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  • orestis.malaspin/math_tech_info
  • jerome.chetelat/math_tech_info
  • julien.borel/math_tech_info
  • xavier.perret/math_tech_info
  • ilias.nhairi/math_tech_info
  • julien.seemulle/math_tech_info
  • michael.elkharro/math_tech_info
  • fabien.lometti/math_tech_info
  • guillaum.pin/math_tech_info
  • quentin.rod/math_tech_info
  • simon.cirilli/math_tech_info
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---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Contrôle continu de mathématiques
date: 13.06.2018
autoSectionLabels: true
autoEqnLabels: true
eqnPrefix:
- "éq."
- "éqs."
chapters: true
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chaptersDepth: 1
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lang: fr
documentclass: article
papersize: A4
cref: false
pandoc-numbering:
- category: exercice
urlcolor: blue
---
# Transformées de Fourier, Probabilités et statistiques {#all .unnumbered}
Résoudre les exercices suivants en justifiant au maximum les raisonnements et les étapes de calcul.
Chaque exercice vaut 0.0000002 points.
Vous avez le droit à tous les documents papier que vous souhaitez et à une calculatrice non-programmable.
Exercice (0.0000002pts) #
Répondre aux questions suivantes.
1. Vrai-Faux? Soient $f(t)$ et $g(t)$, deux signaux périodiques, dont les coefficients de la série de Fourier complexes sont donnés par $c_n$, $d_n$ respectivement.
Les coefficients de Fourier complexes du signal $h(t)=f(t)+g(t)$ sont donnés par $h_n=c_n+d_n$.
2. Soit une urne contenant trois boules rouges, trois boules blanches et trois boules noires. Soient les événements:
- $A$: Tirer une boule rouge.
- $B$: Tirer une boule ni blanche ni rouge.
- $C$: Tirer une boule noire ou une boule blanche.
Décrire en une phrase ne comportant pas de négation les événements $\bar{A}$, $\bar{B}$, et $\bar{C}$.
3. Les signaux périodiques, $f(t)$ et $g(t)$, suivants ont-ils les même coefficients de Fourier?
![Deux signaux](figs/signaux.pdf){#fig:signaux width="50.00000%"}
4. Vrai-Faux? Tous les coefficients de la série de Fourier d'une fonction impaire sont nuls.
5. Vrai-Faux? Soit la fonction $2\pi$-périodique suivante
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-x,\ \forall x\in[-\pi,0)\\
x,\ \forall x\in[0,\pi]
\end{array}\right.
$$
Le coefficient complexe $c_0$ est nul.
Exercice (0.0000002pts) #
On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite.
1. Donner la liste de tous les résultats possibles en notant $P$ pour Pile et $F$ pour Face (exemple : PPF).
2. Donner la probabilité des événements suivants :
- $A$: le tirage ne comporte que des Piles.
- $B$: le tirage comporte au moins une fois Face.
3. Donner la formule permettant de calculer combien de fois il faut lancer la pièce pour avoir une probabilité de $0.95$ de tirer pile?
Exercice (0.0000002pts) #
Développer en série de Fourier la fonction de période $2\pi$ suivante
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-x,\ \forall x\in[-\pi,0),\\
x,\ \forall x\in[0,\pi].
\end{array}\right.
$$
Exercice (0.0000002pts) #
Dans un magasin d'électroménager, on s'intéresse au comportement d'une acheteuse potentielle d'un téléviseur et d'un
lecteur de cassettes vidéos (oui on était on 20ème siècle à l'époque).
La probabilité pour qu'elle achète un téléviseur est de $0.6$.
La probabilité pour qu'elle achète un lecteur de cassettes quand elle a acheté un téléviseur est de $0.4$.
La probabilité pour qu'elle achète un lecteur de cassettes quand elle n'a pas acheté de téléviseur est de $0.2$.
1. Quelle est la probabilité pour qu'elle achète un téléviseur et un lecteur de cassettes ?
2. Quelle est la probabilité pour qu'elle achète un lecteur de cassettes ?
3. La cliente achète un lecteur de cassettes. Quelle est la probabilité qu'elle achète un téléviseur ?
Exercice (0.0000002pts) #
Le WPS (ou Wi-Fi protected setup) est un système qui permet de se connecter à un routeur
sans utiliser l'identification WPA. Il existe 3-4 façons de l'appliquer. Celle qui nous intéresse
est celle constituée d'un code. Ce code PIN est un nombre à 8 chiffres.
