{align*} -S_{face} &= 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\ -E &= 10^3\frac{N}{C}\\ -\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- S_{face} &= 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\ --> +<!-- E &= 10^3\frac{N}{C}\\ --> +<!-- \Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i} --> +<!-- \end{align*} --> -Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles : +<!-- Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles : --> -\begin{align*} -\theta_1 &= 0\\ -\theta_2 &= \frac{\pi}{2}\\ -\theta_3 &= \pi\\ -\theta_4 &= \frac{\pi}{2}\\ -\theta_5 &= \frac{\pi}{2}\\ -\theta_6 &= \frac{\pi}{2} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- \theta_1 &= 0\\ --> +<!-- \theta_2 &= \frac{\pi}{2}\\ --> +<!-- \theta_3 &= \pi\\ --> +<!-- \theta_4 &= \frac{\pi}{2}\\ --> +<!-- \theta_5 &= \frac{\pi}{2}\\ --> +<!-- \theta_6 &= \frac{\pi}{2} --> +<!-- \end{align*} --> -Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces : +<!-- Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces : --> -\begin{align*} -\Phi_{E_1} &= ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -\Phi_{E_2} &= ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -\Phi_{E_3} &= ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -\Phi_{E_4} &= ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -\Phi_{E_5} &= ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -\Phi_{E_6} &= ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- \Phi_{E_1} &= ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ --> +<!-- \Phi_{E_2} &= ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ --> +<!-- \Phi_{E_3} &= ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ --> +<!-- \Phi_{E_4} &= ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ --> +<!-- \Phi_{E_5} &= ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ --> +<!-- \Phi_{E_6} &= ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} --> +<!-- \end{align*} --> -En sommant on obtient, le flux total suivant : +<!-- En sommant on obtient, le flux total suivant : --> -\begin{align*} -\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\ -\Phi_E&=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} -\end{align*} +<!-- \begin{align*} --> +<!-- \Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\ --> +<!-- \Phi_E&=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} --> +<!-- \end{align*} -->