ISC_421_Controle_4_Saroukhanian_Iliya.py

@@ -139,6 +139,8 @@ print()
 print(f"valeur de la fonction en x = {SD.Taylor_points} : {
       [SD.f(x) for x in SD.Taylor_points]}")
 print(f"valeur de la fonction en a et b:  {SD.f(SD.a), SD.f(SD.b)}")
+# print("===============================")
+# print(SD.Maximal_derivatives_values)
 
 # Exemple de graphe de la fonction f.
 # t = np.linspace(SD.a, SD.b, Nmbre_pts)
@@ -205,9 +207,11 @@ def ex2_taylor_poly():
 
 
 def ex3_lagrange_interpolation_poly():
-    nb_points = np.linspace(3, 19, 6, dtype=np.uint64)
+    nb_points = np.linspace(1, 13, 6, dtype=np.uint64)
     fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(20, 12))
 
+    t = np.linspace(SD.a, SD.b, Nmbre_pts)
+
     for i, ax in enumerate(axes.flat):
         chebyshev_points = np.cos(
             (2 * np.arange(nb_points[i]) + 1) / (2 * nb_points[i]) * np.pi)
@@ -221,13 +225,15 @@ def ex3_lagrange_interpolation_poly():
         l_poly_chebyshev_pts = lagrange(
             chebyshev_points_mapped, SD.f(chebyshev_points_mapped))
 
-        t = np.linspace(SD.a, SD.b, Nmbre_pts)
-
         ax.plot(t, SD.f(t), color='black', label='f')
         ax.plot(t, l_poly_uniform(t), color='red',
                 label='$L_{f}$, intervalle équidistants')
+        ax.plot(t, np.abs(SD.f(t) - l_poly_uniform(t)), '--', color='red',
+                label='$L_{f}$, intervalle équidistants, erreur')
         ax.plot(t, l_poly_chebyshev_pts(t), color='blue',
                 label='$L_{f}$, points de Chebyshev')
+        ax.plot(t, np.abs(SD.f(t) - l_poly_chebyshev_pts(t)), '--', color='blue',
+                label='$L_{f}$, points de Chebyshev, erreur')
         ax.plot(interpolate_pts, SD.f(interpolate_pts), 'o', color='red',
                 label='Points équidistants')
         ax.plot(chebyshev_points_mapped[::-1],
@@ -244,85 +250,71 @@ def ex3_lagrange_interpolation_poly():
     plt.show()
 