1. Calculer la probabilité de trouver le PIN. Écrire la formule qui permettrait de calculer le nombre d'essais
nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN (on ne réessaie pas deux fois la même combinaison)?
2. En fait le 8ème chiffre est un checksum des 7 premiers chiffres.
Que devient le nombre d'essais pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN (on ne réessaie pas deux fois la même combinaison)?
Combien d'essais faut-il pour être **certain** de trouver le PIN (on ne réessaie pas deux fois la même combinaison)?
3. En 2011, Stefan Viehböck a découvert que lorsqu'on fait une tentative
de connexion avec le code PIN le routeur donne la validité des 4 premiers et 3 derniers chiffres indépendamment.
Écrire la formule permettant de calculer le nombre de tentatives nécessaires pour trouver le bon PIN avec une probabilité de 0.5.
Exercice (0.0000002pts) #
1. Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite $a=\{1, 1, 1, 1\}$.
2. Calculer la transformée de Fourier discrète inverse de la suite $b=\{1, 1, 1, 1\}$.
Exercice (0.0000002pts) #
Développer en série de Fourier la fonction de période $2\pi$ suivante
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-\frac{\pi}{2}-x,\ \forall x\in[-\pi,0),\\
-\frac{\pi}{2}+x,\ \forall x\in[0,\pi].
\end{array}\right.
$$
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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
double f(double x) {
return x * x - 25.0;
}
double next_x(double x1, double x2, double (*foo)(double)) {
return x1 - (x2-x1)/(foo(x2)-foo(x1))*foo(x1);
}
int main() {
const int max_iter = 1000;
double x1 = rand();
double x2 = rand();
printf("x1 = %f, x2 = %f\n", x1, x2);
for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
double x3 = next_x(x1, x2, f);
x1 = x2;
x2 = x3;
printf("x3 = %f, f(%f) = %f, at iter = %d\n", x3, x3, f(x3), i);
if (fabs(f(x3)) < 0.00001 ) {
return EXIT_SUCCESS;
}
}
return EXIT_FAILURE;
}
\ No newline at end of file
OPTIONS = --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate
PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
PDFOPTIONS += --number-sections
PDFOPTIONS += --template=./default.latex
HTMLOPTIONS += -t html5
HTMLOPTIONS += -c css/prism.css
HTMLOPTIONS += --self-contained
HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
MD=$(wildcard *.md)
HTML=$(MD:%.md=%.html)
PDF=$(MD:%.md=%.pdf)
all: $(HTML) $(PDF)
%.pdf: %.md Makefile
sed -e 's/language-c/C/g' -e 's/language-bash/bash/g' $< > $*_tex.md
pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $*_tex.md
rm $*_tex.md
%.html: %.md Makefile
pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $<
clean:
rm -rf *.html *.pdf
var fileref=document.createElement('script')
fileref.setAttribute("type","text/javascript")
fileref.setAttribute("src", "https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML")
document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(fileref)
/* PrismJS 1.15.0
https://prismjs.com/download.html#themes=prism&languages=markup+css+clike+javascript+c+bash+python+rust&plugins=line-highlight+line-numbers+toolbar+highlight-keywords+copy-to-clipboard */
/**
* prism.js default theme for JavaScript, CSS and HTML
* Based on dabblet (http://dabblet.com)
* @author Lea Verou
*/
@import url(//fonts.googleapis.com/css?family=Libre+Baskerville:400,400italic,700);@import url(//fonts.googleapis.com/css?family=Source+Code+Pro:400,400italic,700,700italic);/* normalize.css v3.0.0 | MIT License | git.io/normalize */html{font-family:sans-serif;-ms-text-size-adjust:100%;-webkit-text-size-adjust:100%}body{margin:0}article,aside,details,figcaption,figure,footer,header,hgroup,main,nav,section,summary{display:block}audio,canvas,progress,video{display:inline-block;vertical-align:baseline}audio:not([controls]){display:none;height:0}[hidden],template{display:none}a{background:transparent}a:active,a:hover{outline:0}abbr[title]{border-bottom:1px dotted}b,strong{font-weight:bold}dfn{font-style:italic}h1{font-size:2em;margin:0.67em 0}mark{background:#ff0;color:#000}small{font-size:80%}sub,sup{font-size:75%;line-height:0;position:relative;vertical-align:baseline}sup{top:-0.5em}sub{bottom:-0.25em}img{border:0}svg:not(:root){overflow:hidden}figure{margin:1em 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pre[class*="language-"] {
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text-shadow: 0 1px white;
font-family: Consolas, Monaco, 'Andale Mono', 'Ubuntu Mono', monospace;
text-align: left;
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code[class*="language-"],
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pre[class*="language-"] {
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/* Inline code */
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\usepackage{amssymb,amsmath,bm,array}
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\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
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\usepackage{mathspec}
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\usepackage{unicode-math}
\fi
$else$
\usepackage{unicode-math}
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\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX,Scale=MatchLowercase}
$for(fontfamilies)$
\newfontfamily{$fontfamilies.name$}[$fontfamilies.options$]{$fontfamilies.font$}
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$if(euro)$
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\setsansfont[$for(sansfontoptions)$$sansfontoptions$$sep$,$endfor$]{$sansfont$}
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\setmonofont[Mapping=tex-ansi$if(monofontoptions)$,$for(monofontoptions)$$monofontoptions$$sep$,$endfor$$endif$]{$monofont$}
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$if(mathfont)$
$if(mathspec)$
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\setmathfont(Digits,Latin,Greek)[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
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\setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
\fi
$else$
\setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
$endif$
$endif$
$if(CJKmainfont)$
\usepackage{xeCJK}
\setCJKmainfont[$for(CJKoptions)$$CJKoptions$$sep$,$endfor$]{$CJKmainfont$}
$endif$
\fi
% use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
% use microtype if available
\IfFileExists{microtype.sty}{%
\usepackage[$for(microtypeoptions)$$microtypeoptions$$sep$,$endfor$]{microtype}
\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url} % url is loaded by hyperref
$if(verbatim-in-note)$
\usepackage{fancyvrb}
$endif$
\usepackage[unicode=true]{hyperref}
$if(colorlinks)$
\PassOptionsToPackage{usenames,dvipsnames}{color} % color is loaded by hyperref
$endif$
\hypersetup{
$if(title-meta)$
pdftitle={$title-meta$},
$endif$
$if(author-meta)$
pdfauthor={$author-meta$},
$endif$
$if(keywords)$
pdfkeywords={$for(keywords)$$keywords$$sep$, $endfor$},
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$if(colorlinks)$
colorlinks=true,
linkcolor=$if(linkcolor)$$linkcolor$$else$Maroon$endif$,
citecolor=$if(citecolor)$$citecolor$$else$Blue$endif$,
urlcolor=$if(urlcolor)$$urlcolor$$else$Blue$endif$,
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pdfborder={0 0 0},
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breaklinks=true}
\urlstyle{same} % don't use monospace font for urls
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\VerbatimFootnotes % allows verbatim text in footnotes
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$if(geometry)$
\usepackage[$for(geometry)$$geometry$$sep$,$endfor$]{geometry}
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$if(lang)$
\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
\usepackage[shorthands=off,$for(babel-otherlangs)$$babel-otherlangs$,$endfor$main=$babel-lang$]{babel}
$if(babel-newcommands)$
$babel-newcommands$
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\else
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage[$polyglossia-lang.options$]{$polyglossia-lang.name$}
$for(polyglossia-otherlangs)$
\setotherlanguage[$polyglossia-otherlangs.options$]{$polyglossia-otherlangs.name$}
$endfor$
\fi
$endif$
$if(natbib)$
\usepackage{natbib}
\bibliographystyle{$if(biblio-style)$$biblio-style$$else$plainnat$endif$}
$endif$
$if(biblatex)$
\usepackage[$if(biblio-style)$style=$biblio-style$,$endif$$for(biblatexoptions)$$biblatexoptions$$sep$,$endfor$]{biblatex}
$for(bibliography)$
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$endif$
$if(listings)$
\usepackage{listings}
$endif$
$if(lhs)$
\lstnewenvironment{code}{\lstset{language=Haskell,basicstyle=\small\ttfamily}}{}
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$if(highlighting-macros)$
$highlighting-macros$
$endif$
$if(tables)$
\usepackage{longtable,booktabs}
% Fix footnotes in tables (requires footnote package)
\IfFileExists{footnote.sty}{\usepackage{footnote}\makesavenoteenv{long table}}{}
$endif$
$if(graphics)$
\usepackage{graphicx,grffile}
\makeatletter
\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
\makeatother
% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
$endif$
$if(links-as-notes)$
% Make links footnotes instead of hotlinks:
\renewcommand{\href}[2]{#2\footnote{\url{#1}}}
$endif$
$if(strikeout)$
\usepackage[normalem]{ulem}
% avoid problems with \sout in headers with hyperref:
\pdfstringdefDisableCommands{\renewcommand{\sout}{}}
$endif$
$if(indent)$
$else$
\IfFileExists{parskip.sty}{%
\usepackage{parskip}
}{% else
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}
