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Commit 3e86c8b4 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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01_rappel.md
+ 23
− 23
View file @ 3e86c8b4
......@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
---
Exemple (Fonctions, généralités) +.#
#### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned}
......@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
---
Exemple (Fonctions) +.#
#### Exemple (Fonctions) {-}
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
......@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
---
Exemple (Fonction inverse) +.#
#### Exemple (Fonction inverse) {-}
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
......@@ -68,14 +68,14 @@ Exemple (Fonction inverse) +.#
## Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.#
#### Définition (Domaine de définition) {-}
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
---
Exemple (Domaine de définition) +.#
#### Exemple (Domaine de définition) {-}
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
......@@ -92,7 +92,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite
Définition (Limite) +.#
#### Définition (Limite) {-}
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
......@@ -107,20 +107,20 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
---
Exemple (Limite) +.#
#### Exemple (Limite) {-}
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
---
Définition (Limite, asymptote) +.#
#### Définition (Limite, asymptote) {-}
Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
......@@ -129,7 +129,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
---
Exemple (Limite, asymptote) +.#
#### Exemple (Limite, asymptote) {-}
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
......@@ -150,7 +150,7 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales.
Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
......@@ -202,13 +202,13 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité
Définition (Continuité) +.#
#### Définition (Continuité) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
Propriétés (Fonctions continues) +.#
#### Propriétés (Fonctions continues) {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
......@@ -220,14 +220,14 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
droite en $a$ et à gauche en $b$.
Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
......@@ -236,7 +236,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
## Dérivées
Définition (Dérivée en un point) +.#
#### Définition (Dérivée en un point) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
......@@ -244,17 +244,17 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
Propriété +.#
#### Propriété {-}
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
......@@ -285,14 +285,14 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
Définition (Dérivée seconde) +.#
#### Définition (Dérivée seconde) {-}
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$.
### Variation des fonctions
Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
......@@ -302,13 +302,13 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
Définition (Maximum/minimum local) +.#
#### Définition (Maximum/minimum local) {-}
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
Propriété (Maximum/minimum) +.#
#### Propriété (Maximum/minimum) {-}
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
......
02_integrales.md
+ 34
− 34
View file @ 3e86c8b4
......@@ -38,14 +38,14 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
nous donne aussi l'aire sous la fonction.
Remarque +.#
#### Remarque {-}
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$.
2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
......@@ -60,7 +60,7 @@ d’intégration.
---
Exemple (Intégration de Riemann) +.#
#### Exemple (Intégration de Riemann) {-}
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
......@@ -68,7 +68,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
---
Solution (Intégration de Riemann) +.#
#### Solution (Intégration de Riemann) {-}
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
......@@ -89,7 +89,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
---
Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) +.#
#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-}
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
......@@ -125,7 +125,7 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.#
#### Définition (Primitive) {-}
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
......@@ -136,14 +136,14 @@ primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
Théorème (Unicité) +.#
#### Théorème (Unicité) {-}
Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
---
Illustration (Unicité) +.#
#### Illustration (Unicité) {-}
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
......@@ -153,7 +153,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
---
Exercices (Primitives) +.#
#### Exercices (Primitives) {-}
Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
......@@ -186,7 +186,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-}
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
......@@ -199,7 +199,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
......@@ -215,7 +215,7 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
......@@ -254,12 +254,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
---
Exemple (Intégrale impropre) +.#
#### Exemple (Intégrale impropre) {-}
Calculer l’intégrale suivante
$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
Solution (Intégrale impropre) +.#
#### Solution (Intégrale impropre) {-}
Nous pouvons réécrire
l’intégrale ci-dessus comme
......@@ -269,7 +269,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer l’intégrale suivante
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
......@@ -280,11 +280,11 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
$c\in[a,b]$ nous avons
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
Définition (Valeur moyenne) +.#
#### Définition (Valeur moyenne) {-}
Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
......@@ -312,7 +312,7 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Intégrer la fonction suivante
$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
......@@ -334,14 +334,14 @@ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer la primitive suivante
$$
\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
$$
Solution +.#
#### Solution {-}
Le calcul de la primitive de suivante
$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
......@@ -354,7 +354,7 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
Illustration +.#
#### Illustration {-}
Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
primitive
......@@ -384,7 +384,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer les primitives suivantes
......@@ -392,7 +392,7 @@ Calculer les primitives suivantes
2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
Solution +.#
#### Solution {-}
1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
$f(x)=e^x$. Il vient
......@@ -415,11 +415,11 @@ parties.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
Solution +.#
#### Solution {-}
En posant $g(x)=x^2$,
$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
......@@ -432,7 +432,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes
......@@ -453,7 +453,7 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
\int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
Cette relation nous mène au théorème suivant.
Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-}
Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
......@@ -473,11 +473,11 @@ sur la solution.
---
Exemple (Changement de variable) +.#
#### Exemple (Changement de variable) {-}
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
Solution (Changement de variable) +.#
#### Solution (Changement de variable) {-}
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
......@@ -490,7 +490,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
......@@ -521,7 +521,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
---
Exercice (Commutativité) +.#
#### Exercice (Commutativité) {-}
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation}
......@@ -538,7 +538,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer la convolution du signal $f(t)$
......@@ -629,7 +629,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
......@@ -639,7 +639,7 @@ de l’erreur.
---
Définition (Ordre d'une méthode) +.#
#### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
......
03_optimisation.md
+ 50
− 17
View file @ 3e86c8b4
......@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
$$
......@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
---
Exercice (Racice de polynôme) +.#
#### Exercice (Racice de polynôme) {-}
Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
......@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction
$$
......@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction
$$
......@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
......@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les
---
Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.#
#### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-}
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
......@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro de la fonction
$$
......@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continuement dérivable 2 fois.
......@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
---
Exemple (Régression linéaire) +.#
#### Exemple (Régression linéaire) {-}
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
......@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
---
Exemple (Dérivée partielle) +.#
#### Exemple (Dérivée partielle) {-}
Les dérivée partielles de la fonction
$$
......@@ -468,7 +468,7 @@ $$
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
$$
......@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
$$
......@@ -499,7 +499,7 @@ $$
---
Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.#
#### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
\begin{align}
......@@ -549,7 +549,7 @@ $$
---
Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.#
#### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
$$
......@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
---
Remarque (Généralisation) +.#
#### Remarque (Généralisation) {-}
Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
......@@ -711,10 +711,43 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
---
Question +.#
#### Question {-}
Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
---
Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*.
<!-- Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*. Cette méthode
correspond intuitivement à la méthode que suivrait un skieur pour arriver le plus vite possible en bas d'une montagne. Pour ce faire, il suivrait toujours la pente
la plus raide possible.
La méthode de la descente de gradient est une méthode
itérative. Soient donnés un point de départ $\vec x_0$,
et une fonction objectif $f(\vec x)$, on va approximer
le zéro itérativement avec une suite $\vec x_1$, $\vec x_2$, ... telle que
\begin{align}
\vec x_1&=x_0-\lambda\cdot f(\vec x_0),\\
\vec x_2&=x_1-\lambda\cdot f(\vec x_1),\\
\cdots
\vec x_{n+1}&=x_n-\lambda\cdot f(\vec x_n),
\end{align}
où $\lambda\in \real^+$ est un coefficient positif.
On peut assez facilement se convaincre que si $\lambda$ est suffisamment petit, alors $f(\vec x_{n+1})\leq f(\vec x_n)$ (on ne fait que descendre la pente jusqu'à atteindre un minimum). Une illustration de ce processus
peut se voir dans la @fig:gradient.
