Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 295d1cbf authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
Browse files

Merge branch 'master' of ssh://ssh.hesge.ch:10572/orestis.malaspin/math_tech_info into master

parents e2945b4f 9b999879
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
Showing
with 320 additions and 230 deletions
.gitlab-ci.yml
+ 7
− 7
View file @ 295d1cbf
......@@ -37,12 +37,12 @@ build_only:
- make deploy
- rsync -avzz mti ur1bg_malas@ur1bg.ftp.infomaniak.com:web/malaspinas/
#build_artifacts:
# script:
# - make
# artifacts:
# paths:
# - "cours.html"
# - "cours.pdf"
build_artifacts:
script:
- make
artifacts:
paths:
- "cours.html"
- "cours.pdf"
#only:
# - tags
01_rappel.md
+ 24
− 24
View file @ 295d1cbf
......@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
---
Exemple (Fonctions, généralités) +.#
#### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned}
......@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
---
Exemple (Fonctions) +.#
#### Exemple (Fonctions) {-}
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
......@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
---
Exemple (Fonction inverse) +.#
#### Exemple (Fonction inverse) {-}
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
......@@ -68,14 +68,14 @@ Exemple (Fonction inverse) +.#
## Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.#
#### Définition (Domaine de définition) {-}
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
---
Exemple (Domaine de définition) +.#
#### Exemple (Domaine de définition) {-}
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
......@@ -92,7 +92,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite
Définition (Limite) +.#
#### Définition (Limite) {-}
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
......@@ -107,20 +107,20 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
---
Exemple (Limite) +.#
#### Exemple (Limite) {-}
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
---
Définition (Limite, asymptote) +.#
#### Définition (Limite, asymptote) {-}
Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
......@@ -129,7 +129,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
---
Exemple (Limite, asymptote) +.#
#### Exemple (Limite, asymptote) {-}
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
......@@ -150,7 +150,7 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales.
Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
......@@ -179,7 +179,7 @@ $f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
$$
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de
Ce genre d’estimations est important en informatique lors de l’analyse de
performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne
est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
......@@ -202,13 +202,13 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité
Définition (Continuité) +.#
#### Définition (Continuité) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
Propriétés (Fonctions continues) +.#
#### Propriétés (Fonctions continues) {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
......@@ -220,14 +220,14 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
droite en $a$ et à gauche en $b$.
Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
......@@ -236,7 +236,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
## Dérivées
Définition (Dérivée en un point) +.#
#### Définition (Dérivée en un point) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
......@@ -244,17 +244,17 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
Propriété +.#
#### Propriété {-}
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
......@@ -285,14 +285,14 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
Définition (Dérivée seconde) +.#
#### Définition (Dérivée seconde) {-}
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$.
### Variation des fonctions
Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
......@@ -302,13 +302,13 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
Définition (Maximum/minimum local) +.#
#### Définition (Maximum/minimum local) {-}
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
Propriété (Maximum/minimum) +.#
#### Propriété (Maximum/minimum) {-}
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
......
03_optimisation.md → 02_optimisation.md
+ 93
− 34
View file @ 295d1cbf
......@@ -9,7 +9,7 @@ $i=1,...,N$ (voir @fig:reg).
<https://bit.ly/2SfiLzb>](figs/Linear_regression.svg){#fig:reg width=70%}
Pour déterminer l'équation de cette droite, nous devons donc trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que la droite
passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travaers du nuage de points".
passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travers du nuage de points".
Une façon de mesurer la "qualité" d'une droite est de mesurer la somme des distances au carré entre les points $(x_i,y_i)$ et
la droite $y(x)=a\cdot x + b$ pour des valeurs de $a$ et $b$ données, soit
$$
......@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
$$
......@@ -71,25 +71,25 @@ Ce genre de problème, bien que possédant un espace de recherche infini,
est bien souvent plus simple à résoudre que les problèmes d'optimisation discrets, car il possède un cadre théorique mieux défini.
Pour le résoudre, nous avons commencé par construire un modèle mathématique.
Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contraite, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$
Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contrainte, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$
sous la contrainte et le tour était joué.
## L'optimisation mathématique
Suite à ces deux exemples, nous allons essayer de définir de façon assez théorique comment formuler mathématiquement un problème d'optimisation.
Il existe deux types disctincts de problèmes d'optimisation:
Il existe deux types distincts de problèmes d'optimisation:
1. L'optimisation continue.
2. L'optimisation discrète (souvent appelée optimisation combinatoire).
Dans ce chapitre nous ne parlerons que del'optimisation continue.
Dans ce chapitre nous ne parlerons que de l'optimisation continue.
### L'optimisation continue
L'optimisation continue ou *programme mathématique continu* est un programme d'optimisation soumis à certaines contraintes.
On peut l'exprimer de la façon suivante.
Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fontion de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante.
Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fonction de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante.
Soient $m$ fonctions $g_i:\real^n\rightarrow\real$
\begin{align}
&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m.