}
$endif$
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
$if(numbersections)$
\setcounter{secnumdepth}{$if(secnumdepth)$$secnumdepth$$else$5$endif$}
$else$
\setcounter{secnumdepth}{0}
$endif$
$if(subparagraph)$
$else$
% Redefines (sub)paragraphs to behave more like sections
\ifx\paragraph\undefined\else
\let\oldparagraph\paragraph
\renewcommand{\paragraph}[1]{\oldparagraph{#1}\mbox{}}
\fi
\ifx\subparagraph\undefined\else
\let\oldsubparagraph\subparagraph
\renewcommand{\subparagraph}[1]{\oldsubparagraph{#1}\mbox{}}
\fi
$endif$
$if(dir)$
\ifxetex
% load bidi as late as possible as it modifies e.g. graphicx
$if(latex-dir-rtl)$
\usepackage[RTLdocument]{bidi}
$else$
\usepackage{bidi}
$endif$
\fi
\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
\TeXXeTstate=1
\newcommand{\RL}[1]{\beginR #1\endR}
\newcommand{\LR}[1]{\beginL #1\endL}
\newenvironment{RTL}{\beginR}{\endR}
\newenvironment{LTR}{\beginL}{\endL}
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% set default figure placement to htbp
\makeatletter
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
$for(header-includes)$
$header-includes$
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$if(corrige)$
\newcommand{\comment}[1]{#1}
$else$
\newcommand{\comment}[1]{\hphantom{#1}}
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$abstract$
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\end{document}
---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Exercice de rappel
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Série d'exercices {#fourier .unnumbered}
=================
Exercice (Étude de fonction) #
Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
$$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x^2-4}.$$
1. Déterminer le domaine de définition de cette fonction.
2. Déterminer la parité de la fonction. Rappel: $$\begin{aligned}
f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
\end{aligned}$$
3. Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels
que $f(x)=0$).
4. Déterminer les domaines où la fonction est positive, négative, nulle ou indéfinie.
5. Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou disconsinuités,
ainsi que les asymptotes affines (comportement quand $x\rightarrow\infty$).
6. Caluler $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques
(déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un
extremum, etc).
7. Déterminer les domaines où la dérivée est positive, négative, nulle ou indéfinie.
8. Faire un croquis de $f(x)$.
---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Exercices sur Fourier
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#1 & #2 \\
#3 & #4
\end{pmatrix}}
Série d'exercices {#fourier .unnumbered}
=================
Exercices (Séries de Fourier) #
Calculer les séries de Fourier des fonctions suivantes.
1. La fonction $10$-périodique
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
0,\ -5 < x < 0 \\
3,\ 0 < x < 5 \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
2. La fonction $2\pi$-périodique
\begin{equation}
f(x)=x^2.
\end{equation}
En déduire que la série
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
$$
3. La fonction $6$-périodique
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
2,\ -3 < x < 0 \\
-2,\ 0 < x < 3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
4. La fonction $2\pi$-périodique
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
\cos(x),\ 0 < x < \pi \\
0,\ \pi < x < 2\pi \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
Exercices (Transformées de Fourier) #
Déterminer la transformée de Fourier de
1. La fonction
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
e^{2x},\ x < 0 \\
e^{-x},\ x > 0 \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
2. La fonction
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
x,\ 0 < x < 1, \\
0,\ \mathrm{sinon} \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
3. La fonction
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
x^2,\ 0 < x < a, \\
0,\ \mathrm{sinon} \\
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
Exercices (Transformées de Fourier discrètes) #
Déterminer la transformée de Fourier discrète de
1. La suite
\begin{equation}
\vec f=\{1,1,1,1\}.
\end{equation}
2. La suite
\begin{equation}
\vec f=\{1,-1,1,-1\}.
\end{equation}
---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Exercices sur Fourier
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- "éq."
- "éqs."
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- category: exercice
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---
\newcommand{\dd}[1]{\mathrm{d}#1}
# Séries de Fourier
Exercice +.#
Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
\begin{equation}
f(x)=7\cos(x)-\sqrt{2}\sin(3x),\ x\in[0,2\pi).
