Skip to content
Snippets Groups Projects
Verified Commit cc0a0508 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
Browse files

updated 22

parent 4cefffd8
Branches
No related tags found
No related merge requests found
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
Showing
with 1 addition and 285 deletions
slides/cours_22.md
+ 1
− 285
View file @ cc0a0508
--- ---
title: "Arbres quaternaires" title: "Arbres quaternaires"
date: "2024-05-30" date: "2024-04-30"
--- ---
# Rappel sur ls arbres quaternaires # Rappel sur ls arbres quaternaires
...@@ -937,287 +937,3 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta) ...@@ -937,287 +937,3 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta) maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
``` ```
# Les B-arbres
\Huge
Les B-arbres
# Les B-arbres
## Problématique
* Grands jeux de données (en 1970).
* Stockage dans un arbre, mais l'arbre tiens pas en mémoire.
* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
## Exemple
* 100 nœuds par page et l'arbre comporte $10^6$ nœuds:
* Recherche B-arbre: $\log_{100}(10^6)=3$;
* Recherche ABR: $\log_2(10^6)=20$.
* Si on doit lire depuis le disque: $10\mathrm{ms}$ par recherche+lecture:
* $30\mathrm{ms}$ (lecture beaucoup plus rapide que recherche) vs $200\mathrm{ms}=0.2\mathrm{s}$.
## Remarques
* On sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
* Variante plus récente B+-arbres.
# Les B-arbres
## Illustration, arbre divisé en pages de 3 nœuds
![Arbre divisé en pages de 3 nœuds](figs/barbres_page3.png)
. . .
## Utilisation
* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
* Système de fichier.
# Les B-arbres
## Avantages
* Arbres moins profonds;
* Diminue les opération de rééquilibrage;
* Complexité toujours en $\log(N)$;
. . .
## Définition: B-arbre d'ordre $n$
* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
* $0$ descendants;
* $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Est-ce un B-arbre?
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
## Oui!
* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ nœuds: check;
* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
# Les B-arbres
## Exemple de recherche: trouver `32`
![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
. . .
* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
# Les B-arbres
## La recherche de la clé `C` algorithme
0. En partant de la racine.
1. Si on est dans une feuille:
* Si la `C` est dans une page, retourner la page;
* Sinon c'est perdu.
2. Sinon:
* Tant que `C > page` passer à la page suivante
* Descendre
# Les B-arbres
## Disclaimer
* Inspiration de <https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree>
## Exemples d'insertion: `1`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_1.svg)
. . .
* L'arbre est vide, on insère juste dans la première page.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `2`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_2.svg)
. . .
* La première page est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_2.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `3`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
. . .
* La page est pleine, on crée deux enfants.
* On choisit, `2`, la médiane de `1, 2, 3` et il est inséré à la racine.
* `1` descend à gauche, `3` descend à droite.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `4`
![B-arbre d'ordre 1. Nombre enfants 0 ou 2.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
. . .
* On pourrait insérer à droite de `2`, mais... ça ferait 2 parents pour 2 enfants (mais `m` parents => `m+1` enfants ou `0`);
* On descend à droite (`4 > 2`);
* On insère à droite de `3`.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `5`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg)
. . .
* On descend à droite (on peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
* On crée un nouveau nœud à droite de `4`;
* La règle `m => m+1` est ok.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `6`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg)
. . .
* `6 > 4` on descend à droite;
* `6 > 5` et on a à la place à droite, on insère.
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg){width=50%}
* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
# Les B-arbres
## Exemples d'insertion: `7`
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
. . .
* `7 > 4` on descend à droite;
* `7 > 6` mais on a dépassé la capacité;
* `6` est la médiane de `5, 6, 7`, remonte à la racine;
* `5` reste à gauche, `7` à droite, mais `6` fait dépasser la capacité de la racine;
* `4` est la médiane de `2, 4, 6`, `4` remonte, `2` reste à gauche, `6` à droite.
# Les B-arbres
## L'algorithme d'insertion
0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `22, 45, 50` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex1.png)
. . .
![](figs/barbres_ex2.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `5` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex2.png)
. . .
![](figs/barbres_ex3.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `32, 55, 60` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex3.png)
. . .
![](figs/barbres_ex4.png)
# Les B-arbres
## Exercice: insérer `41` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
![](figs/barbres_ex4.png)
. . .
![](figs/barbres_ex5.png)
# Les B-arbres
## Exercice (matrix, 15min)
* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
* Dans un B-arbre d'ordre 2.
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment