aj <-> bj

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@@ -2856,8 +2856,7 @@ Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
 comme une “notation” de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
 sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
 
-![Représentation du nombre complexe
-$z=a+ib$.](figs/complexPlane.svg){#fig:complexPlane width="35.00000%"}
+![Représentation du nombre complexe $z=a+ib$.](figs/complexPlane.svg){#fig:complexPlane width="35.00000%"}
 
 La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
 façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
@@ -3223,39 +3222,39 @@ $$\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi).$$ Il
 vient  $$\begin{aligned}
  f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\left(\sin(j\omega t)\cos(\phi_j)+\cos(j\omega t)\sin(\phi_j)\right).\end{aligned}$$
 En renommant $$\begin{aligned}
-a_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\\
-b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
+a_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\\
+b_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
 On a ainsi transformé une équation où on devait déterminer une amplitude
 et une phase, ce qui est plutôt compliqué, en une autre équation où on
 doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et
 $\sin$ sont indépendants, on peut calculer les $a_j$ et $b_j$ de façon
 également indépendantes.
 
-Nous voulons à présent calculer $a_n$ et $b_n$ pour avoir les
+Nous voulons à présent calculer $a_j$ et $b_j$ pour avoir les
 coordonnées de $f$ dans la base des $\sin$ et des $\cos$. Pour ce faire,
 nous allons  tenter de trouver les amplitudes $a_j,b_j$ tels que les
 $a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la
 fonction $f$.
 
 Nous allons considérer les fonctions d’erreur suivantes
-$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
+$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
 Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont
 minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées et déterminer nos
 coefficients en résolvant les équations
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0,$${#eq:deriv_aj}
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0.$${#eq:deriv_bj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0.$${#eq:deriv_aj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0,$${#eq:deriv_bj}
 Pour l'@eq:deriv_aj, on a $$\begin{aligned}
- {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}b_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
- &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
+ {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}a_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+ &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
 Finalement on obtient
-$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
+$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
 on a de façon similaire
-$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
+$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
 particulier si $j=0$, on a
-$$a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
+$$b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
 que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
 permet d’approximer des fonctions dont la valeur moyenne n’est pas nulle
 (les sinus et cosinus ont toujours des moyennes nulles).
@@ -3300,9 +3299,9 @@ somme de façon plus concise à l’aide des nombres complexes
 ($e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$). Effectivement cette
 réécriture est possible. Pour ce faire il faut définir de nouveaux
 coefficients $c_n$, $$c_n=\left\{\begin{array}{ll}
-                \frac{b_n+ia_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
-                \frac{b_0}{2},      & \mbox{ si }n=0\\
-                \frac{b_n-ia_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
+                \frac{a_n+ib_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
+                \frac{a_0}{2},      & \mbox{ si }n=0\\
+                \frac{a_n-ib_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
                \end{array}\right.$$ Avec cette notation, on peut
 réécrire l'@eq:decomp_sincos (exercice) comme
 $$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.$$ En multipliant cette