covid/00_macros.md

+  \newcommand{\ux}{\bm{x}}
+  \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+  \newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+  \newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
+  
\ No newline at end of file

covid/01_covid.md

+# Modélisation d'épidémies
+
+**Avertissement:** Dans cette brève introduction nous n'avons pas la prétention
+de présenter des modèles très précis ayant une grande valeur prédictive.
+L'objectif est plutôt de se familiariser avec le concept de modèle mathématique
+ainsi que d'étudier un modèle simplifié de propagation d'épidémieet de voir quels peuvent
+être les effets de la quarantaine sur une propagation libre.
+
+## L'exponentielle
+
+Un modèle mathématique d'une épidémie est une abstraction mathématique de la réalité permettant
+de faire des prédictions sur l'évolution du nombre de personne atteinte et leur guérison possible
+guérison. Elle permet ainsi de prévoir l'effet des politiques publiques pour contenir
+les épidémies: quarantaine, vaccination, ...
+
+Imaginons d'abord un modèle très simple où nous considérons une fonction, $M(t)$, 
+qui donne le nombre nombre d'individus ayant contracté une maladie en fonction
+du temps. La valeur $M_0=M(0)$ est le nombre de malades le jour où la maladie
+se déclare pour la première fois. On aimerait décrire l'évolution
+de cette maladie. Pour ce faire, nous allons écrire une équation
+qui va calculer $M(t+\delta t)$ à partir de $M(t)$ qui est supposé connu.
+
+Supposons dans notre modèle très simplifié, que chaque personne malade
+contamine exactement deux personnes saines en un temps $\delta t$. 
+Supposons également qu'il y a une infinité
+de personnes saines (c'est pas très réaliste mais cela simplifie les choses pour le moment).
+Nous avons donc que le nombre de personne infectées au temps $t+\delta t$, $M(t+\delta t)$
+est donné par
+$$
+M(t+\delta t)=M(t)+\delta t \cdot 2\cdot M(t).
+$$
+A gauche de cette équation nous avons le nombre de malades au temps $t+\delta t$ qui
+est donné par le nombre de malade le jour $t$, auquel on additionne le nombre de nouveaux malades
+qu'ils ont contaminés en une journée (2 fois leur nombre).
+
+Si $\delta t$ est un jour, et que nous avons au premier jour une seul malade, $M(0)=1$,
+on a la suite suivante
+\begin{align}
+M(0)&=1\mbox{ malades},\\
+M(1)&=M(0)+1\cdot 2 M(0)=1 + 2=3\mbox{ malades},\\
+M(2)&=M(1)+1\cdot 2 M(1)=3 + 6=9\mbox{ malades},\\
+M(3)&=M(2)+1\cdot 2 M(2)=9 + 18=27\mbox{ malades},\\
+\vdots&
+\end{align}
+On peut facilement se convainque qu'au bout de $n$ jours, le
+nombre de malades a atteint $3^n$. On a une croissance **exponentielle**
+du nombre de malades.
+
+Ce qu'on a fait ici comme modèle est un modèle compartimental (on a compartimenté la population):
+on a divisé la population en une classe, celle des malades $M(t)$. Puis
+on a adjoint une règle d'évolution à cette classe: chaque jour chaque malade infecte
+deux nouvelles personnes. Ce modèle est très simpliste mais il illustre très bien
+comment on construit un modèle d'épidémie.
+
+Par ailleurs, on peut se rendre compte que l'équation que nous avons écrite plus
+haut décrit l'évolution du *taux de variation* de $M(t)$. En effet, en réarrangeant les termes de cette équation, on a que
+$$
+\underbrace{\frac{M(t+\delta t)-M(t)}{\delta t}}_{\mbox{taux de variation}}=2M(t).
+$$
+Si nous prenons la limite pour $\delta t\rightarrow 0$ des deux côtés
+nous obtenons
+$$
+M'(t)=2M(t).
+$$
+Ceci est une **équation différentielle**, une équation dont l'inconnue est une fonction
+et qui relie sa forme avec ses dérivées. Nous allons utiliser
+ce type d'équations pour voir un modèle un peu plus réaliste de modèle
+d'épidémies dans la section suivante.
+
+## Modèles compartimentaux
