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Commit dcb9ba6d authored by yassin.elhakoun's avatar yassin.elhakoun
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---
title: "Récursion et tris"
date: "2023-11-07"
header-includes: |
\usepackage{xcolor}
---
# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
## But: Calculer $x^n$
* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
}
double p = c;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
p = p * x; // x *= x
}
return x;
}
```
* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
. . .
* `n` assignations et `n` multiplications.
# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
* Proposez un algorithme naïf et récursif
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (n != 0) {
return x * pow(x, n-1);
} else {
return 1;
}
}
```
# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
$d\sim\log_2(n)$).
*
$$
x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
$$
* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
## Combien de calculs en terme de $n$?
. . .
* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
## Le vrai algorithme
* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\cdot x^{n/2}\right)$,
* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2=x\cdot x^{n-1}$.
## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
. . .
```C
double pow(double x, int n) {
if (0 == n) {
return 1;
} else if (n % 2 == 0) {
return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
} else {
return x * pow(x, (n-1));
}
}
```
# Tri par base (radix sort)
* N'utilise pas la notion de comparaisons, mais celle de classement successif dans des catégories (alvéoles).
* Pour simplifier
* Tri de nombre entiers dans un tableau.
* On considère que des nombres $\ge 0$ (sans perte de généralité).
* On considère ensuite la représentation binaire de ces nombres.
# Principe de l'algorithme
1. On considère le bit le moins significatif.
2. On parcourt une 1ère fois le tableau et on place à la suite dans un 2ème tableau les éléments dont le bit est 0;
puis on répète l'opération 2 pour les éléments dont le bit est 1.
3. On répète l'étape 2 en regardant le bit suivant et en permutant le rôle des deux tableaux.
On utilise donc deux tableaux pour réaliser ce tri.
A noter qu'à chaque étape, l'ordre des éléments dont le bit est à 0 (respectivement à 1) reste identique dans le 2ème tableau par rapport au 1er tableau.
# Illustration sur un exemple (1/6)
Soit la liste de nombre entier:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 5 | -5 | 1 | 6 | 4 | -6 | 2 | -9 | 2 |
Le plus petit élément est -9. On commence donc par décaler les valeurs de 9.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 14 | 4 | 10 | 15 | 13 | 3 | 11 | 0 | 11 |
# Illustration sur un exemple (2/6)
* Écrivons les éléments en représentation binaire.
* La valeur maximale est 15, on a besoin de 4 bits.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 14 | 4 | 10 | 15 | 13 | 3 | 11 | 0 | 11 |
| 1110 | 0100 | 1010 | 1111 | 1101 | 0011 | 1011 | 0000 | 1011 |
# Illustration sur un exemple (3/6)
* On considère le bit de poids faible
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 111**0** | 010**0** | 101**0** | 111**1** | 110**1** | 001**1** | 101**1** | 000**0** | 101**1** |
. . .
* On obtient le tableau:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 111\textcolor{red}{0} | 010\textcolor{red}{0} | 101\textcolor{red}{0} | 111\textcolor{green}{1} | 110\textcolor{green}{1} | 001\textcolor{green}{1} | 101\textcolor{green}{1} | 000\textcolor{red}{0} | 101\textcolor{green}{1} |
| \textcolor{red}{1110} | \textcolor{red}{0100} | \textcolor{red}{1010} | \textcolor{red}{0000} | \textcolor{green}{1111} | \textcolor{green}{1101} | \textcolor{green}{0011} | \textcolor{green}{1011} | \textcolor{green}{1011} |
# Illustration sur un exemple (4/6)
* On passe au 2ème bit et on obtient le tableau:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 11\textcolor{green}{1}0 | 01\textcolor{red}{0}0 | 10\textcolor{green}{1}0 | 00\textcolor{red}{0}0 | 11\textcolor{green}{1}1 | 11\textcolor{red}{0}1 | 00\textcolor{green}{1}1 | 10\textcolor{green}{1}1 | 10\textcolor{green}{1}1 |
| \textcolor{red}{0100} | \textcolor{red}{0000} | \textcolor{red}{1101} | \textcolor{green}{1110} | \textcolor{green}{1010} | \textcolor{green}{1111} | \textcolor{green}{0011} | \textcolor{green}{1011} | \textcolor{green}{1011} |
. . .
* On passe au 3ème bit et on obtient le tableau:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 0\textcolor{green}{1}00 | 0\textcolor{red}{0}00 | 1\textcolor{green}{1}01 | 1\textcolor{green}{1}10 | 1\textcolor{red}{0}10 | 1\textcolor{green}{1}11 | 0\textcolor{red}{0}11 | 1\textcolor{red}{0}11 | 1\textcolor{red}{0}11 |
| \textcolor{red}{0000} | \textcolor{red}{1010} | \textcolor{red}{0011} | \textcolor{red}{1011} | \textcolor{red}{1011} | \textcolor{green}{0100} | \textcolor{green}{1101} | \textcolor{green}{1110} | \textcolor{green}{1111} |
# Illustration sur un exemple (5/6)
4. On passe au dernier bit et on obtient le tableau final:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| \textcolor{red}{0}000 | \textcolor{green}{1}010 | \textcolor{red}{0}011 | \textcolor{green}{1}011 | \textcolor{green}{1}011 | \textcolor{red}{0}100 | \textcolor{green}{1}101 | \textcolor{green}{1}110 | \textcolor{green}{1}111 |
| \textcolor{red}{0000} | \textcolor{red}{0011} | \textcolor{red}{0100} | \textcolor{green}{1010} | \textcolor{green}{1011} | \textcolor{green}{1011} | \textcolor{green}{1101} | \textcolor{green}{1110} | \textcolor{green}{1111} |
. . .
* En revenant à la représentation décimale, on a le tableau trié:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| 0 | 3 | 4 | 10 | 11 | 11 | 13 | 14 | 15 |
# Illustration sur un exemple (6/6)
* Pour revenir aux valeurs initiales, il faut décaler de 9 dans l'autre sens.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| -9 | -6 | -5 | 1 | 2 | 2 | 4 | 5 | 6 |
* Et alors?
. . .
* Et alors rien. C'est fini.
# Pseudo-code
```python
rien radix_sort(entier taille, entier tab[taille]):
# initialisation
entier val_min = valeur_min(taille, tab)
entier val_max = valeur_max(taille, tab)
decaler(taille, tab, val_min)
entier nb_bits = nombre_de_bits(val_max - val_min)
# algo
entier tab_tmp[taille]
pour pos de 0 à nb_bits:
alveole_0(taille, tab, tab_tmp, pos) # 0 -> taille
alveole_1(taille, tab, tab_tmp, pos) # taille -> 0
echanger(tab, tab_tmp)
# post-traitement
decaler(taille, tab, -val_min)
```
<!-- ```C
void radix_sort(int size,int tab[size]) {
int val_min = tab[index_min(size,tab)];
int val_max = tab[index_max(size,tab)];
decaler(size, tab,val_min);
int nb_bits = get_nb_bits(val_max-val_min);
int tab_tmp[size];
for (int pos=0;pos<nb_bits;pos++) {
bucket_0(size,tab,tab_tmp,pos);
bucket_1(size,tab,tab_tmp,pos);
swap(tab,tab_tmp);
}
decaler(size,tab,-val_min);
}
``` -->
# Un peu plus de détails (1/2)
## La fonction `decaler()`
```python
rien decaler(entier taille, entier tab[taille], entier val):
pour i de 0 à taille-1:
taille[i] -= val
```
. . .
## La fonction `echanger()`
```python
rien echanger(entier tab[], entier tab2[])
# échanger les tableaux (sans copier les valeurs)
```
# Un peu plus de détails (2/2)
## La fonction `alveole_0()`
```python
rien alveole_0(entier taille, entier tab[taille],
entier tab_tmp[taille], entier pos):
entier k = 0
pour i de 0 à taille-1:
si bit(tab[i], pos) == 0:
tab_tmp[k] = tab[i]
k = k + 1
```
. . .
