find floyd

slides/cours_25.md

@@ -949,7 +949,8 @@ matrice floyd_warshall(distance, n, w)
     pour k de 1 à n
         pour i de 1 à n
             pour j de 1 à n
-                distance[i][j] = min(distance[i][j], distance[i][k] + distance[k][j])
+                distance[i][j] = min(distance[i][j], 
+                    distance[i][k] + distance[k][j])
     retourne distance
 ```
 
@@ -957,3 +958,134 @@ matrice floyd_warshall(distance, n, w)
 
 ## La matrice de précédence
 
+* On a pas encore vu comment reconstruire le plusc court chemin!
+* On définit, $P_{ij}^{(k)}$, qui est le prédécesseur du sommet $j$ depuis $i$ avec les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$.
+$$
+P^{(0)}_{ij}=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         \mbox{vide}, & \mbox{si } i=j\mbox{, ou }w(i,j)=\infty\\
+         i, & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+* Mise à jour
+$$
+P^{(k)}_{ij}=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         P^{(k-1)}_{\mathbf{i}j}, & \mbox{si } d_{ij}^{(k)}\leq d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}\\
+         P^{(k-1)}_{\mathbf{k}j}, & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+. . .
+
+* Moralité: si le chemin est plus court en passant par $k$, alors il faut qu'il soit le prédécesseur!
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## La matrice de précédence (pseudo-code, 3min)
+
+. . .
+
+```C
+matrice, matrice floyd_warshall(distance, n, w)
+    pour k de 1 à n
+        pour i de 1 à n
+            pour j de 1 à n
+                n_distance = distance[i][k] + distance[k][j]
+                if n_distance < distance[i][j]
+                    distance[i][j] = n_distance
+                    précédence[i][j] = précédence[k][j]
+    retourne distance, précédence
+```
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $P^{(0)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+P^{(0)}=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & -          & 1 \\
+2          & -          & 2         & -          & 2 \\
+3          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & -          & -         & -          & 4 \\
+-          & -          & -         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $P^{(5)}$ (10min)?
+
+. . .
+
+$$
+P^{(5)}=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & 5          & 1 \\
+2          & -          & 1         & 5          & 2 \\
+2          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & 1          & 1         & -          & 1 \\
+4          & 1          & 1         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercice: retrouver le chemin entre 1 et 4 (5min)
+
+$$
+P=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & 5          & 1 \\
+2          & -          & 1         & 5          & 2 \\
+2          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & 1          & 1         & -          & 4 \\
+4          & 1          & 1         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+. . .
+
+## Solution
+
+* Le sommet $5=P_{14}$, on a donc, $5\rightarrow 4$, on veut connaître le prédécesseur de 5.
+* Le sommet $1=P_{15}$, on a donc, $1\rightarrow 5\rightarrow 4$. The end.
+
+# Exercice complet
+
+## Appliquer l'algorithme de Floyd--Warshall au graphe suivant
+
+![The exorcist.](figs/floyd_exercice.png)