* N'utilise pas la notion de comparaisons, mais celle de classement successif dans des catégories (alvéoles).
* Pour simplifier
* Tri de nombre entiers dans un tableau.
* On considère que des nombres $\ge 0$ (sans perte de généralité).
* On considère ensuite la représentation binaire de ces nombres.
# Principe de l'algorithme
1. On considère le bit le moins significatif.
2. On parcourt une 1ère fois le tableau et on place à la suite dans un 2ème tableau les éléments dont le bit est 0;
puis on répète l'opération 2 pour les éléments dont le bit est 1.
3. On répète l'étape 2 en regardant le bit suivant et en permutant le rôle des deux tableaux.
On utilise donc deux tableaux pour réaliser ce tri.
A noter qu'à chaque étape, l'ordre des éléments dont le bit est à 0 (respectivement à 1) reste identique dans le 2ème tableau par rapport au 1er tableau.
// décalage des valeurs du tableau dans l'intervalle 0..val_max-val_min
for (int i=0; i < size; i++) {
tab1[i] -= val_min;
}
for (int pos=0;pos<nb_bits;pos++) {
bucket_0(size, tab1, tab2, pos);
bucket_1(size, tab1, tab2, pos);
swap_ptr(&tab1, &tab2);
}
// décalage inverse dans l'intervalle val_min..val_max
for (int i=0;i<size;i++) {
tab1[i] += val_min;
}
if (tab1 != tab) {
for (int i=0;i<size;i++) {
tab[i] = tab1[i];
}
}
}
``` -->
<!-- # Complexité
L'algorithme implémenté précédemment nécessite un certain nombre d'opérations lié à la taille du tableau.
Voici une liste de parcours utilitaires de tableau:
1. Recherche de la valeur minimum ```val_min```
2. Recherche de la valeur maximum ```val_max```
3. Décalage des valeurs dans l'intervalle ```0..val_max-val_min```
4. Décalage inverse pour revenir dans l'intervalle ```val_min..val_max```
5. Copie éventuelle du tableau temporaire dans le tableau originel
On a donc un nombre de parcours fixe (4 ou 5) qui se font en $\mathcal{O}(N)$ où $N$ est la taille du tableau.
La partie du tri à proprement parler est une boucle sur le nombre de bits *b* de ```val_min..val_max```.
A chaque passage à travers la boucle, on parcourt 2 fois le tableau: la 1ère fois pour s'occuper des éléments dont le bit courant à 0; la 2ème pour ceux dont le bit courant est à 1.
A noter que le nombre d'opérations est de l'ordre de *b* pour la lecture d'un bit et constant pour la fonction ```swap_ptr()```.
Ainsi, la complexité du tri par base est $\mathcal{O}(b\cdot N)$. -->
# Tri par fusion (merge sort)
* Tri par comparaison.
* Idée: deux listes triées, sont fusionnées pour donner une liste triée plus longue.
* Itérativement, on trie d'abord les paires de nombres, puis les groupes de 4 nombres, ensuite de 8, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un tableau trié.
<!-- * On simplifie ici: le tableau a une longueur de puissance de 2. -->
<!-- Pour son implémentation, le tri par fusion nécessite d'utiliser une zone temporaire de stockage des données de taille égale à celle de la liste de nombres à trier. On considère le cas du tri d'une liste de nombres entiers stockés dans un tableau. -->
# Principe de l'algorithme
* Soit `taille` la taille du tableau à trier.
* Pour `i = 0` à `entier(log2(taille))-1`:
* Fusion des paires de sous-tableaux successifs de taille `2**i` (ou moins pour l'extrémité)
. . .
* Remarques:
* Pour l'étape `i`, les sous-tableaux de taille `2**i` sont triés.
* La dernière paire de sous-tableaux peut être incomplète (vide ou avec moins que `2**i` éléments).
# Exemple de tri par fusion
* Soit la liste de nombres entiers stockés dans un tableau de taille 9:
L'algorithme présenté précédemment nécessite un certain nombre d'opérations lié à la taille $N$ du tableau.
Il y a essentiellement $\log_2(N)$ étapes.
A chaque étape, le tableau est parcouru une fois avec un nombre constant effectué pour chacune des cases du tableau. En effet, l'opération de fusion implique de ne parcourir qu'une seule fois chacun des deux tableaux qu'on fusionne dans un 3ème tableau.
Ainsi, la complexité du tri par fusion est $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N)$. -->
# Tri rapide ou quicksort (1/8)
## Idée: algorithme `diviser pour régner` (`divide-and-conquer`)
* Diviser: découper un problème en sous problèmes;
* Régner: résoudre les sous-problèmes (souvent récursivement);
* Combiner: à partir des sous problèmes résolu, calculer la solution.
## Le pivot
* Trouver le **pivot**, un élément qui divise le tableau en 2, tels que:
1. Éléments à gauche sont **plus petits** que le pivot.
2. Élements à droite sont **plus grands** que le pivot.
# Tri rapide ou quicksort (2/8)
## Algorithme `quicksort(tableau)`
1. Choisir le pivot et l'amener à sa place:
* Les éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
* Les éléments à droite sont plus grand que le pivot.
2.`quicksort(tableau_gauche)` en omettant le pivot.
3.`quicksort(tableau_droite)` en omettant le pivot.
4. S'il y a moins de deux éléments dans le tableau, le tableau est trié.
. . .
Compris?
. . .
Non c'est normal, faisons un exemple.
# Tri rapide ou quicksort (3/8)
\footnotesize
Deux variables sont primordiales:
```C
entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
```
# Tri rapide ou quicksort (4/8)
\footnotesize
Deux variables sont primordiales:
```C
entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
yassin.elhakoun authored