## La fonction `alveole_1()`
```python
rien alveole_1(entier taille, entier tab[taille],
entier tab_tmp[taille], entier pos):
# pareil que alveole_0 mais dans l'autre sens
```
<!-- ```C
int index_min(int size,int tab[size],int i) {
//à compléter
return 0;
}
int index_max(int size,int tab[size],int i) {
//à compléter
return 0;
}
int get_bit(int x,int pos) {
//à compléter
return 0;
}
int get_nb_bits(int x) {
//à compléter
return 0;
}
void swap_ptr(int** a,int** b) {
//à compléter
return 0;
}
void bucket_0(int size,int* tab1,int* tab2,int pos) {
int k = 0;
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (0 == get_bit(tab1[i], pos)) {
tab2[k] = tab1[i];
k += 1;
}
}
}
void bucket_1(int size,int* tab1,int* tab2,int pos) {
int k = size - 1;
for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
if (1 == get_bit(tab1[i], pos)) {
tab2[k] = tab1[i];
k -= 1;
}
}
}
void radix_sort(int size, int tab[size]) {
int val_min = tab[index_min(size,tab)];
int val_max = tab[index_max(size,tab)];
int nb_bits = get_nb_bits(val_max-val_min);
int tab_tmp[size];
int* tab1 = &tab[0];
int* tab2 = &tab_tmp[0];
// décalage des valeurs du tableau dans l'intervalle 0..val_max-val_min
for (int i=0; i < size; i++) {
tab1[i] -= val_min;
}
for (int pos=0;pos<nb_bits;pos++) {
bucket_0(size, tab1, tab2, pos);
bucket_1(size, tab1, tab2, pos);
swap_ptr(&tab1, &tab2);
}
// décalage inverse dans l'intervalle val_min..val_max
for (int i=0;i<size;i++) {
tab1[i] += val_min;
}
if (tab1 != tab) {
for (int i=0;i<size;i++) {
tab[i] = tab1[i];
}
}
}
``` -->
<!-- # Complexité
L'algorithme implémenté précédemment nécessite un certain nombre d'opérations lié à la taille du tableau.
Voici une liste de parcours utilitaires de tableau:
1. Recherche de la valeur minimum ```val_min```
2. Recherche de la valeur maximum ```val_max```
3. Décalage des valeurs dans l'intervalle ```0..val_max-val_min```
4. Décalage inverse pour revenir dans l'intervalle ```val_min..val_max```
5. Copie éventuelle du tableau temporaire dans le tableau originel
On a donc un nombre de parcours fixe (4 ou 5) qui se font en $\mathcal{O}(N)$ où $N$ est la taille du tableau.
La partie du tri à proprement parler est une boucle sur le nombre de bits *b* de ```val_min..val_max```.
A chaque passage à travers la boucle, on parcourt 2 fois le tableau: la 1ère fois pour s'occuper des éléments dont le bit courant à 0; la 2ème pour ceux dont le bit courant est à 1.
A noter que le nombre d'opérations est de l'ordre de *b* pour la lecture d'un bit et constant pour la fonction ```swap_ptr()```.
Ainsi, la complexité du tri par base est $\mathcal{O}(b\cdot N)$. -->
# Tri par fusion (merge sort)
* Tri par comparaison.
* Idée: deux listes triées, sont fusionnées pour donner une liste triée plus longue.
* Itérativement, on trie d'abord les paires de nombres, puis les groupes de 4 nombres, ensuite de 8, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un tableau trié.
<!-- * On simplifie ici: le tableau a une longueur de puissance de 2. -->
<!-- Pour son implémentation, le tri par fusion nécessite d'utiliser une zone temporaire de stockage des données de taille égale à celle de la liste de nombres à trier. On considère le cas du tri d'une liste de nombres entiers stockés dans un tableau. -->
# Principe de l'algorithme
* Soit `taille` la taille du tableau à trier.
