cours_7.md

title: "Tris"
date: "2022-11-16"

Rappel: Complexité

\footnotesize

Soit tab un tableau de longueur N de double.

1. Comment déclare-t-on un tel tableau?

. . .

double tab[N];

2. Quelle est la complexité du calcul de la moyenne de tab?

. . .

double mean = 0.0;
for (int i = 0; i < N; ++i) { // N assignations
    mean += tab[i];        // N additions
}
mean /= N; // O(N)

. . .

3. Quelle est la complexité du calcul de l'écart type de tab (
   $\sigma=\sqrt{\sum_i (t_i - m)^2}/N$
   ?

. . .

double mean = moyenne(N, tab); // O(N)
double dev = 0.0;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
    dev += pow(tab[i] - moyenne, 2); // N tours
}
dev = sqrt(dev); dev /= N; // O(2*N) = O(N)

Tri par insertion (1/3)

But

• trier un tableau par ordre croissant

Algorithme

Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmis les éléments déjà triés du tableau.

Tri par insertion (2/3)

Exercice: Proposer un algorithme (en C)

. . .

void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int tmp = tab[i];
        int pos = i;
        while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
            tab[pos] = tab[pos - 1];
            pos      = pos - 1;
        }
        tab[pos] = tmp;
    }
}

Tri par insertion (3/3)

Question: Quelle est la complexité?

. . .

• Parcours de tous les éléments (
  $N-1$
  passages dans la boucle)
  • Placer: en moyenne
    $i$
    comparaisons et affectations à l'étape
    $i$
• Moyenne:
  $\mathcal{O}(N^2)$

. . .

• Pire des cas, liste triée à l'envers:
  $\mathcal{O}(N^2)$
• Meilleurs des cas, liste déjà triée:
  $\mathcal{O}(N)$

L'algorithme à la main

Exercice sur papier

• Trier par insertion le tableau [5, -2, 1, 3, 10]

Tri rapide ou quicksort (1/8)

Idée: algorithme diviser pour régner (divide-and-conquer)

• Diviser: découper un problème en sous problèmes;
• Régner: résoudre les sous-problèmes (souvent récursivement);
• Combiner: à partir des sous problèmes résolu, calculer la solution.

Le pivot

• Trouver le pivot, un élément qui divise le tableau en 2, tels que:
  1. Éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
  2. Élements à droite sont plus grands que le pivot.

Tri rapide ou quicksort (2/8)

Algorithme quicksort(tableau)

1. Choisir le pivot et l'amener à sa place:
   • Les éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
   • Les éléments à droite sont plus grand que le pivot.
2. quicksort(tableau_gauche) en omettant le pivot.
3. quicksort(tableau_droite) en omettant le pivot.
4. S'il y a moins de deux éléments dans le tableau, le tableau est trié.

. . .

Compris?

. . .

Non c'est normal, faisons un exemple.

Tri rapide ou quicksort (3/8)

\footnotesize

Deux variables sont primordiales:

entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier

Tri rapide ou quicksort (4/8)

\footnotesize

Deux variables sont primordiales:

entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier

Pseudocode: quicksort

rien quicksort(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
    si (longueur(tab) > 1)
        ind_pivot = partition(tableau, ind_min, ind_max)
        si (longueur(tableau[ind_min:ind_pivot-1]) != 0)
            quicksort(tableau, ind_min, pivot_ind - 1)
        si (longueur(tableau[ind_pivot+1:ind_max-1]) != 0)
            quicksort(tableau, ind_pivot + 1, ind_max)

Tri rapide ou quicksort (5/8)

\footnotesize

Pseudocode: partition

entier partition(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
    pivot = tableau[ind_max] // choix arbitraire
    i = ind_min
    j = ind_max-1
    tant que i < j:
        en remontant i trouver le premier élément > pivot
        en descendant j trouver le premier élément < pivot
        échanger(tableau[i], tableau[j])
        // les plus grands à droite
        // mettre les plus petits à gauche
    
    // on met le pivot "au milieu"
    échanger(tableau[i], tableau[ind_max])    
    retourne i // on retourne l'indice pivot

Tri rapide ou quicksort (6/8)

Exercice: implémenter les fonctions quicksort et partition

. . .

void quicksort(int size, int array[size], int first, 
               int last) 
{
    if (first < last) {
        int midpoint = partition(size, array, first, last);
        if (first < midpoint - 1) {
            quicksort(size, array, first, midpoint - 1);
        }
        if (midpoint + 1 < last) {
            quicksort(size, array, midpoint + 1, last);
        }
    }
}

L'algorithme à la main

Exercice sur papier

• Trier par tri rapide le tableau [5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]

Tri rapide ou quicksort (7/8)

\footnotesize

Exercice: implémenter les fonctions quicksort et partition

int partition(int size, int array[size], int first, int last) {
    int pivot = array[last];
    int i = first - 1, j = last;
    do {
        do {
            i += 1;
        } while (array[i] < pivot && i < j);
        do {
            j -= 1;
        } while (array[j] > pivot && i < j);
        if (j > i) {
            swap(&array[i], &array[j]);
        }
    } while (j > i);
    swap(&array[i], &array[last]);
    return i;
}

Tri rapide ou quicksort (8/8)

Quelle est la complexité du tri rapide?

. . .

• Pire des cas plus:
  $\mathcal{O}(N^2)$
  • Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée (
    $N-1$
    éléments d'un côté
    $1$
    de l'autre).
  • $N$
    boucles et
    $N$
    comparaisons
    $\Rightarrow N^2$
    .
• Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot):
  $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$
  .
  • Chaque fois le tableau est séparé en
    $2$
    parties égales.
  • On a
    $\log_2(N)$
    partitions, et
    $N$
    boucles
    $\Rightarrow N\cdot \log_2(N)$
    .
• En moyenne:
  $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$
  .

Tri à bulle (1/4)

Algorithme

• Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
  • Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
• On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à faire.

Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?

. . .

• Le plus grand élément est à la fin du tableau.
  • Plus besoin de le traiter.
• A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.

Tri à bulle (2/4)

Exemple

Tri à bulle (3/4)

Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)

. . .

rien tri_a_bulles(entier tableau[])
    pour i de longueur(tableau)-1 à 1:
        trié = vrai
        pour j de 0 à i-1:
            si (tableau[j] > tableau[j+1])
                échanger(array[j], array[j+1])
                trié = faux
        
        si trié
            retourner

Tri à bulle (4/4)

Quelle est la complexité du tri à bulles?

. . .

• Dans le meilleurs des cas:
  • Le tableau est déjà trié:
    $\mathcal{O}(N)$
    comparaisons.
• Dans le pire des cas,
  $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$
  :
  There was an error rendering this math block. KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 19: …um_{i=1}^{N-1}i\̲m̲b̲o̲x̲{ comparaison e…
• En moyenne,
  $\mathcal{O}(N^2)$
  (
  N^2/2
  comparaisons).

L'algorithme à la main

Exercice sur papier

• Trier par tri à bulles le tableau [5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]