Dans notre univers, tous les corps sont soumis à des forces. Une force est une grandeur permettant de quantifier pour un corps : la direction, le sens et l'intensité de l'interaction, avec les autres corps, subie. Dans le cadre de ce travail pratique, nous nous intéresserons à l'une des quatre forces fondamentales, la force de gravitation. Pour rappel, les forces suivent les trois lois de Newton.
1. Si un corps est immobile, alors la somme des forces qu'il subit, appelée force résultante, est nulle. ($\vec{F} = \vec{0}$)
2. La force résultante subit par un corps est égale à la masse de ce dernier multipliée par son accélération. ($\vec{F} = m\vec{a}_p$)
3. Si un corps *A* subit une force de la part d'un corps *B*, alors le corps *B* subit une force de réaction de sens opposé et de même intensité. ($\vec{F}_{BA} = -\vec{F}_{AB}$)
Dans notre univers, tous les corps sont soumis à des forces. Une force est une
grandeur permettant de quantifier pour un corps : la direction, le sens et
l'intensité de son interaction avec les autres corps. Dans le cadre de ce travail pratique, nous nous intéresserons à l'une des quatre forces fondamentales, la force de gravitation.
Pour rappel, les forces suivent les trois lois de Newton.
1. Si un corps est immobile (ou en mouvement rectiligne uniforme), alors la somme des forces qu'il subit, appelée
force résultante, est nulle. ($\vec{F} = \vec{0}$).
2. La force résultante subit par un corps est égale à la masse de ce dernier
multipliée par son accélération. ($\vec{F} = m\vec{a}_p$).
3. Si un corps *A* subit une force de la part d'un corps *B*, alors le corps
*B* subit une force de réaction de sens opposé et de même intensité
La force de gravitation est une force qui apparaît entre tous les objets ayant une masse (un corps). Elle régit le mouvements des objets massifs (planètes, étoiles, trou noir, galaxies...). La force de gravité causée par un corps *B* et subie par un corps *A* s'obtient avec la formule suivante :
La force de gravitation est une force qui apparaît entre tous les objets (ou
corps) ayant une masse. Elle régit le mouvements des objets massifs (planètes, étoiles, trou noir, galaxies...). La force de gravité causée par un corps *B* et subie par un corps *A* s'obtient avec la formule suivante :
où $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot \text{s}^2}$],
$m_A$,$m_B$ sont les masses du corps $A$ et $B$ en [kg] et $\|\vec{r}_{AB} \|$
où $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot \text{s}^2}$,
$m_A$,$m_B$ sont les masses du corps $A$ et $B$ en [kg] et $\|\vec{r}_{AB} \|$
le vecteur reliant $A$ et $B$ en [m].
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@@ -59,9 +67,10 @@ le centre du système solaire comme on le croyait il y a longtemps).
L'orbite d'une planète n'est pas un cercle parfait, il s'agit en réalité d'une ellipsoïde. Cette orbite ellipsoïdale est définie par trois paramètres :
1. Le demi-grand axe ($a$ en mètres, **!!! à ne pas confondre avec l'accélération $\vec{a}$**)
2. Le demi-petit axe ($b$ en mètres)
3. L'excentricité ($e$ sans unité)
1. Le demi-grand axe ($a$ en mètres, **à ne pas confondre avec l'accélération
$\vec{a}$**),
2. Le demi-petit axe ($b$ en mètres),
3. L'excentricité ($e$ sans unités).
{#fig:orbite width=50%}
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@@ -76,9 +85,12 @@ Sur la figure \ref{fig:e}, vous observez différentes orbites pour différentes
### Idée générale
Dans notre simulation, nous représenterons un système planétaire sur un plan, basé sur notre système solaire. Au centre nous aurons une étoile (fixe) et un certain nombre de planètes qui orbitent autour de cette dernière.
Dans notre simulation, nous représenterons un système planétaire
inspiré de notre système solaire où toutes les planètes sont sur le même plan
(ce qui est une assez bonne approximation de ce qui se passe dans notre système
solaire). Au centre nous aurons une étoile (fixe, encore une approximation) et un certain nombre de planètes qui orbitent autour de cette dernière.
Pour simuler un système planétaire, on peut effectuer les étapes suivantes:
Pour simuler un système planétaire, on peut effectuer les étapes suivantes:
1. Créer une étoile au centre de notre domaine.
2. On ajoute autant de planètes que l'on désire autour de l'étoile.
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@@ -93,8 +105,8 @@ Pour simuler un système planétaire, on peut effectuer les étapes suivantes :
# Évolution
Concentrons nous tout d'abord sur l'évolution de la simulation, nous verrons
les conditions initiales dans un second temps. Pour déterminer les informations
Concentrons nous tout d'abord sur l'évolution de la simulation (nous verrons
les conditions initiales dans un second temps). Pour déterminer les informations
nécessaires, on commence par calculer la force résultante sur la planète
$p$:
...
...
@@ -104,7 +116,8 @@ $$
où $\mathcal{C}$ est l'ensemble des corps célestes (les planètes et l'étoile) de votre simulation.
Ensuite, on calcule la nouvelle position à partir de l'ancienne. En reprenant les équations du mouvement uniformément accéléré on a :
Ensuite, on calcule la nouvelle position à partir de sa position actuelle et de
sa position précédente (on a également vu ça en cours). Pour ce faire, on reprend les équations du mouvement uniformément accéléré on a:
$$
\label{eq:verlet}
...
...
@@ -135,7 +148,7 @@ et de l'accélération ($\vec{a}_p(t)$). Nous calculerons donc les $\vec{x}_p$
itérativement et je vous laisse le soin de déduire comment nous pouvons obtenir
$\vec{a}_p(t)$ à partir des formules données (oui cela est un exercice).
### Conditions initiales
## Conditions initiales
Si l'on regarde \eqref{eq:mouvement}, on remarque que pour calculer
$\vec{x}_p(t + \Delta t)$ en $t=0$ ($\vec{x}_p(\Delta t)$), il nous faudrait la
...
...
@@ -191,4 +204,5 @@ Pour que votre simulation marche, vous serez amené, à un moment ou à un autre
- Un rapport succint (moins de 6 pages) présentant le travail réalisé, avec des images de ce dernier.
- Le repos git contenant le code réalisé.
- (Bonus) Une vidéo du résultat, si vous réussissez à créer un système cool.
- (Bonus) Une vidéo du résultat, si vous réussissez à créer un système cool