![Suite d'étapes pour la descente de gradient. En bleu on voit les courbes de niveaux (les courbes où $f(\vec x)$ est constante). Source: Wikipedia
<https://bit.ly/2Fhvn7p>](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Gradient_descent.svg){#fig:gradient width=70%}
Comme pour les fonction à une seule variable, il est nécessaire de spécifier une condition d'arrêt pour
la descente de gradient. En général, on choisit une tolérance, $\varepsilon>0$, et la condition d'arrêt s'écrit
$$
\mbox{Si }||\vec x_{n+1}-\vec x_n|| < \varepsilon,
$$
alors $\vec x_{n+1}$ est le zéro de $f(\vec x)$.
Dépendant de la valeur de $\lambda$ la *convergence* de la méthode peut varier grandement. Si $\lambda$ est trop petit
il faut une énorme quantité d'itérations pour atteindre le minimum. A l'inverse, en choisissant un $\lambda$ trop grand,
nous ne somme pas sûrs que nous convergerons un jour. En effet, on pourrait s'éloigner de plus en plus
du minimum plutôt que de sen approcher. En général, on choisit $\lambda\in[0,1)$ mais il n'y a pas de méthode générale pour en choisir une valeur "optimale".
Cela signifie que pour une fonction quelconque, $\lambda$ est choisi de façon empirique. -->
04_edo.md
+ 25
− 25
View file @ 3e86c8b4
......@@ -37,7 +37,7 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned}
......@@ -77,7 +77,7 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
......@@ -255,7 +255,7 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux
-----------------------------------
Définition (Équation différentielle ordinaire) +.#
#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-}
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
......@@ -265,7 +265,7 @@ $n$-ème de $y$.
---
Illustation +.#
#### Illustation {-}
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
......@@ -279,18 +279,18 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes
Définition (Ordre) +.#
#### Définition (Ordre) {-}
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
Définition (Condition initiale) +.#
#### Définition (Condition initiale) {-}
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
......@@ -305,7 +305,7 @@ version approximative et la discuter
---
Théorème (Existence et unicité) +.#
#### Théorème (Existence et unicité) {-}
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
......@@ -343,7 +343,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
---
Définition (Linéarité) +.#
#### Définition (Linéarité) {-}
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme
......@@ -360,19 +360,19 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
Définition (Homogénéité) +.#
#### Définition (Homogénéité) {-}
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
Illustration (Homogénéité) +.#
#### Illustration (Homogénéité) {-}
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
......@@ -385,7 +385,7 @@ $$\begin{aligned}
---
Exercice (Homogénéité) +.#
#### Exercice (Homogénéité) {-}
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
......@@ -423,7 +423,7 @@ un certain nombre.
---
Définition (Équations à variable séparables) +.#
#### Définition (Équations à variable séparables) {-}
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
......@@ -433,7 +433,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
---
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
......@@ -453,11 +453,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
Solution +.#
#### Solution {-}
En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
......@@ -472,7 +472,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
......@@ -524,12 +524,12 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
Solution +.#
#### Solution {-}
On
commence par résoudre l’équation homogène
......@@ -546,7 +546,7 @@ $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
Résoudre les équations différentielles suivantes
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. $$y'+2y=t^2$$
......@@ -572,11 +572,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
Solution +.#
#### Solution {-}
Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
......@@ -612,7 +612,7 @@ la résoudre.
--
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
......@@ -658,7 +658,7 @@ l’équation différentielle.
---
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
......
05_fourier.md
+ 17
− 17
View file @ 3e86c8b4
......@@ -48,7 +48,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
......@@ -186,7 +186,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Démontrer ces trois relations.
......@@ -199,7 +199,7 @@ $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Démontrer ces relations.
......@@ -213,7 +213,7 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
Définition +.#
#### Définition {-}
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
......@@ -245,7 +245,7 @@ propriétés suivantes
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
Exemple (Espaces vectoriels) +.#
#### Exemple (Espaces vectoriels) {-}
1. L’espace nul, $v=0$.
......@@ -321,7 +321,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
---
Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.#
#### Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-}
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
......@@ -336,13 +336,13 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$.
