cours_17.md

title: "Tri par tas et arbres AVL"
date: "2023-03-24"

Questions sur les notions du dernier cours (1/2)

• Comment représenter un tableau sous forme d'arbre binaire?

. . .

• Qu'est-ce qu'un tas?

. . .

        | 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |

• Quel est l'arbre que cela représente?

Questions sur les notions du dernier cours (2/2)

graph TD;
    id0((1))-->id1((16));
    id0-->id2((5));
    id1-->id3((12));
    id1-->id4((4));
    id2-->id5((2));
    id2-->id6((8));
    id3-->id7((10));
    id3-->id8((6));
    id4-->id9((7));
    id4-->id10(( ));    
    style id10 fill:#fff,stroke:#fff

Exercice

• Trier par tas le tableau

        | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16

• Mettez autant de détails que possible.
• Que constatez-vous?
• Postez le résultat sur matrix.

L'algorithme du tri par tas (1/2)

\footnotesize

Deux étapes

1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.

Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)

. . .

rien tri_par_tas(tab)
    entassement(tab)
    échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
    pour i de size(tab)-1 à 2 
        tamisage(tab, 0)
        échanger(tab[0], tab[i-1])

rien entassement(tab)
    pour i de size(tab)/2-1 à 0
        tamisage(tab, i)

rien tamisage(tab, i)
    ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
    si i != ind_max
        échanger(tab[i], tab[ind_max])
        tamisage(tab, ind_max)

L'algorithme du tri par tas (2/2)

• Fonctions utilitaires

  entier ind_max(tab, i, g, d)
      ind_max = i
      si tab[ind_max] < tab[g] && size(tab) > g
          ind_max = g
      si tab[ind_mx] < tab[d] && size(tab) > d
          ind_max = d
      retourne ind_max
  
  entier gauche(i)
      retourne 2 * i + 1
  
  entier droite(i)
      retourne 2 * i + 2

Complexités

::: columns

:::: column

Complexité de la recherche

1. En moyenne?
2. Dans le pire des cas?

. . .

1. $O(\log_2(N))$
2. $O(N)$

::::

:::: column

graph TD;
    id0((10))-->id1((9));
    id0-->id8((  ));
    id1-->id2((7));
    id1-->id9((  ));
    id2-->id3((6));
    id2-->id10((  ));
    id3-->id4((5));
    id3-->id11((  ));
    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
    style id9 fill:#fff,stroke:#fff
    style id10 fill:#fff,stroke:#fff
    style id11 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::

Un meilleur arbre

• Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour être
  $O(\log_2(N))$
  ?

. . .

• Si on a environ le même nombre de nœuds dans les sous-arbres.

Définition

Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous- arbres gauche et droit vaut au plus 1.

• Si l'arbre est parfaitement équilibré, alors tout ira bien.
• Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?

. . .

• $O(\log_2(N))$
  .

Équilibre parfait ou pas?

::: columns

:::: column

graph TD;
    id0((W))-->id1((B));
    id0-->id8((Y));
    id1-->id2((A));
    id1-->id9((  ));
    id8-->id10((X));
    id8-->id11((  ));
    style id9 fill:#fff,stroke:#fff
    style id11 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::: column

. . .

É
Q
U
I
L
I
B
R
É

::::

:::

Équilibre parfait ou pas?

::: columns

:::: column

graph TD;
    id0((16))-->id1((10));
    id0-->id2((19));
    id1-->id3((8));
    id1-->id4((12));
    id4-->id5((11));
    id4-->id6((  ));
    id2-->id7((17));
    id2-->id8((  ));
    id7-->id9((  ));
    id7-->id10((18));
    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
    style id9 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::: column

. . .

P 
A
S 

É
Q
U
I
L
I
B
R
É

::::

:::

Arbres AVL

• Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?

. . .

• A l'insertion/suppression.
• Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
• On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du nombre de nœuds:
  • La hauteur
    $\sim\log_2(N)$
    .

Définition

Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.

• Relation entre nœuds et hauteur:
  $$\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.$$
• Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression
  $O(\log_2(N))$
  .

Notation

• hg: hauteur du sous-arbre gauche.
• hd: hauteur du sous-arbre droit.
• facteur d'équilibre = fe = hd - hg
• Que vaut fe si l'arbre est AVL?

. . .

• fe = {-1, 0, 1}

AVL ou pas?

::: columns

:::: column

graph TD;
    id0((12))-->id1((10));
    id0-->id2((19));
    id2-->id3((17));
    id2-->id4((97));

::::

:::: column

. . .

A
V
L

::::

:::

AVL ou pas?

::: columns

:::: column

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id2-->id3((17));
    id2-->id4((97));
    id4-->id5((37));
    id4-->id6((  ));
    style id6 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::: column

. . .

P
A
S

A
V
L

::::

:::

Insertion dans un arbre AVL (1/N)

1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.

::: columns

:::: column

• hd ? hg.
• Insertion de 4?

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));

::::

:::: column

. . .

• hd = hg

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id1-->id4((  ));
    id1-->id5((4));
    style id4 fill:#fff,stroke:#fff

• fe = -1

::::

:::

Insertion dans un arbre AVL (2/N)

1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.

::: columns

:::: column

• hd ? hg.
• Insertion de 4?

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id2-->id3((18));
    id2-->id4((  ));
    style id4 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::: column

. . .

• hd < hg

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id2-->id3((18));
    id2-->id4((  ));
    id1-->id5((  ));
    id1-->id6((4));
    style id4 fill:#fff,stroke:#fff
    style id5 fill:#fff,stroke:#fff

• fe = 0

::::

:::

Insertion dans un arbre AVL (3/N)

\footnotesize

1. On part d'un arbre AVL.
2. On insère un nouvel élément.

::: columns

:::: column

• hd ? hg.
• Insertion de 4?

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id1-->id3((  ));
    id1-->id4((6));
    id2-->id5((  ));
    id2-->id6((  ));
    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
    style id6 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::: column

. . .

• hd < hg

graph TD;
    id0((12))-->id1((1));
    id0-->id2((19));
    id1-->id3((  ));
    id1-->id4((6));
    id4-->id5((4));
    id4-->id6((  ));
    id2-->id7((  ));
    id2-->id8((  ));
    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
    style id8 fill:#fff,stroke:#fff

::::

:::

Déséquilibre! Que vaut fe?

. . .

• fe = 2

Les cas de déséquilibre

::: columns

:::: column

Cas 1a

• u, v, w même hauteur.
• déséquilibre en B après insertion dans u

::::

:::: column

Cas 1a

• Comment rééquilibrer?

. . .

• ramène u, v w à la même hauteur.
• v à droite de A (gauche de B)

::::

:::

Les cas de déséquilibre

::: columns

:::: column

Cas 1b (symétrique 1a)

::::

:::: column

Cas 1b (symétrique 1a)

• Comment rééquilibrer?

. . .

::::

:::

Les cas de déséquilibre

::: columns

:::: column

Cas 2a

• v1, v2, u, w même hauteur.
• déséquilibre en C après insertion dans v2

::::

:::: column

Cas 2a

• Comment rééquilibrer?

. . .

• ramène u, v1, v2, w à la même hauteur.
• v2 à droite de B (gauche de C)
• B à droite de A (gauche de C)
• v1 à droite de A (gauche de B)

::::

:::

Les cas de déséquilibre

::: columns

:::: column

Cas 2b (symétrique 2a)

::::

:::: column

Cas 2b (symétrique 2a)

• Comment rééquilibrer?

. . .

::::

:::