diff --git a/exercices/fourier_serie1.md b/exercices/fourier_serie1.md index 70784581db68bcf2b7a0ce30d62d8374ce398793..b663b95b70b0c493c50611e84b0959e8bc7cdcde 100644 --- a/exercices/fourier_serie1.md +++ b/exercices/fourier_serie1.md @@ -97,13 +97,13 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \end{array}\right. \end{equation} -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# La fonction étant impaire tous les termes $b_j$ sont nuls. Pour les termes $a_j$, il faut intégrer deux fois par parties et on trouve $$ a_j=\frac{4(1-(-1)^j)}{\pi j^3}, $$ -si $j\neq 0$ et $a_0=0$. --> +si $j\neq 0$ et $a_0=0$. Exercice +.# @@ -112,7 +112,7 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi). \end{equation} -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# Cette fonction étant impaire, nous avons que tous les $b_j$ sont nuls. En utilisant l'identité trigonométrique @@ -124,7 +124,7 @@ qui sont donnés par (la fonction $f$ étant impaire, nous pouvons utiliser le f \begin{align} a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\\ &=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}. -\end{align} --> +\end{align} Exercice +.# @@ -133,9 +133,9 @@ Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique suivante f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi). \end{equation} -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# -Je vous laisse vous débrouller pour celui là . C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours). --> +Je vous laisse vous débrouller pour celui là . C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours). # Transformées de Fourier @@ -150,7 +150,7 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \end{array}\right. \end{equation} -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# On sait que la transformée de Fourier d'une fonction $f$ est donnée par $$ @@ -164,7 +164,7 @@ Par parties, on obtient \begin{align} \hat f(\omega)&=\left.(1+x)e^{-i\omega x}\right|_{-1}^0-\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^0e^{-i\omega x}\dd x+\left.(1-x)e^{-i\omega x}\right|_{0}^1+\frac{1}{i\omega}\int_{0}^1e^{-i\omega x}\dd x,\nonumber\\ &=2-\frac{1}{\omega^2}(1-e^{i\omega})+\frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega}-1). -\end{align} --> +\end{align} Exercice +.# @@ -179,9 +179,9 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \end{array}\right. \end{equation} -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# -Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s. --> +Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s. # Transformées de Fourier discrète @@ -190,7 +190,7 @@ Exercice +.# Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite $a=\{1, 0, 0, 1\}$. -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# En utilisant la formule $$ @@ -206,13 +206,13 @@ Et ainsi de suite on obtient \hat f[1]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i/2}+f[2]e^{-\pi i}+f[3]e^{-3\pi i/2}=1+i,\\ \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i}+f[2]e^{-2\pi i}+f[3]e^{-3\pi i}=0,\\ \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{-3\pi i/2}+f[2]e^{-3\pi i}+f[3]e^{-9\pi i/2}=1-i. -\end{align} --> +\end{align} Exercice +.# Calculer la transformée de Fourier inverse discrète de la suite $b=\{2, -1-i, 0, -1+i\}$. -<!-- Corrigé +.# +Corrigé +.# En utilisant la formule $$ @@ -228,4 +228,4 @@ Et ainsi de suite on obtient f[1]&=\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2}=2+i(-1-i)+(-i)(-1+i)=4,\\ \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i}=2+(-1)(-1-i)-1(-1+i)=4,\\ \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2}=2-i(-1-i)+i(-1+i)=0. -\end{align} --> \ No newline at end of file +\end{align} \ No newline at end of file