......@@ -119,7 +119,7 @@ optimiser les poids des réseaux de neurones.
## Optimisation continue
Dans cette section, nous allons considérer des problèmes purement continus.
Nous allons dans un premier temps considérer une fonction opbjectif, $f$,
Nous allons dans un premier temps considérer une fonction objectif, $f$,
$$
f:D\rightarrow\real,\quad D\subseteq \real,
$$
......@@ -144,8 +144,8 @@ $$
Les cas où $f''(x)=0$ est un point d'inflexion et $f''(x)<0$ est un maximum.
Un autre problème beaucoup plus compliqué à résoudre est de déterminer un minimum **global**.
En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minimam **locaux** (où
$f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un mimumum global.
En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minima **locaux** (où
$f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un minimum global.
Mathématiquement un *minimum local* se définit comme $x^\ast$ tel qu'il existe $\delta>0$ et que $f(x^\ast)\leq f(x)$, pour
$x\in[x^\ast-\delta,x^\ast+delta]$. Un *minimum global* est un $x^\ast$ tel que $\forall x\in D$, $f(x^\ast)\leq f(x)$.
......@@ -166,7 +166,7 @@ analytiquement les zéros. En revanche, pour des fonctions plus complexes, ou "i
l'équation $g(x)=0$ sous la forme $x=...$) la détermination des zéros est beaucoup plus difficile et nécessite l'utilisation
de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
## Méthodes par raffienement d'intervalles
## Méthodes par raffinement d'intervalles
### Méthode de la bissection
......@@ -175,7 +175,7 @@ de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
Afin de déterminer le zéro d'une fonction, une des méthodes les plus simple est la méthode de la bissection.
Il s'agit de choisir deux points, $a_1$ et $b_1$, $b_1>a_1$, tels que le signe de $g(a_1)$ et $g(b_1)$ est différent.
Si cela est le cas, nous aommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue
Si cela est le cas, nous sommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue
(en vertu du théorème de la valeur intermédiaire). Ensuite, nous allons calculer la valeur se situant "au milieu"
entre $a_1$ et $b_1$
$$
......@@ -183,7 +183,7 @@ c_1=\frac{b_1+a_1}{2}.
$$
Puis, nous évaluons $g(c_1)$ et si ce n'est pas un zéro, étudions son signe. Si le signe $g(c_1)$ est différent de celui de $g(a_1)$, nous remplaçons
$b_1$ par $c_1$ et recommençons. Si le signe de $g(c_1)$ est différent de celui de $g(b_1)$, nous remplaçons $a_1$ par $c_1$.
Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "siffisamment proche" (nous vons une précision acceptable pour nous)
Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "suffisamment proche" (nous avons une précision acceptable pour nous)
de zéro. Une façon d'exprimer "proche" est de considérer la taille de l'intervalle $b_1-a_1$ et de le comparer avec une précision $\varepsilon>0$ que nous
aurons choisie
$$
......@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
---
Exercice (Racice de polynôme) +.#
#### Exercice (Racine de polynôme) {-}
Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
......@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction
$$
......@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction
$$
......@@ -271,7 +271,7 @@ $$
---
### Recherche de la fourchette intiale
### Recherche de la fourchette initiale
Dans les méthodes ci-dessus, nous avons supposé que nous avions une fonction $g(x)$ continue, ainsi qu'un intervalle, $[a,b]$,
avec
......@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
......@@ -304,7 +304,7 @@ Si $f(b)>0$, on a terminé. Sinon on recommence avec $k\rightarrow 2\cdot k$ et
## Méthodes de descentes locales
L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section précédente, d'utiliser des
connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connsaissance loale
connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connaissance locale
a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros.
### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*)
......@@ -338,12 +338,12 @@ $$
|g(x_n)| < \varepsilon,\quad |x_n-x_{n-1}| < \varepsilon.
$$
Lorsque qu'elle converge la mtéhode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$.
Lorsque qu'elle converge la méthode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$.
En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les méthodes vues précédemment.
---
Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.#
#### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-}
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
......@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Déterminer le zéro de la fonction
$$
......@@ -375,9 +375,9 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continuement dérivable 2 fois.
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois.
---
......@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
---
Exemple (Régression linéaire) +.#
#### Exemple (Régression linéaire) {-}
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
......@@ -417,7 +417,7 @@ f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd
\end{equation}
La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation
de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente
de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendemment.
de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendamment.
Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ...
Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet
......@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
---
Exemple (Dérivée partielle) +.#
#### Exemple (Dérivée partielle) {-}
Les dérivée partielles de la fonction
$$
......@@ -468,7 +468,7 @@ $$
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
$$
......@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
$$
......@@ -499,7 +499,7 @@ $$
---
Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.#
#### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
\begin{align}
......@@ -549,14 +549,14 @@ $$
---
Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.#
#### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
$$
\vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}.
$$
Graphiquement, ceci est un *champds de vecteur* est peut se représenter comme
Graphiquement, ceci est un *champs de vecteur* est peut se représenter comme
![Le champs de vecteur $\vec \nabla f(x,y)=(2x,-2y)^\mathrm{T}$.](figs/gradient_vec.svg){width="50%"}
......@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
---
Remarque (Généralisation) +.#
#### Remarque (Généralisation) {-}
Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
......@@ -711,10 +711,69 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
---
Question +.#
#### Question {-}
Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
---
Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*.
Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*. Cette méthode
correspond intuitivement à la méthode que suivrait un skieur pour arriver le plus vite possible en bas d'une montagne. Pour ce faire, il suivrait toujours la pente
la plus raide possible.
La méthode de la descente de gradient est une méthode
itérative. Soient donnés un point de départ $\vec x_0$,
et une fonction objectif $f(\vec x)$, on va approximer
le zéro itérativement avec une suite $\vec x_1$, $\vec x_2$, ... telle que
\begin{align}
\vec x_1&=x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0),\\
\vec x_2&=x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1),\\
\cdots
\vec x_{n+1}&=x_n-\lambda\cdot f(\vec x_n),
\end{align}
où $\lambda\in \real^+$ est un coefficient positif.
On peut assez facilement se convaincre que si $\lambda$ est suffisamment petit, alors $f(\vec x_{n+1})\leq f(\vec x_n)$ (on ne fait que descendre la pente jusqu'à atteindre un minimum). Une illustration de ce processus
peut se voir dans la @fig:gradient.
![Suite d'étapes pour la descente de gradient. En bleu on voit les courbes de niveaux (les courbes où $f(\vec x)$ est constante). Source: Wikipedia
<https://bit.ly/2Fhvn7p>](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Gradient_descent.svg){#fig:gradient width=70%}
---
#### Exemple (quelques itérations) {-}
Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante
$$
f(x,y)=x^2+y^2,
$$
et son gradient
$$
\nabla f(x,y)=2x+2y.
$$
Si on prend comme point de départ $\vec x_0=(1,0.5)$ et $\lambda=0.25$, on a
\begin{align}
\vec x_1=\vec x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0)=(1,0.5)-0.25\cdot (2\cdot 1, 2\cdot 0.5)=(0.5, 0.25),\\
\vec x_2=\vec x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1)=(0.5,0.25)-0.25\cdot (2\cdot 0.5, 2\cdot 0.25)=(0.25, 0.125),\\
\cdots
\end{align}
En changeant $\lambda=0.5$, on voit qu'on arrive sur le zéro de la fonction en une itération
\begin{align}
\vec x_1=\vec x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0)=(1,0.5)-0.5\cdot (2\cdot 1, 2\cdot 0.5)=(0, 0).
\end{align}
---
Comme pour les fonction à une seule variable, il est nécessaire de spécifier une condition d'arrêt pour
la descente de gradient. En général, on choisit une tolérance, $\varepsilon>0$, et la condition d'arrêt s'écrit
$$
\mbox{Si }||\vec x_{n+1}-\vec x_n|| < \varepsilon,
$$
alors $\vec x_{n+1}$ est le zéro de $f(\vec x)$.
Dépendant de la valeur de $\lambda$ la *convergence* de la méthode peut varier grandement. Si $\lambda$ est trop petit
il faut une énorme quantité d'itérations pour atteindre le minimum. A l'inverse, en choisissant un $\lambda$ trop grand,
nous ne somme pas sûrs que nous convergerons un jour. En effet, on pourrait s'éloigner de plus en plus
du minimum plutôt que de sen approcher. En général, on choisit $\lambda\in[0,1)$ mais il n'y a pas de méthode générale pour en choisir une valeur "optimale".
Cela signifie que pour une fonction quelconque, $\lambda$ est choisi de façon empirique.
02_integrales.md → 03_integrales.md
+ 35
− 35
View file @ 295d1cbf
......@@ -38,14 +38,14 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
nous donne aussi l'aire sous la fonction.
Remarque +.#
#### Remarque {-}
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$.
2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
......@@ -60,7 +60,7 @@ d’intégration.