 
-def ex3_newton_interpolation_poly():
-    # merce l'ami
-    def divided_differences(x, y):
-        n = len(y)
-        coef = np.zeros([n, n])
-        coef[:, 0] = y
-
-        for j in range(1, n):
-            for i in range(n - j):
-                coef[i, j] = (coef[i + 1, j - 1] - coef[i, j - 1]) / \
-                    (x[i + j] - x[i])
-
-        return coef[0, :]
-
-    def newton_polynomial(x, x_points, coef):
-        n = len(coef)
-        p = coef[n - 1]
-        for k in range(1, n):
-            p = coef[n - k - 1] + (x - x_points[n - k - 1]) * p
-
-        return p
-
-    nb_points = np.linspace(3, 19, 6, dtype=np.uint64)
-    fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(20, 12))
-
-    t = np.linspace(SD.a, SD.b, Nmbre_pts)
-
-    for i, ax in enumerate(axes.flat):
-        chebyshev_points = np.cos(
-            (2 * np.arange(nb_points[i]) + 1) / (2 * nb_points[i]) * np.pi)
-
-        chebyshev_points_mapped = 0.5 * \
-            (SD.b - SD.a) * (chebyshev_points + 1) + SD.a
-
-        interpolate_pts = np.linspace(SD.a, SD.b, nb_points[i])
-
-        y_points_uni = SD.f(interpolate_pts)
-
-        coef_uni = divided_differences(interpolate_pts, y_points_uni)
-        y_plot_uni = newton_polynomial(t, interpolate_pts, coef_uni)
-
-        y_points_cheb = SD.f(chebyshev_points_mapped)
-
-        coef_cheb = divided_differences(chebyshev_points_mapped, y_points_cheb)
-        y_plot_cheb = newton_polynomial(t, chebyshev_points_mapped, coef_cheb)
-
-        ax.plot(t, SD.f(t), color='black', label='f')
-        ax.plot(t, y_plot_uni, color='red',
-                label='$N_{f}$, intervalle équidistants')
-        ax.plot(t, y_plot_cheb, color='blue',
-                label='$N_{f}$, points de Chebyshev')
-        ax.plot(interpolate_pts, SD.f(interpolate_pts), 'o', color='red',
-                label='Points équidistants')
-        ax.plot(chebyshev_points_mapped[::-1],
-                SD.f(chebyshev_points_mapped[::-1]), 'o', color='blue',
-                label='Points de Chebyshev')
-        ax.set_title(f'n = {nb_points[i]}')
-        ax.set_ylim([-1.2, 1.2])
-
-        ax.legend()
-
-    fig.suptitle(f'Polynôme d\'interpolation de Newton de $f$ avec 2 subdivisions différentes d\'intervalle: Équidistantes (rouge) / Points de Chebyshev (bleu)')
-
-    fig.tight_layout()
-    plt.show()
-
-
-ex3_newton_interpolation_poly()
-
-
-# Graphique des polynômes de Taylor
-# fig, axes = plt.subplots(1, 3)
-# for i, pt in enumerate(SD.Taylor_points):
-#     ax = axes[i]
+ex3_lagrange_interpolation_poly()
+
+
+# def ex3_newton_interpolation_poly():
+#     # merce l'ami
+#     def divided_differences(x, y):
+#         n = len(y)
+#         coef = np.zeros([n, n])
+#         coef[:, 0] = y
+#
+#         for j in range(1, n):
+#             for i in range(n - j):
+#                 coef[i, j] = (coef[i + 1, j - 1] - coef[i, j - 1]) / \
+#                     (x[i + j] - x[i])
+#
+#         return coef[0, :]
+#
+#     def newton_polynomial(x, x_points, coef):
+#         n = len(coef)
+#         p = coef[n - 1]
+#         for k in range(1, n):
+#             p = coef[n - k - 1] + (x - x_points[n - k - 1]) * p
+#
+#         return p
+#
+#     nb_points = np.linspace(3, 19, 6, dtype=np.uint64)
+#     fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(20, 12))
+#
 #     t = np.linspace(SD.a, SD.b, Nmbre_pts)
-#     ax.plot(t, SD.f(t), label="Fonction f(x)")
-#     taylor_poly = np.poly1d(
-#         SD.Taylor_derivatives_values[SD.Taylor_points[i]][::-1])
-#     ax.plot(t, taylor_poly(t), label=f"Polynôme de Taylor en x={pt}")
-#     ax.legend()
-#     ax.set_title(f"Polynôme de Taylor en x={pt}")
-# plt.show()
+#
+#     for i, ax in enumerate(axes.flat):
+#         chebyshev_points = np.cos(
+#             (2 * np.arange(nb_points[i]) + 1) / (2 * nb_points[i]) * np.pi)
+#
+#         chebyshev_points_mapped = 0.5 * \
+#             (SD.b - SD.a) * (chebyshev_points + 1) + SD.a
+#
+#         interpolate_pts = np.linspace(SD.a, SD.b, nb_points[i])
+#
+#         y_points_uni = SD.f(interpolate_pts)
+#
+#         coef_uni = divided_differences(interpolate_pts, y_points_uni)
+#         y_plot_uni = newton_polynomial(t, interpolate_pts, coef_uni)
+#
+#         y_points_cheb = SD.f(chebyshev_points_mapped)
+#
+#         coef_cheb = divided_differences(chebyshev_points_mapped, y_points_cheb)
+#         y_plot_cheb = newton_polynomial(t, chebyshev_points_mapped, coef_cheb)
+#
+#         ax.plot(t, SD.f(t), color='black', label='f')
+#         ax.plot(t, y_plot_uni, color='red',
+#                 label='$N_{f}$, intervalle équidistants')
+#         ax.plot(t, y_plot_cheb, color='blue',
+#                 label='$N_{f}$, points de Chebyshev')
+#         ax.plot(interpolate_pts, SD.f(interpolate_pts), 'o', color='red',
+#                 label='Points équidistants')
+#         ax.plot(chebyshev_points_mapped[::-1],
+#                 SD.f(chebyshev_points_mapped[::-1]), 'o', color='blue',
+#                 label='Points de Chebyshev')
+#         ax.set_title(f'n = {nb_points[i]}')
+#         ax.set_ylim([-1.2, 1.2])
+#
+#         ax.legend()
+#
+#     fig.suptitle(f'Polynôme d\'interpolation de Newton de $f$ avec 2 subdivisions différentes d\'intervalle: Équidistantes (rouge) / Points de Chebyshev (bleu)')
+#
+#     fig.tight_layout()
+#     plt.show()