+
+Les modèles compartimentaux, créés autour des années 1920, sont des modèles
+mathématiques permettant de représenter la propagation des épidémies.
+Ces modèles divisent une population en plusieurs *classes* épidémiologiques (compartiments)
+comme les individus sains mais susceptibles d'être infectés, les individus infectieux, et
+les individus guéris (qui ont acquis une immunité suite à une infection). Ces trois compartiements
+sont notés respectivement, $S$, $I$, et $R$. Il en existe d'autres, mais nous ne les
+discuterons pas dans le cadre de cette petite introduction.
+
+Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus, nous voulons
+décrire les transitions entre les patients sains (susceptibles d'attraper la maladie) et inféctieux,
+$$
+S\rightarrow I,
+$$
+puis entre infectieux et guéris
+$$
+S\rightarrow I.
+$$
+
+La transition $S\rightarrow I$ est décrite par le taux de transmission de la maladie, $\beta\cdot I$. $\beta$ est le nombre de contacts par personne multipliée par la probabilité de transmission de la maladie quand une personne infectieuse rencontre une personne susceptible d'attraper la malade.
+
+De même la transition $I\rightarrow R$ est donnée par $\lambda=1/d$, le taux de guérison (ou de mort) qui est simplement
+l'inverse du temps nécessaire à la guérison (ou à la mort).
+
+A présent, nous pouvons écrire les équations différentielles
+régissant l'évolution de $S(t)$, $I(t)$ et $R(t)$.
+
+Le nombre d'individus susceptible d'attraper la maladie
+va décroître proportionnellement au taux de transmission de la maladie multiplié par la fraction du nombre d'individus susceptible de l'attraper sur leur nombre total
+$$
+S'(t)=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},
+$$
+où $N=I(t)+S(t)+R(t)$ est la population totale (c'est une constante). Étant donné qu'il n'y a pas d'individus sains
+injectés dans le système il n'y a pas de façon de faire croître $S(t)$.
+
+Le nombre de personnes guéries va croître proportionnellement
+au nombre de personnes infectées
+$$
+R'(t)=\lambda I(t).
+$$
+
+Finalement, le nombre de personnes infectieuses va croître exactement du
+même nombre que le nombre de personne saine ayant attrapé la maladie, et décroître du nombre de personne guéries
+$$
+I'(t)=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t).
+$$
+
+Nous avons donc un système d'équations différentielles.
+\begin{align*}
+S'(t)&=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I'(t)&=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t),\\
+R'(t)&=\lambda I(t).
+\end{align*}
+
+La dynamique de ce système est pilotée par $R_0$,
+le taux de reproduction de base qui est donné par le rapport du taux de transmission de la maladie avec le taux de guérison
+$$
+R_0=\frac{\beta}{\lambda}.
+$$
+
+Ce système d'équations est **non-linéaire** mais possède une solution analytique. Nous n'allons pas nous intéresser à sa résolution analytique, mais plutôt le résoudre numériquement.
+
+En nous rappelant que la définition de $f'(t)$ est
+$$
+f'(t)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t+\delta t) - f(t)}{\delta t},
+$$
+on voit qu'on peut approximer $f'(t)$ par
+$$
+f'(t)\cong \frac{f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}.
+$$
+Il vient que le système d'équations ci-dessus peut se réécrire
+\begin{align}
+S(t+\delta t)&=S(t)-\frac{\delta t\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I(t+\delta t)&=I(t)+\delta t\left(\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t)\right),\\
+R(t+\delta t)&=R(t)+\delta t\lambda I(t).
+\end{align}
+A l'aide de ces équations on peut calculer *itérativement*
+la valeur de $S, I, R$ de ces valeurs pour un $t$ donné en partant d'une condition initiale $S(0)$, $I(0)$, et $R(0)$.
+
+
+
+
+
+
+
+
+