Définition (Famille libre) +.#
#### Définition (Famille libre) {-}
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.#
#### Exemple (Famille libre) {-}
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
......@@ -357,7 +357,7 @@ Exemple (Famille libre) +.#
relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
Définition (Famille génératrice) +.#
#### Définition (Famille génératrice) {-}
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si
......@@ -365,7 +365,7 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.#
#### Illustration (Familles génératrices) {-}
1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
......@@ -376,7 +376,7 @@ Illustration (Familles génératrices) +.#
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\real}^2$.
Définition (Base) +.#
#### Définition (Base) {-}
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
......@@ -386,7 +386,7 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-}
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
......@@ -613,7 +613,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
......@@ -634,7 +634,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
......@@ -649,7 +649,7 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
Propriété +.#
#### Propriété {-}
1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
transformée de Fourier est donnée par
......@@ -709,7 +709,7 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
&=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
temps discret des fonctions suivantes
......@@ -876,7 +876,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
A démontrer en exercice.
......
06_probas_stats.md
+ 24
− 26
View file @ 3e86c8b4
Probabilités et statistiques
============================
# Probabilités et statistiques
Introduction à la statistique descriptive
-----------------------------------------
## Introduction à la statistique descriptive
En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus)
possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères
......@@ -41,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
---
Illustration +.#
#### Illustration {-}
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
......@@ -73,7 +71,7 @@ Illustration +.#
Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
le cas des salaires (voir Tabl. @tbl:salaires)
Salaire Nombre de salariés
--------- --------------------
......@@ -84,7 +82,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
: Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Temps d’exécution Nombre
------------------- --------
......@@ -122,7 +120,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
---
Exemple (Fréqunces) +.#
#### Exemple (Fréqunces) {-}
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
......@@ -157,7 +155,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
---
Propriété (Propriétés de la fréquence) +.#
#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$
......@@ -192,7 +190,7 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
Exercice (Fréquence cumulée) +.#
#### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus.
......@@ -216,7 +214,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
---
Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
1. Démontrer la relation précédente.
......@@ -226,7 +224,7 @@ Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
---
Illustration (Moyenne) +.#
#### Illustration (Moyenne) {-}
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
......@@ -254,7 +252,7 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
Exercice (Moyenne, médiane) +.#
#### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
......@@ -284,7 +282,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
---
Exercice (Variance, écart-type) +.#
#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Démontrer les relations suivantes
......@@ -305,7 +303,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
---
Exercice (Variance, écart-type) +.#
#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application.
......@@ -333,7 +331,7 @@ semi-inter-quartile.
---
Exercice (Semi-inter quartile) +.#
#### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours.
......@@ -353,7 +351,7 @@ sera utile pour la suite.
---
Définition +.#
#### Définition {-}
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
......@@ -507,7 +505,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
---
Définition (Axiomes des probabilités) +.#
#### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
......@@ -529,7 +527,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
---
Théorème +.#
#### Théorème {-}
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
......@@ -585,7 +583,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
---
Exercice (Probabilités conditionnelles) +.#
#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
......@@ -628,7 +626,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
---
Exercice (Evénements indépendants) +.#
#### Exercice (Evénements indépendants) {-}
On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
......@@ -733,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés.
......@@ -805,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
......@@ -874,7 +872,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
---
Exerice +.#
#### Exerice {-}
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
......@@ -1004,7 +1002,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
---
Définition (Variable aléatoire) +.#
#### Définition (Variable aléatoire) {-}
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
......@@ -1016,7 +1014,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
---
Définition (Fonction de répartition) +.#
#### Définition (Fonction de répartition) {-}
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
......
Makefile
+ 0
− 1
View file @ 3e86c8b4
......@@ -4,7 +4,6 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
css/tufte-extra.css
OPTIONS = --toc
OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate
......
0% or .
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