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Commit f2218b2d authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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......@@ -3331,7 +3331,367 @@ Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous avons vus pl
\end{exercice}
\section{Exemple du jeu de dé}
On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une \textit{expérience aléatoire}, car
on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience.
Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
qui sera utile pour la suite.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
\item[$\bullet$] Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté $\omega\in\Omega$, est appelé une \textit{éventualité}.
\item[$\bullet$] Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s'appelle un \textit{événement}.
Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événement élémentaire}.
\item[$\bullet$] On dit que l'événement $A$ est \textit{réalisé} si on obtient $2$, $4$, ou $6$ en lançant le dé.
\item[$\bullet$] \textit{L'événement certain} est l'univers en entier. On est certain de réaliser l'événement.
\item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple.
\item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
\end{itemize}
Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.
Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
du lancer de dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc
\begin{equation}
p(6)=\frac{1}{6}.
\end{equation}
Pour le cas du lancer de dé, on dit qu'on a un processus qui est \textit{équiprobable}. En effet,
la probabilité de réaliser chacun des événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité de tirer
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un tirage pair, $A=\{2,4,6\}$,
alors on trouve
\begin{equation}
p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
\end{equation}
De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
\begin{equation}
p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
\end{equation}
Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer n'importe quel élément dans l'univers, on a
\begin{equation}
p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.
\end{equation}
De même la probabilité de réaliser l'événement impossible est de
\begin{equation}
p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.
\end{equation}
On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que $0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$.
La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l'événement $\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donné par
$1$ moins la probabilité de réaliser $A=\{6\}$, il vient
\begin{equation}
p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.
\end{equation}
De même la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la probabilité de réaliser
l'événement pair
\begin{equation}
p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.
\end{equation}
\subsection{Evénements disjoints}\label{subsec_disjoints}
Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$.
Comme $A$ et $B$ n'ont pas d'éléments en commun, on dit que c'est deux événements \textit{disjoints}.
Les probabilités de réalisation de ces événements sont donc
\begin{align}
p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\
p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
\end{align}
On va se poser deux questions à présent
\begin{enumerate}
\item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $B$, donc de tirer
un dé dont le résultat sera dans l'ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est
\begin{equation}
p(C)=\frac{5}{6}.
\end{equation}
Une coincidence intéressante (qui n'est en fait pas une coincidence) est que
\begin{equation}
p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.
\end{equation}
\item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et réaliser $B$ en même temps,
donc de tirer un dé qui sera dans l'ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu
que la probabilité $p(\emptyset)=0$.
\end{enumerate}
On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité de réaliser
l'un ou l'autre des événements est simplement la somme des probabilités de réaliser chacun des événements.
Inversément la probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle.
Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$.
On a donc une autre façon de calculer $p(A)$
\begin{equation}
p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
\end{equation}
On a donc que la probabilité de réaliser un événement est la somme des événements élémentaires qui le composent.
\subsection{Evénements complémentaires}
Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l'événement $B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L'événement
$B$ est appelé \textit{l'événement complémentaire} de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser
$\bar A$ est la même chose que de réaliser l'événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$.
On vérifie aisément dans ce cas que
\begin{equation}
\Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}.
\end{equation}
On a donc
\begin{equation}
p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1.
\end{equation}
De plus de ce qu'on a vu précédemment,
on a que
\begin{equation}
p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A).
\end{equation}
En combinant ces deux derniers résultats, il vient que
\begin{equation}
p(A)+p(\bar A)=1.
\end{equation}
On en déduit que
\begin{equation}
p(\bar A)=1-p(\bar A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
\end{equation}
Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$
\begin{equation}
p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
\end{equation}
Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si on connaît $p(A)$.
\subsection{Evénements non-disjoints}
Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois $B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements
respectifs sont
\begin{align}
p(A)&=\frac{1}{3},\\
p(B)&=\frac{2}{3}.
\end{align}
La probabilité de réaliser $A$ et $B$ est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$
\begin{equation}
p(C)=\frac{1}{6}.
\end{equation}
Si on cherche à présent la probabilité de réaliser $A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que
\begin{equation}
p(D)=\frac{5}{6}.
\end{equation}
Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont constate
\begin{equation}
\frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1.
\end{equation}
L'inégalité est dûe au fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double la probabilité de tirer l'éventualité $2$,
qui est l'intersection de $A$ et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ à partir de la somme $p(A)+p(B)$ il suffit d'enlever
la probabilité de tirer l'intersection $C$. On a donc
\begin{equation}
\frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
\end{equation}
De façon complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la probabilité de réaliser l'union de deux événement $A$ et $B$
\begin{equation}
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
\end{equation}
Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors
\begin{equation}
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).
\end{equation}
\subsection{Tirages multiples}
Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique.
A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences
de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont
successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de
cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun des dés
\begin{equation}
\Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.
\end{equation}
Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage
a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas.
On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$.
Comme précédemment la probabilité de réaliser l'événement $A$ est le nombre d'éléments dans $A$ divisé par le nombre d'éléments dans $\Omega$.
La probabilité est donc immédiatement obtenue
\begin{equation}
p(A)=\frac{1}{36}.
\end{equation}
Une autre façon de visualiser ce genre de réalisation est de l'écrire sous forme d'arbre
(voir la figure \ref{fig_arbre}).
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre.pdf}
\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre.}\label{fig_arbre}
\end{figure}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est équiprobable et la probabilité
de chaque tirage est de $1/36$.
Une autre façon de calculer la probabilité d'obtenir $A=\{26\}$ est de constater que la probabilié
d'obtenir ce tirage succesif est la probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La probabilité
de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements élémentaires
\begin{equation}
p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.
\end{equation}
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre2.pdf}
\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.}\label{fig_arbre2}
\end{figure}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le chemin menant de la racine à la feuille correspondante
et de multiplier les probabilités inscrites sur chacune des branches.
Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second,
on a trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte toutes les possibilités. L'événement
précédent s'écrit
\begin{equation}
A=\{22,24,26,42,44,46\}.
\end{equation}
On a donc que $p(A)$ est donné par
\begin{equation}
p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
\end{equation}
L'autre façon (plus simple) est d'utiliser la propriété du produit des probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un
$2$ ou un $4$ avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre pair avec le deuxième est de
$1/2$. On a donc finalement que
\begin{equation}
p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
\end{equation}
Finalement, on peut aussi utiliser la représentation sous forme d'arbre
où on somme simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$
(voir figure \ref{fig_arbre3}).
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre3.pdf}
\caption{Représentation de l'événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.
Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier
l'affichage.}\label{fig_arbre3}
\end{figure}
Comme vu dans la section \ref{subsec_disjoints}, il suffit de prendre la somme des
probabilités des événements élémentaires
\begin{align}
p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\
&=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\
&=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
\end{align}
Si à présent l'ordre dans lequel les dés sont tirés n'a plus d'importance le calcul de probabilités change un peu.
On désire savoir quelle est la probabilité d'obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On peut donc obtenir
cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$
est donc
\begin{equation}
p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.
\end{equation}
On peut calculer cette probabilité de nouveau avec l'arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple
dans bien des cas est d'utiliser les produits de probabilités. La probabilité de tirer
$26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d'abord $2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d'abord tiré $6$
ou $6$ si on a d'abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$ est de $1/3$, puis la probabilité de tirer
le nombre restant est de $1/6$. On a donc que
\begin{equation}
p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.
\end{equation}
\begin{exercices}
\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité d'obtenir $2$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
\item Calculer la probabilité d'obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
\item Calculer la probabilité d'obtenir $7$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
\item Calculer la probabilité d'obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés.
\item Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés. Pouvez vous généraliser à $n$ dés?
\item Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilité (pile ou face par exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles
si on tire $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant $m$ possibilités qu'on tire $n$ fois?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Exemple du lotto}
Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6,
qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac.
On appelle ce genre de tirage \textit{sans remise}. Contrairement au cas des dés vus dans
la section précédente qui était `\textit{avec remise}.
On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d'obtenir
une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance
(ce qui n'est pas le cas du lotto).
Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial.
En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}.
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf}
\caption{Les six numéros présents initialement dans le sac.}\label{fig_loto}
\end{figure}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}). Notons que le tirage du 2 a une probabilité $\frac{1}{6}$.
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf}
\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2}
\end{figure}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir
(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}).
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf}
\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.}\label{fig_loto3}
\end{figure}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des nombres restant,
disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure \ref{fig_loto4}).
\begin{figure}[htp]
\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto4.pdf}
\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.}\label{fig_loto4}
\end{figure}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et ainsi de suite.
On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
\begin{equation}
p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.
\end{equation}
A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer
ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis
$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5.
Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
\begin{exercices}
\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles.
Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
\item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de
gagner au swiss lotto..
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Quelques exercices}
Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
\begin{enumerate}
\item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
Calculer et comparer les probabilités des deux événements suivants
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Tirer deux boules de même couleur.
\item[$\bullet$] Tirer deux boules de couleurs différentes.
\end{itemize}
\item Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l'une des trois boîtes $A$, $B$, ou $C$. A chaque bifurcation, la bille
tombe à gauche avec la probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir figure \ref{fig_bille})
\begin{figure}[htp]
\begin{center}
\includegraphics[height=2.8truecm]{figs/bille.pdf}
\end{center}
\caption{Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou $C$.}\label{fig_bille}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu'une bille lâchée de O tombe respectivement
dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
\item[$\bullet$] On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que les deux billes tombent dans la même boîte.
\item[$\bullet$] On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir une bille dans chaque boîte.
\item[$\bullet$] On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir au moins trois billes dans la boîte B.
\end{itemize}
\item A la naissance, la probabilité qu'un enfant soit un garçon
est de $p(G)=0.514$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
\end{itemize}
\end{enumerate}
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