---
Exemple (Intégration de Riemann) +.#
#### Exemple (Intégration de Riemann) {-}
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
......@@ -68,7 +68,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
---
Solution (Intégration de Riemann) +.#
#### Solution (Intégration de Riemann) {-}
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
......@@ -89,7 +89,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
---
Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) +.#
#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-}
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
......@@ -125,7 +125,7 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.#
#### Définition (Primitive) {-}
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
......@@ -136,14 +136,14 @@ primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
Théorème (Unicité) +.#
#### Théorème (Unicité) {-}
Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
---
Illustration (Unicité) +.#
#### Illustration (Unicité) {-}
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
......@@ -153,7 +153,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
---
Exercices (Primitives) +.#
#### Exercices (Primitives) {-}
Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
......@@ -186,7 +186,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-}
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
......@@ -199,7 +199,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
......@@ -215,7 +215,7 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
......@@ -254,12 +254,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
---
Exemple (Intégrale impropre) +.#
#### Exemple (Intégrale impropre) {-}
Calculer l’intégrale suivante
$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
Solution (Intégrale impropre) +.#
#### Solution (Intégrale impropre) {-}
Nous pouvons réécrire
l’intégrale ci-dessus comme
......@@ -269,7 +269,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer l’intégrale suivante
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
......@@ -280,11 +280,11 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
$c\in[a,b]$ nous avons
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
Définition (Valeur moyenne) +.#
#### Définition (Valeur moyenne) {-}
Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
......@@ -312,7 +312,7 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Intégrer la fonction suivante
$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
......@@ -334,14 +334,14 @@ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer la primitive suivante
$$
\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
$$
Solution +.#
#### Solution {-}
Le calcul de la primitive de suivante
$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
......@@ -354,7 +354,7 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
Illustration +.#
#### Illustration {-}
Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
primitive
......@@ -384,7 +384,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer les primitives suivantes
......@@ -392,7 +392,7 @@ Calculer les primitives suivantes
2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
Solution +.#
#### Solution {-}
1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
$f(x)=e^x$. Il vient
......@@ -415,11 +415,11 @@ parties.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
Solution +.#
#### Solution {-}
En posant $g(x)=x^2$,
$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
......@@ -432,7 +432,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes
......@@ -453,7 +453,7 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
\int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
Cette relation nous mène au théorème suivant.
Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-}
Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
......@@ -473,11 +473,11 @@ sur la solution.
---
Exemple (Changement de variable) +.#
#### Exemple (Changement de variable) {-}
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
Solution (Changement de variable) +.#
#### Solution (Changement de variable) {-}
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
......@@ -490,7 +490,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
......@@ -521,7 +521,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
---
Exercice (Commutativité) +.#
#### Exercice (Commutativité) {-}
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation}
......@@ -532,13 +532,13 @@ Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
---
Afin de pouvoir interpêter un peu
Afin de pouvoir interpréter un peu
ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
"simple" pour se faire une idée.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer la convolution du signal $f(t)$
......@@ -629,7 +629,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
---
Remarque +.#
#### Remarque {-}
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
......@@ -639,7 +639,7 @@ de l’erreur.
---
Définition (Ordre d'une méthode) +.#
#### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
......
04_edo.md
+ 49
− 47
View file @ 295d1cbf
......@@ -37,7 +37,7 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned}
......@@ -77,7 +77,7 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.#
#### Remarque {-}
La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
......@@ -115,9 +115,14 @@ Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que
$$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r \delta t)(1+r \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$
Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour
$\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a
$$\begin{aligned}
$$
\begin{aligned}
n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\
n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).\end{aligned}$$ On trouve donc finalement
n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).
\end{aligned}
$$
On trouve donc finalement
que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien
vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0.
......@@ -172,15 +177,12 @@ $k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards
proportionnelle au nombre d’antilopes avec un taux $k_{a,g}$.
Nous avons à faire ici à un système d’équations différentielles. Nous
n’allons pas nous intéresser aux détails de larésolution de ce système mais
n’allons pas nous intéresser aux détails de la résolution de ce système mais
simplement étudier le comportement de la solution (voir la @fig:lkA et @fig:lkB).
<div id="fig:lk">
![L’évolution au cours du temps de la population d’antilopes et de guépards.](figs/lv.svg){#fig:lkA width="50%"}
![Représentation paramétrique de l’évolution population d’antilopes et de guépards.](figs/lv_iso.svg){#fig:lkB width=50%}
Deux représentation du système de Lotka--Volterra.
</div>
![Représentation paramétrique de l’évolution population d’antilopes et de guépards.](figs/lv_iso.svg){#fig:lkB width=50%}
#### Circuits électriques: le circuit RC
......@@ -255,7 +257,7 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux
-----------------------------------
Définition (Équation différentielle ordinaire) +.#
#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-}
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
......@@ -265,7 +267,7 @@ $n$-ème de $y$.
---
Illustation +.#
#### Illustration {-}
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
......@@ -279,18 +281,18 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes
Définition (Ordre) +.#
#### Définition (Ordre) {-}
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
Définition (Condition initiale) +.#
#### Définition (Condition initiale) {-}
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
......@@ -305,7 +307,7 @@ version approximative et la discuter
---
Théorème (Existence et unicité) +.#
#### Théorème (Existence et unicité) {-}
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
......@@ -343,7 +345,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
---
Définition (Linéarité) +.#
#### Définition (Linéarité) {-}
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme
......@@ -360,19 +362,19 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
Définition (Homogénéité) +.#
#### Définition (Homogénéité) {-}
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
Illustration (Homogénéité) +.#
#### Illustration (Homogénéité) {-}
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
......@@ -385,7 +387,7 @@ $$\begin{aligned}
---
Exercice (Homogénéité) +.#
#### Exercice (Homogénéité) {-}
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
......@@ -399,7 +401,7 @@ donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
---
La solution des équations différencielles inhomogènes se
La solution des équations différentielles inhomogènes se
trouve de la façon suivante.
