diff --git a/practical_work/planets/enonce.md b/practical_work/planets/enonce.md index d15c4a1eb14051ec6e9a3e04850e6a4a7a36da98..10ad88addd706a923a81532078b884e41bcc1beb 100644 --- a/practical_work/planets/enonce.md +++ b/practical_work/planets/enonce.md @@ -74,7 +74,7 @@ L'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, il s'agit en réalité d'un {#fig:orbite width=50%} -Sur la figure \ref{fig:e}, vous observez différentes orbites pour différentes valeurs de $e$. +Sur la figure @fig:e, vous observez différentes orbites pour différentes valeurs de $e$. {#fig:e width=30%} @@ -120,26 +120,24 @@ Ensuite, on calcule la nouvelle position à partir de sa position actuelle et de sa position précédente (on a également vu ça en cours). Pour ce faire, on reprend les équations du mouvement uniformément accéléré on a: $$ -\label{eq:verlet} \begin{aligned} \vec{x}_p(t+\Delta t) &= \vec{x}_p(t) + \Delta t\vec{v}_p(t) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(t)\\ \vec{x}_p(t-\Delta t) &= \vec{x}_p(t) - \Delta t\vec{v}_p(t) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(t) \end{aligned} -$$ +$${#eq:verlet} Avec $t$ et $\Delta t$ en [s], $\vec{x}_p(t)$ la position de la planète $p$ en [m], $\vec{v}_p(t)$ la vitesse de la planète $p$ en [$\frac{m}{s}$] et $\vec{a}_p(t)$ l'accélération de la planète $p$ en [$\frac{m}{s^2}$]. -En additionnant les deux équations de \eqref{eq:verlet}, on obtient : +En additionnant les deux équations de @eq:verlet, on obtient : $$ -\label{eq:mouvement} \begin{aligned} \vec{x}_p(t+\Delta t) + \vec{x}_p(t-\Delta t) &= 2\vec{x}_p(t) + (\Delta t)^2\vec{a}_p(t)\\ \vec{x}_p(t+\Delta t) &= 2\vec{x}_p(t) - \vec{x}_p(t-\Delta t) + (\Delta t)^2\vec{a}_p(t)\\ \end{aligned} -$$ +$${#eq:mouvement} On remarque donc qu'il n'est pas nécessaire de retenir l'évolution de $\vec{v}_p$ pour calculer le prochain état de notre simulation. Nous n'avons @@ -150,15 +148,15 @@ $\vec{a}_p(t)$ à partir des formules données (oui cela est un exercice). ## Conditions initiales -Si l'on regarde \eqref{eq:mouvement}, on remarque que pour calculer +Si l'on regarde @eq:mouvement, on remarque que pour calculer $\vec{x}_p(t + \Delta t)$ en $t=0$ ($\vec{x}_p(\Delta t)$), il nous faudrait la -position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considérons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule \eqref{eq:mouvement}. Ce qui nous donne : +position $\vec{x}_p(t-\Delta t)$. Comme nous ne considérons pas de temps négatif dans notre simulation, nous allons fixer la valeur en $t=0$ avec la formule @eq:mouvement. Ce qui nous donne : $$ \vec{x}_p(\Delta t) = \vec{x}_p(0) + \Delta t\vec{v}_p(0) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(0) $$ -Commençons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est ellipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir \ref{fig:orbite}) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc : +Commençons par $\vec{v}_p(0)$. Pour rappel, l'orbite d'une planète est ellipsoïdale. Sans rentrer dans des détails qui dépassent le cadre de ce tp, nous pouvons connaître la vitesse à la périhélie (voir @fig:orbite) de l'orbite d'une planète autour de notre étoile. La périhélie est la distance la plus courte dans l'orbite d'une planète (autour du soleil, -hélie=soleil). Nous avons donc : $$ \vec{v}_p(0) =