covid/Makefile

+STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
+	css/pandoc.css \
+	css/pandoc-solarized.css \
+	css/tufte-extra.css
+
+OPTIONS = --toc
+OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=../default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c ../css/tufte-css/tufte.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
+
+all:  covid.pdf covid.html
+
+# %.tex: %.md
+# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+
+covid.pdf: 00_macros.md 01_covid.md 
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+covid.html: 00_macros.md 01_covid.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+deploy: all
+	mkdir -p ../mti
+	cp covid.html ../mti/index.html
+	cp covid.pdf ../mti/covid.pdf
+
+clean:
+	rm -f *.html *.pdf

covid/metadata.yaml

+---
+author:
+- Orestis Malaspinas
+title: Mathématiques en technologie de l'Information
+autoSectionLabels: false
+autoEqnLabels: true
+eqnPrefix:
+  - "éq."
+  - "éqs."
+chapters: true
+numberSections: false
+chaptersDepth: 1
+sectionsDepth: 3
+lang: fr
+documentclass: book
+papersize: A4
+cref: false
+urlcolor: blue
+---
+
+
+
+

covid/python/covid.py

+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+swiss = np.array([2.100350058, 3.150525088, 4.900816803, 6.534422404, 10.501750292, 13.302217036, 24.970828471, 31.271878646, 39.323220537, 43.640606768, 57.292882147, 76.079346558, 100.116686114, 131.271878646, 158.576429405, 256.709451575, 256.709451575, 268.378063011, 309.218203034, 353.325554259, 453.675612602])
+swiss = np.array([18, 27, 42, 56, 90, 114, 214, 268, 337, 374, 491, 652, 858, 1125, 1359, 2200, 2200, 2300, 2650, 3028, 3888]) / 0.02
+
+days = np.array(range(1,len(swiss)+1))
+
+def F(yx, yy, yz, t):
+    return sigma * (yy - yz), rho * yx, (mu * yx + yz)
+
+def rk2(yx, yy, yz, t, dt):
+    yx_tmp, yy_tmp, yz_tmp = F(yx, yy, yz, t)
+    yx0 = yx + dt / 2 * yx_tmp
+    yy0 = yy + dt / 2 * yy_tmp
+    yz0 = yz + dt / 2 * yz_tmp
+
+    y1x, y1y, y1z = F(yx0, yy0, yz0, t+dt/2)
+
+    return yx + dt * y1x, yy + dt * y1y, yz + dt * y1z
+
+def yx(dt, yx0, yy0, yz0, sig):
+    return yx0 + dt * sigma * (yy0-yz0)
+
+def s(dt, beta, S0, I0, N):
+    return S0 - dt * (beta * S0 * I0 / N)
+
+def ii(dt, beta, lamb, S0, I0, N):
+    return I0 + dt * (beta * S0 * I0 / N - lamb * I0)
+
+def r(dt, lamb, R0, I0, N):
+    return R0 + dt * lamb * I0
+
+def compute_n(S, R, I):
+    return S + R + I
+
+def timestep(S0, I0, R0, dt, beta, lamb, N):
+    S1 = s(dt, beta, S0, I0, N)
+    I1 = ii(dt, beta, lamb, S0, I0, N)
+    R1 = r(dt, lamb, R0, I0, N)
+    return S1, I1, R1
+
+S0 = 8000000
+I0 = swiss[0]
+R0 = 0
+max_t = 3*days[len(swiss)-1]
+n_steps = 100000
+dt = max_t / n_steps
+
+
+N = compute_n(S0, I0, R0) 
+
+lamb = 1.0 / 14.0
+beta_1 = 0.35
+beta_2 = beta_1 / 10
+beta = beta_1
+
+R0 = beta / lamb
+print(R0)
+
+s_list = [S0]
+r_list = [R0]
+i_list = [I0]
+t_list = [1]
+for i in range(0, n_steps):
+    S1, I1, R1 = timestep(s_list[i], i_list[i], r_list[i], dt, beta, lamb, N)
+    s_list.append(S1)
+    i_list.append(I1)
+    r_list.append(R1)
+    t_list.append(t_list[i]+dt)
+    # if (R1 >= 0.9 * N):
+    #     print(t_list[i]+dt)
+    #     break
+    # if (t_list[i+1] < 27) :
+    #     beta = beta_1
+    # elif (I1 > 0.01*N) :
+    #     beta = beta_2
+    # else:
+    #     beta = beta_1
+
+s = np.array(s_list) 
+r = np.array(r_list)
+ii = np.array(i_list)
+t = np.array(t_list)
+s
+plt.semilogy(t, s, 'b')
+plt.semilogy(t, r, 'r')
+plt.semilogy(t, ii, 'k')
+plt.semilogy(days, swiss, 'k*')
+plt.legend(['S', 'I', 'R', 'swiss'])
+plt.show()
+

