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Commit a8a719c9 authored by paul.albuquer's avatar paul.albuquer
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...@@ -386,17 +386,132 @@ $$ ...@@ -386,17 +386,132 @@ $$
* Nombres de $0=0000.0000$ à $15.9375=1111.1111$. * Nombres de $0=0000.0000$ à $15.9375=1111.1111$.
* Beaucoup de "trous" (au moins $0.0625$) entre deux nombres. * Beaucoup de "trous" (au moins $0.0625$) entre deux nombres.
## Solution? ## Solution partielle?
. . . . . .
* Rajouter des bits. * Rajouter des bits.
* Bouger la virgule. * Bouger la virgule.
# Nombres à virgule flottante (1/N) # Nombres à virgule flottante (1/2)
## Notation scientifique
* Les nombres sont représentés en terme:
* Une mantisse
* Une base
* Un exposant
$$
\underbrace{22.1214}_{\mbox{nombre}}=\underbrace{221214}_{\mbox{mantisse}}\cdot
{\underbrace{10}_{\mbox{base}}}{\overbrace{^{-4}}^{\mbox{exp.}}},
$$
. . .
On peut donc séparer la représentation en 2:
* La mantisse
* L'exposant
# Nombres à virgule flottante (2/2)
## Quel est l'avantage?
. . .
On peut représenter des nombres sur énormément d'ordres de grandeur avec un
nombre de bits fixés.
## Différence fondamentale avec la virgule fixe?
. . .
La précision des nombres est **variable**:
* On a uniquement un nombre de chiffres **significatifs**.
$$
123456\cdot 10^23+ 123456\cdot 10^{-23}.
$$
## Quel inconvénient y a-t-il?
. . .
Ce mélange d'échelles entraîne un **perte de précision**.
# Nombres à virgule flottante simple précision (1/N)
Aussi appelés *IEEE 754 single-precision binary floating point*.
![Nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example_bare.svg)
## Spécification
* 1 bit de signe,
* 8 bits d'exposant,
* 23 bits de mantisse.
$$
(-1)^{b_{31}}\cdot 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\cdot (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2},
$$
## Calculer la valeur décimale du nombre ci-dessus
# Nombres à virgule flottante simple précision (2/N)
![Un exercice de nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example.svg)
. . .
\begin{align}
\mbox{exposant}&=\sum_{i=0}^7 b_{23+i}2^i=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=124-127,\\
\mbox{mantisse}&=1+\sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+2^{-2}=1.25,\\
&\Rightarrow (-1)^0\cdot 2^{-3}\cdot 1.25=0.15625
\end{align}
# Nombres à virgule flottante simple précision (3/N)
## Quel nombre ne peux pas être vraiment représenté?
. . .
## Zéro: exception pour l'exposant
* Si l'exposant est `00000000` (zéro)
$$
(-1)^{\mbox{sign}}\cdot 2^{-126}\cdot 0.\mbox{mantisse},
$$
* Sinon si l'exposant est `00000001` à `11111110`
$$
\mbox{valeur normale},
$$
* Sinon `1111111` donne `NaN`.
# Nombres à virgule flottante simple précision (4/N)
## Quels sont les plus petits/grands nombres positifs représentables?
. . .
\begin{align}
0\ 0\dots0\ 0\dots01&=2^{-126}\cdot 2^{-23}=1.4...\cdot
10^{-45},\\
0\ 1\dots10\ 1\dots1&=2^{127}\cdot (2-2^{-23})=3.4...\cdot
10^{38}.
\end{align}
## Combien de chiffres significatifs en décimal?
. . .
* 24 bits ($23 + 1$) sont utiles pour la mantisse, soit $2^{24}-1$:
* $\sim2^{24}-1\sim 10^7$, ou encore
* $\sim \log_10(2^{24})\sim 7$,
* Environ **sept** chiffres significatifs.
# Erreurs d'arrondi
<!-- # TODO -- <!-- # TODO --
......
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<tspan x="6">31</tspan>
<tspan x="27">30</tspan>
<tspan x="126">23</tspan>
<tspan x="146">22</tspan>
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<text x="243" y="44.5">(bit index)</text>
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