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View file @ 2ad17bc1
...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d ...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
--- ---
#### Exemple (Fonctions, généralités) {-} Illustration (Fonctions, généralités) #
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned} $I$ $$\begin{aligned}
...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$ ...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
--- ---
#### Exemple (Fonctions) {-} Illustration (Fonctions) #
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$ deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
--- ---
#### Exemple (Fonction inverse) {-} Illustration (Fonction inverse) #
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
...@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
## Domaine de définition ## Domaine de définition
---
#### Définition (Domaine de définition) {-} Définition (Domaine de définition) #
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
--- ---
#### Exemple (Domaine de définition) {-} ---
Illustration (Domaine de définition) #
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$. 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
...@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux ...@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite ### Limite
#### Définition (Limite) {-} ---
Définition (Limite) #
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
...@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible ...@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$ $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
#### Remarque {-} ---
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Remarque #
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
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#### Exemple (Limite) {-} ---
Illustration (Limite) #
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
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#### Définition (Limite, asymptote) {-} Définition (Limite, asymptote) #
Pour $f$ définie en $D$, Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
...@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini. ...@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
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#### Exemple (Limite, asymptote) {-} Illustration (Limite, asymptote) #
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$. Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
...@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$. ...@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales. sont égales.
#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-} ---
Illustration (Limite à gauche/droite) #
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
---
### Comportement asymptotique ### Comportement asymptotique
Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
...@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ ...@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité ## Continuité
#### Définition (Continuité) {-} ---
Définition (Continuité) #
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
#### Propriétés (Fonctions continues) {-} ---
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Propriétés (Fonctions continues) #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
...@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: ...@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$. 4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-} ---
---
Définition (Continuité sur un intervalle) #
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
droite en $a$ et à gauche en $b$. droite en $a$ et à gauche en $b$.
#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-} ---
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Théorème (Valeurs intermédiaires) #
Soit $f$ une fonction continue Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$ $f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$. Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
---
## Dérivées ## Dérivées
#### Définition (Dérivée en un point) {-} ---
Définition (Dérivée en un point) #
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$) dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
...@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned} ...@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$ &\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-} ---
---
Définition (Dérivée sur un intervalle) #
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$ Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$. point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
#### Propriété {-} ---
---
Propriété #
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
#### Propriétés {-} ---
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Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
...@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons ...@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$). 6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
#### Définition (Dérivée seconde) {-} ---
---
Définition (Dérivée seconde) #
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$. appelée la dérivée seconde de $f$.
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### Variation des fonctions ### Variation des fonctions
#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-} ---
Propriétés (Croissance/décroissance) #
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
...@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ ...@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$. 3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
#### Définition (Maximum/minimum local) {-} ---
---
Définition (Maximum/minimum local) #
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$. (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
#### Propriété (Maximum/minimum) {-} ---
---
Propriété (Maximum/minimum) #
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$ Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
maximum ou un minimum de $f$. maximum ou un minimum de $f$.
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## Etude de fonction ## Etude de fonction
Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
......
02_optimisation.md
+ 17
− 17
View file @ 2ad17bc1
...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}. ...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
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#### Exemple {-} Illustration #
Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
$$ $$
...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o ...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
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#### Exercice (Racine de polynôme) {-} Exercice (Racine de polynôme) #
Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations). Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec ...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
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#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth ...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
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#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f ...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
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#### Remarque {-} Remarque #
On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
...@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les ...@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les
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#### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-} Remarque (non-convergence ou convergence lente) #
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. ...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
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#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro de la fonction Déterminer le zéro de la fonction
$$ $$
...@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué. ...@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
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#### Exercice {-} Exercice #
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois. Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois.
...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real. ...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
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#### Exemple (Régression linéaire) {-} Illustration (Régression linéaire) #
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$) la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une ...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
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#### Exemple (Dérivée partielle) {-} Illustration (Dérivée partielle) #
Les dérivée partielles de la fonction Les dérivée partielles de la fonction
$$ $$
...@@ -468,7 +468,7 @@ $$ ...@@ -468,7 +468,7 @@ $$
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#### Remarque {-} Remarque #
Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
$$ $$
...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a ...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
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#### Remarque {-} Remarque #
Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
$$ $$
...@@ -499,7 +499,7 @@ $$ ...@@ -499,7 +499,7 @@ $$
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#### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-} Illustration (Dérivées partielles deuxièmes) #
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
\begin{align} \begin{align}
...@@ -549,7 +549,7 @@ $$ ...@@ -549,7 +549,7 @@ $$
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#### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-} Illustration (Gradient d'une fonction à deux variables) #
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
$$ $$
...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$. ...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
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#### Remarque (Généralisation) {-} Remarque (Généralisation) #
Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions. Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
...@@ -711,7 +711,7 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum ...@@ -711,7 +711,7 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
--- ---
#### Question {-} Question #
Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$? Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
...@@ -740,7 +740,7 @@ peut se voir dans la @fig:gradient. ...@@ -740,7 +740,7 @@ peut se voir dans la @fig:gradient.
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#### Exemple (quelques itérations) {-} Illustration (quelques itérations) #
Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante
$$ $$
......