\end{equation}
Corrigé +.#
Il est trivial de trouver les coefficients de la transformée de Fourier.
On a $a_1=7$, et $b_3=-\sqrt{2}$. Tous les autres coefficients sont nuls. La série de Fourier s'écrit donc
\begin{equation}
f(x)=7\cos(x)-\sqrt{2}\sin(3x).
\end{equation}
Exercice +.#
Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-\frac{2x}{\pi},& x\in[0,\pi),\\
1+\frac{2x}{\pi},& x\in[-\pi,0).
\end{array}\right.
\end{equation}
Corrigé +.#
On calcule les coefficients de la série de Fourier à l'aide des formules
\begin{align}
a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,
\end{align}
où $T=2\pi$. On peut donc écrire
\begin{align}
a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\\
b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x.
\end{align}
Comme $f(x)$ est paire, on a que les coefficients $a_j$ sont tous nuls.
Il nous reste à calculer
\begin{align}
b_j&=\underbrace{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0\cos(j x)\left(1+\frac{2x}{\pi}\right){\mathrm{d}}x}_{(1)}+\underbrace{\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi\cos(j x)\left(1-\frac{2x}{\pi}\right){\mathrm{d}}x}_{(2)}.
\end{align}
Ces intégrales se calculent par partie (on pourrait les simplifier en utilisant le fait que la fonction à intégrer est paire, mais on le fera pas ici).
Ces deux intégrales se résolvent par partie. Pour la partie $(1)$, on obtient
\begin{align}
(1)&=\underbrace{\left. \frac{1}{j}\sin(jx)\left(1+\frac{2x}{\pi}\right)\right|_{-\pi}^0}_{=0}
- \frac{2}{\pi j}\int_{-\pi}^0\sin(jx)\dd x,\nonumber\\
&=\left.\frac{2}{\pi j^2}\cos(jx)\right|_{-\pi}^0,\nonumber\\
&=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right).
\end{align}
De même pour la partie (2), on trouve
$$
(2)=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right).
$$
On trouve finalement que
$$
b_j=\frac{8}{\pi^2j^2}\left(1-(-1)^j\right).
$$
La série de Fourier s'écrit alors
$$
f(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2}\left(1-(-1)^j\right)\cos(jx).
$$
Exercice +.#
Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x(\pi-x),& x\in[0,\pi),\\
x(\pi+x),& x\in[-\pi,0).
\end{array}\right.
\end{equation}
Corrigé +.#
La fonction étant impaire tous les termes $b_j$ sont nuls. Pour les termes $a_j$, il faut intégrer deux fois par parties et on trouve
$$
a_j=\frac{4(1-(-1)^j)}{\pi j^3},
$$
si $j\neq 0$ et $a_0=0$.
Exercice +.#
Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
\begin{equation}
f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
\end{equation}
Corrigé +.#
Cette fonction étant impaire, nous avons que tous les $b_j$ sont nuls.
En utilisant l'identité trigonométrique
$$
\sin(x/2)\sin(jx)=\frac{1}{2} \left(\cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\right).
$$
On peut assez simplement calculer les coefficients de Fourier $a_j$,
qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le fait que $f(x)\sin(jx)$ est, elle, paire, d'où l'intégration sur le demi-domaine)
\begin{align}
a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\
&=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}.
\end{align}
Exercice +.#
Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante
\begin{equation}
f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[-\pi,\pi).
\end{equation}
Corrigé +.#
Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours).
# Transformées de Fourier
Exercice +.#
Calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1+x,& x\in[-1,0),\\
1-x,& x\in[0,1),\\
0,& \mbox{sinon}.
\end{array}\right.
\end{equation}
Corrigé +.#
On sait que la transformée de Fourier d'une fonction $f$ est donnée par
$$
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}{\mathrm{d}}t.
$$
On peut écrire la tranformée de Fourier comme
$$
\hat f(\omega)=\int_{-1}^{0}(1+x)e^{-i\omega x}{\mathrm{d}}x+\int_{0}^{1}(1-x)e^{-i\omega x}{\mathrm{d}}x.
$$
Par parties, on obtient
\begin{align}
\hat f(\omega)&=\left.(1+x)e^{-i\omega x}\right|_{-1}^0-\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^0e^{-i\omega x}\dd x+\left.(1-x)e^{-i\omega x}\right|_{0}^1+\frac{1}{i\omega}\int_{0}^1e^{-i\omega x}\dd x,\nonumber\\
&=2-\frac{1}{\omega^2}(1-e^{i\omega})+\frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega}-1).