covid/python/data.txt

+2.100350058     18	1
+3.150525088	    27	2
+4.900816803	    42	3
+6.534422404	    56	4
+10.501750292	90	5
+13.302217036	114	6
+24.970828471	214	7
+31.271878646	268	8
+39.323220537	337	9
+43.640606768	374	10
+57.292882147	491	11
+76.079346558	652	12
+100.116686114	858	13
+131.271878646	1125	14
+158.576429405	1359	15
+256.709451575	2200	16
+256.709451575	2200	16
+268.378063011	2300	17
+309.218203034	2650	18
+353.325554259	3028	19
+453.675612602	3888	20

covid/python/seir.py

+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import functools
+import matplotlib.animation as animation
+
+swiss = np.array([2.100350058, 3.150525088, 4.900816803, 6.534422404, 10.501750292, 13.302217036, 24.970828471, 31.271878646, 39.323220537, 43.640606768, 57.292882147, 76.079346558, 100.116686114, 131.271878646, 158.576429405, 256.709451575, 256.709451575, 268.378063011, 309.218203034, 353.325554259, 453.675612602])
+swiss = np.array([18, 27, 42, 56, 90, 114, 214, 268, 337, 374, 491, 652, 858, 1125, 1359, 2200, 2200, 2300, 2650, 3028, 3888])
+
+days = np.array(range(1,len(swiss)+1))
+
+def update(i, lines, t, p):
+    n_pop, length = p.shape
+    for j in range(0, n_pop):
+        lines[j].set_data(t[0:i], p[j][0:i])
+    return lines
+
+# def policy_r0(R_0, R_target, t, delta_t):
+#     if (t <= )
+
+
+
+def seir(y, t, R_0, Tinf, Tinc):
+    N = np.sum(y)
+    y1 = np.zeros(4)
+    y1[0] = - R_0 / Tinf * y[2] * y[0] / N
+    y1[1] =  R_0 / Tinf * y[2] * y[0] / N - 1.0 / Tinc * y[1]
+    y1[2] = 1.0 / Tinc * y[1] - 1.0 / Tinf * y[2]
+    y1[3] = 1.0 / Tinf * y[2]
+
+    return y1
+
+def seihse(y, t, R_0, Tinf, Tinc, Thos, Tsev):
+    N = np.sum(y)
+    y1 = np.zeros(6)
+    y1[0] = - R_0 / Tinf * y[2] * y[0] / N # Sane
+    y1[1] =  R_0 / Tinf * y[2] * y[0] / N - 1.0 / Tinc * y[1] # Exposed
+    y1[2] = 1.0 / Tinc * y[1] - 1.0 / Tinf * y[2] - 1.0 / Tinf * y[2] # Infectious
+    y1[3] = 1.0 / Tinf * y[2] + 1.0 / Thos * y[4] + 1.0 / Tsev * y[5] # Recovered
+    y1[4] = - 1.0 / Thos * y[4] + 1.0 / Tinf * y[2] - 1.0 / Tsev * y[4] # Hospitalized
+    y1[5] = - 1.0 / Tsev * y[5] + 1.0 / Thos * y[4] # Severe
+
+    return y1
+    
+def rk4(F, y, t, dt):
+    k1 = dt * F(y, t)
+    k2 = dt * F(y + k1 / 2, t + dt/2)
+    k3 = dt * F(y + k2 / 2, t + dt/2)
+    k4 = dt * F(y + k3, t + dt)
+    return y + (k1 + 2 * (k2 + k3) + k4) / 6
+
+R_0 = 4.26
+R_01 = 4.26
+R_02 = 1 - 1/R_01
+
+Tinf = 7.0
+Tinc = 5.1
+Thos = 14.0
+Tsev = 14.0
+
+N = 500000
+
+I0 = 214 / 0.2
+E0 = 2000
+R0 = 0
+S0 = N-E0-I0
+H0 = 0
+Sev0 = 0
+t0 = 24
+
+# max_t = 5*days[len(swiss)-1]
+max_t = 200.0
+n_steps = 1000
+dt = max_t / n_steps
+
+y0 = np.array([S0, E0, I0, R0, H0, Sev0])
+
+y_list = [y0]
+t_list = [t0]
+for i in range(0, n_steps):
+    t = t_list[i] + dt
+    # foo = functools.partial(seir, R_0=R_0, Tinf=Tinf, Tinc=Tinc)
+    foo = functools.partial(seihse, R_0=R_0, Tinf=Tinf, Tinc=Tinc, Thos=Thos, Tsev=Tsev)
+    y1 = rk4(foo, y_list[i], t, dt)
+    y_list.append(y1)
+    t_list.append(t)
+
+    if (y1[1] + y1[2] < 1):
+        break
+
+t = np.array(t_list) 
+y = np.array(y_list) 
+
+p = np.transpose(y)
+
+
+fig = plt.figure()
+# ax = plt.axes(xlim=(-0.1*np.max(t),np.max(t)*1.1), ylim=(-0.1*np.max(p),np.max(p)*1.1))
+ax = plt.axes(xlim=(1,np.max(t)*1.1), ylim=(1,np.max(p)*1.1))
+
+lines = [plt.semilogy([], [], 'r-')[0],
+         plt.semilogy([], [], 'b-')[0],
+         plt.semilogy([], [], 'g-')[0],
+         plt.semilogy([], [], 'k-')[0],
+         plt.semilogy([], [], 'c-')[0],
+         plt.semilogy([], [], 'y-')[0] ]
+
+# anim = animation.FuncAnimation(fig, functools.partial(update, lines=lines, t=t, p=p), 
+#            frames=n_steps, interval=10, blit=True)
+ax.legend(['Sain', 'Exposé', 'Infectieux', 'Rétablis', 'Hospitalisés', 'Soins intensifs'])
+
+anim = animation.FuncAnimation(fig, functools.partial(update, lines=lines, t=t, p=p), 
+           frames=n_steps, interval=10, blit=True)
+
+# plt.semilogy(t, p[0], 'b')
+# plt.semilogy(t, p[1], 'r')
+# plt.semilogy(t, p[2], 'k')
+# plt.semilogy(t, p[3], 'g')
+# # plt.semilogy(days, swiss, 'k*')
+# plt.legend(['S', 'E', 'I', 'R', 'swiss'])
+plt.show()
+