03_integrales.md
+ 1
− 5
View file @ 2ad17bc1
...@@ -72,10 +72,6 @@ Exemple (Intégration de Riemann) # ...@@ -72,10 +72,6 @@ Exemple (Intégration de Riemann) #
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
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Solution (Intégration de Riemann) # Solution (Intégration de Riemann) #
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
...@@ -97,7 +93,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que ...@@ -97,7 +93,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
--- ---
Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) # Exercice (Intégration de Riemann de $x^2$) #
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$. Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
......
04_edo.md
+ 69
− 25
View file @ 2ad17bc1
...@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$ ...@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
#### Remarque {-} ---
Remarque #
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$ La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned} revient à calculer $$\begin{aligned}
\int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\ \int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$ x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
---
### Mouvement rectiligne uniformément accéléré ### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
...@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0 ...@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
#### Remarque {-} ---
Remarque #
La solution du problème différentiel peut également se calculer de La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
...@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned} ...@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned}
\int \int x''=\int \int a,\\ \int \int x''=\int \int a,\\
x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$ x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
---
### Évolution d’une population ### Évolution d’une population
Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
...@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"} ...@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux Définitions et théorèmes principaux
----------------------------------- -----------------------------------
#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-} ---
Définition (Équation différentielle ordinaire) #
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
...@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$. ...@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$.
--- ---
#### Illustration {-} ---
Illustration #
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$ $$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
...@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle. ...@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes définitions suivantes
#### Définition (Ordre) {-} ---
Définition (Ordre) #
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$. $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
#### Illustration {-} ---
---
Illustration #
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$ L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$ $$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
#### Définition (Condition initiale) {-} ---
---
Définition (Condition initiale) #
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
pour une valeur $x_0$ donnée on a pour une valeur $x_0$ donnée on a
$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$ $$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
---
Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
...@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter ...@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter
--- ---
#### Théorème (Existence et unicité) {-} Théorème (Existence et unicité) #
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur $y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
...@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$. ...@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
--- ---
#### Définition (Linéarité) {-} Définition (Linéarité) #
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme on peut l’écrire sous la forme
...@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes ...@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1. 2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
#### Illustration {-} ---
Illustration #
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$ L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$ suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
#### Définition (Homogénéité) {-} ---
---
Définition (Homogénéité) #
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$. une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
#### Illustration (Homogénéité) {-} ---
---
Illustration (Homogénéité) #
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned} Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\ &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
...@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice (Homogénéité) {-} ---
Exercice (Homogénéité) #
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
...@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre. ...@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre.
--- ---
#### Définition (Équations à variable séparables) {-} Définition (Équations à variable séparables) #
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
...@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$ ...@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
--- ---
#### Illustration {-} Illustration #
L’équation suivante est à variables séparables L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$ $$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
...@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ ...@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$ Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
#### Solution {-} Solution #
En En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
...@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$. ...@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$ 1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
...@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation ...@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$ $$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
#### Exemple {-} ---
Exemple #
Résoudre l’équation suivante Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom} $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
#### Solution {-} Solution #
On On
commence par résoudre l’équation homogène commence par résoudre l’équation homogène
...@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra ...@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra
où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
$U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$. $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
---
Résoudre les équations différentielles suivantes Résoudre les équations différentielles suivantes
#### Exercice {-} ---
Exercice #
1. $$y'+2y=t^2$$ 1. $$y'+2y=t^2$$
2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$ 2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
---
### Équations de Bernoulli ### Équations de Bernoulli
Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
...@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin. ...@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin.
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
#### Solution {-} Solution #
Avec Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
...@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre. ...@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre.
-- --
#### Exercice {-} Exercice #
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$ Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
...@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle. ...@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle.
--- ---
#### Propriétés {-} Propriétés #
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice. Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
......
05_fourier.md
+ 59
− 17
View file @ 2ad17bc1
...@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned} ...@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\ (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$ &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
#### Exercice {-} ---
Exercice #
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
---
Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
...@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}( ...@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Démontrer ces trois relations. Démontrer ces trois relations.
...@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Démontrer ces relations. Démontrer ces relations.
...@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati ...@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$ à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement. sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
#### Définition {-} ---
Définition #
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
...@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes ...@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes
3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté 3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$ $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
---
---
#### Exemple (Espaces vectoriels) {-} Illustration (Espaces vectoriels) #
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
...@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes ...@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes
&f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W. &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
\end{aligned}$$ \end{aligned}$$
---
### Base ### Base
Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
...@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+( ...@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
--- ---
#### Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-} Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) #
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$ 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base. les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
...@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts ...@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$. vectoriel sur $E$.
#### Définition (Famille libre) {-} ---
Définition (Famille libre) #
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
#### Exemple (Famille libre) {-} ---
---
Illustration (Famille libre) #
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$. 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
...@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ ...@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
relie les deux. La relation est non-linéaire relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$. $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
#### Définition (Famille génératrice) {-} ---
---
Définition (Famille génératrice) #
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si génératrice si
...@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad ...@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$. linéaire des vecteur $e_i$.