* Pour `i = 0` à `entier(log2(taille))-1`:
* Fusion des paires de sous-tableaux successifs de taille `2**i` (ou moins pour l'extrémité)
. . .
* Remarques:
* Pour l'étape `i`, les sous-tableaux de taille `2**i` sont triés.
* La dernière paire de sous-tableaux peut être incomplète (vide ou avec moins que `2**i` éléments).
# Exemple de tri par fusion
* Soit la liste de nombres entiers stockés dans un tableau de taille 9:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 5 | -5 | 1 | 6 | 4 | -6 | 2 | -9 | 2 |
. . .
* Fusion des éléments successifs (ce qui revient à les mettre dans l'ordre):
| étape | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 0 | \textcolor{red}{5} | \textcolor{green}{-5} | \textcolor{red}{1} | \textcolor{green}{6} | \textcolor{red}{4} | \textcolor{green}{-6} | \textcolor{red}{2} | \textcolor{green}{-9} | \textcolor{red}{2} |
| 1 | \textcolor{red}{-5} | \textcolor{red}{5} | \textcolor{green}{1} | \textcolor{green}{6} | \textcolor{red}{-6} | \textcolor{red}{4} | \textcolor{green}{-9} | \textcolor{green}{2} | \textcolor{red}{2} |
| 2 | \textcolor{red}{-5} | \textcolor{red}{1} | \textcolor{red}{5} | \textcolor{red}{6} | \textcolor{green}{-9} | \textcolor{green}{-6} | \textcolor{green}{2} | \textcolor{green}{4} | \textcolor{red}{2} |
| 3 | \textcolor{red}{-9} | \textcolor{red}{-6} | \textcolor{red}{-5} | \textcolor{red}{1} | \textcolor{red}{2} | \textcolor{red}{4} | \textcolor{red}{5} | \textcolor{red}{6} | \textcolor{green}{2} |
| 4 | -9 | -6 | -5 | 1 | 2 | 2 | 4 | 5 | 6 |
# Pseudo-code
```python
rien tri_fusion(entier taille, entier tab[taille])
entier tab_tmp[taille];
entier nb_etapes = log_2(taille) + 1;
pour etape de 0 a nb_etapes - 1:
entier gauche = 0;
entier t_tranche = 2**etape;
tant que (gauche < taille):
fusion(
tab[gauche..gauche+t_tranche-1],
tab[gauche+t_tranche..gauche+2*t_tranche-1],
tab_tmp[gauche..gauche+2*t_tranche-1]);
#bornes incluses
gauche += 2*t_tranche;
echanger(tab, tab_tmp);
```
# La fonction de fusion
\footnotesize
```python
# hyp: tab_g et tab_d sont triés
rien fusion(entier tab_g[], entier tab_d[], entier res[]):
entier g = taille(tab_g)
entier d = taille(tab_d)
entier i_g = 0, i_d = 0
pour i = 0 à g + d:
si i_g < g et i_d < d:
si tab_g[i_g] < tab_d[i_d]:
res[i] = tab_g[i_g]
i_g = i_g + 1
sinon:
res[i] = tab_d[i_d]
i_d = i_d + 1
sinon si i_g < g:
res[i] = tab_g[i_g]
i_g = i_g + 1
sinon si i_d < d:
res[i] = tab_d[i_d]
i_d = i_d + 1
```
<!-- ## Complexité
L'algorithme présenté précédemment nécessite un certain nombre d'opérations lié à la taille $N$ du tableau.
Il y a essentiellement $\log_2(N)$ étapes.
A chaque étape, le tableau est parcouru une fois avec un nombre constant effectué pour chacune des cases du tableau. En effet, l'opération de fusion implique de ne parcourir qu'une seule fois chacun des deux tableaux qu'on fusionne dans un 3ème tableau.