css/pandoc.css

+.latex-sub, .latex-sup { text-transform: uppercase;
+    font-size: smaller;
+    position: relative; }
+
+.latex-sub { top: 0.2rem;
+margin-left: -0.1667rem;
+margin-right: -0.125rem; }
+
+.latex-sup { top: -0.2rem;
+margin-left: -0.36rem;
+margin-right: -0.15rem;
+text-shadow: none; }
+
+.latex::selection, .latex span:not(.latex-sup)::selection { text-shadow: 0.03em 0 #b4d5fe, -0.03em 0 #b4d5fe, 0 0.03em #b4d5fe, 0 -0.03em #b4d5fe, 0.06em 0 #b4d5fe, -0.06em 0 #b4d5fe, 0.09em 0 #b4d5fe, -0.09em 0 #b4d5fe, 0.12em 0 #b4d5fe, -0.12em 0 #b4d5fe, 0.15em 0 #b4d5fe, -0.15em 0 #b4d5fe;
+background: #b4d5fe; }
+
+.latex::-moz-selection, .latex span:not(.latex-sup)::-moz-selection { text-shadow: 0.03em 0 #b4d5fe, -0.03em 0 #b4d5fe, 0 0.03em #b4d5fe, 0 -0.03em #b4d5fe, 0.06em 0 #b4d5fe, -0.06em 0 #b4d5fe, 0.09em 0 #b4d5fe, -0.09em 0 #b4d5fe, 0.12em 0 #b4d5fe, -0.12em 0 #b4d5fe, 0.15em 0 #b4d5fe, -0.15em 0 #b4d5fe;
+    background: #b4d5fe; }

