added example

slides/cours_25.md

@@ -592,4 +592,78 @@ O(V)            fp = changer_priorité(fp, v, n_distance)
 
 ## Solution alternative: Floyd--Warshall
 
-* Complexité $\mathcal{O}(|V|^3)$, indiqué pour graphes denses.
+* Pour toutes paires de sommets $u,v\in V$, trouver le chemin de poids minimal reliant $u$ à $v$.
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+* Complexité $\mathcal{O}(|V|^3)$, indiqué pour graphes denses.
+* Fonctionne avec la matrice d'adjacence.
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## Idée générale
+
+* Soit l'ensemble de sommets $V=\{1, 2, 3, 4, ..., n\}$.
+* Pour toute paire de sommets, $i,j$, on considère tous les chemins passant par les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$ avec $k\leq n$.
+* On garde pour chaque $k$ la plus petite valeur.
+
+## Principe
+
+* A chaque étape, $k$, on vérifie s'il est plus court d'aller de $i$ à $j$ en passant par le sommet $k$.
+* Si à l'étape $k-1$, le coût du parcours est $p$, on vérifie si $p$ est plus petit que $p_1+p_2$, le chemin de $i$ à $k$, et $k$ à $j$ respectivement.
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## The algorithme
+
+Soit $d_{ij}(k)$ le plus court chemin de $i$ à $j$ passant par les sommets $\in\{1,2,...,k\}$
+
+$$
+d_{ij}(k)=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         w(i,j), & \mbox{si } k=0,\\
+         \min(d_{ij}(k-1),d_{ik}(k-1)+d_{kj}(k-1)), & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(0)}$?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(0)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2      & 4      & \infty & 3 \\
+2      & 0      & 8      & \infty & 1 \\
+6      & 2      & 0      & 4      & 3 \\
+1      & \infty & \infty & 0      & 5 \\
+\infty & \infty & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+
+
+
+## The pseudo-code (10min)
+
+* Quelle structure de données?
+* Quelle initialisation?
+* Quel est le code pour 
+
+. . .
+