diff --git a/cours.md b/cours.md index b8d9f189d32e2f2ad54b62c84c8be089e1c2f1b0..edb3274761f878c0ca565a408decc1c0d8fbe986 100644 --- a/cours.md +++ b/cours.md @@ -1060,7 +1060,7 @@ y[x_i]&=y_i,\\ \delta^n y[x_{i_0},x_{i_1},\dots,x_{i_n}]&=\frac{\delta^{n-1} y[x_{i_1},\dots,x_{i_{n}}]-\delta^{n-1} y[x_{i_0},\dots,x_{i_{n-1}}]}{x_{i_n}-x_{i_0}}. \end{align} Avec cette définition, on peut définir le polynôme interpolant -passant par les points $(x_i,y_i)$, pour $i=0,..,n$ avec la **formule de Newton** , comme +passant par les points $(x_i,y_i)$, pour $i=0,..,n$ avec la **formule de Newton**, comme \begin{align} p_n(x)&=y[x_0]+(x-x_0)\delta y[x_0,x_1]+\dots\nonumber\\ &\quad+(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})\delta y^n[x_0,\dots,x_n]. @@ -1074,7 +1074,14 @@ Soient les points $(x_i,y_i)$ donnés par $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=-1$, $y_0=0$, $ --- -## Lien avec les polynômes de Lagrange +## Erreur de l'interpolation + +Nous avons vu dans la section précédente comment écrire un polynôme d'interpolation passant par $n+1$ points, $(x_i,y_i)$. Si nous supposons que +$$ +y_i=f(x_i), +$$ +où $f$ est une fonction dérivable au moins $n$ fois et que +les points $(x_i,y_i)$ ne sont en fait qu'un échantillonnage de $f(x)$. Nous pouvons nous poser la question de ce que vaudra la différence entre $p_n(x)$ et $f(x)$. [^1]: On pourrait, de façon similaire, utiliser la formule de différences finies en avant ou en arrière (ou un mélange des deux). [^2]: Comme ce polynôme passe par les points $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, ..., $(x_m,y_m)$, il est unique, c'est donc exactement le même que celui exprimé avec les $\{a_i\}_{i=0}^m$.