css/styling.css

+@import url(//fonts.googleapis.com/css?family=Libre+Baskerville:400,400italic,700);@import url(//fonts.googleapis.com/css?family=Source+Code+Pro:400,400italic,700,700italic);/* normalize.css v3.0.0 | MIT License | git.io/normalize */html{font-family:sans-serif;-ms-text-size-adjust:100%;-webkit-text-size-adjust:100%}body{margin:0}article,aside,details,figcaption,figure,footer,header,hgroup,main,nav,section,summary{display:block}audio,canvas,progress,video{display:inline-block;vertical-align:baseline}audio:not([controls]){display:none;height:0}[hidden],template{display:none}a{background:transparent}a:active,a:hover{outline:0}abbr[title]{border-bottom:1px dotted}b,strong{font-weight:bold}dfn{font-style:italic}h1{font-size:2em;margin:0.67em 0}mark{background:#ff0;color:#000}small{font-size:80%}sub,sup{font-size:75%;line-height:0;position:relative;vertical-align:baseline}sup{top:-0.5em}sub{bottom:-0.25em}img{border:0}svg:not(:root){overflow:hidden}figure{margin:1em 40px}hr{-moz-box-sizing:content-box;box-sizing:content-box;height:0}pre{overflow:auto}code,kbd,pre,samp{font-family:monospace, monospace;font-size:1em}button,input,optgroup,select,textarea{color:inherit;font:inherit;margin:0}button{overflow:visible}button,select{text-transform:none}button,html input[type="button"],input[type="reset"],input[type="submit"]{-webkit-appearance:button;cursor:pointer}button[disabled],html input[disabled]{cursor:default}button::-moz-focus-inner,input::-moz-focus-inner{border:0;padding:0}input{line-height:normal}input[type="checkbox"],input[type="radio"]{box-sizing:border-box;padding:0}input[type="number"]::-webkit-inner-spin-button,input[type="number"]::-webkit-outer-spin-button{height:auto}input[type="search"]{-webkit-appearance:textfield;-moz-box-sizing:content-box;-webkit-box-sizing:content-box;box-sizing:content-box}input[type="search"]::-webkit-search-cancel-button,input[type="search"]::-webkit-search-decoration{-webkit-appearance:none}fieldset{border:1px solid #c0c0c0;margin:0 2px;padding:0.35em 0.625em 0.75em}legend{border:0;padding:0}textarea{overflow:auto}optgroup{font-weight:bold}table{border-collapse:collapse;border-spacing:0}td,th{padding:0}body,code,tr.odd,tr.even,figure{background-image:url("data:image/png;base64,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")}body{font-family:"Libre Baskerville",Baskerville,Georgia,serif;background-color:#f8f8f8;color:#111;line-height:1.3;text-align:justify;-moz-hyphens:auto;-ms-hyphens:auto;-webkit-hyphens:auto;hyphens:auto}@media (max-width: 400px){body{font-size:12px;margin-left:10px;margin-right:10px;margin-top:10px;margin-bottom:15px}}@media (min-width: 401px) and (max-width: 600px){body{font-size:14px;margin-left:10px;margin-right:10px;margin-top:10px;margin-bottom:15px}}@media (min-width: 601px) and (max-width: 900px){body{font-size:15px;margin-left:100px;margin-right:100px;margin-top:20px;margin-bottom:25px}}@media (min-width: 901px) and (max-width: 1800px){body{font-size:17px;margin-left:200px;margin-right:200px;margin-top:30px;margin-bottom:25px;max-width:800px}}@media (min-width: 1801px){body{font-size:18px;margin-left:20%;margin-right:20%;margin-top:30px;margin-bottom:25px;max-width:1000px}}p{margin-top:10px;margin-bottom:18px}em{font-style:italic}strong{font-weight:bold}h1,h2,h3,h4,h5,h6{font-weight:bold;padding-top:0.25em;margin-bottom:0.15em}header{line-height:2.475em;padding-bottom:0.7em;border-bottom:1px solid #bbb;margin-bottom:1.2em}header>h1{border:none;padding:0;margin:0;font-size:225%}header>h2{border:none;padding:0;margin:0;font-style:normal;font-size:175%}header>h3{padding:0;margin:0;font-size:125%;font-style:italic}header+h1{border-top:none;padding-top:0px}h1{border-top:1px solid #bbb;padding-top:15px;font-size:150%;margin-bottom:10px}h1:first-of-type{border:none}h2{font-size:125%;font-style:italic}h3{font-size:105%;font-style:italic}hr{border:0px;border-top:1px solid #bbb;width:100%;height:0px}hr+h1{border-top:none;padding-top:0px}ul,ol{font-size:90%;margin-top:10px;margin-bottom:15px;padding-left:30px}ul{list-style:circle}ol{list-style:decimal}ul ul,ol ol,ul ol,ol ul{font-size:inherit}li{margin-top:5px;margin-bottom:7px}q,blockquote,dd{font-style:italic;font-size:90%}blockquote,dd{quotes:none;border-left:0.35em #bbb solid;padding-left:1.15em;margin:0 1.5em 0 0}blockquote blockquote,dd blockquote,blockquote dd,dd dd,ol blockquote,ol dd,ul blockquote,ul dd,blockquote ol,dd ol,blockquote ul,dd ul{font-size:inherit}a,a:link,a:visited,a:hover{color:inherit;text-decoration:none;border-bottom:1px dashed #111}a:hover,a:link:hover,a:visited:hover,a:hover:hover{border-bottom-style:solid}a.footnoteRef,a:link.footnoteRef,a:visited.footnoteRef,a:hover.footnoteRef{border-bottom:none;color:#666}code{font-family:"Source Code Pro","Consolas","Monaco",monospace;font-size:85%;background-color:#ddd;border:1px solid #bbb;padding:0px 0.15em 0px 0.15em;-webkit-border-radius:3px;-moz-border-radius:3px;border-radius:3px}pre{margin-right:1.5em;display:block}pre>code{display:block;font-size:70%;padding:10px;-webkit-border-radius:5px;-moz-border-radius:5px;border-radius:5px;overflow-x:auto}blockquote pre,dd pre,ul pre,ol pre{margin-left:0;margin-right:0}blockquote pre>code,dd pre>code,ul pre>code,ol pre>code{font-size:77.77778%}caption,figcaption{font-size:80%;font-style:italic;text-align:right;margin-bottom:5px}caption:empty,figcaption:empty{display:none}table{width:100%;margin-top:1em;margin-bottom:1em}table+h1{border-top:none}tr td,tr th{padding:0.2em 0.7em}tr.header{border-top:1px solid #222;border-bottom:1px solid #222;font-weight:700}tr.odd{background-color:#eee}tr.even{background-color:#ccc}tbody:last-child{border-bottom:1px solid #222}dt{font-weight:700}dt:after{font-weight:normal;content:":"}dd{margin-bottom:10px}figure{margin:1.3em 0 1.3em 0;text-align:center;padding:0px;width:100%;background-color:#ddd;border:1px solid #bbb;-webkit-border-radius:8px;-moz-border-radius:8px;border-radius:8px;overflow:hidden}img{display:block;margin:0px auto;padding:0px;max-width:100%}figcaption{margin:5px 10px 5px 30px}.footnotes{color:#666;font-size:70%;font-style:italic}.footnotes li p:last-child a:last-child{border-bottom:none}

