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report.qmd

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@@ -41,14 +42,15 @@ $$
 
 Ceci implique donc que l'erreur maximale théorique commise lors de l'évaluation
 du polynôme de Taylor dépend de son degré et donc par définition du "degré" de
-la dérivé de la fonction $f$ auquel on a accès.
+la dérivée auquel on a accès de la fonction $f$.
 
 Sur la @fig-taylor, lors de la construction des polynômes de Taylor, nous pouvons
 observer l'erreur maximale théorique commise (en traitillé). Il est pertinent
-de remarquer que localement autour du point $a_{i}$ par rapport auquel le
-polynôme de Taylor est construit, l'erreur maximale est de 0 (du moins, tend
-fortement vers 0). Cependant, dès qu'on atteint les limites de "l'intervalle
-de précision" du polynôme, la valeur de l'erreur explose vers l'infini.
+de remarquer que localement autour des points $a_{i}$ par rapport auxquels les
+polynômes de Taylor sont construits, l'erreur maximale théorique est de 0 (du
+moins, elle tend fortement vers cette valeur). Cependant, dès qu'on atteint les
+limites de "l'intervalle de précision" du polynôme, la valeur de l'erreur
+explose vers l'infini.
 
 # Polynômes d'interpolation
 
@@ -65,33 +67,36 @@ deviner, ceux-ci ne sont pas équidistants).
 Les graphiques ci-dessous mettent en avant les divers polynômes d'interpolation
 jusqu'à 12 points d'interpolation.
 
-![Polynôme d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}
+![Polynômes d'interpolation avec 2 subdivisions d'intervalle différentes](./figs/lagrange_interpolate.png){#fig-interpolate}
 
 La raison pour laquelle nous avons choisi 12 points est due au fait que nous
 allons par la suite calculer l'erreur maximale théorique commise lors de
 l'interpolation. Afin de déterminer celle-ci, nous sommes à nouveau borné par
-la quantité de dérivées que nous possédons de la fonction $f$. Dans notre cas vu
-que nous avons accès aux 13 premières dérivées, nous pouvons donc calculer
-l'erreur que pour 12 points d'interpolation.
+la quantité de dérivées que nous possédons de la fonction $f$. Dans notre cas,
+vu que nous avons accès aux 13 premières dérivées, nous pouvons donc calculer
+l'erreur pour 12 points d'interpolation.
 
 ## Erreur maximale théorique
 
 Ci-dessous, nous pouvons visualiser l'erreur maximale théorique commise lors
-de l'interpolation avec une quantité de points diverses.
+de l'interpolation avec une quantité de points diverses (jusqu'à 12 inclus).
 
 ![Erreur théorique maximale lors de l'interpolation](./figs/lagrange_interpolate_errmax.png){#fig-interpolate-errmax}
 
 Les graphiques ci-dessus, nous permettent d'observer le fait que dans le cas
 de la stratégie de points équidistants (traitillé rouge), l'erreur maximale
-théorique est très faible au niveau du centre des graphiques. Cependant, plus on
-s'éloigne du centre du graphique, plus l'erreur maximale croît jusqu'à devenir
-très grande aux extrémités du graphe. Ceci reflète notamment l'effet de Runge
-produit lors de l'interpolation à travers des points équidistants. En revanche, 
-lors de l'interpolation à travers les points de Chebyshev (traitillé bleu), on
-remarque que le "comportement" de l'erreur maximale théorique sera toujours le
-même, peu importe où nous nous situons sur le graphique. Cette observation nous
-permet donc de conclure le fait que l'interpolation à travers les points de
-Chebyshev permettent de palier au phénomène de Runge.
+théorique s'affaiblit au niveau du centre des graphiques plus on augmente le
+nombre de points d'interpolation. Cependant, plus on s'éloigne du centre du
+graphique, plus l'erreur maximale croît jusqu'à devenir très grande aux
+extrémités du graphe. Ceci reflète notamment l'effet de Runge produit lors de
+l'interpolation à travers des points équidistants. En revanche, lors de
+l'interpolation à travers les points de Chebyshev (traitillé bleu), on remarque
+que le "comportement" de l'erreur maximale théorique reste toujours le même, peu
+importe où nous nous situons sur le graphique. Cette observation nous permet
+donc de conclure que l'interpolation à travers les points de Chebyshev
+permettent de palier au phénomène de Runge mais avec un potentiel _"trade-off"_
+(en bon français) en terme de précision d'interpolation au niveau du centre du
+graphique.
 
 ## Phénomène de Runge
 
@@ -116,10 +121,25 @@ Afin d'y remédier et d'obtenir tout de même des interpolations correctes, il
 est potentiellement possible, de subdiviser l'intervalle $I = [a, b]$ en
 sous-intervalles plus petits à travers lesquels nous utiliserons des polynômes
 d'interpolation de faible degré (maximum 3) pour palier aux oscillations qui sont
-introduites par des polynômes de fort degré.
+introduites par des polynômes de fort degré interpoler à travers de points
+équidistants.
 
 Ayant introduit cette stratégie, il est important de se rendre compte qu'un
 polynôme d'interpolation de faible degré n'est précis que de manière locale.
 Ceci implique donc le fait qu'il sera nécessaire d'approximer tous les points
 de manière locale à l'aide d'un polynôme de degré faible puis de finalement,
 construire un assemblage de tous ces polynômes en un seul qui minimisera l'erreur.
+
+# Calcul des dérivées à l'aide des $\delta^{k}y$ du polynôme de Newton
+
+"Les différences divisées $\delta^{k}y[x_{0}, \ldots, x_{k}]$ peuvent s’interpréter
+comme les _dérivées discrètes_ de la fonction $f(x)$. En effet, si on considère
+$\delta^{1}y[x_{0}, x{1}]$, alors si $x_{0}$ est très proche de $x_{1}$, par
+exemple $x_{1}$ = $x_{0} + h$ (et en rappelant que $f(x_{k}) = y_{k}$), on voit
+que"[^1]
+
+$$
+\delta^{1}y[x_{0}, x_{1}] = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{f(x_{1}) - f(x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} \simeq f'(x_{0})
+$$
+
+[^1]: [Approximation polynomiale 2024](https://cyberlearn.hes-so.ch/pluginfile.php/1223808/mod_folder/content/0/interpolation.pdf), Dr. Mathieu Baillif