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Commit 993f8eda authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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ajout exemple comportement asymptotique

parent f267b7ca
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......@@ -190,11 +190,16 @@ Un exemple peut être $f(x)=x-1$, $g(x)=x+1$ et donc $h(x)=(x-1)/(x+1)$
$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x(1-1/x)}{x(1+1/x)}=1.$$
De même quand on a $f(x)=3x^4-5x^3+1$, $g(x)=1$ et donc
$h(x)=3x^4-5x^3+1$. Il vient donc
$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4=\infty.$$
$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4\left(1-\frac{5}{3x}+\frac{1}{3x^4}\right)=\infty.$$
Si nous compliquons un peu l’exemple et que nous avons
$f(x)=x^3+3x^2+1$, $g(x)=x^2$ et donc $h(x)=(x^3+3x^2+1)/x^2$
$$\lim_{x\rightarrow\infty} (x^3+3x^2+1)/x^2=\lim_{x\rightarrow\infty} x=\infty.$$
Un cas encore un peu plus complexe serait
$f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
$$
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de
performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne
......
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