tufte-css @ c414b911

+Subproject commit c414b9117d5b39bdb747a172822333fc1043aee3

default.latex

@@ -11,6 +11,7 @@ $if(linestretch)$
 \usepackage{setspace}
 \setstretch{$linestretch$}
 $endif$
+\renewcommand{\linethickness}{0.05em}
 \usepackage{amssymb,amsmath,bm}
 \usepackage{ifxetex,ifluatex}
 \usepackage{fixltx2e} % provides \textsubscript
@@ -233,15 +234,6 @@ $if(institute)$
 $endif$
 \date{$date$}
 
-\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
-\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
-\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
-\newcommand{\definition}{\textbf{Definition }}
-\newcommand{\exemples}{\textbf{Exemples }}
-\newcommand{\remarque}{\textbf{Remarque }}
-\newcommand{\proprietes}{\textbf{Propriétés }}
-\newcommand{\propriete}{\textbf{Propriété }}
-
 \begin{document}
 $if(title)$
 \maketitle

examen/.gitignore

+*.md

examen/Makefile

-EXAMEN=intEdo
+EXAMEN=intOpt2020
 
-default:
+$(EXAMEN).pdf: $(EXAMEN).md
 	pandoc -s -o $(EXAMEN).pdf $(EXAMEN).md --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref --template=../default.latex --pdf-engine pdflatex
 

examen/figs/.gitignore

+*.svg
+*.pdf
+*.png