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Commit 6e6f1166 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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......@@ -2830,9 +2830,9 @@ Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée de
discrète donne bien la suite de départ
\begin{align}
f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \fh[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
&=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
&=f[n].
\end{align}
......@@ -2867,7 +2867,7 @@ La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la transformé
à temps discret, toutes les propriétés discutées pour la transformée de Fourier à temps
discret restent valides. En particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de période $N$
\begin{equation}
f[n]=f[n+N].
\fh[k]=\fh[k+N].
\end{equation}
A démontrer en exercice.
......
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