Ainsi, la complexité du tri par fusion est $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N)$. -->
# Tri rapide ou quicksort (1/8)
## Idée: algorithme `diviser pour régner` (`divide-and-conquer`)
* Diviser: découper un problème en sous problèmes;
* Régner: résoudre les sous-problèmes (souvent récursivement);
* Combiner: à partir des sous problèmes résolu, calculer la solution.
## Le pivot
* Trouver le **pivot**, un élément qui divise le tableau en 2, tels que:
1. Éléments à gauche sont **plus petits** que le pivot.
2. Élements à droite sont **plus grands** que le pivot.
# Tri rapide ou quicksort (2/8)
## Algorithme `quicksort(tableau)`
1. Choisir le pivot et l'amener à sa place:
* Les éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
* Les éléments à droite sont plus grand que le pivot.
2. `quicksort(tableau_gauche)` en omettant le pivot.
3. `quicksort(tableau_droite)` en omettant le pivot.
4. S'il y a moins de deux éléments dans le tableau, le tableau est trié.
. . .
Compris?
. . .
Non c'est normal, faisons un exemple.
# Tri rapide ou quicksort (3/8)
\footnotesize
Deux variables sont primordiales:
```C
entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
```
![Un exemple de quicksort.](figs/quicksort.svg)
# Tri rapide ou quicksort (4/8)
\footnotesize
Deux variables sont primordiales:
```C
entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
```
## Pseudocode: quicksort
```python
rien quicksort(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
si (longueur(tab) > 1)
ind_pivot = partition(tableau, ind_min, ind_max)
si (longueur(tableau[ind_min:ind_pivot-1]) != 0)
quicksort(tableau, ind_min, pivot_ind - 1)
si (longueur(tableau[ind_pivot+1:ind_max-1]) != 0)
quicksort(tableau, ind_pivot + 1, ind_max)
```
# Tri rapide ou quicksort (5/8)
\footnotesize
## Pseudocode: partition
```C
entier partition(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
pivot = tableau[ind_max] // choix arbitraire
i = ind_min
j = ind_max-1
tant que i < j:
en remontant i trouver le premier élément > pivot
en descendant j trouver le premier élément < pivot
échanger(tableau[i], tableau[j])
// les plus grands à droite
// mettre les plus petits à gauche
// on met le pivot "au milieu"
échanger(tableau[i], tableau[ind_max])
retourne i // on retourne l'indice pivot
```
# Tri rapide ou quicksort (6/8)
## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
. . .
```C
void quicksort(int size, int array[size], int first,
int last)
{
if (first < last) {
int midpoint = partition(size, array, first, last);
if (first < midpoint - 1) {
quicksort(size, array, first, midpoint - 1);
}
if (midpoint + 1 < last) {
quicksort(size, array, midpoint + 1, last);
}
}
}
```
# Tri rapide ou quicksort (7/8)
\footnotesize
## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
```C
int partition(int size, int array[size], int first, int last) {
int pivot = array[last];
int i = first - 1, j = last;
do {
do {
i += 1;
} while (array[i] < pivot && i < j);
do {
j -= 1;
} while (array[j] > pivot && i < j);
if (j > i) {
swap(&array[i], &array[j]);
}
} while (j > i);
swap(&array[i], &array[last]);
return i;
}
```
<!-- # Tri rapide ou quicksort (8/8)
## Quelle est la complexité du tri rapide?
. . .
* Pire des cas plus: $\mathcal{O}(N^2)$
* Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée ($N-1$
éléments d'un côté $1$ de l'autre).
* $N$ boucles et $N$ comparaisons $\Rightarrow N^2$.
* Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot): $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
* Chaque fois le tableau est séparé en $2$ parties égales.
* On a $\log_2(N)$ partitions, et $N$ boucles $\Rightarrow N\cdot
\log_2(N)$.
* En moyenne: $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$. -->
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par tri rapide le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
```C
```
# Tri à bulle (1/4)
## Algorithme
* Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
- Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
* On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à
faire.
## Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?
. . .
* Le plus grand élément est **à la fin** du tableau.
* Plus besoin de le traiter.
* A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.
# Tri à bulle (2/4)
## Exemple
![Tri à bulles d'un tableau d'entiers](figs/tri_bulles.svg)
# Tri à bulle (3/4)
## Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)
. . .
```C
rien tri_a_bulles(entier tableau[])
pour i de longueur(tableau)-1 à 1:
trié = vrai
pour j de 0 à i-1:
si (tableau[j] > tableau[j+1])
échanger(array[j], array[j+1])
trié = faux
si trié
retourner
```
# Tri à bulle (4/4)
## Quelle est la complexité du tri à bulles?
. . .
* Dans le meilleurs des cas:
* Le tableau est déjà trié: $\mathcal{O}(N)$ comparaisons.
* Dans le pire des cas, $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$:
$$
\sum_{i=1}^{N-1}i\mbox{ comparaison et }3\sum_{i=1}^{N-1}i \mbox{ affectations
(swap)}\Rightarrow \mathcal{O}(N^2).
$$
* En moyenne, $\mathcal{O}(N^2)$ ($N^2/2$ comparaisons).
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par tri à bulles le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
```C
```
# Efficacité d'un algorithmique
Comment mesurer l'efficacité d'un algorithme?
. . .
* Mesurer le temps CPU,
* Mesurer le temps d'accès à la mémoire,
* Mesurer la place prise mémoire,
. . .
Dépendant du **matériel**, du **compilateur**, des **options de compilation**, etc!
## Mesure du temps CPU
```C
#include <time.h>
struct timespec tstart={0,0}, tend={0,0};
clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tstart);
// some computation
clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tend);
printf("computation about %.5f seconds\n",
((double)tend.tv_sec + 1e-9*tend.tv_nsec) -
((double)tstart.tv_sec + 1e-9*tstart.tv_nsec));
```
# Programme simple: mesure du temps CPU
## Preuve sur un [petit exemple](../source_codes/complexity/sum.c)
```bash
source_codes/complexity$ make bench
RUN ONCE -O0
the computation took about 0.00836 seconds
RUN ONCE -O3
the computation took about 0.00203 seconds
RUN THOUSAND TIMES -O0
the computation took about 0.00363 seconds
RUN THOUSAND TIMES -O3
the computation took about 0.00046 seconds
```
Et sur votre machine les résultats seront **différents**.
. . .
## Conclusion
* Nécessité d'avoir une mesure indépendante du/de la
matériel/compilateur/façon de mesurer/météo.
# Analyse de complexité algorithmique (1/4)
* On analyse le **temps** pris par un algorithme en fonction de la **taille de
l'entrée**.
## Exemple: recherche d'un élément dans une liste triée de taille N
```C
int sorted_list[N];
bool in_list = is_present(N, sorted_list, elem);
```
* Plus `N` est grand, plus l'algorithme prend de temps sauf si...
. . .
* l'élément est le premier de la liste (ou à une position toujours la même).
* ce genre de cas pathologique ne rentre pas en ligne de compte.
# Analyse de complexité algorithmique (2/4)
## Recherche linéaire
```C
bool is_present(int n, int tab[], int elem) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (tab[i] == elem) {
return true;
} else if (elem < tab[i]) {
return false;
}
}
return false;
}
```
* Dans le **meilleurs des cas** il faut `1` comparaison.
* Dans le **pire des cas** (élément absent p.ex.) il faut `n` comparaisons.
. . .
La **complexité algorithmique** est proportionnelle à `N`: on double la taille
du tableau $\Rightarrow$ on double le temps pris par l'algorithme.
