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@@ -1105,7 +1105,7 @@ $$n(t_0+7200)=(1+1/3600 \cdot 7200)\cdot n(t_0)=3\cdot 1000=3000.$$ On
voit que ces deux résultats ne sont pas égaux. Effectuer deux itérations
de notre algorithme discret avec un pas d’itération de $\delta t$, ne
correspond pas à effectuer une seule itération avec un pas deux fois
-plus grand ($2\delta t$). Néanmoins cela devrait être le cas plus
+plus grand ($2\delta t$). Néanmoins cela devrait être le cas pour
$\delta t\rightarrow 0$.
Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que vous pouvons réécrire comme
@@ -1235,7 +1235,7 @@ après un intervalle $\delta t$ est de
$$c(t+\delta t)=c(t)+(r\delta t )c(t)+d\delta t.$${#eq:cap_discr}
Supposons qu’on a un capital de départ $1000 \mathrm{CHF}$, un taux
d’intérêts annuel de $1\%$ et un dépôt annuel de $100\mathrm{CHF}$.
-Après deux mois ($\delta t=2/12=1/6$) on a donc que le capital devient
+Après deux mois ($\delta t=2/12=1/6$) le capital devient
$$c(1/6)=1000+0.01/6\cdot 1000 +100/6=1018.3\mathrm{CHF}.$$ Si
maintenant, nous voulons avoir la valeur du capital à n’importe quel
moment dans le temps, nous allons prendre $\delta t\rightarrow 0$. En
@@ -1243,10 +1243,10 @@ divisant l'@eq:cap_discr par $\delta t$, et en
réarrangeant les termes, on obtient $$c'(t)=rc(t)+d.$$ En supposant que
$c(t=0)=c_0$ (le capital initial), cette équation différentielle a pour
solution $$c(t)=\frac{d}{r}(e^{rt}-1)+c_0e^{r t}.$$ Cette solution a
-pour les paramètres précédent la forme suivante sur une période de 100
+pour les paramètres précédents la forme suivante sur une période de 100
ans.
-{#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux
@@ -1257,7 +1257,7 @@ Définition (Équation différentielle ordinaire) +.#
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
la forme $$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0,$$ où $F$ est une fonction, et
-$y'$, $y''$, ..., $y^{(n)}$ sont les dérivées premières, deuxièmes, ...,
+$y'$, $y''$, ..., $y^{(n)}$ sont les dérivées première, deuxième, ...,
$n$-ème de $y$.
---
@@ -1292,7 +1292,7 @@ Définition (Condition initiale) +.#
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
pour une valeur $x_0$ donnée on a
-$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}=y_{n-1}.$$
+$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
@@ -1304,15 +1304,14 @@ version approximative et la discuter
Théorème (Existence et unicité) +.#
-Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
-$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
-réelle continue et dérivable sur $D$, et
+Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeurs
+réelles continue et dérivable sur $D$, et
$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\real}$ une fonction continue
sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de
Cauchy) $$\begin{aligned}
&y'=f(y,x),\\
&y(x=x_0)=y_0,
- \end{aligned}$$ admet une unique unique solution $y(x)$.
+ \end{aligned}$$ admet une unique solution $y(x)$.
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@@ -1330,13 +1329,13 @@ mais que nous avons augmenté le nombre d’équations à résoudre.
Cette propriété peut se généraliser de la façon suivante. Soit une
équation différentielle d’ordre $n$ $$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0.$$ Nous
pouvons définir $z_i=y^{(i-1)}$ et on aura donc que $z_{i+1}=z_i'$. On
-peut donc réécrire l’équation différentielle d’ordre $n$ comme étant
+peut ainsi réécrire l’équation différentielle d’ordre $n$ comme étant
$$\begin{aligned}
&z_{i+1}=z_i',\ i=1,...,n-1\\
F(x,y,y',..,y^{(n)})=0 \Rightarrow &G(x,z_1,z_2,...,z_n)=0.\end{aligned}$$
Jusqu’ici $F$ peut être totalement arbitraire. Essayons de classifier un
-peu les équations différentielles en fonction des propriétés du $F$.
+peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
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@@ -1355,7 +1354,7 @@ L’équation ci-dessus a les deux propriétés suivantes
1. Les $a_i$ ne dépendent que de $x$ (ils ne peuvent pas dépendre de
$y$).
-2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré 1.
+2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré (polynomial) 1.
Illustration +.#
@@ -1384,7 +1383,7 @@ $$\begin{aligned}
Exercice (Homogénéité) +.#
-Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires suivantes
+Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
&y^{(4)}+4x^2 y=0,\\
@@ -1441,7 +1440,7 @@ Pour ce genre d’équations, la solution se trouve de la façon suivante.
Nous commençons par écrire la dérivée, $y'={\mathrm{d}}y/{\mathrm{d}}x$
et on obtient $$\begin{aligned}
\frac{{\mathrm{d}}y}{{\mathrm{d}}x} a(y)=b(x),\\
- a(y){\mathrm{d}}y=b(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ On peut donc
+ a(y){\mathrm{d}}y=b(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ On peut maintenant
simplement intégrer des deux côtés et on obtient
$$\int a(y){\mathrm{d}}y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ Si nous parvenons à
résoudre les intégrales nous obtenons une solution pour $y(x)$ (cette