#### Illustration (Familles génératrices) {-} ---
---
Illustration (Familles génératrices) #
1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne 1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$, peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
...@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$. ...@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\real}^2$. ${\real}^2$.
#### Définition (Base) {-} ---
---
Définition (Base) #
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
...@@ -386,7 +415,11 @@ est unique ...@@ -386,7 +415,11 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$ $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-} ---
---
Illustration (Base de $\real ^2$) #
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$. 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
...@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. ...@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
$\beta=(1,1,-1)$. $\beta=(1,1,-1)$.
---
## Introduction générale sur les séries de Fourier ## Introduction générale sur les séries de Fourier
Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
...@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier: ...@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
...@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes ...@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
...@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante ...@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes. La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
#### Propriété {-} ---
Propriété #
1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa 1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
transformée de Fourier est donnée par transformée de Fourier est donnée par
...@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes. ...@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
(impaire). (impaire).
---
La transformée de Fourier à temps discret (TFTD) La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
------------------------------------------------ ------------------------------------------------
...@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned} ...@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
&=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
&=f[n].\nonumber\end{aligned}$$ &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
temps discret des fonctions suivantes temps discret des fonctions suivantes
...@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes ...@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes
0,&\mbox{ sinon.} 0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.$$ \end{array}\right.$$
---
Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
infinie de points par une fonction continue et périodique. infinie de points par une fonction continue et périodique.
...@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$ ...@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
A démontrer en exercice. A démontrer en exercice.
......
06_probas_stats.md
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View file @ 2ad17bc1
...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère. ...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
--- ---
#### Illustration {-} Illustration #
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec) ...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires) la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
![Nombre salariés en fonction du ![Nombre salariés en fonction du salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
Fig. @fig:exec). Fig. @fig:exec).
![Nombre d’exécutions en fonction du temps ![Nombre d’exécutions en fonction du temps d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
### Fréquences ### Fréquences
...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$ ...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
--- ---
#### Exemple (Fréquences) {-} Illustration (Fréquences) #
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives ...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
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#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-} Propriété (Propriétés de la fréquence) #
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$ 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$ $$0\leq f_i\leq 1.$$
...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum} : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
#### Exercice (Fréquence cumulée) {-} ---
Exercice (Fréquence cumulée) #
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus. que nous avons vus.
...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance, 2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
valeur maximale)? valeur maximale)?
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### Mesures de tendance centrale ### Mesures de tendance centrale
Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-} Exercice (Propriétés de la moyenne) #
1. Démontrer la relation précédente. 1. Démontrer la relation précédente.
...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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#### Illustration (Moyenne) {-} Illustration (Moyenne) #
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$ $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$. ...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population. reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
#### Exercice (Moyenne, médiane) {-} ---
Exercice (Moyenne, médiane) #
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
d’exécution[^7]). d’exécution[^7]).
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### Mesures de dispersion ### Mesures de dispersion
Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$ ...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
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#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Démontrer les relations suivantes Démontrer les relations suivantes
...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$ ...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
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#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application. de l’application.
...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile. ...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
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#### Exercice (Semi-inter quartile) {-} Exercice (Semi-inter quartile) #
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours. avons vus plus tôt dans le cours.
...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite. ...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
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#### Définition {-} Définition #
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants ...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
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#### Définition (Axiomes des probabilités) {-} Définition (Axiomes des probabilités) #
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes ...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
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#### Théorème {-} Théorème #
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité. Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$ ...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
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#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-} Exercice (Probabilités conditionnelles) #
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans. 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante. ...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
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#### Exercice (Événements indépendants) {-} Exercice (Événements indépendants) #
On jette une pièce de monnaie deux fois de On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$. suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de ...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
@fig:arbre). @fig:arbre).
![Représentation du tirage $26$ sous forme ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$. équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements ...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires élémentaires
$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$ $$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme ...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
@fig:arbre3). @fig:arbre3).
![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme ![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
simplifier
l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned} somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$ ...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
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#### Exercice {-} Exercice #
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés. nombres tirés par deux dés.
...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$ ...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
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#### Exercice {-} Exercice #
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir: On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec ...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
la @fig:loto. la @fig:loto.
![Les six numéros présents initialement dans le ![Les six numéros présents initialement dans le sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité @fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
$\frac{1}{6}$. $\frac{1}{6}$.
![Le numéro 2 est tiré lors du premier ![Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
@fig:loto3). @fig:loto3).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
@fig:loto4). @fig:loto4).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
ainsi de suite. ainsi de suite.
...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité ...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
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#### Exercice {-} Exercice #
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles. possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$. ...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
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#### Définition (Variable aléatoire) {-} Définition (Variable aléatoire) #
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle, *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ ...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
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#### Définition (Fonction de répartition) {-} Définition (Fonction de répartition) #
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
......
Makefile
+ 1
− 0
View file @ 2ad17bc1
...@@ -4,6 +4,7 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \ ...@@ -4,6 +4,7 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
css/tufte-extra.css css/tufte-extra.css
OPTIONS = --toc OPTIONS = --toc
OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate PDFOPTIONS = --highlight-style kate
......
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