# Analyse de complexité algorithmique (3/4)
## Recherche dichotomique
```C
bool is_present_binary_search(int n, int tab[], int elem) {
int left = 0;
int right = n - 1;
while (left <= right) {
int mid = (right + left) / 2;
if (tab[mid] < elem) {
left = mid + 1;
} else if (tab[mid] > elem) {
right = mid - 1;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
```
# Analyse de complexité algorithmique (4/4)
## Recherche dichotomique
![Source: [Wikipédia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Binary_search_complexity.svg)](figs/Binary_search_complexity.svg){width=80%}
. . .
* Dans le **meilleurs de cas** il faut `1` comparaison.
* Dans le **pire des cas** il faut $\log_2(N)+1$ comparaisons
. . .
## Linéaire vs dichotomique
* $N$ vs $\log_2(N)$ comparaisons logiques.
* Pour $N=1000000$: `1000000` vs `21` comparaisons.
# Notation pour la complexité
## Constante de proportionnalité
* Pour la recherche linéaire ou dichotomique, on a des algorithmes qui sont $\sim N$ ou $\sim \log_2(N)$
* Qu'est-ce que cela veut dire?
. . .
* Temps de calcul est $t=C\cdot N$ (où $C$ est le temps pris pour une comparaisons sur une machine/compilateur donné)
* La complexité ne dépend pas de $C$.
## Le $\mathcal{O}$ de Leibnitz
* Pour noter la complexité d'un algorithme on utilise le symbole $\mathcal{O}$ (ou "grand Ô de").
* Les complexités les plus couramment rencontrées sont
. . .
$$
\mathcal{O}(1),\quad \mathcal{O}(\log(N)),\quad \mathcal{O}(N),\quad
\mathcal{O}(\log(N)\cdot N), \quad \mathcal{O}(N^2), \quad
\mathcal{O}(N^3).
$$
# Ordres de grandeur
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\caption{Valeurs approximatives de quelques fonctions usuelles de complexité.}
\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$\log_2(N)$ & $\sqrt{N}$ & $N$ & $N\log_2(N)$ & $N^2$ \\
\hline\hline
$3$ & $3$ & $10$ & $30$ & $10^2$ \\
\hline
$6$ & $10$ & $10^2$ & $6\cdot 10^2$ & $10^4$ \\
\hline
$9$ & $31$ & $10^3$ & $9\cdot 10^3$ & $10^6$ \\
\hline
$13$ & $10^2$ & $10^4$ & $1.3\cdot 10^5$ & $10^8$ \\
\hline
$16$ & $3.1\cdot 10^2$ & $10^5$ & $1.6\cdot 10^6$ & $10^{10}$ \\
\hline
$19$ & $10^3$ & $10^6$ & $1.9\cdot 10^7$ & $10^{12}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
# Quelques exercices (1/3)
## Complexité de l'algorithme de test de primalité naïf?
```C
for (i = 2; i < sqrt(N); ++i) {
if (N % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
```
. . .
## Réponse
$$
\mathcal{O}(\sqrt{N}).
$$
# Quelques exercices (2/3)
## Complexité de trouver le minimum d'un tableau?
```C
int min = MAX;
for (i = 0; i < N; ++i) {
if (tab[i] < min) {
min = tab[i];
}
}
return min;
```
. . .
## Réponse
$$
\mathcal{O}(N).
$$
# Quelques exercices (3/3)
## Complexité du tri par sélection?
```C
int ind = 0
while (ind < SIZE-1) {
min = find_min(tab[ind:SIZE]);
swap(min, tab[ind]);
ind += 1
}
```
. . .
## Réponse
### `min = find_min`
$$
(N-1)+(N-2)+...+2+1=\sum_{i=1}^{N-1}i=N\cdot(N-1)/2=\mathcal{O}(N^2).
$$
## Finalement
$$
\mathcal{O}(N^2\mbox{ comparaisons}) + \mathcal{O}(N\mbox{swaps})=\mathcal{O}(N^2).
$$
# Tri par insertion (1/3)
## But
* trier un tableau par ordre croissant
## Algorithme
Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmis les éléments déjà
triés du tableau.
![Tri par insertion d'un tableau d'entiers](figs/tri_insertion.svg)
# Tri par insertion (2/3)
## Exercice: Proposer un algorithme (en C)
. . .
```C
void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
for (int i = 1; i < N; i++) {
int tmp = tab[i];
int pos = i;
while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
tab[pos] = tab[pos - 1];
pos = pos - 1;
}
tab[pos] = tmp;
}
}
```
# Tri par insertion (3/3)
## Question: Quelle est la complexité?
. . .
* Parcours de tous les éléments ($N-1$ passages dans la boucle)
* Placer: en moyenne $i$ comparaisons et affectations à l'étape $i$
* Moyenne: $\mathcal{O}(N^2)$
. . .
* Pire des cas, liste triée à l'envers: $\mathcal{O}(N^2)$
* Meilleurs des cas, liste déjà triée: $\mathcal{O}(N)$
# L'algorithme à la main
## Exercice *sur papier*
* Trier par insertion le tableau `[5, -2, 1, 3, 10]`
```C
```
# Problème des 8-reines
* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
## Conséquence
* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
## Généralisation
* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
N$.
- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
![Problème des 8-reines. Source:
[wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_huit_dames)](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
# Problème des 2-reines
![Le problème des 2 reines n'a pas de solution.](figs/2reines.svg){width=50%}
# Comment trouver les solutions?
* On pose la première reine sur la première case disponible.
* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
possibilité de poser une reine.
* On recommence depuis là.
. . .
* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
reines.
# Problème des 3-reines
![Le problème des 3 reines n'a pas de solution non plus.](figs/3reines.svg)
# Problème des 4-reines
![Le problème des 4 reines a une solution.](figs/4reines.svg)
# Problème des 4-reines, symétrie
![Le problème des 4 reines a une autre solution (symétrie
horizontale).](figs/4reines_sym.svg)
# Problème des 5 reines
## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
matrix.
```C
```
# Quelques observations sur le problème
* Une reine par colonne au plus.
* On place les reines sur des colonnes successives.
* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
* Trois étapes:
* On place une reine dans une case libre.
* On met à jour le tableau.
* Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
a réussi.
# Le code du problème des 8 reines (1/N)
## Quelle structure de données?
. . .
Une matrice de booléens fera l'affaire:
```C
bool board[n][n];
```
## Quelles fonctionnalités?
. . .
```C
// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
// et compter les solutions
void nbr_solutions(board, column, counter);
// Copier un tableau dans un autre
void copy(board_in, board_out);
// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
void placer_devant(board, li, co);
```
# Le code du problème des 8 reines (2/N)
## Le calcul du nombre de solutions
```C
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
nbr_solutions(board, column, count)
// pour chaque ligne
// si la case libre
// si column < n - 1
// copier board dans un "new" board,
// y poser une reine
// et mettre à jour ce "new" board
// nbr_solutions(new_board, column+1, count)
// sinon
// on a posé la n-ème et on a gagné
// count += 1
```
# Le code du problème des 8 reines (3/N)
## Le calcul du nombre de solutions
```C
// Placer une reine et mettre à jour
placer_devant(board, ligne, colonne)
// board est occupé à ligne/colonne
// toutes les cases des colonnes
// suivantes sont mises à jour
```
# Le code du problème des 8 reines (4/N)
## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
. . .
## Le nombre de solutions
\footnotesize
```C
// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
for (int li = 0; li < n; li++) {
if (board[li][co]) {
if (co < n-1) {
bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
copy(n, board, new_board);
prises_devant(n, new_board, li, co);
nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
} else {
*ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
}
}
}
}
```
# Le code du problème des 8 reines (5/N)
\footnotesize
## Placer devant
```C
// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
void prises_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
board[li][co] = false; // position de la reine
for (int j = 1; j < n-co; j++) {
// horizontale et diagonales à droite de la reine
if (j <= li) {
board[li-j][co+j] = false;
}
board[li][co+j] = false;
if (li+j < n) {
board[li+j][co+j] = false;
}
}
}
```
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