From e65e578a543632c7cd945b8d6eb46b1f9d928a9a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Mon, 23 May 2022 00:38:14 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Ajout=20d=C3=A9but=20Dijkstra?=
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slides/cours_25.md | 115 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index ae1dd4a..ed8ee2b 100644
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+++ b/slides/cours_25.md
@@ -108,3 +108,118 @@ $$
\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
$$
+# Applications de plus courts chemins
+
+## Quelles applications voyez-vous?
+
+. . .
+
+* Déplacement d'un robot;
+* Planificaiton de trajet / trafic urbain;
+* Routage de télécommunications;
+* Réseau électrique optimal;
+* ...
+
+# Plus courts chemins à source unique
+
+* Soit un graphe, $G=(V, E)$, une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$, et un sommet $s\in V$
+ * Trouver pour tout sommet $v\in V$, le chemin de poids minimal reliant $s$ à $v$.
+* Algorithmes standards:
+ * Dijkstra (arêtes de poids positif seulement);
+ * Bellman-Ford (arêtes de poids positifs ou négatifs, mais sans cycles).
+* Comment résoudre le problèmes si tous les poids sont les mêmes?
+
+. . .
+
+* Un parcours en largeur!
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Avez-vous une idée de comment chercher pour un plus court chemin?
+
+```
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Idée générale
+
+* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
+* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
+* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
+* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
+* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
+* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Pseudo-code (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+tab dijkstra(graph, s, t)
+ pour chaque v dans graphe
+ distance[v] = infini
+ q = ajouter(q, v)
+ distance[s] = 0
+ tant que non_vide(q)
+ u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
+ si u == t
+ retourne distance
+ q = remove(q, u)
+ pour chaque v dans voisinage(u, q) // voisin de u encore dans q
+ n_distance = distance[u] + w(i, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+ retourne distance
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
+* ne nous donne pas le chemin!
+
+## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
+
+. . .
+
+* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
+* On a besoin d'un tableau `précédent`.
+
+## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+```C
+tab, tab dijkstra(graph, s, t)
+ pour chaque v dans graphe
+ distance[v] = infini
+ précédent[v] = indéfini
+ q = ajouter(q, v)
+ distance[s] = 0
+ tant que non_vide(q)
+ u = min(q, distance) // plus petite distance dans q
+ si u == t
+ retourne distance
+ q = remove(q, u)
+ pour chaque v dans voisinage(u, q) // voisin de u encore dans q
+ n_distance = distance[u] + w(i, v)
+ si n_distance < distance[v]
+ distance[v] = n_distance
+ précédent[v] = u
+ retourne distance, précédent
+```
+
+## Comment faire pour avoir toutes les plus petites distances à tous les autres noeuds?
\ No newline at end of file
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