report.qmd

@@ -22,41 +22,58 @@ format:
 
 ![Graphiques de la fonction $f$ et de ses développements de Taylor en divers points](./figs/ex2_taylor.png)
 
-::: {#thm-taylor-errmax}
-
 ## L'erreur maximale théorique
 
-À défaut de ne pas vouloir recopier l'entièreté du polycopié de M. Baillif, je
-vais me restreindre à simplement copier-coller la formule en \text{\LaTeX} parce que
-ça fait toujours plaisir.
+L'erreur $R_{f, n, a}$ commise en un point lors de l'évaluation du polynôme de
+Taylor d'une fonction est définie de la sorte :
 
 $$
-R_{f, n, a}(x) = \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n + 1)}(\xi)(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \right|
+R_{f, n, a}(x) = \lvert f(x) - T_{f, n, a}(x) \rvert
 $$
-:::
-
-# Polynômes d'interpolation
-
-Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
-d'interpolation. Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en
-subdivisant l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de
-deux manières différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage
-uniforme / équidistant. Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev
-(comme vous avez pu le deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
-
-## Lagrange
 
-Le graphique ci-dessous met en avant l'interpolation par le polynôme de
-Lagrange.
+Par conséquent, nous savons donc que l'erreur $R_{f, n, a}$ est bornée par la
+plus grande valeur du $(n + 1)$-ème terme de la série de Taylor évaluée au un
+point $\xi$ de l'intervalle $I$.
 
-![Polynôme d'interpolation de Lagrange avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png)
-
-## Newton
+$$
+R_{f, n, a}(x) \leq \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n + 1)}(\xi)(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \right|
+$$
 
-Le graphique ci-dessous met en avant l'interpolation par le polynôme de
-Newton.
+# Polynômes d'interpolation
 
-![Polynôme d'interpolation de Newton avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/newton_interpolate.png)
+Dans cette partie, nous allons présenter les graphiques de divers polynômes
+d'interpolation. Ceux-ci ont été calculées grâce a la fonction `lagrange`
+proposée dans le module `scipy.interpolate`.
+
+Il était aussi demandé d'effectuer ces interpolations en subdivisant
+l'intervalle $I = [a, b]$ (où $a = 1$ et $b = 4$ dans mon cas) de deux manières
+différentes. Les points rouges réprensentent donc le découpage uniforme/équidistant.
+Quant au bleus, ceux-ci sont les points de Chebyshev (comme vous avez pu le
+deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
+
+Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation avec
+la valeur de l'erreur commise en chaque point. 
+
+![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}
+
+Nous pouvons donc remarquer que plus le degré du polynôme d'interpolation
+augmente, plus l'erreur commise lors de l'interpolation semble diminuer,
+notamment en ce qui concerne la partie centrale de chaque graphique. Les divers
+polynômes d'interpolation présentés ci-dessus ont d'ailleurs l'air de très bien
+approximer la fonction $f$.
+
+## Phénomène de Runge
+
+Lorsqu'on calcule des polynômes d'interpolation dans un certain intervalle $I$
+et avec un nombre de points croissants, on peut apercevoir un comportement
+étrange au bord de cet intervalle. Plus le nombre de points augmente, plus
+le polynôme a tendance à osciller fortement vers les extrémités de l'intervalle.
+
+Sur la @fig-interpolate, il est possible de remarquer que les extrémités de
+l'intervalle $I$ sont grandement affectées par le phénomène de Runge, notamment
+la méthode d'interpolation avec une subdivision équidistante des points. On
+remarque cela par le fait que la valeur de l'erreur commise (traitillé rouge,
+pour le découpage équidistant) croît très violemment.
 
 # Exercice 3