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. . .
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# Algorithme de Dijkstra
## Idée générale
* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
# Algorithme de Dijkstra
## Pseudo-code (5min, matrix)
\footnotesize
. . .
```C
tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
// sélection de u t.q. la distance dans q est min
u = min(q, distance)
si u == t // on a atteint la cible
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
// on met à jour la distance du voisin en passant par u
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
retourne distance
```
# Algorithme de Dijkstra
* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
* ne nous donne pas le chemin!
## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
. . .
* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
* On a besoin d'un tableau `precedent`.
## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
# Algorithme de Dijkstra
\footnotesize
```C
tab, tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
precedent[v] = indéfini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
// sélection de u t.q. la distance dans q est min
u = min(q, distance)
si u == t
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
precedent[v] = u
retourne distance, precedent
```
# Algorithme de Dijkstra
## Comment reconstruire un chemin ?
. . .
```C
pile parcours(precedent, s, t)
sommets = vide
u = t
// on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
si u != s && precedent[u] != indéfini
tant que vrai
sommets = empiler(sommets, u)
u = precedent[u]
si u == s // la source est atteinte
retourne sommets
retourne sommets
```
# Algorithme de Dijkstra amélioré
## On peut améliorer l'algorithme
* Avec une file de priorité!
## Une file de priorité est
* Une file dont chaque élément possède une priorité,
* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
* File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
* File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
* On regarde l'implémentation de la `max`.
## Comment on fait ça?
. . .
* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!
# Les files de priorité
## Trois fonction principales
```C
booléen est_vide(element) // triviale
element enfiler(element, data, priorite)
data defiler(element)
rien changer_priorite(element, data, priorite)
nombre priorite(element) // utilitaire
```
## Pseudo-implémentation: structure (1min)
. . .
```C
struct element
data
priorite
element suivant
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)
. . .
```C
element enfiler(element, data, priorite)
n_element = creer_element(data, priorite)
si est_vide(element)
retourne n_element
si priorite(n_element) > priorite(element)
n_element.suivant = element
retourne n_element
sinon
tmp = element
prec = element
tant que !est_vide(tmp) && priorite < priorite(tmp)
prec = tmp
tmp = tmp.suivant
prev.suivant = n_element
n_element.suivant = tmp
retourne element
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: defiler (2min)
. . .
```C
data, element defiler(element)
si est_vide(element)
retourne AARGL!
sinon
tmp = element.data
n_element = element.suivant
liberer(element)
retourne tmp, n_element
```
# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min
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:::: column
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# Algorithme de Dijkstra
## Idée générale
* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
# Algorithme de Dijkstra
## Pseudo-code (5min, matrix)
\footnotesize
. . .
```C
tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
// sélection de u t.q. la distance dans q est min
u = min(q, distance)
si u == t // on a atteint la cible
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
// on met à jour la distance du voisin en passant par u
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
retourne distance
```
# Algorithme de Dijkstra
* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
* ne nous donne pas le chemin!
## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
. . .
* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
* On a besoin d'un tableau `precedent`.
## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
# Algorithme de Dijkstra
\footnotesize
```C
tab, tab dijkstra(graph, s, t)
pour chaque v dans graphe
distance[v] = infini
precedent[v] = indéfini
q = ajouter(q, v)
distance[s] = 0
tant que non_vide(q)
// sélection de u t.q. la distance dans q est min
u = min(q, distance)
si u == t
retourne distance
q = remove(q, u)
// voisin de u encore dans q
pour chaque v dans voisinage(u, q)
n_distance = distance[u] + w(u, v)
si n_distance < distance[v]
distance[v] = n_distance
precedent[v] = u
retourne distance, precedent
```
# Algorithme de Dijkstra
## Comment reconstruire un chemin ?
. . .
```C
pile parcours(precedent, s, t)
sommets = vide
u = t
// on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
si u != s && precedent[u] != indéfini
tant que vrai
sommets = empiler(sommets, u)
u = precedent[u]
si u == s // la source est atteinte
retourne sommets
retourne sommets
```
# Algorithme de Dijkstra amélioré
## On peut améliorer l'algorithme
* Avec une file de priorité!
## Une file de priorité est
* Une file dont chaque élément possède une priorité,
* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
* File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
* File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
* On regarde l'implémentation de la `max`.
## Comment on fait ça?
. . .
* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!
# Les files de priorité
## Trois fonction principales
```C
booléen est_vide(element) // triviale
element enfiler(element, data, priorite)
data defiler(element)
rien changer_priorite(element, data, priorite)
nombre priorite(element) // utilitaire
```
## Pseudo-implémentation: structure (1min)
. . .
```C
struct element
data
priorite
element suivant
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)
. . .
```C
element enfiler(element, data, priorite)
n_element = creer_element(data, priorite)
si est_vide(element)
retourne n_element
si priorite(n_element) > priorite(element)
n_element.suivant = element
retourne n_element
sinon
tmp = element
prec = element
tant que !est_vide(tmp) && priorite < priorite(tmp)
prec = tmp
tmp = tmp.suivant
prev.suivant = n_element
n_element.suivant = tmp
retourne element
```
# Les files de priorité
## Pseudo-implémentation: defiler (2min)
. . .
```C
data, element defiler(element)
si est_vide(element)
retourne AARGL!
sinon
tmp = element.data
n_element = element.suivant
liberer(element)
retourne tmp, n_element
```
# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min
* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|)\mathcal{O}(|V|\log|V|)=\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
. . .
## Solution alternative: Floyd--Warshall
* Pour toutes paires de sommets $u,v\in V$, trouver le chemin de poids minimal reliant $u$ à $v$.
* Complexité $\mathcal{O}(|V|^3)$, indiqué pour graphes denses.
* Fonctionne avec la matrice d'adjacence.
# Algorithme de Floyd--Warshall
## Idée générale
* Soit l'ensemble de sommets $V=\{1, 2, 3, 4, ..., n\}$.
* Pour toute paire de sommets, $i,j$, on considère tous les chemins passant par les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$ avec $k\leq n$.
* On garde pour chaque $k$ la plus petite valeur.
## Principe
* A chaque étape, $k$, on vérifie s'il est plus court d'aller de $i$ à $j$ en passant par le sommet $k$.
* Si à l'étape $k-1$, le coût du parcours est $p$, on vérifie si $p$ est plus petit que $p_1+p_2$, le chemin de $i$ à $k$, et $k$ à $j$ respectivement.
# Algorithme de Floyd--Warshall
## The algorithme
Soit $d_{ij}(k)$ le plus court chemin de $i$ à $j$ passant par les sommets $\in\{1,2,...,k\}$
