Dans le cadre de nos cours de physique appliqué à l'ingénierie, nous avons été amené a écrire un programme simulant un système orbital. En l'occurrence, nous avons simulé une partie du système solaire. Les corps célestes représentés vont du Soleil jusqu'à Mars ainsi deux planètes imaginaires afin d'expérimenter avec divers valeur pour l'excentricité et le demi-grand axe de l'orbite. \\
Dans le cadre de nos cours de physique appliqué à l'ingénierie, nous avons été amené a écrire un programme simulant un système orbital. En l'occurrence, nous avons simulé une partie du système solaire. Les corps célestes représentés vont du Soleil jusqu'à Mars ainsi que deux planètes imaginaires afin d'expérimenter divers valeurs pour l'excentricité et le demi-grand axe de l'orbite. \\
Les simulations numériques ne se limitent pas simplement à répondre aux demandes académiques mais ont aussi un aspect pédagogique: elles nous permettes de d'illustrer les formules et de comprendre comment changer certains paramètres peut changer le résultat de la simulation. De plus, elles nous permettent aussi de voir comment ces formules permettent de faire évoluer un système dans le temps.\\
Les simulations numériques ne se limitent pas simplement à répondre aux demandes académiques mais ont aussi un aspect pédagogique: elles nous permette d'illustrer les formules et de comprendre comment changer certains paramètres peut changer le résultat de la simulation. De plus, elles nous permettent aussi de voir comment ces formules permettent de faire évoluer un système dans le temps.\\
Outre l'aspect pédagogique, les simulations ont aussi un réel avantage scientifique car celles-ci nous permettent d'anticiper divers événements astronomiques tels que le mouvement des astéroïdes ou bien le calcul d'une trajectoire d'interception pour un robot spatial.\\
Pour effectuer cette simulation nous avons implémenté les loi de Newton ainsi que le équation du mouvement. Ces forces sont les principales actives sur notre système; il existe bien entendu d'autres forces mais leur serait inexistant sur notre simulation. \\
Pour effectuer cette simulation, nous avons implémenté les lois de Newton ainsi que l'équation du mouvement. Ces forces sont les principales actives sur notre système; il existe bien entendu d'autres forces mais leur effet serait quasi-invisible sur notre simulation. \\
Le reste de ce document sera divisé en 3 parties:
\begin{enumerate}
...
...
@@ -50,9 +50,9 @@ L'accélération d'un corps était l'une des rares formules qui n'étais pas don
\[\vec{a}_p =\frac{\vec{F}}{m}\]% 2e loi de Newton
Ou$\vec{a}_p$ est l'accélération d'un corps $p$, $m$ est la masse du-dit corps, et $\vec{F}$ la somme des forces agissant sur ce corps. \\
Où$\vec{a}_p$ est l'accélération d'un corps $p$, $m$ est la masse du-dit corps, et $\vec{F}$ la somme des forces agissants sur ce corps. \\
La vélocité est, dans notre cas, nécessaire que lors de l'état initial du système, lorsque le corps ce trouve à sa périhélie. La formule est la suivante:
La vélocité est, dans notre cas, nécessaire que lors de l'état initial du système, lorsque le corps se trouve à sa périhélie. La formule est la suivante:
\[
\vec{v}_p(0)=
\sqrt{\frac{GM_{\odot}(1+ e_p)}{a_p(1- e_p)}}
...
...
@@ -60,66 +60,66 @@ La vélocité est, dans notre cas, nécessaire que lors de l'état initial du sy
\frac{\vec{r}_{p\bot}}{\|\vec{r}_{p\bot}\|}
\]% (6) - Dérivée de l'équation de la force vive
Ou$G$ est la constante gravitationnelle, $M_{\odot}$ est la masse du corps central autour duquel le corps $p$ orbite (par exemple: le Soleil pour la Mars, la Terra pour la Lune, etc.). $e_{p}$ est l'excentricité de l'orbite du corps $p$. L'excentricité indique à quel point un orbite est "rond".
Où$G$ est la constante gravitationnelle, $M_{\odot}$ est la masse du corps central autour duquel le corps $p$ orbite (par exemple: le Soleil pour Mars, la Terre pour la Lune, etc.). $e_{p}$ est l'excentricité de l'orbite du corps $p$. L'excentricité indique à quel point un orbite est "rond".
\subsection{Force agissant sur un corps}
La force de gravitation d'un objet $B$ sur un objet $A$ peut être exprimée par la formule suivante:
\[\vec{F}_{BA}= G\frac{m_Am_B}{\|\vec{r}_{AB}\|^3}\vec{r}_{AB}\]% (1) - Force de gravitation
Ou$G$ est de nouveau la force gravitationnelle, $m_a$ et $m_b$ sont les masses des corps $A$ et $B$ et $\vec{r}_{AB}$ est le vecteur allant du corps $A$ au corps $B$.