1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée,
......@@ -423,7 +425,7 @@ un certain nombre.
---
Définition (Équations à variable séparables) +.#
#### Définition (Équations à variable séparables) {-}
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
......@@ -433,7 +435,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
---
Illustration +.#
#### Illustration {-}
L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
......@@ -453,11 +455,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
Solution +.#
#### Solution {-}
En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
......@@ -472,7 +474,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
......@@ -518,18 +520,18 @@ dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned}
\end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation
différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où
on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation
pour obtienir
pour obtenir
$$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$
Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
Solution +.#
#### Solution {-}
On
commence par résoudre l’équation homogène
......@@ -546,18 +548,18 @@ $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
Résoudre les équations différentielles suivantes
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. $$y'+2y=t^2$$
2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
### Équations de Bernouilli
### Équations de Bernoulli
Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
équations linéaires via des changements de variables.
Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
Une classe particulière sont les équations de Bernoulli, qui s’écrit
$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
$r\in{\real}$.
......@@ -567,16 +569,16 @@ $$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
Dans ce cas là, en effectuant le changement de variable suivant
$$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice)
$$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
de Bernoulli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
de la méthode de la section @sec:eq_lin.
---
Exemple +.#
#### Exemple {-}
Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
Solution +.#
#### Solution {-}
Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
......@@ -596,7 +598,7 @@ $y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
L’équation de Riccati qui est de la forme
$$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et
est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de
Bernouilli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
Bernoulli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une
solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la
......@@ -607,12 +609,12 @@ ce-dessus devient donc
$$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$
En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a
$$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette
équation est une équation de Bernouilli avec $n=2$. On sait donc comment
équation est une équation de Bernoulli avec $n=2$. On sait donc comment
la résoudre.
--
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
......@@ -658,7 +660,7 @@ l’équation différentielle.
---
Propriétés +.#
#### Propriétés {-}
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
......@@ -689,7 +691,7 @@ deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme
caractéristique de notre EDO d’ordre 2.
Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple
problème d’algèbre. Le polynome ci-dessus se factorise simplement en
problème d’algèbre. Le polynôme ci-dessus se factorise simplement en
$$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et
$\lambda=-2$.
......@@ -697,7 +699,7 @@ On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
$$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux
équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous
avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
qu’on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut
qu’on pouvait construire des solutions plus générales. En effet, on peut
montrer que la solution la plus générale à cette EDO est
$$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y
a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce
......@@ -711,7 +713,7 @@ $$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$
A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation
@eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même
subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
substitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
&a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\
&a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit
être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre
......@@ -727,7 +729,7 @@ $\Delta < 0$.
#### Le cas $\Delta>0$
Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravant)
La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent)
$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
#### Le cas $\Delta=0$
......@@ -740,7 +742,7 @@ satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a
$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilant que
$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilisant que
$\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de
cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution
générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$
......@@ -772,7 +774,7 @@ l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned}
&=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a
définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$.
Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficiens constants suivantes:
Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficients constants suivantes:
1. $y''+y'+y=0$,
......@@ -904,7 +906,7 @@ $n=0$ $$\begin{aligned}
x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\
x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$
où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème.
Esuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
Ensuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage
considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les
......
05_fourier.md
+ 30
− 30
View file @ 295d1cbf
......@@ -48,7 +48,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
......@@ -105,7 +105,7 @@ sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
![Représentation du nombre complexe $z=a+ib$.](figs/complexPlane.svg){#fig:complexPlane width="35.00000%"}
La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
La somme de deux nombres complexes s’interprète également facilement de
façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
Il s’agit en fait de simplement faire la somme des vecteurs représentant
chacun des nombres complexes à sommer.
......@@ -186,7 +186,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Démontrer ces trois relations.
......@@ -199,7 +199,7 @@ $$\begin{aligned}
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Démontrer ces relations.
......@@ -213,7 +213,7 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
Définition +.#
#### Définition {-}
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
......@@ -245,7 +245,7 @@ propriétés suivantes
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
Exemple (Espaces vectoriels) +.#
#### Exemple (Espaces vectoriels) {-}
1. L’espace nul, $v=0$.
......@@ -255,7 +255,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
3. Espaces de $n-uplets$. Soit $V$ un espace vectoriel sur $E$.L’espace des $n-$uplets. Pour t$n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
d’éléments de $V$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\in E\}_1^n$,
est noté $V^n$. Sur cet espace l’addition se définit ($u,v\in V^n$)
$$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la mutliplication par un
$$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la multiplication par un
scalaire $\alpha\in E$
$$\alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,...,\alpha v_n).$$ On a donc que
l’élément neutre de l’addition est le vecteur
......@@ -273,7 +273,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
jusqu’ici. Il s’agit de l’espace des fonctions, ou espace
fonctionnel. Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme
un espace vectoriel dans $E$ avec l’addition et la multiplication
par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
par un scalaire définis comme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
$g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned}
&(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
&(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W.