\end{align}
Exercice +.#
Calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-1-x,& x\in[-2,-1),\\
1+x,& x\in[-1,0),\\
1-x,& x\in[0,1),\\
-1+x,& x\in[1,2),\\
0,& \mbox{sinon}.
\end{array}\right.
\end{equation}
Corrigé +.#
Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s.
# Transformées de Fourier discrète
Exercice +.#
Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite $a=\{1, 0, 0, 1\}$.
Corrigé +.#
En utilisant la formule
$$
\hat f[k]=\sum_{n=0}^{N-1}f[n]e^{-2\pi ink/N},
$$
on peut calculer la TFD de $f=\{1,0,0,1\}$ avec $N=4$.
On obtient donc
$$
\hat f[0]=f[0]+f[1]+f[2]+f[3]=2.
$$
Et ainsi de suite on obtient
\begin{align}
\hat f[1]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i/2}+f[2]e^{-\pi i}+f[3]e^{-3\pi i/2}=1+i,\\
\hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i}+f[2]e^{-2\pi i}+f[3]e^{-3\pi i}=0,\\
\hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{-3\pi i/2}+f[2]e^{-3\pi i}+f[3]e^{-9\pi i/2}=1-i.
\end{align}
Exercice +.#
Calculer la transformée de Fourier inverse discrète de la suite $b=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$.
Corrigé +.#
En utilisant la formule
$$
f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[k]e^{2\pi ink/N},
$$
on peut calculer la TFD de $\hat f=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$ avec $N=4$.
On obtient donc
$$
f[0]=\hat f[0]+\hat f[1]+\hat f[2]+\hat f[3]=0.
$$
Et ainsi de suite on obtient
\begin{align}
f[1]&=\frac{1}{4}(\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat
f[3]e^{3\pi i/2})=\frac{1}{4}(2+i(-1-i)+(-i)(-1+i))=1,\\
\hat f[2]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i})=\frac{1}{4}(2+(-1)(-1-i)-1(-1+i))=1,\\
\hat f[3]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2})=\frac{1}{4}(2-i(-1-i)+i(-1+i))=0.
\end{align}
---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Exercices d'optimisation
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- "éqs."
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- category: exercice
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#1 & #2 \\
#3 & #4
\end{pmatrix}}
Série d'exercices {#optimisation .unnumbered}
=================
Exercice (Minimisation à une variable) #
1. Calculer les extrémas de la fonction
$$
f(x)=6x^4-3x^2-1.
$$
2. Imaginons que ces extrémas soient en $0$, $-1/2$ et $1/2$ (en fait c'est vraiment le cas, mais je ne vous donnerais pas cette information à l'épreuve). Pour chacun de ces points. Pouvez-vous dire s'il s'agit d'un minimum, maximum ou point d'inflexion?
3. Imaginons que la dérivée de cette fonction soit (encore une fois le hasard fait bien les choses)
$$
f'(x)=24x^3-6x,
$$
et que sa deuxième dérivée soit
$$
f''(x)=72x^2-6.
$$
Pouvez-vous écrire deux étapes de l'algorithme de Newton, pour déterminer un minimum, en partant de $x_0=1/4$?
4. Que vaut la 100000ème itération? (Attention ici il faut pas vraiment calculer 100000 itération, si tout s'est bien passé vous connaissez la réponse sans faire de calcul supplémentaire).
Exercice (Fonctions multivariées) #
Supposons que nous ayons un nuage de points, $\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^N$. On aimerait trouver les paramètres, $a$, $b$, tels qu'on
minimise la distance entre la fonction $y(x)$
$$
y(x)=a\sqrt{x}+b,
$$
et les points.
1. Donner la fonction de coût, $f(a,b)$ associée à ce problème.
2. Calculer les dérivées partielles de $f(a,b)$.
3. Poser le système d'équations qui permet, une fois résolu, de déterminer $a$ et $b$? (Ne tentez pas de le résoudre.)
4. Soient les points
$$
(x_0,y_0)=(0,0),\quad(x_1,y_1)=(1,1),\quad(x_2,y_2)=(4,2),
$$
écrire le gradient de $f(a,b)$, $\vec \nabla f(a,b)$. (La réponse devrait être ($10a+6b-10$, $6b+6a-6$)).
