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Commit 4beb0a59 authored by iliya.saroukha's avatar iliya.saroukha :first_quarter_moon:
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...@@ -32,7 +32,7 @@ R_{f, n, a}(x) = \lvert f(x) - T_{f, n, a}(x) \rvert ...@@ -32,7 +32,7 @@ R_{f, n, a}(x) = \lvert f(x) - T_{f, n, a}(x) \rvert
$$ $$
Par conséquent, nous savons donc que l'erreur $R_{f, n, a}$ est bornée par la Par conséquent, nous savons donc que l'erreur $R_{f, n, a}$ est bornée par la
plus grande valeur du $(n + 1)$-ème terme de la série de Taylor évaluée au un plus grande valeur du $(n + 1)$ème terme de la série de Taylor évaluée au un
point $\xi$ de l'intervalle $I$. point $\xi$ de l'intervalle $I$.
$$ $$
...@@ -53,27 +53,45 @@ de précision" du polynôme, la valeur de l'erreur explose vers l'infini. ...@@ -53,27 +53,45 @@ de précision" du polynôme, la valeur de l'erreur explose vers l'infini.
# Polynômes d'interpolation # Polynômes d'interpolation
Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
d'interpolation. Ceux-ci ont été calculées grâce a la fonction `lagrange` d'interpolation. Ceux-ci ont été calculés grâce à la fonction `lagrange`
proposée dans le module `scipy.interpolate`. proposée dans le module `scipy.interpolate`.
Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en subdivisant Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en subdivisant
l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de deux manières l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de deux manières
différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage uniforme/équidistant. différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage uniforme/équidistant.
Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev (comme vous avez pu le Quant aux bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev (comme vous avez pu le
deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants). deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation avec Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation
la valeur de l'erreur commise en chaque point. jusqu'à 12 points d'interpolation.
![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate} ![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}
La raison pour laquelle nous avons choisi 12 points est due au fait que nous
allons par la suite calculer l'erreur maximale théorique commise lors de
l'interpolation. Afin de déterminer celle-ci, nous sommes à nouveau borné par
la quantité de dérivées que nous possédons de la fonction $f$. Dans notre cas vu
que nous avons accès aux 13 premières dérivées, nous pouvons donc calculer
l'erreur que pour 12 points d'interpolation.
## Erreur maximale théorique
Ci-dessous, nous pouvons visualiser l'erreur maximale théorique commise lors
de l'interpolation avec une quantité de points diverses.
![Erreur théorique maximale lors de l'interpolation](./figs/lagrange_interpolate_errmax.png){#fig-interpolate-errmax} ![Erreur théorique maximale lors de l'interpolation](./figs/lagrange_interpolate_errmax.png){#fig-interpolate-errmax}
Nous pouvons donc remarquer que plus le degré du polynôme d'interpolation Les graphiques ci-dessus, nous permettent d'observer le fait que dans le cas
augmente, plus l'erreur commise lors de l'interpolation semble diminuer, de la stratégie de points équidistants (traitillé rouge), l'erreur maximale
notamment en ce qui concerne la partie centrale de chaque graphique. Les divers théorique est très faible au niveau du centre des graphiques. Cependant, plus on
polynômes d'interpolation présentés ci-dessus ont d'ailleurs l'air de très bien s'éloigne du centre du graphique, plus l'erreur maximale croît jusqu'à devenir
approximer la fonction $f$. très grande aux extrémités du graphe. Ceci reflète notamment l'effet de Runge
produit lors de l'interpolation à travers des points équidistants. En revanche,
lors de l'interpolation à travers les points de Chebyshev (traitillé bleu), on
remarque que le "comportement" de l'erreur maximale théorique sera toujours le
même, peu importe où nous nous situons sur le graphique. Cette observation nous
permet donc de conclure le fait que l'interpolation à travers les points de
Chebyshev permettent de palier au phénomène de Runge.
## Phénomène de Runge ## Phénomène de Runge
...@@ -83,10 +101,9 @@ et avec un nombre de points croissants, on peut apercevoir un comportement ...@@ -83,10 +101,9 @@ et avec un nombre de points croissants, on peut apercevoir un comportement
le polynôme a tendance à osciller fortement vers les extrémités de l'intervalle. le polynôme a tendance à osciller fortement vers les extrémités de l'intervalle.
Sur la @fig-interpolate, il est possible de remarquer que les extrémités de Sur la @fig-interpolate, il est possible de remarquer que les extrémités de
l'intervalle $I$ sont grandement affectées par le phénomène de Runge, notamment l'intervalle $I$ sont grandement affectées par le phénomène de Runge lors de
la méthode d'interpolation avec une subdivision équidistante des points. On l'interpolation avec une subdivision équidistante des points suite aux fortes
remarque cela par le fait que la valeur de l'erreur commise (traitillé rouge, d'oscillations affichées.
pour le découpage équidistant) croît très violemment.
# Stratégie d'approximation polynomiale # Stratégie d'approximation polynomiale
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