Où$G$ est de nouveau la force gravitationnelle, $m_a$ et $m_b$ sont les masses des corps $A$ et $B$ et $\vec{r}_{AB}$ est le vecteur allant du corps $A$ au corps $B$.
Bien entendu tous les corps de notre systèmes s'attirent les uns-les-autres; le résultats de toutes ses forces sur un seul corps peut être exprimé comme suit:
Bien entendu tous les corps de notre système s'attirent les uns-les-autres; le résultat de toutes ces forces sur un seul corps peut être exprimé comme suit:
Ou$\vec{F}_p$ est la somme de toutes les forces agissant sur le corps $p$, $\mathcal{C}$ est l'ensemble de nos corps célestes et $\vec{F}_{qp}$ est la formule précédente.
Où$\vec{F}_p$ est la somme de toutes les forces agissant sur le corps $p$, $\mathcal{C}$ est l'ensemble de nos corps célestes et $\vec{F}_{qp}$ est la formule précédente.
\subsection{Mouvement d'un corps}
Il y a plusieurs manière de calculer la prochaine position d'un corps, dans notre cas, la contrainte était de le faire en se basant sur la position précédente (à $t -\delta t$), la position actuelle (à $t$), et le temps écoulé ($\delta t$). Sans rentrer dans les détails, la formule finale est la suivante:
Il y a plusieurs manières de calculer la prochaine position d'un corps, dans notre cas, la contrainte était de le faire en se basant sur la position précédente (à $t -\delta t$), la position actuelle (à $t$), et le temps écoulé ($\delta t$). Sans rentrer dans les détails, la formule finale est la suivante:
\[\vec{x}_p(t+\Delta t)=2\vec{x}_p(t)-\vec{x}_p(t-\Delta t)+(\Delta t)^2\vec{a}_p(t)\]% (4) - Mouvement
Ou$\vec{x}_p(t+\Delta t)$ et la position future du corps $p$ et $\vec{a}_p(t)$ l'accélération que subit le corps actuellement (autrement dit, l'accélération instantanée!).
Où$\vec{x}_p(t+\Delta t)$ et la position future du corps $p$ et $\vec{a}_p(t)$ l'accélération que subit le corps actuellement (autrement dit, l'accélération instantanée!).
Toutefois cela laisse l'étant du système au temps $t =0$ inconnu: nous n'avons pas de position précédente! Ainsi, pour connaître la position future dans le cas initial, nous utiliserons la formule suivante:
Toutefois cela laisse l'état du système au temps $t =0$ inconnu: nous n'avons pas de position précédente! Ainsi, pour connaître la position future dans le cas initial, nous utiliserons la formule suivante:
\[\vec{x}_p(\Delta t)=\vec{x}_p(0)+\Delta t\vec{v}_p(0)+\frac{(\Delta t)^2}{2}\vec{a}_p(0)\]% (5) - Mouvement initial
Ou, en plus des variables précédentes, $\vec{v}_p(0)$ représente la vélocité initiale du corps à sa position initiale (autrement dit, la vitesse instantanée à la position initiale).
Où, en plus des variables précédentes, $\vec{v}_p(0)$ représente la vélocité initiale du corps à sa position initiale (autrement dit, la vitesse instantanée à la position initiale).
\section{Distance moyenne}
Pour calculer la distance moyenne nous avons simulés 10'000 étapes (soit \~ 13 ans à raison de 12 heures par étapes) et avons récupérer la distance entre la Terre et les corps à chaque étapes.
Pour calculer la distance moyenne, nous avons simulé 10'000 étapes (soit ~ 13 ans à raison de 12 heures par étape) et avons récupéré la distance entre la Terre et les corps à chaque étape.
Nous pouvons voir ici le système solaire implémenté dans son ensemble. Afin de faciliter la validation visuelles nous avons ajoutée une traînée aux corps célestes afin de vérifier que leurs orbitent ne se croisent pas. Dans le cas de la planète rose (nommée Albuchef) et la planète verte (nommée Tschaï) le croisement est normal: l'excentricité d'Albuchef fait qu'elle croise l'orbite de Tschaï. Dans le système solaire réel, un cas similaire existe entre Neptune et Pluton!
Nous pouvons voir ici le système solaire implémenté dans son ensemble. Afin de faciliter la validation visuelle, nous avons ajouté une traînée aux corps célestes afin de vérifier que leurs orbites ne se croisent pas. Dans le cas de la planète rose (nommée Albuchef) et la planète verte (nommée Tschaï) le croisement est normal: l'excentricité d'Albuchef fait qu'elle croise l'orbite de Tschaï. Dans le système solaire réel, un cas similaire existe entre Neptune et Pluton!