5. Faire une itération de descente de gradient en partant de $a=0$, $b=0$, et $\lambda=0.1$. (La réponse devrait être $(1,0.6)$.)
---
# author:
# - Orestis Malaspinas
title: Exercices sur les probabilités
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- "éq."
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\newcommand{\mattwo}[4]{\begin{pmatrix}
#1 & #2 \\
#3 & #4
\end{pmatrix}}
Série d'exercices {#probas .unnumbered}
=================
Cette série d'exercices est un peu particulière. Je ne corrigerais AUCUN de ces exercices. En revanche, je vous invite à programmer chacun de ces problèmes et à les simuler pour obtenir la bonne réponse!
---
Exemple (Simple et trivial) #
On lance un dé. Calculer la probabilité de tirer[^1]:
1. Un six.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {.python .numberLines}
>>> import numpy as np
>>> s=100000
>>> np.bincount(np.random.randint(1, 7, size=s))[6]/float(s)
0.16601
>>> 1.0/6.0
0.16666666666666666
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2. Un nombre pair ou un nombre plus petit que deux.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {.python .numberLines}
>>> import numpy as np
>>> s=100000
>>> a = np.array([1, 2, 4, 6])
>>> tot = np.bincount(np.random.randint(1, 7, size=s))[a].sum()
>>> float(tot) / float(s)
0.66745
>>> 4.0/6.0
0.6666666666666666
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
---
Exercice (Anniversaires) #
1. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $n$ personnes, deux personnes soient nées le même jour.
2. Combien de personnes faut-il au moins pour qu'on ait $50\%$ de chances qu'au moins deux personnes soient nées le même jour?
Exercice (Monty Hall) #
On joue au jeu suivant. Le maître du jeu se tient devant 3 portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve un 8Pack OrionX (apparemment l'ordinateur de jeu le plus cher jamais fabriqué, 30'000 CHF) et derrière chacune des deux autres se trouve une moustache. Vous devez d'abord désigner une porte. Le maître du jeu ouvrir une porte qui n'est ni celle vous avez choisie, ni celle cachant l'ordinateur (en fait le maître sait où se cache quoi). Vous avez alors le droit d'ouvrir la porte choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.
Deux questions se posent alors à vous :
1. Que devez-vous faire pour maximiser vos chances de gain?
2. Quelles sont vos chances de gagner en agissant au mieux?
Exercice (Cartes) #
Soit un jeu de 52 cartes (13 cartes de chaque couleur). On tire deux cartes **sans** remise.
1. On cherche la probabilité de tirer un 5 et un 6 dans cet ordre et dans la même couleur (bien que ce ne soit pas nécessaire, résoudre ce problème avec des probabilités conditionnelles).
2. Que devient la probabilité si l'ordre n'a pas d'importance, mais que la couleur si?
3. Que devient la probabilité si ni l'ordre, ni la couleur n'a de l'importance?
4. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un as?
5. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as?
Exercice (Boules) #
On place quatre boules dans une urne. Une boule est fuchsia et les trois autres sont magenta[^2].
On tire une boule avec remise. Combien de fois faut-il tirer pour avoir une probabilité de $0.95$
de tirer la boule fuchsia?
Exercice (Poker, Texas Hold Them, ou pas) #
On réutilise un jeu de 52 cartes. Les tirages sont sans remises. Un joueur a 2 piques en main. Il voit sur la table 2 piques sur les 4 cartes présentes sur la table. Quelle est la probabilité que la dernière carte retournée soit un pique?
Exercice (Poker, enfin pas vraiment) #
On tire 5 cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités de réaliser chacune des combinaisons possibles du poker? Soit:
1. Une paire.
2. Deux paires.
3. Un brelan (3 cartes les mêmes).
4. Une suite (5 cartes qui se suivent mais de couleurs différentes).
5. Couleur (5 cartes d'une même couleur).
6. Full (un brelan et une paire).
7. Le carré (4 cartes les mêmes).
8. La quinte flush (une suite où toutes les cartes sont de la même couleur).
9. Rien.
[^1]: Attention les codes sont en Python 2.7 (pour une raison indéterminée mon ordinateur a un python 3 cassé).
[^2]: Attention (bis) il s'agit ici de fuchsia et de magenta dans le modèle RVB français. Si cela avait été des couleur du Web, il aurait été impossible de les différencier.
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