......@@ -321,7 +321,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
---
Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.#
#### Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-}
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
......@@ -336,13 +336,13 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$.
Définition (Famille libre) +.#
#### Définition (Famille libre) {-}
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.#
#### Exemple (Famille libre) {-}
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
......@@ -357,7 +357,7 @@ Exemple (Famille libre) +.#
relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
Définition (Famille génératrice) +.#
#### Définition (Famille génératrice) {-}
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si
......@@ -365,7 +365,7 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.#
#### Illustration (Familles génératrices) {-}
1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
......@@ -376,7 +376,7 @@ Illustration (Familles génératrices) +.#
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\real}^2$.
Définition (Base) +.#
#### Définition (Base) {-}
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
......@@ -386,7 +386,7 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-}
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
......@@ -519,7 +519,7 @@ $$\begin{aligned}
\cos\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)+\cos(\theta+\phi)\right),\\
\sin\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\right).\end{aligned}$$
Cela est dû à la propriété d’othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
Cela est dû à la propriété d’orthogonalité des fonctions sinus/cosinus.
En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
$\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
obtient $$\begin{aligned}
......@@ -613,7 +613,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
......@@ -634,7 +634,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
......@@ -649,7 +649,7 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
Propriété +.#
#### Propriété {-}
1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
transformée de Fourier est donnée par
......@@ -709,7 +709,7 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
&=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
Exercice +.#
#### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
temps discret des fonctions suivantes
......@@ -793,10 +793,10 @@ redondante...
L’idée à présent va être d’enlever toute l’information redondante de
${\hat{f}}(\omega)$ en échantillonnant ${\hat{f}}$ et en gardant
uniquement $N$ échantillons de ${\hat{f}}$. La fréquence
d’échantillonage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonage sera
d’échantillonnage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonnage sera
$[-\pi,\pi)$.
Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonage de
Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonnage de
${\hat{f}}(\omega)$ comme étant une suite de points, notée
$\{{\hat{f}}(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=2\pi k/N$. Cette
suite sera notée ${\hat{f}}[k]$ et appelée la *transformée de Fourier
......@@ -868,7 +868,7 @@ réduisent la complexité algorithmique à $N\log(N)$ en général. Nous
allons brièvement discuter un de ces algorithmes dans la sous-section
@sec:tfr.
La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la
La transformée de Fourier discrète étant un échantillonnage de la
transformée de Fourier à temps discret, toutes les propriétés discutées
pour la transformée de Fourier à temps discret restent valides. En
particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de
......@@ -876,7 +876,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
A démontrer en exercice.
......@@ -887,7 +887,7 @@ A démontrer en exercice.
L’algorithme présenté ici est une version “simplifiée” de l’algorithme
de Cooley-Tukey (publié en 1965). Cet algorithme a en fait été “inventé”
par Gauss en 1805 quand il essayait d’interpoler la trajectoires
d’astéroides dans le système solaire.
d’astéroïdes dans le système solaire.
L’idée de l’algorithme radix-2 est d’abord de séparer le signal en deux
parties. D’une part les indices pairs et d’autres part les indices
......@@ -928,11 +928,11 @@ continuant cette procédure jusqu’à $N=2$ on peut montrer qu’on réduit la
complexité algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans
ce cours).
### Fréquence d’échantillonage
### Fréquence d’échantillonnage
Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou
de l’analyse spectrale plus généralement) est la question de
l’échantillonage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde
l’échantillonnage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde
réel un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité
continue (il est représentée par une infinité de valeur). Lorsque nous
souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal,
......@@ -958,10 +958,10 @@ alors on doit l’échantillonner avec une fréquence
$1/\delta t_e=F_e\geq 2F_c$. De façon similaire, si on choisit un signal
et qu’on peut l’échantillonner avec une certaine précision (on détermine
la fréquence maximale, $F_c$ qu’on veut pouvoir représenter dans le
signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonage
signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonnage
$F_e\geq 2F_c$. Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En
prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonage
prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonnage
permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la
fréquence d’échantillonage est plus petite que la fréquence de Nyquist
fréquence d’échantillonnage est plus petite que la fréquence de Nyquist
de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de
spectre* (aliasing en anglais).
06_probas_stats.md
+ 39
− 41
View file @ 295d1cbf
Probabilités et statistiques
============================
# Probabilités et statistiques
Introduction à la statistique descriptive
-----------------------------------------
## Introduction à la statistique descriptive
En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus)
possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères
......@@ -41,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
---
Illustration +.#
#### Illustration {-}
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
......@@ -73,7 +71,7 @@ Illustration +.#
Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
le cas des salaires (voir Tabl. @tbl:salaires)
Salaire Nombre de salariés
--------- --------------------
......@@ -84,7 +82,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
: Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Temps d’exécution Nombre
------------------- --------
......@@ -122,7 +120,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
---
Exemple (Fréqunces) +.#
#### Exemple (Fréquences) {-}
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
......@@ -157,7 +155,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
---
Propriété (Propriétés de la fréquence) +.#
#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$
......@@ -192,7 +190,7 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
Exercice (Fréquence cumulée) +.#
#### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus.