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Nous avons aussi implémentés deux satellites: la Lune (tournant autour de la Terre), et Malaspinas (tournant autour d'Albuchef). Il est possible de changer de corps central avec les flèches directionelles (gauche/droites).
Nous avons aussi implémenté deux satellites: la Lune (tournant autour de la Terre), et Malaspinas (tournant autour d'Albuchef). Il est possible de changer de corps central avec les flèches directionnelles (gauche/droite).
Ici nous pouvons observer le système orbitale terrestre avec la Lune en orbite autour de la Terre. Il est nécessaire de "zoomer" sur la Terre car l'orbite est tellement proche qu'on ne verrai pas la Lune tourner sur la vue d'ensemble du système solaire. \\
Ici nous pouvons observer le système orbital terrestre avec la Lune en orbite autour de la Terre. Il est nécessaire de "zoomer" sur la Terre car l'orbite est tellement proche qu'on ne verrai pas la Lune tourner sur la vue d'ensemble du système solaire. \\
Enfin nous avons calculer la planète qui est, en moyenne, la plus proche de la Terre et il s'agit de Mercure avec un distance moyenne de 1.04 AU.
Enfin nous avons calculé la planète qui est, en moyenne, la plus proche de la Terre et il s'agit de Mercure avec une distance moyenne de 1.04 AU.
\chapter{Conclusion}
\section{Objet du travail}
Afin de conclure notre rapport, nous allons revenir sur le but de notre travail qui était de simuler une partie du système solaire. Les valeurs des planètes réelles ont été reprises de celles de la \href{https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/}{NASA Planetery Fact Sheet}.
En utilisant ces valeurs, les loi de Newton, et l'équation du mouvement dans un programme en C, nous pu simuler notre système solaire et avoir un rendu visuel de cette simulation. Nous avons aussi ajoutée une traînée aux planètes afin de faciliter la validation visuelle de notre simulation. \\
En utilisant ces valeurs, les lois de Newton, et l'équation du mouvement dans un programme en C, nous avons pu simuler notre système solaire et avoir un rendu visuel de cette simulation. Nous avons aussi ajouté une traînée aux planètes afin de faciliter la validation visuelle de notre simulation. \\
\section{Résultats}
Cette simulation nous a aussi permis de déterminer quelle planète était, en moyenne, la plus proche de la Terre et il s'agit de Mercure. Nous avons trouvé ce résultats surprenant car l'orbite de Vénus se trouve plus proche.
Cette simulation nous a aussi permis de déterminer quelle planète était, en moyenne, la plus proche de la Terre et il s'agit de Mercure. Nous avons trouvé ce résultat surprenant car l'orbite de Vénus se trouve plus proche.
En rajoutant deux planètes fictives, nous avons pu observer les conséquences des changements de masse des corps ainsi que leur vitesse. On voit clairement sur la simulation que ces planètes ont des orbites très différentes des planètes réelles et que deux orbites qui se croisent ne sont pas forcément faux. \\
\section{Suite}
Il y a plusieurs axes pour améliorer ce travail. Tout d'abord nous pourrions ajouter plus de corps tel que Pluton, Neptune, ou bien la ceinture d'astéroïdes. Nous pourrions aussi ajouter des corps qui n'orbitent pas comme la sonde Voyager. De plus, nous pourrions simuler plus de forces comme la pression de rayonnement émis par les étoiles. En combinaison avec le point précédent, cela nous permettrai de simuler une \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Voile_solaire}{Voile Solaire}
Il y a plusieurs axes pour améliorer ce travail. Tout d'abord nous pourrions ajouter plus de corps tel que Pluton, Neptune, ou bien la ceinture d'astéroïdes. Nous pourrions aussi ajouter des corps qui n'orbitent pas comme la sonde Voyager. De plus, nous pourrions simuler plus de forces comme la pression de rayonnement émis par les étoiles. En combinaison avec le point précédent, cela nous permettrai de simuler une \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Voile_solaire}{Voile Solaire}.
% Cela aide à la compréhension des données qui entrent en jeu. Voilà par exemple à quoi peut servir une simulation numérique. Plus généralement, une simulation permet de faire des tests à peu près réalistes gratuitement (cela dépend bien sûr), à l'infini et très rapidement.
% On pourrait par exemple calculer des probabilités et des issues, ici quelle est la probabilité que X planète entre en collision avec telle planète ou finisse dans le fin fond de l'espace, si oui quand cela se produirait-il ?