......@@ -216,7 +214,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
---
Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
1. Démontrer la relation précédente.
......@@ -226,7 +224,7 @@ Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
---
Illustration (Moyenne) +.#
#### Illustration (Moyenne) {-}
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
......@@ -254,7 +252,7 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
Exercice (Moyenne, médiane) +.#
#### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
......@@ -284,7 +282,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
---
Exercice (Variance, écart-type) +.#
#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Démontrer les relations suivantes
......@@ -305,7 +303,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
---
Exercice (Variance, écart-type) +.#
#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application.
......@@ -333,7 +331,7 @@ semi-inter-quartile.
---
Exercice (Semi-inter quartile) +.#
#### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours.
......@@ -353,7 +351,7 @@ sera utile pour la suite.
---
Définition +.#
#### Définition {-}
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
......@@ -387,7 +385,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
f(B)&=\frac{M}{N},\\
f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le
de réalisation des événements ci-dessus peuvent être vues comme le
passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
$p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
......@@ -426,7 +424,7 @@ la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la
probabilité de réaliser l’événement pair
$$p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.$$
### Evénements disjoints {#sec:disjoints}
### Événements disjoints {#sec:disjoints}
Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$.
Comme $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments en commun, on dit que c’est deux
......@@ -460,7 +458,7 @@ $$p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
On a que la probabilité de réaliser un événement est la somme des
événements élémentaires qui le composent.
### Evénements complémentaires
### Événements complémentaires
Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l’événement
$B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L’événement $B$ est appelé
......@@ -476,7 +474,7 @@ $$p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }
Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si
on connaît $p(A)$.
### Evénements non-disjoints
### Événements non-disjoints
Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois
$B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements respectifs
......@@ -502,12 +500,12 @@ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$
### Axiomes des probabilités
Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus
Tous ces concepts que nous avons vus précédemment peuvent être vus
comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
---
Définition (Axiomes des probabilités) +.#
#### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
......@@ -520,7 +518,7 @@ axiomes suivants
3. Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors
$$p(A\cup B)=p(A)+p(B).$$ La probabilité de réalisation de deux
évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
événements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
chacun d’entre eux.
---
......@@ -529,7 +527,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
---
Théorème +.#
#### Théorème {-}
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
......@@ -585,7 +583,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
---
Exercice (Probabilités conditionnelles) +.#
#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
......@@ -601,7 +599,7 @@ Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
---
### Evénements indépendants
### Événements indépendants
Prenons maintenant le cas “pathologique” où nous cherchons la
probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où la réalisation de $B$ n’a
......@@ -622,18 +620,18 @@ $A$ soit “tirer un 6 au premier tirage” et que l’événement $B$ soit
$$p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$
On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et les événements sont
indépendants. Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage
du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme tirage. Tout
du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxième tirage. Tout
comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le
résultat de celui de la semaine suivante.
---
Exercice (Evénements indépendants) +.#
#### Exercice (Événements indépendants) {-}
On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
1. Ecrivez l’univers des événements.
1. Écrivez l’univers des événements.
2. Calculez les probabilités des événements $A$ “face au premier jet”,
$B$ “pile au second jet”.
......@@ -677,7 +675,7 @@ Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
Une autre façon de calculer la probabilité d’obtenir $A=\{26\}$ est de
constater que la probabilié d’obtenir ce tirage succesif est la
constater que la probabilité d’obtenir ce tirage successif est la
probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La
probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires
......@@ -733,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés.
......@@ -758,7 +756,7 @@ Exercice +.#
### La distribution multinomiale
Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être
Plus nous allons rajouter des tirages successifs plus il va être
compliqué de calculer les probabilités de tirer une certaine combinaison
de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages
successifs avec remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne
......@@ -805,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
---
Exercice +.#
#### Exercice {-}
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
......@@ -874,7 +872,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
---
Exerice +.#
#### Exercice {-}
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
......@@ -986,7 +984,7 @@ Prenons ces trois questions une par une
1. Les deux façons d’obtenir $X=1$ est d’avoir les tirages $(p,f)$ ou
$(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun des
événements de l’univers étants équiprobables on a
événements de l’univers étant équiprobables on a
$$p(X=1)=p(A)=1/2.$$
2. Le seul événement donnant un $X$ qui n’est pas dans l’intervalle
......@@ -1004,7 +1002,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
---
Définition (Variable aléatoire) +.#
#### Définition (Variable aléatoire) {-}
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
......@@ -1016,7 +1014,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
---
Définition (Fonction de répartition) +.#
#### Définition (Fonction de répartition) {-}
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
......@@ -1049,7 +1047,7 @@ fonction `rand()` de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie
`RAND_MAX` qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité de tirer
chacun des nombres dans l’intervalle $A$ est égale. On dit que la
distribution des nombres est uniforme. De plus, les nombres tirés ne
doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont idépendants.
doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont indépendants.
Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément
distribués entre $[0,1]$, il suffit de diviser les nombres $X_i$ par $m$
......@@ -1145,7 +1143,7 @@ Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont aussi le grand avantage
d’être très rapides et peu gourmands en ressources de calcul. La
facilité de description et d’utilisation de tels générateurs, permet des
tests très poussés quant à leur qualités et leurs limites par la
communauté scientifique. Finalement, les besoins de débuggage de codes,
communauté scientifique. Finalement, les besoins de débogage de codes,
la reproductibilité d’une série de nombres aléatoires peut être d’un
grand secours.
......@@ -1289,5 +1287,5 @@ expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de
nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales,
mais bien en dehors du champs de ce cours...
Il existe beaucoup d’autres possiblités (il y a des recommandations
Il existe beaucoup d’autres possibilités (il y a des recommandations
sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
Makefile
+ 12
− 9
View file @ 295d1cbf
......@@ -4,7 +4,6 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
css/tufte-extra.css
OPTIONS = --toc
OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate
......@@ -23,10 +22,10 @@ all: cours.pdf cours.html
# %.tex: %.md
# pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_integrales.md 03_optimisation.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_integrales.md 03_optimisation.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
deploy: all
......@@ -34,13 +33,17 @@ deploy: all
cp cours.html mti/index.html
cp cours.pdf mti/cours.pdf
mkdir -p mti/tpIntegrales
make -C tpIntegrales
cp tpIntegrales/*.pdf mti/tpIntegrales/
cp tpIntegrales/tp_integrales_conv.html mti/tpIntegrales/index.html
make -C travaux_pratiques/tpIntegrales
cp travaux_pratiques/tpIntegrales/*.pdf mti/tpIntegrales/
cp travaux_pratiques/tpIntegrales/tp_integrales_conv.html mti/tpIntegrales/index.html
mkdir -p mti/tpEdo
make -C tpEdo
cp tpEdo/*.pdf mti/tpEdo/
cp tpEdo/tpEquadiffs.html mti/tpEdo/index.html
make -C travaux_pratiques/tpEdo
cp travaux_pratiques/tpEdo/*.pdf mti/tpEdo/
cp travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.html mti/tpEdo/index.html
mkdir -p mti/tpOptimisation
make -C travaux_pratiques/tpOptimisation
cp travaux_pratiques/tpOptimisation/*.pdf mti/tpOptimisation/
cp travaux_pratiques/tpOptimisation/tpOptimisation.html mti/tpOptimisation/index.html
clean:
rm -rf *.html *.pdf
exemples/zero.c 0 → 100644
+ 28
− 0
View file @ 295d1cbf
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
double f(double x) {
return x * x - 25.0;
}
double next_x(double x1, double x2, double (*foo)(double)) {
return x1 - (x2-x1)/(foo(x2)-foo(x1))*foo(x1);
}
int main() {
const int max_iter = 1000;
double x1 = rand();
double x2 = rand();
printf("x1 = %f, x2 = %f\n", x1, x2);
for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
double x3 = next_x(x1, x2, f);
x1 = x2;
x2 = x3;
printf("x3 = %f, f(%f) = %f, at iter = %d\n", x3, x3, f(x3), i);
if (fabs(f(x3)) < 0.00001 ) {
return EXIT_SUCCESS;
}
}
return EXIT_FAILURE;
}
\ No newline at end of file
tpEdo/Makefile → travaux_pratiques/tpEdo/Makefile
+ 2
− 2
View file @ 295d1cbf
......@@ -13,9 +13,9 @@ PDFOPTIONS += --template=./default.latex
HTMLOPTIONS += -t html5
HTMLOPTIONS += -c ../css/styling.css
HTMLOPTIONS += -c ../../css/styling.css
HTMLOPTIONS += --self-contained
HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
HTMLOPTIONS += --mathjax=../../MathJax.js
MD=$(wildcard *.md)
HTML=$(MD:%.md=%.html)
......
tpEdo/tpEquadiffs.md → travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.md
+ 1
− 1
View file @ 295d1cbf
......@@ -103,7 +103,7 @@ où les constantes sont données par $\beta=8/3$, $\sigma=10$, et $\rho=28$.
![Solution dans le plan $x-z$ de l'équation de Lorenz pour une solution
initiale donnée (image tirée de
Wikipedia).](../figs/1024px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png){#fig_lorenz
Wikipedia).](../../figs/1024px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png){#fig_lorenz
width="50%"}
La solution de l'équation de Lorenz est dite *chaotique*. Cela signifie
......
tpEdo/tpEquadiffs.tex → travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.tex
+ 0
− 0
View file @ 295d1cbf
File moved
tpFourier/mydata.txt → travaux_pratiques/tpFourier/mydata.txt
+ 0
− 0
View file @ 295d1cbf
File moved
tpFourier/tpFourier.tex → travaux_pratiques/tpFourier/tpFourier.tex
+ 0
− 0
View file @ 295d1cbf
File moved
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment