.gitignore

@@ -7,3 +7,9 @@
 *.html
 *.markdown
 .vscode
+practical_work/tp_vec2/main
+practical_work/tp_vec2/tests
+practical_work/planets/skeleton/main
+practical_work/planets/skeleton/tests
+phys
+plots

.gitlab-ci.yml

@@ -28,13 +28,21 @@ before_script:
    ##
    - echo "$SSH_KNOWN_HOSTS" > ~/.ssh/known_hosts
    - chmod 644 ~/.ssh/known_hosts
-
-
+   ## Add docker-compose
+   # - apk add docker-compose
+   # - apk add make
 
 build_only:
   script:
     - make
 
+# build_only_docker:
+#   image: docker:latest
+#   tags: 
+#     - dfromd
+#   script:
+#     - docker-compose run --rm pandoc make
+
 build_and_deploy:
   script:
     - make
@@ -53,6 +61,7 @@ build_and_test_practical_work:
   script:
     - cd practical_work/vec2/
     - make test
+
 build_artifacts:
   script:
     - make

00_macros.md

@@ -27,11 +27,12 @@
 \newcommand{\g}{\mathrm{g}}
 \newcommand{\K}{\mathrm{K}}
 \newcommand{\J}{\mathrm{J}}
-\renewcommand{\C}{\mathrm{C}}
+\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
 \newcommand{\oC}{^\circ\mathrm{C}}
 \newcommand{\oK}{^\circ\mathrm{K}}
 \newcommand{\A}{\mathrm{A}}
 \newcommand{\N}{\mathrm{N}}
+\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
 \newcommand{\atm}{\mathrm{atm}}
 \renewcommand{\bar}{\mathrm{bar}}
 \newcommand{\V}{\mathrm{V}}
@@ -43,4 +44,4 @@
 \newcommand{\h}{\mathrm{h}}
 \newcommand{\Pa}{\mathrm{Pa}}
 \newcommand{\vectwo}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
-\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}}
+\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}}
\ No newline at end of file

01_analyse_dimensionnelle.md

@@ -158,15 +158,20 @@ de césium 133.
 
 ### Masse
 
-Le kilogramme (abrégé ${\mathrm{kg}}$) est la masse d'un étalon
-international du kilogramme. En 1795, le kilogramme était la d'un
+Le kilogramme (abrégé ${\mathrm{kg}}$) a été est la masse d'un étalon
+international du kilogramme stocké au Bureau International des poids et mesures
+au pavillon de Breteuil près de Paris. En 1795, le kilogramme était la masse d'un
 décimètre cube d'eau à une température de $4^\circ{\mathrm{C}}$. Puis il
-a été remplacé par un étalon en platine iridié (voir Fig. {@fig:kg}).
-Il s'agit de la seule unité utilisant encore un étalon, aucune "grandeur
+a été remplacé par divers étalons pour finalement être celui en platine iridié (voir Fig. {@fig:kg}).
+Jusqu'en 2019, il s'agissait de la seule unité utilisant encore un étalon, aucune "grandeur
 naturelle" n'ayant pu être utilisée pour définir le kilogramme
-autrement. Des copies de cet étalon ont été fabriquée et envoyées à
-chaque état qui en ont fait d'autres copies officielles pour contrôler
-les balances utilisées un peu partout sur les territoires.
+autrement. Depuis 2019, le kilogramme est défini à partir de la
+*constante de Planck* (une contante physique très utilisée en mécanique
+quantique) dont la valeur est
+\begin{equation}
+h=6.62607015\cdot 10^{-34}\kg\m^2/\s.
+\end{equation}
+Elle découle dès lors naturellement des mesures de la seconde et du mètre. 
 
 ![Une réplique de l'étalon international du kilogramme présentée à la
 cité des sciences et de l'industrie (Vilette), source:
@@ -225,6 +230,14 @@ $100{\mathrm{m}}$ de profondeur.[^2]
 
 ---
 
+Exercice (Nombre de battements) #
+
+Estimez le nombre de battements de coeur d'une humaine ou d'un humain sur la durée de sa vie.
+
+---
+
+---
+
 Exercice (Hauteur d'un bâtiment) #
 
 Je souhaite estimer la hauteur d'un bâtiment. Supposons que mes yeux
@@ -246,6 +259,7 @@ l'épaisseur d'une feuille du livre.
 
 ---
 
+
 ## Analyse dimensionnelle
 
 Lorsque nous parlons de dimensions d'une quantité, nous nous référons
@@ -316,3 +330,15 @@ de leurs dimensions
 
 ---
 
+
+---
+
+Exercice (Dimensions) #
+
+La vitesse d'un objet est donné par la fonction
+$$
+v = a\cdot t^4 + b\cdot t - \frac{1}{4}c\cdot \sqrt{t}.
+$$
+Quelles sont les unités de $a$, $b$, et $c$?
+
+---
\ No newline at end of file

02_lois_de_newton.md

@@ -132,7 +132,7 @@ $$s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}.$$
 Exercice (Opérations sur les vecteurs) #
 
 1. Dessiner le vecteur $\vec{v}=\vectwo{2}{3}$ dans le système de coordonnées cartésien.
-2. Additionner les vecteur $\vec{u}=\vectwo{2}{3}$ et $\vec{v}=\vectwo{1}{3}$, d'abord 
+2. Additionner les vecteur $\vec{v}=\vectwo{2}{3}$ et $\vec{u}=\vectwo{1}{3}$, d'abord 
 à l'aide d'un dessin, puis avec les règles vues précédemment.
 3. Calculer la longueur de la somme trouvée précédemment $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$.
 4. Calculer l'angle $\theta$ pour $\vec{w}$.
@@ -199,6 +199,12 @@ $$\begin{aligned}
 
 Il est important de noter que le produit scalaire prend deux vecteurs et les transforme en un scalaire (un nombre).
 
+Il existe une définition alternative pour le produit scalaire qui vous sera
+très utile pour son implémentation informatique
+$$
+\vec u \cdot \vec v =u_x\cdot v_x + u_y\cdot v_y.
+$$
+
 ---
 
 Travail pratique (Librairie de manipulation de vecteurs) #
@@ -240,12 +246,21 @@ En d'autres termes $$\vec{F}_1+\vec{F}_2+...\vec{F}_N=\sum_{i=0}^N\vec{F}_i=0.$$
 
 ---
 
-Question # 
+Question (Bus) # 
 
 Lorsque vous êtes dans le bus et que soudainement le chauffeur freine, vous êtes projetés vers l'avant. Quelle force est responsable de cette projection?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Bus) #
+
+Lorsque le bus freine, vous avez tendance à vouloir continuer de vous déplacer
+en mouvement rectiligne uniforme. Ainsi, vous continuez votre route car aucune force n'est là pour vous retenir.
+
+---
+
 Dans ce chapitre nous nous intéressons à la *statique*. Les objets sont tous par définition dans un état *d'équilibre* et la somme de toutes les forces agissant sur un objet seront *nulles*. En d'autres terme la force résultante est toujours nulle
 $$\vec F_\mathrm{res}=0.$$ 
 
@@ -270,7 +285,7 @@ La situation d'équilibre ou non d'un système dépend évidemment des vecteurs
 
 ![Les force $\vec F_1$ et $\vec F_2$ ($\vec F_1=-\vec F_2$) sont appliquées sur la même boîte rectangulaire. La le cas du haut rien ne se passe, car les forces s'annulent. Dans le deuxième cas, la boîte va se mettre à tourner sur elle même (même si elle n'aura pas de mouvement de translation).](figs/point_action.svg){#fig:point_action width=60%}
 
-Afin de déterminer si nous avons une situation d'équilibre il est utile définir la *ligne d'action* d'une force. La ligne d'action d'une force est la droite qui a la même direction que le vecteur de la force et qui passe par le point d'application de la force. Une illustration se trouve sur la @fig:ligne_action, où on voit les lignes d'actions pour les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$ (traitillés rouges et vers respectivement) dans le cas où elles sont alignées (haut) et où elles ne le sont pas (bas). Comme discuté précédemment lorsque les lignes d'action sont alignées, l'état d'équilibre est atteint et la boîte ne bougera pas. Dans le cas où les lignes d'action ne sont pas alignées, la boîte se mettra à tourner.
+Afin de déterminer si nous avons une situation d'équilibre il est utile définir la *ligne d'action* d'une force. La ligne d'action d'une force est la droite qui a la même direction que le vecteur de la force et qui passe par le point d'application de la force. Une illustration se trouve sur la @fig:ligne_action, où on voit les lignes d'actions pour les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$ (traitillés rouges et verts respectivement) dans le cas où elles sont alignées (haut) et où elles ne le sont pas (bas). Comme discuté précédemment lorsque les lignes d'action sont alignées, l'état d'équilibre est atteint et la boîte ne bougera pas. Dans le cas où les lignes d'action ne sont pas alignées, la boîte se mettra à tourner.
 
 ![Les force $\vec F_1$ et $\vec F_2$ et leurs lignes d'action respectivement en traitillés rouge et en vert.](figs/ligne_daction.svg){#fig:ligne_action width=60%}
 
@@ -285,7 +300,7 @@ En d'autre termes, la force résultante sur le point doit être nulle.
 
 Exemple (Tirer sur la corde: Plus on est de fous plus on rit) #
 
-Soit la situation comme dans la @fig:corde_3. La norme des trois forces vaut respectivement $F_1=500\ \N$, $F_1=707\ \N$, et $F_3=966\ \N$. La situation est-elle en équilibre?
+Soit la situation comme dans la @fig:corde_3. La norme des trois forces vaut respectivement $F_1=500\ \N$, $F_2=707\ \N$, et $F_3=966\ \N$. La situation est-elle en équilibre?
 
 ![Trois personnes tirent sur trois cordes qui sont attachées entre elles.](figs/corde_3.svg){#fig:corde_3 width=40%}
 
@@ -319,7 +334,7 @@ Nous pouvons donc écrire
 $$
 \begin{aligned}
 &F_{CA}\cdot\vectwo{\cos(130^\circ)}{\sin(130^\circ)}+F_{CB}\cdot\vectwo{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}+\vectwo{0}{-800}=0,\\
-&F_{CA}\cdot\vectwo{-0.643}{0.866}+F_{CB}\cdot\vectwo{0.766}{0.5}+\vectwo{0}{-800}=0.
+&F_{CA}\cdot\vectwo{-0.643}{0.766}+F_{CB}\cdot\vectwo{0.866}{0.5}+\vectwo{0}{-800}=0.
 \end{aligned}
 $$
 En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, on obtient
@@ -363,7 +378,7 @@ elle va changer la norme de la vitesse, si elle est perpendiculaire au mouvement
 Comme un changement de vitesse est une accélération, nous pouvons dire que l'effet d'une force sur un objet est de causer une accélération.
 Il est très important de réaliser qu'une accélération, notée $\vec a$, est une quantité vectorielle et n'est pas uniquement la modification de la norme de la vitesse, mais représente toute modification du vecteur vitesse au cours du temps
 $$\vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t},$$
-où $\Delta \vec v=\vec v(t+\Delta t)-\vec(t)$ et $\Delta t$ est un intervalle de temps (voir la @fig:acc).
+où $\Delta \vec v=\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t)$ et $\Delta t$ est un intervalle de temps (voir la @fig:acc).
 
 ![L'accélération  $\vec a$ (en rouge) est une quantité vectorielle. Elle est la variation de la vitesse (qui est également une quantité vectorielle) au cours du temps. Sur cette figure la trajectoire (en bleu) d'un objet et deux vecteurs vitesse à des temps $t$ et $t+\Delta t$.](figs/acceleration_vect.svg){#fig:acc width=60%}
 
@@ -456,8 +471,14 @@ Que se passe-t-il donc?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse #
+
 Notre corps est soumis à la gravité. Il transmet cette force à la chaise sur laquelle nous sommes assis. En réaction, la chaise exerce une force égale en norme et opposée en direction à la force de gravité. 
 
+---
+
 Ce comportement se généralise à toute force, même lorsqu'une accélération est présente. Lorsqu'on plante un clou avec un marteau. La force que le marteau applique sur le clou, le marteau ressent une force égale en norme et opposée en direction appliquée par le clou.
 
 Ce comportement a été décrit par Newton dans sa troisième loi:
@@ -471,14 +492,18 @@ La troisième loi de Newton est aussi connue sous le nom du principe *d'action-r
 
 Cette loi peut sembler contre intuitive dans un premier temps, mais en fait vous pouvez l'observer tous les jours. Lorsque vous appuyez sur une table avec votre main, vous voyez votre main se déformer, car la table exerce une force sur votre main. Plus vous appuierez fort, plus la déformation sera grande.
 
----	
+---
 
-Question #
+Question (Gravité) #
 
 Lors d'un saut en chute libre, la force de gravité de la terre (qui est responsable de la chute libre) et la force de l'homme sur la terre sont égales et opposées. Dès lors, pourquoi est-ce l'homme qui tombe et non la terre qui se rapproche de l'homme?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Gravité) #
+
 En fait bien que la force soit égale et opposée, les objets, et en particulier leur masse, sont différents. Dans le cas de la chute libre, un homme pèse environ $80\ \kg$, alors que la terre a une masse d'environ $6\cdot 10^{24}\ \kg$. La force de gravité se calcule comme
 $$\vec F_g=m\cdot \vec g,$$
 où $\vec g$ est le vecteur d'accélération gravitationnelle, avec la norme de $\vec g$ de la terre qui est de 
@@ -489,6 +514,8 @@ Cette force est égale et opposée à celle que ressent la terre. On peut donc c
 $$a_\mathrm{terre}=\frac{F_g}{m_\mathrm{terre}}=\frac{800}{6\cdot 10^{24}}\cong 1.3\cdot 10^{-22}\ \m/\s^2.$$
 L'accélération de la terre est donc tellement faible qu'elle est complètement imperceptible.
 
+---
+
 Il existe beaucoup d'exemple où ce principe "d'action-réaction" est très utile. 
 
 Une application très spectaculaire est la propulsion des fusées. Lors de son décollage les moteurs de la fusée éjectent une grande quantité de gaz: ils leur appliquent une force verticale dirigée vers l'arrière de la fusée (voir la @fig:rocket). Les gaz en contre-partie exercent une force dirigée vers l'avant fusée. C'est cette force qui est responsable de la propulsion de la fusée, et non une éventuelle force que la fusée exercerait sur le sol ou sur l’atmosphère (via les gaz éjectés). Ce processus est tout à fait similaire à ce qui se passe quand un ballon se dégonfle.
@@ -530,7 +557,19 @@ Un gros camion entre en collision frontale avec une petite voiture de sport.
 
 1. Quelle est la voiture qui va ressentir la plus grande force?
 2. Quelle est la voiture qui va ressentir la plus grande accélération?
-3. Quelle est la loi de Newton qui va nous aider à trouver la réponse à cette question?
+3. Quelle sont les de Newton qui vont nous aider à trouver les réponses à ces questions?
+
+---
+
+---
+
+Réponse  (Accident) #
+
+Un gros camion entre en collision frontale avec une petite voiture de sport. 
+
+1. Les deux ressentent la même force.
+2. La voiture de sport.
+3. Respectivement la troisième et la deuxième.
 
 ---
 
@@ -582,7 +621,7 @@ F_t&=-5+9.8=4.8.
 $$
 La boîte apparaît donc plus légère à la table. Coïncidence? Je ne crois pas.
 4. Cette fois la force appliquée à la boîte est plus élevée que son poids. Ainsi, on va pouvoir soulever la boîte. La table n'exercera plus aucune force sur la boîte.
-5. Lorsqu'on tire la boîte vers le haut avec une force de $F_e=20\ N$, on ne tire pas assez fort pour soulever la boîte. On aura donc une force résultante non nulle.
+5. Lorsqu'on tire la boîte vers le haut avec une force de $F_e=20\ N$, on tire assez fort pour soulever la boîte. On aura donc une force résultante non nulle.
 Cette force sera de
 $$
 \begin{aligned}
@@ -693,7 +732,7 @@ $$
 \begin{aligned}
 F_h=m_A\cdot a+m_B\cdot a=(m_A+m_B)\cdot a,\\
 50=30\cdot a,\\
-a=5/3\ \N.
+a=5/3\ \m/s^2.
 \end{aligned}
 $$
 2. En substituant à présent ce résultat dans l'@eq:sec_force, on obtient la tension
@@ -790,12 +829,22 @@ $$a=F_\mathrm{res}/m=10.6/10=1.06\ \m/\s^2.$$
 
 ---
 
-Question #
+Question (Luge) #
 
 Est-il plus facile de pousser ou de tirer une luge? Pourquoi?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Luge) #
+
+Tirer la luge, car lorsque nous poussons nous avons tendance à "enfoncer" la luge dans le
+sole et donc augmenter le frottement. A l'inverse quand on tire la luge,
+on a tendance à la soulever et donc à diminuer le frottement.
+
+---
+
 Exemple (Plan incliné) #
 
 Afin de complexifier un peu plus encore les cas d'application de la force de frottement considérons le cas
@@ -933,6 +982,192 @@ et leur position $\vec r_i$, sachant que:
 
 ---
 
+## Mouvement circulaire et gravitation
+
+Nous avons vu qu'un objet se déplacera en ligne droite dans deux cas:
+
+1. Si on lui applique une force résultante dans la direction de son déplacement.
+2. Si la force résultante qui lui est appliquée est nulle.
+
+Dans tout autre cas, l'ojet suivra une trajectoire incurvée. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à un cas particulier: celui du mouvement circulaire et du cas particulier du mouvement
+orbital (quasi-circulaire) des objets célestes tels que le mouvement de la lune autour de la terre ou de la terre autour du soleil.
+
+### La cinématique du mouvement circulaire
+
+Un objet qui se déplace à vitesse constante $v$ (la norme de la vitesse est constante)
+et suivant une trajectoire circulaire est en **mouvement circulaire uniforme**.
+Il est primordial de réaliser que bien que la norme de la vitesse est constante,
+la direction de la vitesse change constamment étant donné que l'objet bouge le long d'un cercle.
+Dès lors, il subit pune accélération, bien que la norme de la vitesse soirt constante. Soient
+$\vec v_1$ et $\vec v_2$ les vitesses mesurées de l'objet sur un cercle, et la mesure est décalée d'un temps $\Delta t$, alors son accélération est donnée par
+$$
+\vec a = \frac{\vec v_2-\vec v_1}{\Delta t}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}.
+$$
+On peut se convaincre à l'aide d'un petit dessin que si $\Delta t$ est suffisamment petit,
+alors $\Delta \vec v$ pointe vers le centre du cerle et donc $\vec a$ pointe également vers le centre du cercle (l'équation ci-dessus nous l'assure en effet). On va alors noter
+$\vec a_R$ l'accélération **radiale** subie par l'objet. La norme de l'accélération radiale est donnée par
+$$
+a_R=\frac{v^2}{r},
+$$
+où $r$ est le rayon du cercle le long duquel se déplace l'objet. Ainsi un objet se réplaçant le long
+d'un cercle de rayon $r$ subit une accélération dirigée vers le centre du cercle, et de norme
+$a_R=v^2/r$. Plus le cercle est grand et moins l'accélération est forte (le changement de direction est plus faible) et plus la vitesse est forte plus il faut accélérer pour changer de direction abruptement.
+
+Il faut également noter que la vitesse pointe **toujours** dans le direction tangentielle au cercle et ainsi l'accélération et la vitesse sont perpendiculaires. On peut également décrire
+le mouvement circulaire en terme de la fréquence ou de la période de révolution de l'objet. Ainsi,
+si l'objet fait un tour du cercle en un temps $T$ (la période du mouvement est $T$) la fréquence, $f$, sera donnée par
+$$
+f=\frac{1}{T}.
+$$
+On aura donc que la vitesse de l'onbet sera donnée par la distance parcourue par tour sur le temps d'une révolution
+$$
+v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi r f.
+$$
+
+---
+
+Exemple (Mouvement circulaire) #
+
+Soit une balle pesant $2\kg$, attachée à une corde de longueur de $50\cm$ et que la balle
+fait 3 tours par seconde. Quelle est l'accélération radiale qu'elle subit?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Mouvement circulaire) #
+
+On sait que $a_R=v^2/r$ et que $v=2\pi r f$. De l'énoncé on a $f=3\ \mathrm{s}^{-1}$ et $r=0.5\m$. Il vient donc
+$$
+a_R=4\frac{\pi^2 r^2 f^2}{r}=4\pi^2 r f^2=2\pi^2 9=18\pi^2\cong 178 \m/\s^2.
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Mouvement criculaire bis) #
+
+De quel facteur change l'accélération de la balle si on double la longueur de la corde?
+
+---
+
+---
+
+Exercice (La lune) #
+
+La lune a une orbite quasi circulaire autour de la terre. Sachant que la distance terre-lune
+est de $384'000\km$ et que sa période est de $27 jours$ (environ). Quelle est l'accélération de
+la lune vers la terre?
+
+---
+
+### La dynamique du mouvement criculaire
+
+Voyons à présent ce qu'on peut dire sur la description du système d'un point de vue de la dynamique (des forces).
+
+---
+
+Question (Que vaut la force dans le mouvement circulaire?) #
+
+Que peut-on dire sur la force résultante que subit un objet en mouvement sur un cercle de rayon $r$ et qui bouge à vitesse $v$?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Que vaut la force dans le mouvement circulaire?) #
+
+Nous savons de la 2e loi de Newton que $\vec F_\mathrm{res}=m\cdot \vec a$. Ainsi, comme nous savons que $\vec a$ pointe dans la direction du centre du cercle et que sa norme vaut
+$||\vec a||=v^2/$, nous avons que la norme de la force résultante vaut
+$$
+F_\mathrm{res}=m\frac{v^2}{r}.
+$$
+
+---
+
+Cette force agit vers le **centre** du cercle et non vers l'extérieur (ce qui pourrait
+si on se fie à notre intuition). En effet, bien que la force qu'on ressent quand on est dans une 
+voiture qui tourne paraît être vers "l'extérieur", il s'agit en fait de la force à appliquer pour ne pas aller en ligne droite (qui est le mouvement naturel des objets).
+
+---
+
+Exemple (La balle qui tourne) #
+
+Soit une balle attachée à une ficelle, de masse $m=1\kg$, suivant un mouvement circulaire de rayon $r=1\m$, mettant $10\s$ pour effectuer un tour. Quelle est la force que subit la balle?
+
+---
+
+---
+
+Solution (La balle qui tourne) #
+
+Nous savons que la balle subit une force 
+$$
+F\mathrm{res}=m a_R=m \frac{v^2}{r}=m\frac{(2\pi r)^2}{T^2}\frac{1}{r}=\frac{4\pi^2 r}{T^2}=\frac{4\pi^2}{100}\cong 0.395\N.
+$$
+
+---
+
+### La loi de la gravitation universelle
+
+Partant de l'observation que les objets qui tombent sur terre accélèrent, Newton,
+a également émi l'hypothèse qu'ils devaient subir une force, la force de *gravité*. De plus cette
+force s'applique toujours vers le centre de la terre, peu importe sa position sur la surface de la terre. Ainsi, il conclut que la terre elle-même exerce une force sur les objets qui se trouvent à sa surface.
+
+On sait que l'accélération subie par un objet à la surface de la terre est donnée par $g=9.81\m/\s^2$. De ce qu'on a calculé plus haut (enfin ça c'est si vous avez fait l'exercice), on sait que l'accélération de la lune est de
+$a_R=0.00272\m/\s^2$. On peut écrire le rapport entre ces deux accélérations
+$$
+\frac{g}{a_R}\cong 3600.
+$$
+Il se trouve que le rapport entre le rayon de la terre ($6400\km$) et la distance entre la
+terre et la lune ($384000\km$) est d'environ $1/60$. Il se trouve que $1/60^2=1/3600$. 
+Coïncidence? Je ne crois pas.
+
+En fait, il se trouve que ce n'est pas un hasard mais on y reviendra plus tard. 
+On a que la force de gravité entre la lune et la terre est donc
+proportionnelle au carré de l'inverse de la distance entre les deux
+$$
+F_\mathrm{grav}\sim 1/r^2.
+$$
+De plus cette force doit être reliée à la masse de la lune et de la terre. Comme en vertu du principe
+d'action réaction la force sur la terre et sur la lune est la même. Ainsi,
+il peut sembler naturel que cette force soit proportionnelle au produit 
+des masses de chacun des deux objets
+$$
+F_\mathrm{grav}\sim \frac{m_\mathrm{terre} m_\mathrm{lune}}{r^2},
+$$
+La direction de cette force est le long de la droite qui relie les deux objets et que la force est **toujours** attractive.
+
+De cette observation et d'observation similaire pour le couple terre-soleil, Newton poustla
+la **loi de la gravitation universelle** qui dit que *chaque particule dans l'univers attire
+chaque autre particuleavec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversément
+proportionnelle au carré de la distance qui les séparent et dont la direction est le long de la droite qui les relie*. Ainsi la loi de la gravitation universelle s'écrit
+$$
+F_\mathrm{grav}=G\frac{m_1 m_2}{r^2},
+$$
+avec $m_1$, $m_2$ les masses des deux particules et $r$ la distance entre les deux. $G$ est appelée
+la constant de la gravitation universelle et a été déterminée expérimentalement comme valant
+$$
+G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\N\m^2}{\kg^2}.
+$$
+
+---
+
+Exercice (Avec son·sa voisin·e) #
+
+Que vaut la force d'attraction que vous exercez sur votre voisin·e?
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Satellites) #
+
+Quelle doit être la vitesse d'un satellite, de masse $m_s$, dont l'orbite est circulaire et est à une distance $r$ de la terre, dont la masse est $m_T$? A quelle distance doit se trouver le satellite si l'orbite est géostationnaire?
+
+---
+
 ## Les équations du mouvement
 
 Les lois de Newton, nous permettent de décrire des systèmes très complexes, comme le déplacement des planètes
@@ -1007,7 +1242,7 @@ $$
 $${#eq:vt0}
 ou encore 
 $$
-\vec v(t_{j})=\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}.
+\vec v(t_{j})=\frac{\vec r(t_{j+1})-\vec r(t_{j})}{\delta t}.
 $${#eq:vt1}
 
 Nous pouvons ainsi approximer le mouvement de la particule $P$
@@ -1031,6 +1266,7 @@ En isolant $\vec r(t_{j+1})$ il vient
 $$
 \vec r(t_{j+1})=2\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2.
 $$
+Cette équation est connue sous le nom de *schéma de Verlet*.
 Cette formule est correcte pour $j\geq 1$. Pour $j=0$, on a
 $$
 \vec r(t_{1})=\vec r(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2.
@@ -1046,6 +1282,63 @@ $$
 
 ---
 
+Exemple (Mouvement parabolique) #
+
+Comparer la position d'un objet $\vec s_\mathrm{exact}$
+$$
+\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{\frac{1}{2}\vec a_x t^2+v_{0x} t}{\frac{1}{2}\vec a_y t^2+\vec v_{0y} t},
+$$
+soumis à une accélération 
+$$
+\vec a=\vectwo{0}{-10}\m/\s^2,
+$$
+et 
+$$
+\vec v_0=\vectwo{1}{1}\m/\s,
+$$
+après un temps $t=0.2\s$ et ce qu'on obtient avec l'équation de Verlet pour
+$\delta t=0.1$ et $\delta t=0.05$.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Mouvement parabolique) #
+
+Après $t=0.2\s$ l'ojet se trouve à
+$$
+\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{0.2}{0.0}\m.
+$$
+Pour l'approximation de Verlet, on doit d'abord initialiser le problème, soit calculer $\vec s_0=\vec s(t=0)$ et $\vec s_1(t=\delta t)$.
+On a 
+$$
+\vec s_0=\vectwo{0}{0}\m,
+$$
+et pour $\delta t=0.1$
+$$
+\vec s_1(\delta t=0.1)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.1}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.0}\m.
+$$
+On obtient donc pour $\vec s_2(t=2\delta 2)$ on a
+$$
+\vec s_2(\delta t=0.1)=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.0}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.2}{-0.1}\m.
+$$
+De même pour $\delta t=0.05$ on a
+$$
+\vec s_1(\delta t=0.05)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.05}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.05}{0.0025}\m.
+$$
+Et ensuite les différentes étape $\vec s_2=\vec s(t=2\delta t)$, 
+$\vec s_3=\vec s(t=3\delta t)$, $\vec s_4=\vec s(t=4\delta t)$
+\begin{align}
+\vec s_2(\delta t=0.05)&=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.025}\m,\\
+\vec s_3(\delta t=0.05)&=2\vec s_2-\vec s_1+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.05}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.15}{0.0}\m,\\
+\vec s_4(\delta t=0.05)&=2\vec s_3-\vec s_2+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.3}{0.0}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.2}{-0.05}\m.
+\end{align}
+On voit que bien que $\vec s_4(\delta t = 0.05)=\vectwo{0.2}{-0.05}$ soit toujours faux par rapport à la solution exacte, elle est plus proche de la solution que $\vec s_2(\delta t=0.1)=\vectwo{0.2}{-0.1}$. On constate également que si on a pas d'accélération, la position trouvée est **exacte**.
+
+---
+
+---
+
 Travail pratique (Mouvement des particules) #
 
 1. Implémenter le mouvement des particules en utilisant les formules ci-dessus.

03_charge_electrique_champs_electrique.md

@@ -4,9 +4,9 @@ Les forces électriques sont omniprésentes dans notre vie de tous les jours.
 Elles permettent d'allumer des ampoules, de faire fonctionner les 
 ordinateurs, de faire tourner des moteurs, ... Elles sont aussi
 responsables des interactions inter-atomiques pour que des amas d'atomes 
-formes des solides ou les liquides. En réalité un certain nombre des
+forment des solides ou les liquides. En réalité un certain nombre des
 forces que nous avons considéré dans le chapitre précédent sont
-le résultat des interactions électrique au niveau atomique (la force de
+le résultat des interactions électriques au niveau atomique (la force de
 frottement par exemple).
 
 ## L'électricité statique et la conservation de la charge électrique
@@ -14,21 +14,21 @@ frottement par exemple).
 Lorsqu'on frotte un ballon de baudruche contre sa tête, on constate
 que les cheveux ont tendances à rester attachés au ballon
 plutôt que de tomber vers le sol sous l'effet de la gravité.
-On dit aujourd'hui que les cheveux se dresse sous l'effet de l'**électricité statique**.
-En réalité sous l'effet du frottement le ballon comme les cheveux deviennent "chargés":
-il possèdent une **charge électrique**.
+On dit aujourd'hui que les cheveux se dressent sous l'effet de l'**électricité statique**.
+En réalité, sous l'effet du frottement, le ballon comme les cheveux deviennent "chargés":
+ils possèdent une **charge électrique**.
 
 Il existe *deux* types de charges électriques: la charge *positive* et la charge *négative*.
 Des objets possédant une charge de *même* type ont tendance à se repousser,
 alors que ceux possédant des charges *opposées*
-ont tendance à se repousser mutuellement.
+ont tendance à s'attirer mutuellement.
 
 L'expérience de charger un objet en le frottant peut amener à charger positivement ou 
 négativement un objet. Ainsi, on dit qu'une baguette en verre est chargée *positivement*,
 alors qu'une baguette en plastique est chargée *négativement*. Ce choit est totalement arbitraire
 et a été choisi par B. Franklin (au 18e siècle) qui a été un des premiers à faire ce type d'expériences.
 
-Avant de frotter ses cheveux contre un ballon et de rendre les cheveux et le ballon chargé,
+Avant de frotter ses cheveux contre un ballon et de rendre les cheveux et le ballon chargés,
 on constate qu'il n'y a pas d'attraction particulière entre ces deux objets. Cela signifie
 que ni l'un ni l'autre ne sont chargés. En fait le frottement va donner une charge 
 *égale et opposée* à chaque objet.
@@ -37,47 +37,57 @@ Cela est une conséquence de la loi de la conservation de la charge électrique
 
 * La charge totale produite par un processus est nulle,
 
-ou en d'autre termes
+ou en d'autres termes
 
 * Aucune charge ne peut être créée ou détruite.
 
-En pratique cela signifie que si une région de l'espace acquière une charge positive
+En pratique cela signifie que si une région de l'espace acquière une charge positive,
 une autre région aura acquis dans le même temps la même charge mais négative.
 
 ---
 
-Question #
+Question (D'autres lois de conservation) #
 
 Connaissez-vous d'autres lois de conservation?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (D'autres lois de conservation) #
+
+La conservation de l'énergie, de la masse, de la quantité de mouvement, ...
+
+---
+
 ## La charge électrique dans les atomes
 
 Un modèle simplifié d'un atome postule qu'un atome possède un noyau chargé positivement (composé de 
-protons et de neutrons, ces derniers n'ont pas de charge) autour duquel tournent les électrons chargés négativement (voir @fig:bohr). Les protons ont exactement la même charge électrique que les électron
+protons et de neutrons, ces derniers n'ont pas de charge) autour duquel tournent les électrons chargés négativement (voir @fig:bohr). Les protons ont exactement la même charge électrique que les électrons
 mais inversée. Ainsi les atomes n'ont pas une charge nette.
 
-![Illustration du modèle de l'atome de Bohr. Source: [Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Blausen_0342_ElectronEnergyLevels.png)](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Blausen_0342_ElectronEnergyLevels.png){#fig:bohr width=40%}
+![Illustration du modèle de l'atome de Bohr. Source: 
+[Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Blausen_0342_ElectronEnergyLevels.png)](figs/Blausen_0342_ElectronEnergyLevels.png){#fig:bohr 
+width=40%}
 
 Sous l'effet du frottement (entre autres) un atome peut perdre ou gagner des électrons.
 Il devient ainsi positivement ou négativement chargé (respectivement),
 et est appelé un *ion*. Les atomes dans un solide ont une structure
-cristalline (ils ne peuvent quasiment pas bouger). De plus dans des isolants
+cristalline (ils ne peuvent quasiment pas bouger). De plus, dans des isolants,
 les électrons sont également fortement attachés à leurs noyaux, alors que dans
-des conducteurs ils sont libres de se mouvoir à la surface du solide. Ainsi,
+des conducteurs, ils sont libres de se mouvoir à la surface du solide. Ainsi,
 lorsqu'on frotte un isolant (un ballon) avec un autre isolant (les cheveux),
 des électrons sont transférés de l'un vers l'autre ce qui conduit
-à un transfère net de charge. Cette charge nette ne dure pas indéfiniment
+à un transfère net de charge. Cette charge nette ne dure pas indéfiniment,
 car les électrons en trop sont diffusés dans l'air, attirés par les molécules d'eau
 en général.
 
 ## Isolants et conducteurs
 
-Si nous sommes en présence de deux objets métalliques. Un chargé électriquement
-et un autre neutre et qu'on connecte les deux objets à l'aide
+Si nous sommes en présence de deux objets métalliques, un chargé électriquement
+et un autre neutre, et qu'on connecte les deux objets à l'aide
 d'un fil métallique, on constate que l'objet non chargé devient rapidement chargé.
-A l'inverse si on connecte les deux objets métalliques avec
+À l'inverse, si on connecte les deux objets métalliques avec
 un morceau de plastique, la charge de l'objet neutre ne changera pas.
 
 Les objets métalliques sont de bons *conducteurs* d'électricité, alors que
@@ -87,27 +97,27 @@ les *semi-conducteurs*. Le silicium entre dans cette catégorie par exemple (le
 Nous parlerons des semi-conducteurs plus tard dans ce cours.
 
 La différence entre isolant et conducteur au niveau atomique est la suivante.
-Les électrons dans un isolant sont très fortement attachés au noyaux. Pour un conducteur
+Les électrons dans un isolant sont très fortement attachés au noyau. Pour un conducteur
 en revanche, certains électrons ont un lien beaucoup plus faible avec le noyau
 et peuvent se déplacer librement à la surface du matériau conducteur (mais pas s'en détacher).
 Ces électrons sont appelés *électrons libres*. Ainsi, un matériau chargé qui entre en contact
-avec un conducteur, va avoir pour effet de déplacer les électrons de celui-ci.
-Si la charge est positive, les électrons se déplaceront vers le la charge,
-à l'inverse il s'en éloigneront si la charge est négative.
+avec un conducteur va avoir pour effet de déplacer les électrons de celui-ci.
+Si la charge est positive, les électrons se déplaceront vers la charge,
+à l'inverse ils s'en éloigneront si la charge est négative.
 
 Pour en revenir à notre exemple du début de la section, lorsqu'un
 conducteur neutre, $N$, est mis en contact avec un autre conducteur chargé positivement, $C$,
 le conducteur $N$ deviendra également positivement chargé. 
-En effet, lorsque $N$ et $C$ sont mis en contact les électrons de $N$
+En effet, lorsque $N$ et $C$ sont mis en contact, les électrons de $N$
 sont attirés par la charge positive de $C$, et certains passeront de $N$ à
 $C$, diminuant la charge nette de $C$ et augmentant la charge positive
 de $N$, jusqu'à ce que $N$ et $C$ aient la même charge. Ce processus
-est appelé charge par *conduction* car les deux conducteurs sont en contact
+est appelé charge par *conduction*, car les deux conducteurs sont en contact
 direct.
 
 Si maintenant les deux objets sont rapprochés, mais sans être mis en contact. Les électrons libres ne vont pas quitter le conducteur $N$ pour rejoindre le conducteur $C$. En revanche, les électrons de $N$
 seront attirés par le conducteur $C$ et se déplaceront en direction
-de $C$ créant ainsi deux zones à l'intérieure de $N$: une chargée négativement proche de $C$, et une positivement éloignée de $C$.
+de $C$, créant ainsi deux zones à l'intérieur de $N$: une chargée négativement proche de $C$, et une positivement éloignée de $C$.
 Néanmoins, la charge nette de $N$ reste toujours la même,
 c'est à dire nulle. Ce processus est appelé charge par *induction*.
 
@@ -120,12 +130,18 @@ la charge par induction?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Charger un conducteur) #
+
 Ce processus permet de charger un objet assez facilement.
-Pour ce faire, il faut connecter l'objet à l'aide d'un conducteur à la Terre[^8] (à l'aide d'un fil par exemple). Puis en utilisant la
-charge par induction les électrons vont quitter (ou pénétrer)
-le conducteur depuis la Terre. Puis il suffit de couper le
+Pour ce faire, il faut connecter l'objet à l'aide d'un conducteur à la Terre[^8] (à l'aide d'un fil par exemple). Puis, en utilisant la
+charge par induction, les électrons vont quitter (ou pénétrer)
+le conducteur depuis la Terre. Puis, il suffit de couper le
 fil et le tour est joué.
 
+---
+
 ## La loi de Coulomb
 
 Dans les précédentes sections, nous avons vu la phénoménologie
@@ -136,7 +152,7 @@ force.
 
 ---
 
-Question (Force électrique) #
+Question ouverte (Force électrique) #
 
 De quoi dépend la force électrique à votre avis?
 
@@ -144,21 +160,21 @@ De quoi dépend la force électrique à votre avis?
 
 La force électrique a été étudiée par Charles Coulomb au 18e siècle 
 (1780 environ) à l'aide d'une *balance à torsion*. Cette balance
-est basée sur le même principe qu'une balance pour la gravitation mais
+est basée sur le même principe qu'une balance pour la gravitation, mais
 adaptée à la force électrique (une vidéo décrivant l'expérience
 peut se trouver [sur ce lien](https://bit.ly/3nOgZEN)).
 
 Un axe avec une boule conductrice à une extrémité est suspendue
 à un long fil très fin. Le dispositif est enfermé dans une cloche
-en verre limitant ainsi les courants d'air. Dans cette cloche
-on peut introduire un autre conducteur chargé. Lorsque les boules sont mises en contact, la charge est répartie entre les deux objet et ils se repoussent. Cette force induit une torsion du fil,
-et on peut ainsi mesurer l'amplitude de la force. Ainsi on peut mesurer
+en verre limitant ainsi les courants d'air. Dans cette cloche,
+on peut introduire un autre conducteur chargé. Lorsque les boules sont mises en contact, la charge est répartie entre les deux objet et ils se repoussent. Cette force induit une torsion du fil
+et on peut ainsi mesurer l'amplitude de la force. Ainsi, on peut mesurer
 la torsion du fil sous l'effet de la force électrique.
 En variant la distance de départ entre les charges, et en utilisant
 plus d'objets, Coulomb a pu déterminer sa loi reliant la force électrique avec la distance et la charge.
 
 Coulomb énonce que la force électrique
-entre deux object de charges $Q_1$, et $Q_2$, est proportionnelle au produit des charges en présence et inversément
+entre deux object de charges $Q_1$, et $Q_2$ est proportionnelle au produit des charges en présence et inversément
 proportionnelle au carré de la distance, $r$, qui les sépare[^9].
 Cela peut s'écrire sous la forme
 $$
@@ -188,7 +204,7 @@ ainsi que de la force de $Q_1$ sur $Q_2$ et de $Q_2$ sur $Q_1$ dans les cas où:
 
 ---
 
-Si les deux charges ont le même signe la force est
+Si les deux charges ont le même signe, la force est
 répulsive (la force éloigne les charges), si les deux charges ont un signe opposé, la force est attractive (la force attire les charges l'une vers l'autre).
 
 ---
@@ -199,6 +215,10 @@ Est-ce que la loi de Coulomb est compatible avec la troisième loi de Newton (pr
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Action-réaction) #
+
 On constate que la loi de Coulomb est effectivement compatible
 avec la troisième loi de Newton (encore heureux!). En effet,
 l'amplitude de la force est la même quelque soit la charge ($Q_1$ ou $Q_2$) de l'objet que nous considérons, et les forces sont également opposées en direction étant donnée qu'elles sont
@@ -206,6 +226,8 @@ répulsives ou attractives.
 
 ---
 
+---
+
 Remarque (Force de gravitation) #
 
 On constate que la loi de Coulomb est très similaire à la
@@ -231,12 +253,18 @@ Quelles sont les unités de la constante $k$?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Unités de $k$) #
+
 En SI la constante $k$ a pour valeur
 $$
 k=8.988\cdot 10^9\ \frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2},
 $$
 où $\mathrm{C}$ est le *Coulomb*, l'unité de la charge électrique.
 
+---
+
 Pour avoir une idée de ce que représentent ces grandeurs,
 voyons quelle force exerceraient entre elles deux charges
 d'un Coulomb séparées d'un mètre:
@@ -262,6 +290,10 @@ Toutes les charges sont-elles possibles?
 
 ---
 
+---
+
+Réponse (Charge élémentaire) #
+
 L'existence d'une charge élémentaire a comme conséquence
 que la charge est "quantisée": elle n'est exprimable qu'en
 multiples entiers de $e$ ($e$, $2e$, 3$e$, ...). Il est 
@@ -273,11 +305,13 @@ que la charge est une quantité *continue*. En revanche à
 des échelles nanoscopies (la taille des circuits des micro-processeurs par exemple) l'effet de la quantisation
 devient visible et même problématique (on a atteint la limite de réduction de la taille des circuits imprimés classiques à cause de *l'effet tunnel*).
 
+---
+
 L'équation de Coulomb s'applique à des charges **ponctuelles** ou au moins
 la taille ds objets chargés est beaucoup plus faible que les distances entre les objets.
 Cela permet de négliger la distribution des charges dans des objets qui pourrait être 
 non-uniforme. Par ailleurs, cette équation est valable quand les charges sont stationnaires
-car d'autres forces entre en jeu lorsque les charges sont en mouvement, mais cela
+car d'autres forces entrent en jeu lorsque les charges sont en mouvement, mais cela
 dépasse le cadre de ce cours. Ici nous nous intéressons donc à **l'électrostatique**
 et donc l'équation de Coulomb donne la **force électrostatique**.
 
@@ -316,7 +350,7 @@ $$
 
 La loi de Coulomb décrit l'intéraction entre deux charges.
 En présence de plusieurs charges, nous pouvons appliquer
-le *principe de superposition* et, comme nous l'avons fait
+le *principe de superposition*, et comme nous l'avons fait
 pour la force de gravitation, et considérer les forces deux
 par deux comme des vecteurs. Ainsi, si nous avons un système 
 de trois charges, $Q_1$, $Q_2$, et $Q_3$, la charge $Q_1$
@@ -355,13 +389,15 @@ $$
 $$
 La loi de Coulomb nous donne immédiatement $F_{2\rightarrow 3}$ et $F_{1\rightarrow 3}$
 \begin{align}
-F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_23^2}\cong 1.2\mathrm{N},\\
-F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_13^2}\cong 2.7\mathrm{N}.
+F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_{23}^2}\cong
+2.02\mathrm{N},\\
+F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_{13}^2}\cong
+0.86\mathrm{N}.
 \end{align}
 La charge $Q_3$ étant négative la force de $Q_1$ est répulsive, alors que  celle de $Q_2$ est attractive.
 On a donc finalement
 $$
-F=-F_{2\rightarrow 3}+F_{1\rightarrow 3}=-1.5\mathrm{N},
+F=-F_{2\rightarrow 3}+F_{1\rightarrow 3}=-1.16\mathrm{N},
 $$
 et la force pointe vers la gauche.
 
@@ -442,7 +478,7 @@ on peut placer une charge $Q$ entre les deux pour qu'elle ne ressente aucune for
 ## Le champs électrique
 
 Les forces habituelles que nous exerçons ou subissons tous les jours sont souvent dites
-de "contact". Ainsi lorsque notre main tiens un stylo, que nous donnons un coup de pied dans un ballon, ... il y a un contact direct entre les objets. La force de gravitation et la force électrique ne fonctionnent pas comme cela, elles agissent *à distance* sans que des objets se touchent. Cette notion est un peu compliquée à appréhender. On la représente à l'aide d'un **champs**. Le champs électrique s'exerce vers l'extérieur d'une charge, $Q$, dans toutes les directions et remplit tout l'espace (voir @fig:electric_field). 
+de "contact". Ainsi, lorsque notre main tiens un stylo, que nous donnons un coup de pied dans un ballon, ... il y a un contact direct entre les objets. La force de gravitation et la force électrique ne fonctionnent pas comme cela, elles agissent *à distance* sans que des objets se touchent. Cette notion est un peu compliquée à appréhender. On la représente à l'aide d'un **champs**. Le champs électrique s'exerce vers l'extérieur d'une charge, $Q$, dans toutes les directions et remplit tout l'espace (voir @fig:electric_field). 
 
 ![Schéma du champs électrique généré par une charge $Q$ et mesuré à l'aide d'une charge négligeable $q$.](figs/electric_field.svg){#fig:electric_field width=40%}
 
@@ -491,3 +527,373 @@ $$
 
 ---
 
+---
+
+Exercice (Charge ponctuelle) #
+
+Calculer l'amplitude et la direction du champs électrique émis par une charge
+ponctuelle de charge $Q=-5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{C}$ à un point $P$, se trouvant
+à $50\cm$ à droite de la charge $Q$.
+
+<!-- Solution Cachée (Charge ponctuelle) #
+
+La loi de Coulomb donne l'amplitude du champs électrique et le signe de la charge sa direction.
+On a donc
+$$
+E=k\frac{Q}{r^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 5\cdot 10^{-6}}{0.5^2}=1.8\cdot 10^5\mathrm{N/C}.
+$$
+La direction du champs électrique pointe dans la direction de la charge.
+Étant donné que nous avons défini le champs électrique comme agissant
+sur une charge test **positive**, la force sera ici attractive et
+aura comme conséquence que le champs électrique pointera dans
+la direction de la charge $Q$. Si la charge avait été positive,
+la direction du champs électrique aurait été inversée. -->
+
+---
+
+Le champs électrique en un point de l'espace émis par plusieurs charges
+sera la sommes des champs électriques émis par chacun des charges indépendamment des autres, en vertu du **principe de superposition**. Ce principe a été confirmé expérimentalement vérifié.
+
+---
+
+Exemple (Champs électrique entre deux charges) #
+
+Deux charges ponctuelles, $Q_1$ et $Q_2$, sont séparées par une distance de $1\m$.
+Si $Q_1=200\mu\mathrm{C}$ et $Q_2=-400\mu\mathrm{C}$.
+
+1. Déterminer la direction et l'amplitude du champs électrique à un point $P$ entre les deux charges, avec $P$ se trouvant à $30\cm$ de $Q_1$ et $70\cm$ de $Q_2$.
+2. Si nous plaçons un électron au repos en $P$ ($m=9\cdot 10^{-31}\kg$). Quelle sera sont accélération au moment où il est libéré?
+
+Solution (Champs électrique entre deux charges) #
+
+1. Le champs électrique en $P$ est rien d'autre que la somme des champs électriques de chaque 
+charge prises individuellement. Si $Q_1$ est à gauche et $Q_2$ à droite, on a que $E_1$ pointe vers la droite et $E_2$ vers la droite également. Avec la loi de Coulomb et le principe de superposition, on a
+$$
+E=E_1+E_2=k\left(\frac{Q_1}{r_1^2}+\frac{Q_2}{r_2^2}\right)=9\cdot 10^9\left(\frac{2\cdot 10^{-4}}{0.3^2}+\frac{4\cdot 10^{-4}}{0.7^2}\right)=2.73\cdot 10^7\N/\mathrm{C}.
+$$
+2. L'accélération de l'électron sera donnée par la deuxième loi de Newton:
+$$
+F=m\cdot a,
+$$
+avec $F=q\cdot E$. Il vient donc
+$$
+a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{1.6\cdot10^{-19}\cdot 2.73\cdot 10^7}{9\cdot 10^{-31}}=4.85\cdot 10^{18}m/s^2.
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Carré) #
+
+Soient quatre charges de même amplitude mais de signe pouvant être différent et placées
+sur les 4 coins d'un carré. Quel arrangement va produire le champs électrique le plus élevé
+au centre du carré?
+
+1. Les 4 charges positives?
+2. Les 4 charges négatives?
+3. Trois positives, une négative?
+4. Trois négative une positive?
+5. Deux positives, deux négatives?
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Avec des vrais vecteurs) #
+
+Soient trois charges comme sur la @fig:charges. Calculer le champs électrostatique 
+à la position $Q_3$ dûes aux charges $Q_1$ et $Q_2$.
+
+---
+
+## Les lignes de champs électrique
+
+Le champs électrique est représenté par un vecteur, et on parle de *champs vectoriel*
+pour le représenter. Cela signifie qu'à chaque point de l'espace le champs électrique
+va associer un vecteur, qui aura l'amplitude et la direction du champs électrique en ce point
+(voir @fig:champ_e).
+Dessiner de tels vecteurs peut être facilement fastidieux et peut lisible lorsque la
+quantité de vecteurs devient trop grande.
+
+![Champs de vecteurs représentant de champs électrique d'une charge positive. 
+Source: Wikipédia, 
+<https://bit.ly/3bTIJDx>.](figs/langfr-1024px-E_FieldOnePointCharge.png){#fig:champ_e 
+width=80%}
+
+
+Pour visualiser un champs électrique, on utilise en général une série de lignes
+pour indiquer la direction du champs électrique (on s'intéresse plus à sont amplitude
+dans ce cas). On parle alors des **lignes de champs électrique** et sont dessinées
+pour indiquer la direction de la force dûe à des charges électriques sur une charge test
+*positive*. Cette convention implique que les lignes de champs sont **sortantes** pour une
+charge *positive* et *entrantes* pour une charge négative (voir @fig:plus_minus_field)
+
+![Lignes de champs électrique reliant en présence de deux charges positives 
+(gauche) et une charge négative et une positive (droite). Les lignes de champs 
+sont sortantes de la charge positive, et entrantes dans la charge négative. 
+Source: Wikipédia, 
+<https://bit.ly/3dPsUk2>.](figs/Camposcargas.PNG){#fig:plus_minus_field 
+width=80%}
+
+---
+
+Exercice (Charge seule) #
+
+Dessiner les lignes de champs pour un charge positive seule et une charge négative seule.
+
+---
+
+On ne dessine qu'une quantité limitées de lignes de champs, bien qu'il en existe une infinité.
+La *densité* de lignes de champs est proportionnelle à l'intensité du champs
+électrique dans cette région de l'espace (plus elles sont denses plus le champs électrique
+est important). Cette propriété des lignes de champs électrique sera très utile plus tard il
+faut donc bien s'en souvenir.
+
+---
+
+Question (Champs électrique entre deux plaques de signes opposés) #
+
+Soient deux plaque infinies, à quoi vont ressembler les lignes de champs électrique?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Champs électrique entre deux plaques de signes opposés) #
+
+Les lignes de champs sont parallèles entre elles, sortantes de la plaque positive et entrantes dans la plaque négative. Pour des raisons de symétrie, on peut assez facilement se convaincre
+que les lignes de champs sont perpendiculaires aux plaques. En effet, une charge test
+placées entre deux plaques infinies ressentirait une force symétrique 
+de la part de chaque plaque et irait donc dans la direction perpendiculaire aux plaques.
+
+Dans le cas où les plaques ne sont pas infinies, les lignes de champs s'incurvent au
+fur et à mesure qu'on s'approche des extrémités des plaques (voir @fig:plaques_non_sym)
+
+![Lignes de champs dans le cas de deux plaques chargées de longueur finies et 
+de signes opposés. On constante que les lignes de champs s'incurvent aux 
+extrémités. Source: Wikipédia, 
+<https://bit.ly/3b2qIUx>](figs/VFPt_capacitor-square-plate.svg){#fig:plaques_non_sym 
+width=80%}
+
+---
+
+## Le champs électrique dans des conducteurs
+
+A présent, nous voulons discuter les propriétés des conducteurs
+à la lumière du concept des champs électriques.
+
+Dans le cas statique, c'est à dire quand les charges sont au repos, le champs
+électrique dans un conducteur est **nul**. En effet, s'il existait un champs électrique
+dans le conducteur, les électrons libres se mettraient en mouvement (sous l'influence
+du champs électrique). Les électrons se positionneraient de telle façon que le champs
+devienne nul (et qu'ainsi ils ne bougent plus).
+
+Cette propriété a un certain nombre de conséquences intéressantes.
+
+![Le champs électrique à l'intérieur d'un conducteur est nul. Les charges se déplacent pour se placer à la surface du conducteur et annulent exactement le champs électrique externe.](figs/field_conductor.svg){#fig:field_conductor width=80%}
+
+1. Toute charge nette dans un conducteur se distribue à sa surface. Pour des charges
+négatives, on peut assez aisément imaginer que les électrons essaient de s'éloigner les plus
+possible les uns des autres, et se dirigeront vers la surface du conducteur (voir @fig:field_conductor).
+2. Si une charge $Q>0$ est entourée par un anneau conducteur (la charge er le conducteur ne se touchent pas). Comme il ne peut y avoir de lignes de champs dans l'anneau, les charges négatives du se placeront sur la surface interne de l'anneau alors que les positives iront sur la face externe. Comme la charge nette du conducteur est nulle, la charge sur la surface interne du conducteur doit être de $-Q$ et sa surface externe doit être $+Q$. Ainsi, les lignes
+de champs électriques se "recréent" à l'extérieur du conducteur, bien qu'il n'en existe pas é l'intérieur (voir @fig:field_conductor).
+3. Le champs électrique à l'extérieur d'un conducteur forme **toujours** un angle de $90^\circ$ avec la surface. En effet, si l'angle n'était pas perpendiculaire, la composante parallèle du champs électrique déplacerait les charges  le long de la surface (car une force s'appliquerait sur elles) jusqu'à ce qu'elles atteignent une position d'équilibre où elles ne bougent plus (où plus aucune force ne s'exercent sur elles). Et dans cette position le champs électrique est perpendiculaire.
+
+Ces propriétés ne s'appliquent qu'aux conducteurs. Les isolants n'ayant pas d'électrons libres,
+ceux-ci ne peuvent pas se déplacer librement. Un champs électrique peut donc exister à
+l'intérieur d'un isolant. De plus le champs électrique à la surface d'un isolant peut ne pas être perpendiculaire.
+
+---
+
+Question (Cage de Faraday) #
+
+Une boîte en métal est placée entre deux plaques parallèles chargées électriquement
+comme sur @fig:metal_box.
+
+![Deux plaques charges parallèles et une boîte entre les deux.](figs/metal_box.svg){#fig:metal_box width=80%}
+
+Quel sera le champs électrique à l'intérieur de la boîte?
+
+---
+
+--- 
+
+Réponse (Cage de Faraday) #
+
+Il y a deux cas de figure:
+
+1. La boîte est "pleine" (remplie de métal). Dans ce cas, que nous avons déjà discuté
+les électrons libres du métal se redistribuent dans le métal afin de faire en sorte que
+le champs électrique soit nul à l'intérieur.
+2. La boîte en "vide" et c'est un peu plus complexe, mais le résultat est le même.
+Le champs externe ne sera pas modifié, car les électrons externes se redistribueront
+exactement de la même manière que pour la boîte pleine. Cela entraîne que le champs à l'intérieur
+sera également nul, car la distribution externe des électrons sera la même que dans le cas de la boîte
+pleine. On voit qu'une cage métallique est bon moyen d'isoler un volume d'un champs électromagnétique externe à la boîte (voir @fig:metal_box_sol). Ainsi, une voiture frappée par la foudre protégera ses occupants tout comme un avion ne sera en général que légèrement impacté s'il reçoit la foudre.
+Contrairement à être sous un arbre pendant un orage...
+
+![Le champs électrique à l'intérieur de la boîte est nul. En effet les charges se répartissent à la surface du conducteur pour y annuler le champs.](figs/metal_box_sol.svg){#fig:metal_box_sol width=80%}
+
+---
+
+## La loi de Gauss
+
+La loi de Gauss (célèbre mathématicien et physicien de 18-19e siècle) fait intervenir
+le concept de **flux électrique**. Cette quantité est la quantité de champs électrique
+passant au travers d'une **surface**. L'équivalent pour un liquide serait le **débit** 
+(la quantité de liquide passant au travers d'une surface).
+Pour un champs électrique *uniforme*, $\vec E$, passant au travers d'une surface $S$ (voir @fig:flux_a),
+comme sur @fig:flux_a le flux, $\Phi_E$ est donné par
+$$
+\Phi_E=E\cdot S\cdot \cos(\theta),
+$$
+ou $\theta$ est l'angle entre la normale de la surface et la direction du champs électrique.
+
+![Le champs $\vec E$ passant au travers de la surface $S$.](figs/flux_a.svg){#fig:flux_a width=80%}
+
+Le flux électrique peut être vu de façon équivalent comme la projection de la surface sur
+la direction du champs électrique ou la projection du champs électrique sur
+le vecteur normal de la surface.
+$$
+\Phi_E=E_\perp\cdot S=E\cdot S_\perp=E\cdot S\cos \theta,
+$$
+où $S_\perp=S\cdot \theta$ est la projection de $\vec S$ sur la direction du champs électrique (la surface $S$ multipliée par le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface) et $E_\perp$ la projection de $\vec E$ sur la direction normale à la surface $S$.
+
+Comme nous l'avons discuté plus haut, le champs électrique se représente
+avec les lignes de champs. Plus le champs est intense, plus les lignes sont
+rapprochées. Ainsi le nombre de le champs électrique $E$ est proportionnel à
+la densité des lignes traversant $S_\perp$,
+$$
+N\sim E\cdot S_\perp=\Phi_E.
+$$
+Le théorème de Gauss implique le flux total de champs électrique sur une surface **fermée**.
+Prenons un cas simplifié pour commencer, où la surface fermée est un *cube*. On souhaite calculer
+le flux total passant u travers de la surface du cube (voir @fig:flux_cube) et le champs électrique est *uniforme*. 
+
+![Le champs $\vec E$ passant au travers de la surface d'un cube. Chaque surface des facettes du cube est numérotée $\Delta S_1$, $\Delta S_2$, $\Delta S_3$, ..., $\Delta S_6$.](figs/flux_cube.svg){#fig:flux_cube width=80%}
+
+Pour ce faire nous numérotons les facettes du cube $\Delta S_1$, $\Delta S_2$, ..., $\Delta S_6$ (voir @fig:flux_cube),
+et l'angle entre le champs électrique et chacune des normales des facettes correspondantes, $\theta_1$, $\theta_2$, ..., $\theta_6$.
+Le flux total sera donné par
+\begin{align}
+\Phi_E&=\Delta S_1 E \cos\theta_1+\Delta S_2 E \cos\theta_2+\Delta S_3 E \cos\theta_3+\Delta S_4 E \cos\theta_4+\Delta S_5 E \cos\theta_5+\Delta S_6 E \cos\theta_6\nonumber\\
+&=\sum_{i=1}^6E\Delta S_i\cos\theta_i.
+\end{align}
+Comme nous avons vu plus haut, le nombre de lignes de champs
+partant d'une charge positive et arrivant sur une charge négative
+sont proportionnelles à la charge. Ainsi le nombre **net** (la différence entre celle entrantes
+et celles sortantes) de lignes
+de champs pointant vers l'extérieur d'une surface fermée est proportionnel
+à la charge à l'intérieur de la surface, $Q_\mathrm{int}$. La constante de
+proportionnalité est $1/\epsilon_0$. On a donc finalement
+$$
+\sum_i E\Delta S_i\cos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.
+$$
+En l'occurrence, on a aucune charge à l'intérieur du cube et on peut voir assez facilement
+que dans le cas où $E$ est homogène et aligné avec une face du cube, on a:
+$$
+E\cos \pi + E\cos 0+ 4\cos\pi/2= -E+E=0.
+$$
+En fait cette relation se généralise à n'importe quelle surface fermée.
+Si on numérote les $N$ facettes d'une surface **fermée**, $\{\Delta S_i\}_{i=1}^N$,
+et l'angle entre la normale de la $i$-ème facette avec le champs $E$, $\{\theta_i\}_{i=1}^N$
+on peut écrire la **loi de Gauss**
+$$
+\sum_i^N E\Delta S_i\cos\theta_i=\sum_i^N E_{i,\perp}\Delta S_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0},
+$$
+où $E_{i,\perp}$ est la projection de $\vec E$ sur le vecteur perpendiculaire à
+la surface $\Delta S_i$.
+
+---
+
+Exemple (Sphère chargée) #
+
+Une surface conductrice sphérique  de rayon $R_0$ et possédant une 
+charge $Q$ distribuée uniformément sur sa surface. Déterminer le champs
+électrique
+
+1. À l'extérieur de la surface.
+2. À l'intérieur de la surface.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Sphère chargée) #
+
+Considérations philosophiques: comme la charge est distribuée de façon
+symétrique, le champs électrique doit également être symétrique. Ainsi
+la seul façon pour qu'il soit symétrique est qu'il soit en tout point
+perpendiculaire à la surface et ne dépendre que de $R$, la distance entre le centre de la sphère et le point de l'espace où on mesure le champs électrique.
+
+On va utiliser la loi de Gauss pour résoudre cet exercice. Pour ce faire nous allons
+choisir deux surfaces différentes comme nous allons le voir ci-après.
+
+1. On choisit une surface sphérique, $S_1$, avec $R>R_0$ et concentrique avec la sphère
+de départ. Par symétrie, le champs a la même amplitude sur toute la surface $S_1$,
+on a donc que $E_{i,\perp}=E$ pour n'importe quelle valeur de $i$. La loi de Gauss
+s'écrit donc
+$$
+\sum_i^N E_{i,\perp}\Delta S_i=E\sum_i^N \Delta S_i=E(4 \pi R^2)=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0},
+$$
+où nous avons utilisé que $\sum_i \Delta S_i$ est la surface totale de la sphère de
+rayon $R$. Il ne nous reste qu'à résoudre cette équation pour $E$, et il vient
+$$
+E=\frac{1}{4 \pi epsilon_0}\frac{Q}{R^2}=k\frac{Q}{R^2}.
+$$
+Ce qui est intéressant car c'est **exactement** le même résultat que pour une charge
+ponctuelle, de charge $Q$, qui se trouverait au centre de la sphère.
+2. De façon similaire, on peut construire une surface $S_2$ sphérique, concentrique avec
+la sphère originale, avec $R < R_0$. On a donc 
+$$
+E\sum_i^N \Delta S_i=E(4 \pi R^2)=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}=0,
+$$
+car $Q_\mathrm{int}=0$ dans ce cas (toute la charge est sur la surface chargée).
+On a donc que le champs à l'intérieur de $S_2$ est nul, et donc le champs à l'intérieur d'une sphère chargée est nul.
+
+---
+
+---
+
+Question (Et si on remplissait la sphère) #
+
+Que se passerait-il si la sphère était pleine?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Et si on remplissait la sphère) #
+
+En fait ce résultat est valide pour n'importe quelle sphère pleine conductrice chargée. En effet, toutes les charges se repousseraient et se répartiraient uniformément sur sa surface.
+On se retrouverait dans la même situation que pour la sphère vide. 
+
+---
+
+## Résumé
+
+On a vu plusieurs concepts importants dans ce chapitre.
+
+* La **charge électrique** peut être négative ou positive et qui est toujours **conservée**.
+* Les matériaux **isolants** et **conducteurs** qui respectivement conduisent ou pas l'électricité. Contrairement au isolants, les conducteurs possèdent des **électrons libres** qui peuvent se déplacer à l'intérieur d'un solide.
+* La charge électrique est **quantisée**: il existe une charge élémentaire, $e$, qui est la charge du proton, $+e$, ou celle de l'électron $-e$.
+* Les charges électriques exercent des **forces** les unes sur les autres. Elles sont attractives pour des charges de types différents et répulsives pour les charges de même type.
+* La **loi de Coulomb** donne la relation entre la **force électrostatique**, la charge, et la distance entre deux object (respectivement, $Q_1$, $Q_2$, et $r$):
+$$
+F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.
+$$
+* Le **champs électrique** est une quantité existant dans l'espace autour des charges. Il peut être mesuré à l'aide d'une charge test $q$
+$$
+\vec E=\frac{\vec F}{q}.
+$$
+* L'amplitude du champs électrique autour d'une charge est
+$$
+E=k\frac{Q}{r^2}.
+$$
+* Le champs électrique total autour de plusieurs charges est la somme de toutes les champs électriques. Cela est dû au **principe de superposition**.
+* Le **flux** du champs électrique est donné par la quantité donnée par le produit entre la projection du champs électrique sur la normale de la surface, $E_\perp$, multipliée par la surface, $\Delta S$
+$$
+\Phi_E=E_\perp\cdot \Delta S.
+$$
+* La **loi de Gauss** nous dit que le flux total au travers d'une **surface fermée** est proportionnel à la charge se trouvant à l'intérieur de la surface.

04_potentiel_electrique.md

+# Le potentiel électrique
+
+Tout comme pour le mouvement le concept *d'énergie* est très
+important pour l'électricité. Il permet d'étendre le concept
+de **conservation de l'énergie** à d'autres domaines qu'à la cinématique ou la dynamique.
+
+## L'énergie potentielle électrique
+
+Comme dans le cas de l'énergie mécanique, on va définir l'énergie potentielle électrique
+comme on le ferait pour une force conservative. Le travail d'une force conservative entre deux points ne dépend pas
+du chemin parcouru mais uniquement du point de départ et du point d'arrivée. Dans le cas
+de l'énergie potentielle dûe à la force de gravité, on a que $E=m\cdot g\cdot h$ (avec $m$ la masse, $h$
+la hauteur et $g$ l'accélération gravitationnelle). On sait grâce à la loi de Coulomb
+que la force entre deux charges est donnée par
+\begin{equation*}
+F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.
+\end{equation*}
+Comme pour l'énergie mécanique, on définit l'énergie potentielle d'un objet chargé qui se déplace entre 2 points,
+$A$ et $B$ (voir @fig:epot)
+comme
+$$
+\Delta_{EP}(A,B)=-W_{A\rightarrow B},
+$$
+où $\Delta_{EP}(A,B)$ est la variation d'énergie potentielle
+entre les points $A$ et $B$, et $W(A\rightarrow B)$ le travail du à la force
+électrostatique. Ici, le travail $W(A\rightarrow B)>0$ et donc la charge
+va perdre de l'énergie potentielle.
+
+![Le transport d'une charge positive entre $A$ et $B$ entre deux plaques chargées infinies.](figs/epot.svg){#fig:epot width=50%}
+
+La variation d'énergie potentielle s'écrit donc
+$$
+\Delta_{EP}(A\rightarrow B)=E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A).
+$$
+Quand une charge $q$ bouge d'un point $A$ à un point $B$ son énergie augmente
+(ou diminue) comme l'inverse du travail qu'il faut à la force électrostatique
+pour la déplacer de $A$ à $B$.
+
+Ainsi Dans le cas de @fig:epot, nous sommes dans une situation où on a un
+champs électrique uniforme $E$ entre deux plaques infinies.
+Si on lâche la charge $q$ du point $A$,
+et qu'on suppose que $q$ est suffisamment petite pour ne pas modifier
+le champs électrique entre les plaques. La force électrostatique va déplacer
+la charge du point $A$ au point $B$ sur une distance $d=|A-B|$ et effectuer un travail $W$
+$$
+W_{A\rightarrow B}=F\cdot d=q\cdot E\cdot d.
+$$
+Le changement d'énergie potentielle est donc
+$$
+E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=-q\cdot E\cdot d.
+$${#eq:epot}
+L'énergie potentielle diminue dans ce cas (le travail est positif)
+et la particule accélère naturellement du point $A$ au point $B$.
+Ainsi la loi de conservation d'énergie est vérifiée:
+l'énergie cinétique augmente et l'énergie potentielle (électrique) diminue
+d'autant. A l'inverse si on remplace la charge $q$ par $-q$
+son énergie potentielle sera augmentée lors du déplacement
+de $A$ à $B$.
+
+---
+
+Question (Unités) #
+
+Quelles sont les unités de l'énergie potentielle électrique?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Unités) #
+
+Comme pour toute énergie, les unités sont des joules, $[J]$, soit des
+$$
+[J]=[\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}]=\left[\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}\right].
+$$
+
+---
+
+Il est important de noter que la valeur de l'énergie potentielle est relative à une valeur de référence.
+En effet, comme on le voit à l'@eq:epot, on ne définit
+que la différence d'énergie potentielle et pas
+une valeur absolue. En général, on choisit la "valeur
+de référence" de l'énergie potentielle électrique
+comme une valeur où l'énergie potentielle est choisie de façon arbitraire comme étant nulle. Ceci n'est pas particulièrement choquant. En effet, c'est une pratique courante avec l'énergie potentielle (on définit le zéro
+de l'énergie potentielle de gravitation à une "hauteur" zéro mais par rapport à quelle échelle de mesure?).
+
+## Le potentiel électrique
+
+Au chapitre précédent, nous avons défini le champs électrique
+comme la force par unité de charge générée par une source.o
+Ici, nous allons recommencer en définissant le **potentiel électrique**, noté $V$, comme le champs électrique par unité de charge. Ainsi si une charge, $q$, se trouve dans un champs
+électrique à une position $A$, et a une énergie potentielle électrique $E_\mathrm{pot}(A)$, son **potentiel électrique**
+est défini par
+$$
+V(A)=\frac{E_\mathrm{pot}(A)}{q}.
+$$
+
+---
+
+Question (Unités) #
+
+Quelles sont les unités dui potentiel électrique?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Unités) #
+
+Les unités du potentiel électrique sont les **volts**, $[V]$.
+Ils peuvent s'exprimer en fonction des autres unités connues
+comme
+$$
+[V]=\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}\right]=\left[\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{C}}\right]=\left[\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2\cdot \mathrm{C}}\right].
+$$
+
+---
+
+
+
+Comme nous l'avons mentionné plus haut seule une **différence** d'énergie potentielle électrique est mesurable (il nous faut une valeur de référence).
+De même seule une **différence** de potentiel électrique
+peut se mesurer
+$$
+V(B, A)=V(B)-V(A)=\Delta_{EP}(A\rightarrow B)=\frac{E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)}{q}=-\frac{W_{A\rightarrow B}}{q},
+$$
+où $A$ et $B$ sont deux points et $W_{B\rightarrow A}$ le travail pour emmener une charge $q$ du point $B$ au point $A$.
+Tout comme le champs électrique ne dépend pas de la valeur de la *charge test*, ici le potentiel ne dépend pas
+de la charge test, $q$, non plus. Le potentiel électrique, $V$, ne dépend des charges qui créent le champs électrique associé. On dit que $q$ acquière l'énergie potentielle électrique en se trouvant dans le potentiel $V$ qui est créé par d'autres charges.
+
+Pour reprendre l'exemple des plaques chargées de la @fig:epot,
+on voit que la charge positive $q$ a un potentiel électrique
+plus grand en $A$ qu'en $B$ et que donc elle va naturellement
+se déplacer vers $B$.
+
+---
+
+Remarque (Référénce) #
+
+Afin de définir le potentiel électrique en un point $A$, nous avons besoin d'une valeur de référence comme discuté plus haut. En général cette valeur est choisie arbitrairement
+comme valant zéro et est le potentiel de la "terre". Tous les
+autres potentiels sont donnés par rapport à cette référence.
+
+---
+
+---
+
+Question (Charge négative) #
+
+Reprenons un exemple similaire à @fig:epot, mais remplaçons la charge par une charge négative (voir @fig:epot_neg). Aussi elle se trouve au point $B$ et est libre de se déplacer.
+Que va-t-il se produire? Son énergie potentielle va augmenter ou diminuer? Comment le potentiel électrique varie entre les deux points $A$ et $B$?
+
+![Le transport d'une charge négative entre $B$ et $A$ entre deux plaques chargées infinies.](figs/epot_neg.svg){#fig:epot_neg width=50%}
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Charge négative) #
+
+Une charge négative va être repoussée par la plaque négative et attirée par la charge positive. Ainsi, $q$ va se déplacer vers la plaque positive, son énergie cinétique va augmenter.
+A cause du principe de la conservation de l'énergie,
+son énergie potentielle va donc décroître. On a que
+$$
+E_\mathrm{pot}(A) < E_\mathrm{pot}(B).
+$$
+En revanche la charge se déplace d'une d'une région avec
+un potentiel élevé vers un potentiel plus faible. La variation
+de potentiel électrique (qui est dûe aux plaques) est donc positive contrairement à l'énergie 
+potentielle électrique
+\begin{align}
+&E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A) > 0,\\
+&V(B)-V(A) > 0.
+\end{align}
+Si la charge $q$ était positive, la variation
+d'énergie potentielle aurait été négative.
+
+---
+
+Si on fait faire le chemin inverse à notre charge positive $q$, et qu'on la déplace de $B$ à $A$. On peut inverser la relation entre le potentiel électrique et la variation d'énergie potentielle entre les points $B$ et $A$ pour une charge $q$. On aura donc
+$$
+\Delta_{EP}(B\rightarrow A)=E_\mathrm{pot}(A)-E_\mathrm{pot}(B)=q\cdot V(A, B).
+$$
+Si la différence de potentiel est de $10\mathrm{V}$,
+l'énergie potentielle d'une charge de $5\mathrm{C}$ sera augmentée de $50\mathrm{J}$.
+Une charge de $10\mathrm{C}$, elle, verra son énergie potentielle électrique
+augmenter de $100\mathrm{J}$ pour le même déplacement.
+
+C'est très similaire avec ce qui se passe pour le cas de l'énergie potentielle de gravitation.
+Prenons deux personnes de $m_1=50\kg$ et $m_2=100\kg$ qui monte en haut d'un immeuble de $h=20\m$.
+Le potentiel dû à la gravitation est le même pour les deux en haut de l'immeuble, $g\cdot h=186\mathrm{J}$.
+En revanche l'énergie potentielle de gravitation des deux objets sera différente.
+Elle sera de $m_1\cdot g\cdot h\cong 980\mathrm{J}$ pour le premier objet et de
+$m_2\cdot g\cdot h\cong 1860\mathrm{J}$ pour le second. Évidemment la 
+comparaison n'est pas parfaite, car la charge est de deux types différents, $+$ 
+et $-$, alors qu'il n'y a pas d'équivalent pour la masse.
+
+---
+
+Exemple (Électrons dans un tube) #
+
+Supposons qu'un électron au repos est accéléré via une
+différence de potentiel $V(B,A)=V(B)-V(A)=5000\V$ entre deux plaques
+chargées. $V(B)$ correspond à la plaque chargée positivement,
+et $V(A)$ à celle chargée négativement. L'électron se trouve
+en $B$ au départ et a une vitesse nulle.
+
+1. Quelle sera la variation d'énergie potentielle électrique de l'électron en 
+   fonction de sa charge et du potentiel?
+2. Quelle sera son énergie cinétique en fonction de la charge et du potentiel?
+3. Quelle sera sa vitesse en $A$?
+
+La masse et la charge de l'électron sont données par
+$$
+m_e=9\cdot 10^{-31}\ \kg,\quad q=-1.6\cdot 10^{-19}\ \C.
+$$
+
+---
+
+---
+
+Solution (Électrons dans un tube) #
+
+1. La charge d'un électron est de $q=-e=-1.6\cdot 10^{-19}\C$. Son énergie 
+   potentielle électrique est donc donnée par
+$$
+E_\mathrm{pot}=q\cdot V(B,A)=-1.6\cdot 10^{-19}\cdot 5000=-8\cdot 10^{-16} \J.
+$$
+L'électron perd donc de l'énergie potentielle en se rapporchant
+de la plaque $A$, car il est naturellement attiré vers cette plaque. Tout comme 
+une masse perd de l'énergie potentielle de gravitation quand
+elle se rapproche de la terre.
+2. L'énergie potentielle électrique est transformée en énergie cinétique quand 
+   la charge atteint la plaque $A$. On a donc que
+$$
+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=-q\cdot V(A,B).
+$$
+On a donc que
+$$
+E_\mathrm{cin}=8\cdot 10^{-16}\J.
+   $$
+3. Finalement il nous résoudre l'équation ci-dessus pour $v$
+
+$$
+v=\sqrt{\frac{-2qV(A,B)}{m}}=4.2\cdot 10^7\frac{\m}{s}.
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Et avec un proton?) #
+
+Résoudre le même exercice que ci-dessus, mais en remplaçant
+l'électron par un proton et la différence de potentielle par
+$-5000\ \V$. La masse d'un proton est de $m=1.67\cdot 10^{-27}\ \kg$.
+
+---
+
+Afin de se donner une idée de ce que représentent les volts, vous trouverez 
+dans le @tbl:volts 
+
+
+          Source                   Voltage
+  ------------------------ -----------------------------
+         Éclair                   $10^8\ \V$
+    Ligne haute tension        $10^{5-6}\ \V$
+     Démarreur voiture             $10^4\ \V$
+    Prise électrique                $200\ \V$
+     Batterie (AA, AAA)             $1.5\ \V$
+        ECG / EEG                $10^{-4}\ \V$
+
+
+  : Différents potentiels et le voltage par rapport à la terre. 
+  {#tbl:volts}
+
+## Lien entre potentiel électrique et champs électrique
+
+Au chapitre précédent, on a décrit un système chargé à
+l'aide du camps électrique. Dans ce chapitre, nous avons fait une
+description à l'aide du potentiel électrique. Comme la physique sous-jacente
+reste identique, cela signifie qu'il doit y avoir un lien entre les deux.
+Dans cette section nous allons voir comment relier l'un à l'autre
+dans un cas simplifié, bien qu'on puisse généraliser
+cela à n'importe quelle situation.
+
+Considérons le cas simple de deux plaques chargées parallèles et infinies 
+(comme sur la @fig:epot). La différence de potentiel entre ses plaques est de 
+$V(B, A)=V(B)-V(A)$, avec la plaque $B$ qui est de charge positive et la plaque 
+$A$ de charge négative. On va chercher à déterminer quel est le champs 
+électrique entre
+ces deux plaques à partir de la différence de potentiel $V(A,B)$.
+Pour ce faire on va utiliser une charge $q>0$ et s'intéresser
+au travail qu'il faut fournir pour déplacer la charge de
+la plaque $A$ à la plaque $B$. La charge étant positive,
+elle sera attirée par $A$ et repoussée par $B$, il faudra
+donc une force externe pour lui faire effectuer ce trajet.
+Comme on l'a vu au chapitre précédent, le travail est le produit
+de la charge avec la différence de potentiel
+$$
+W = -q\cdot (V(B)-V(A))=-q\cdot V(B,A).
+$${#eq:wv}
+Nous savons aussi que le travail est le produit de la force
+avec la distance parcourue, $d$ (ici la distance entre $A$ et $B$), ainsi
+$$
+W=F\cdot d.
+$$
+Finalement, la force et le champs électrique sont reliée par (voir le chapitre 
+précédent)
+$$
+F=q\cdot E\Rightarrow W=q\cdot E\cdot d.
+$$
+En utilisant l'@eq:wv, on trouve que
+\begin{align}
+    -q\cdot V(B,A)&=q\cdot E\cdot d,\nonumber\\
+    V(B,A)&=-E\cdot d,\nonumber\\
+    E&=-\frac{V(B,A)}{d}.
+\end{align}
+Le signe $-$ dans cette relation indique que la *direction* du champs 
+électrique est opposée
+à la direction dans laquelle le potentiel diminue.
+On voit aussi de cette équation que les unités du champs électrique
+peuvent également s'exprimer comme des
+$$
+[E]=\left[\frac{\V}{\m}\right]=\left[\frac{\N}{\C}\right],
+$$
+
+---
+
+Remarque (Plusieurs dimensions) #
+
+Ici nous avons une grande simplification qui a été faite. En effet,
+nous considérons un système unidimensionnel où le champs électrique est 
+uniforme. En général le champs électrique est une quantité vectorielle et qui 
+varie dans l'espace et donc le lien entre $\vec E$ et $V$ est plus compliqué. 
+Néanmoins, cela est laissé pour un cours plus avancé, car les concepts 
+mathématiques nécessaires dépassent les connaissances que vous avez acquises 
+jusqu'ici.
+
+---
+
+---
+
+Exemple (Le champs électrique et le voltage) #
+
+Deux plaques parallèles sont chargées pour produire une différence
+de potentiel de $50\ \V$. Si l'écarte entre les plaques est de $5\ \mm$, 
+calculer l'amplitude du champs électrique entre les plaques.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Le champs électrique et le voltage) #
+
+On applique simplement l'équation
+\begin{equation*}
+    E=\frac{V(B,A)}{d}=\frac{50}{0.005}=10000\ \frac{\V}{\m}.
+\end{equation*}
+
+---
+
+Plus généralement, dans une région où $E$ ne serait pas
+uniforme, on peut montrer que le champs électrique est proportionnel
+au taux de variation spatial du potentiel électrique et a
+la direction opposée
+$$
+E=-\frac{\Delta V}{\Delta x},
+$$
+où $\Delta V$ est la variation du potentiel sur une petite distance $\Delta 
+x$. 
+
+---
+
+Exercice (Potentiel électrique dû à une charge ponctuelle) #
+
+Soit une charge ponctuelle $Q$. A partir de la formule du champ électrique et 
+de ce que nous venons de voir. Déterminer le potentiel électrostatique engendré 
+par une charge ponctuelle à une distance $r$ de la charge.
+
+---
+
+## La capacité électrique
+
+Un **condensateur** est un objet qui est constitué de deux conducteurs (souvent 
+des plaques ou des feuilles) qui sont placées l'une proche de l'autre mais qui 
+ne se touchent pas. Les condensateurs se trouvent dans un grand nombre de 
+circuits électroniques. Ils servent à stocker des charges électriques qui 
+peuvent être utilisées à un moment ultérieur. Ils permettent aussi d'empêcher 
+les variations trop rapides de puissance électrique et ainsi protègent les 
+circuits. On a pu aussi les utiliser pour la mémoire des ordinateurs dans des 
+versions miniaturisées. 
+
+Les capacités sont représentées dans des circuits électriques pas un symbole 
+comme si la @fig:cap_symbol
+
+![Un symbole représentant une capacité dans un circuit 
+électrique.](figs/cap_symbol.svg){#fig:cap_symbol width=20%}
+
+Si on applique un voltage (un potentiel), $V$, entre les deux plaques en les 
+connectant à une batterie ou à une prise électrique par exemple, une des deux 
+plaques va être chargée négativement tandis que l'autre sera chargée 
+positivement avec des charges respectivement $-Q$ et $Q$. La charge du 
+condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel au bords du 
+condensateur, ici c'est $V$, le potentiel de la batterie ou de la prise. On a 
+que
+$$
+Q=C\cdot V,
+$$
+où $C$ est la capacité du condensateur et qui a des unités de Coulombs par 
+Volts, appelés *farad*, $[\mathrm{F}]$. Les capacités standards se situent 
+entre $1\mathrm{pF}=10^{-12}\mathrm{F}$ et 
+$1\mu\mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$.
+
+Ici, nous voyons facilement qu'on pourrait aisément confondre la capacité $C$, 
+avec les unités $\C$, (les Coulombs) et le voltage $V$ avec les volts. C'est un 
+peu malheureux, mais il faudra être un peu vigilant pour éviter les erreurs 
+malencontreuses. 
+
+La capacité, $C$, ne dépend en général ni du voltage, ni de la charge du 
+condensateur. Elle ne dépend que de la forme et de la surface des plaques ainsi 
+que de la distance entre elles et le matériau qui les sépare. Ainsi pour des 
+plaques parallèles de surface $S$ et séparées par une distance $d$, on a
+$$
+C=\epsilon_0\frac{S}{d},
+$$
+où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide qu'on a déjà vu plus tôt dans ce 
+condensateurs
+$$
+\epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\N\cdot \m^2}.
+$$
+
+
+---
+
+Exemple (Application de formules) #
+
+1. Calculer la capacité d'un condensateur dont les plaques rectangulaire ont 
+   des dimensions de $10\cm\times 5\cm$ et sont séparées d'une distance de 
+   $1\mm$.
+2. Quelle est la charge des plaques si on connecte la capacité à une batterie 
+   de $12\V$?
+3. Quelle est le champs électrique entre les plaques?
+4. Quelle devrait être la distance entre les plaques pour avoir une capacité de 
+   $1\F$?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Application de formules) #
+
+1. La surface du condensateur est de $S=0.1\cdot 0.05=5\cdot10^{-3}\m^2$. On 
+   peut en déduire la capacité via
+\begin{equation}
+    C=\epsilon_0\frac{S}{d}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot 
+    10^{-3}}{10^{-3}}=44.3\mathrm{pF}.
+\end{equation}
+2. La charge des plaque est donnée par
+$$
+Q=C\cdot V=44.3\cdot 10^{-12}\cdot 12=5.31\cdot 10^{-10}\C.
+$$
+3. Le champs électrique uniforme généré par les plaques est donné par
+$$
+E=\frac{V}{d}=\frac{12}{10^{-3}}=1.2\cdot 10^4\frac{\V}{\m}.
+$$
+4. En réutilisant la même équation que pour la question (1), on peut écrire
+$$
+d=\epsilon_0\frac{S}{C}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot 10^{-3}}{1}=8.85\cdot 
+10^{-15}\m.
+$$
+On voit donc qu'une capacité de $1\F$ est une quantité assez monstrueuse qu'il 
+n'est pas possible de produire avec une aussi petite surface.
+En gardant une distance de $1\mm$, on pourrait avoir une capacité de $1\F$ en 
+augmentant la surface à
+$$
+S=\frac{Cd}{\epsilon_0}=\frac{10^{-3}}{8.85\cdot 10^{-12}}=1.13\cdot 
+10^{8}\m^2,
+$$
+soit un carré de $10\km$ de côté...
+
+---
+
+Il existe une grande quantité d'applications pour les condensateurs: ils 
+peuvent servir de remplacement pour les batteries, sont à la base du 
+fonctionnement des microphones ou des touches de certains claviers.
+
+---
+
+Illustration (Touche de clavier) #
+
+Une touche de clavier, dans certains cas, peut être attachée à une plaque de 
+condensateur mobile, alors que la seconde est fixe. Entre les plaques est situé 
+un isolant qui a des propriétés élastiques. Lorsque la touche est pressée, 
+l'isolant se comprime et la distance entre les plaques du condensateurs change. 
+Cela modifie le champs électrique entre les plaques du condensateur qui peut 
+ensuite être détecté par un circuit électrique.
+
+---
+
+La charge d'un condensateur est reliée à la tension maximale qui peut être 
+appliquée entre ses plaques, sans que la charge puisse traverser  et former un 
+arc électrique (comme cela se produit lorsque la charge passe des nuages à la 
+terre lors d'un orage). Ce phénomène s'appelle claquage électrique.
+Cette tension dépend du matériau séparant les deux plaques.
+
+Jusqu'ici, nous avons supposé qu'il y a de l'air (ou du vide) entre les plaques 
+d'un condensateur. En général, on insère un isolant, comme du plastique, entre 
+les plaques. Cet isolant est appelé un *diélectrique*. 
+
+Le diélectrique a plusieurs propriétés intéressantes:
+
+1. Le diélectrique est en général plus isolant que l'air, car il empêche les 
+   charges de se déplacer aussi librement. Ainsi, il est possible 
+   d'accumuler un plus grand voltage entre les plaques.
+2. De même, les plaques du condensateurs peuvent être plus rapprochées sans que 
+   les charges passent d'une plaque à l'autre. En rendant $d$ plus faible on 
+   augmente la capacité.
+3. On s'est rendu compte expérimentalement que la capacité d'un condensateur 
+   est augmentée proportionnellement par un facteur $K$, la *constante 
+   diélectrique*, ne dépendant que du diélectrique. On a donc que
+$$
+C=K\epsilon_0\frac{S}{d}=\epsilon\frac{S}{d},
+$$
+avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité du diélectrique. Pour l'air ou le 
+vide on a que $K=1$. Comme on l'a très brièvement discuté plus haut, il y a une 
+valeur maximale du champs électrique qui s'applique entre les plaques d'un 
+condensateur. Au delà, les charges peuvent passer entre les plaques. Cette 
+valeur limite du champs est appelée *rigidité diélectrique* et peut varier 
+grandement. Pour l'air elle est de $3\cdot 10^6\V/\m$, alors que pour du 
+plastique elle est de l'ordre de $50\cdot 10^6\V/\m$ pour $K\cong 4$.
+
+---
+
+Question (Insertion de diélectrique à $V$ constant) #
+
+Soit un condensateur composé de deux plaques séparées d'une distance $d$ et 
+connecté à une batterie de voltage constant $V$ qui acquière une charge $Q$. Si 
+on insère un diélectrique avec $K>1$ entre les plaques, est-ce que $Q$ va 
+augmenter, diminuer, ou rester le même?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Insertion de diélectrique à $V$ constant) #
+
+Le voltage $V$ reste constant, alors que $C$ augmente à cause de la relation 
+$C=K\epsilon_0 S/d$. On déduit donc de la relation $Q=CV$ que $Q$ doit 
+augmenter pour $K>1$. Ainsi, quand on insère un diélectrique dans un 
+condensateur plus de charges seront retirées de la batterie pour être amenées 
+sur les plaques du condensateur.
+
+---
+
+---
+
+Question (Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) #
+
+Soit un condensateur composé de deux plaques séparée par de l'air, chargé à une 
+charge $Q$ et déconnecté de la batterie. On insère ensuite un diélectrique avec 
+$K>1$. Est-ce que $Q$, $V$, ou $C$ vont changer?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) #
+
+La charge $Q$ reste la même comme le condensateur est isolé du reste du monde. 
+La capacité elle augmente à cause de la permittivité augmentée. Ainsi la 
+tension entre les plaque diminue à cause de $V=Q/C$.
+
+---
+
+### Description moléculaire des diélectriques
+
+D'un point de vue phénoménologique, il est intéressant de comprendre pourquoi 
+la présence d'un diélectrique augment la capacité d'un condensateur. Un 
+condensateur dont les plaques sont séparées par de l'air aura une capacité 
+$C_0$ et s'il est soumis à une tension $V_0$ aura une charge $Q$. Si nous 
+insérons un diélectrique entre les plaques, à cause du champs électrique entre 
+les plaques, les charges à l'intérieur du diélectrique vont se déplacer 
+légèrement (les électrons vont s'approcher de la charge positive et laissant 
+les protons plus proches de la charge négative). Cela va créer une petite 
+charge nette négative du côté de la plaque positive et une petite charge 
+positive du côté de la plaque négative. Cela aura pour effet "d'annuler" 
+certaines lignes de champs à l'intérieur du diélectrique (mais pas toutes) et 
+ainsi le voltage est également réduit (pour une charge constante).
+
+<!-- TODO Maybe add storage of energy (maybe it's too muche) -->
+
+
+## Résumé
+
+Dans ce chapitre nous avons vu les concepts suivants:
+
+* Le potentiel électrique est l'énergie potentielle électrique par unité de 
+  charge.
+* La différence de potentiel électrique entre deux points est défini par le 
+  travail nécessaire pour déplacer une charge de $1\C$ entre ces deux points 
+  et est mesurée en volts, $\V=\J/\V$.
+* La différence de potentiel entre deux points, $A,B$, dans un champs 
+  électrique uniforme $E$ est donnée par
+
+  $$V=-E\cdot d,$$
+  avec $d$ la distance entre $A$ et $B$.
+* Une charge $Q$ engendre un potentiel électrique
+$$
+V=k\frac{Q}{r}.
+$$
+* Un condensateur est un système composé de deux conducteurs séparé par un 
+  isolant.
+* La capacité, $C$, d'un condensateur se définit en fonction de sa charge et du 
+  potentiel entre les deux conducteurs
+  $$
+  C=Q/V.
+  $$
+* Elle peut également se définir par des considérations géométriques et des 
+  propriétés intrinsèques de l'isolant
+  $$
+  C=\epsilon\frac{S}{d},
+  $$
+  avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité de l'isolant, $d$ la distance 
+  entre les conducteurs, et $S$ leurs surface.

05_courant_electrique.md

+# Le courant électrique
+
+Dans les précédents chapitres, nous avons étudié les charges *statiques* (au repos). Ici, nous 
+allons nous intéresser aux au mouvement des charges, plus communément appelés courants électriques.
+
+Les courants électriques sont omniprésents dans notre vie quotidienne: ils servent à allumer les 
+ampoules, faire fonctionner les ordinateurs (et plus globalement les engins électriques), etc. 
+Les courants électriques se produisent en général à l'intérieur de fils conducteurs.
+Afin de déplacer ces charges, il est également nécessaire qu'elles soient soumises à un champs
+électrique. Hors dans les chapitres précédents, nous avons vu qu'à l'intérieur
+d'un conducteur le champs électrique *est nul*. 
+Cela pourrait sembler paradoxal, mais dans le cas des courants électriques, les charges
+sont *en mouvement* (contrairement à ce qui se passait dans le chapitre précédent où
+on étudiait ce qui se passait dans le cas *statique*). 
+Ainsi quand les charges bougent, un champs électrique est présent à l'intérieur du conducteur,
+et il est même nécessaire pour faire bouger les charges. Afin de contrôler ce champs
+électrique, nous pouvons donc utiliser le champs électrique ou le potentiel électrique
+(aussi appelé voltage dans la vie quotidienne). La différence de potentielle nécessaire
+peut être produite à l'aide d'une batterie par exemple (ou une centrale nucléaire).
+
+## La batterie électrique et son fonctionnement en 5min
+
+Inspiré par des travaux sur les muscles des pattes de grenouilles qui se contractaient quand on
+on les touchait avec des métaux différents, M. Volta inventa la batterie (en 1800).
+La batterie produit un *courant électrique* en transformant
+de l'énergie *chimique* en énergie *électrique*. Nous décrivons ici une batterie simplifiée, 
+pour illustrer leur fonctionnement général. Deux *électrodes* (des tiges ou des plaques 
+métalliques) sont plongées dans une solution appelée *électrolyte* (voir @fig:battery). Ce système s'appelle une
+*cellule électrique* et en connectant plusieurs cellules on obtient une batterie (en fait une
+cellule suffit de nos jours).
+
+![Schéma d'une batterie. Deux électrodes, une positive et l'autre négative sont plongées dans un électrolyte.](figs/battery.svg){#fig:battery width=50%}
+
+L'électrolyte dissout l'électrode négative (-), ses constituants en se dissolvant "abandonnent" des électrons et forment des *ions* (atomes chargés) positivement. Ainsi, l'électrolyte se charge positivement ce qui a pour effet d'arracher des atomes sur l'électrode positive (+). Il y a donc
+une différence de charge entre les deux électrode et on crée ainsi une différence de potentiel
+entre les 2 électrodes. Comme vu dans le chapitre précédent on peut utiliser cette différence de
+potentiel pour mettre les charges en mouvement.
+
+La @fig:source représente la notation pour la source de tension (batterie ou toute autre source)
+
+![Le symbole pour la source de tension.](figs/source.svg){#fig:source width=10%}
+
+## Le courant électrique
+
+En connectant les deux électrode avec une fil conducteur, on construit un circuit électrique.
+Ce circuit peut contenir tout un tas d'autres choses comme par exemple une ampoule (led parce
+qu'elles consomment moins). Dans le circuit les charges peuvent se déplacer librement,
+et donnent ainsi lieu à un *courant électrique*. Le courant électrique, $I$, est définit comme
+la variation de charge ($\Delta Q$) pendant un certain laps de temps ($\Delta t$) donné
+$$
+I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}.
+$$
+Les unités de $I$ sont les *ampères*, notées, $[\A]$
+
+---
+
+Question (Conversion d'unités) # 
+
+Comment exprime-t-on les unités du courant en fonction d'autres unités vues précédemment dans ce cours?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Conversion d'unités) # 
+
+Le courant électrique étant donné par une charge divisée par un temps on a
+
+$$
+[\A]=\left[\frac{\C}{\mathrm{t}}\right].
+$$
+
+---
+
+Un courant électrique ne peut passer qu'à condition qu'un chemin continu existe pour faire passer le courant. S'il y a une discontinuité le courant ne peut pas passer (voir @fig:circuit).
+
+![Un exemple de circuit simple avec un appareil électrique (une ampoule par exemple).](figs/circuit.svg){#fig:circuit width=50%}
+
+Dans le cas d'un courant continu, le courant est le même à n'importe quel point d'un circuit fermé. Ce fait est la conséquence de la conservation de la charge: la batterie ou un appareil électrique ne détruisent ni ne créent de charges nettes.
+
+
+---
+
+Exemple (Charge totale dans un circuit) #
+
+Imaginons qu'un courant continu de $2.5\ \A$ passe dans un circuit pendant 5 minutes. Quelle est la charge totale qui est passée dans le circuit? Combien d'électrons cela fait?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Charge totale dans un circuit) #
+
+Le courant étant la charge par unité de temps, on peut écrire
+$$
+\Delta Q = I \cdot \Delta t = 2.5\cdot 300=750\C.
+$$
+Nous savons que la charge élémentaire est $e=1.6\cdot 10^{-19}$. On a donc que
+$$
+\frac{750}{e}\cong 4.7\cdot 10^{21}\mbox{ électrons}.
+$$
+
+---
+
+Il existe une convention pas très intuitive pour le sens du courant dans un circuit qu'il vaut la peine de discuter ici. En effet,
+le sens du courant est vu comme le déplacement de charges **positives** (bien que ça soit les électrons qui se déplacent). Ainsi, le sens du courant est opposé au sens de déplacement
+des électrons (voir @fig:sens_courant).
+
+![Schéma d'un circuit avec le sens du courant conventionnel et le sens de déplacement des électrons.](figs/sens_courant.svg){#fig:sens_courant width=50%}
+
+## La loi d'ohm
+
+La loi d'Ohm relie le courant, $I$, passant dans un circuit à la différence de potentiel qui lui est appliqué. Il s'avère que Ohm détermina que ces deux grandeurs sont proportionnelles (si on double le potentiel on double le courant)
+et la constante de proportionnalité est $R$, la *résistance*
+$$
+V = R\cdot I.
+$$
+Cette formule est connue sous le petit nom de *Loi d'Ohm*.
+Il s'avère que $R$ est indépendante de la tension ou du courant pour des métaux (ce n'est pas le cas pour d'autres types de matériaux comme les diodes, les transistors, etc.).
+
+---
+
+Question (Proportionnalité) #
+
+Si pour un matériau de résistance $R$, nous traçons un graphique du courant $I$ en fonction
+de la tension $V$, quelle sera la forme de
+la fonction obtenue?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Proportionnalité) #
+
+Comme nous savons que $R$ est une constante,
+et que
+$$
+I=\frac{V}{R},
+$$
+la fonction sera une droite de pente $1/R$.
+
+---
+
+Les unités de la résistance sont les Ohm, 
+notées $\Omega$. Dans un circuit électrique
+la résistance est représentée par le symbole de la @fig:resistor
+
+![Symbole de la résistance.](figs/resistor.svg){#fig:resistor width=50%}
+
+---
+
+Question (Que se passe-t-il dans une résistance?) #
+
+Un courant $I$ passe dans une résistance $R$. Soient $A$ et $B$ un point
+du circuit avant la résistance et $B$ un point après la résistance.
+Est-ce que le potentiel est plus élevé en $A$ ou en $B$? Est-ce
+que le courant est plus élevé en $A$ ou en $B$?
+
+---
+
+
+---
+
+Réponse (Que se passe-t-il dans une résistance?) #
+
+Une charge positive se déplace de `+` à `-` (d'un haut potentiel à un faible potentiel).
+Pour reprendre l'analogie avec le potentiel gravitationnel, une masse va se déplacer
+d'un haut potentiel gravitationnel à un faible. Ainsi pour un courant positif,
+le point $A$ a un potentiel plus élevé que le point $B$. 
+
+Pour le courant en revanche, la conservation de la charge que toute charge entrant
+dans la résistance doive en sortir avec le même taux (sinon la charge s'accumulerait,
+disparaîtrait, dans la résistance). Le courant n'est ainsi pas consommé à l'intérieur
+d'une résistance, tout comme une masse n'est pas consommée lorsqu'elle se déplace dans
+un champs gravitationnel.
+
+---
+
+## La puissance électrique
+
+Dans les applications quotidiennes, l'énergie électrique est souvent transformée
+en d'autres formes d'énergie: 
+
+* de l'énergie mécanique pour les voitures électriques ou les mixers,
+* de l'énergie thermique pour les fours ou les appareils de chauffages.
+
+Dans le cas de corps de chauffe, le processus de chauffage s'obtient car
+les électrons entrent en collision avec les atomes du corps de chauffe
+et leur transfèrent leur énergie cinétique. Les atomes augmentent ainsi leur énergie
+cinétique et la température augmente (on ne va pas entrer dans les détails de comment
+cette température est ensuite transférée au reste du monde). 
+
+La puissance électrique, $P$, est l'énergie transformée par unité de temps
+$$
+P=\frac{\mbox{énergie transformée}}{\mbox{temps}}.
+$$
+
+---
+
+Question (Lien potentiel électrique et énergie transformée) #
+
+Quelle est l'énergie transformée par une charge $Q$ se déplaçant dans un champs $V$?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Lien potentiel électrique et énergie transformée) #
+
+On se souvient que le potentiel électrique en un point $A$ est le potentiel l'énergie
+potentielle ($E_\mathrm{pot}$) par unité de charge
+$$
+V(A)=\frac{E_\mathrm{pot}(A)}{Q}.
+$$
+La différence d'énergie potentielle entre deux points ($A$ et $B$) est donc 
+$$
+E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=V\cdot Q.
+$$
+
+---
+
+Ainsi la puissance électrique est donnée par
+$$
+P=\frac{QV}{t}.
+$$
+On se souvient que $I=Q/t$ (la charge déplacée par unité de temps) et on obtient
+$$
+P=V\cdot I.
+$$
+A présent, si on veut connaître l'énergie dissipée par unité de temps dans une résistance
+$R$ on peut utiliser la fameuse loi d'Ohm ($V=R\cdot I$) et on obtient
+$$
+P=R\cdot I^2,
+$$
+ou
+$$
+P=\frac{V^2}{R}.
+$$ 
+
+---
+
+Exemple (Lumière d'automobile) #
+
+Calculer la résistance de l'ampoule de $40\W$ d'une voiture fonctionnant à un
+voltage de $12\V$.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Lumière d'automobile) #
+
+Connaissant la puissance $P=40\W$ et le voltage $V=12\V$, on peut utiliser
+$$
+R=\frac{V^2}{P}=\frac{144}{40}=3.6\Omega.
+$$
+
+---
+
+Votre facture d'électricité (ou celle de vos parents) est exprimée en kilowatt-heure
+
+---
+
+Question (Kilowatt-heure) #
+
+Est-ce que quelqu'un sait ce que mesure un kilowatt-heure?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Kilowatt-heure) #
+
+Comme son nom l'indique (ou pas) le kilowatt-heure est un kilowatt (donc une puissance) utilisée pendant une heure. C'est donc une puissance multipliée par un temps
+ce qui donne une énergie (mesurée en joules). Plus précisément, on a
+$$
+1 \mathrm{kWh}=1000\cdot 3600=3.6\cdot 10^6\mathrm{J}.
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exemple (La foudre) #
+
+La foudre est un phénomène naturel très violent qui transfère une énergie
+d'environ $10^9\J$ pendant un temps de $0.2\s$. La différence de potentiel
+électrique est d'environ $5\cdot 10^7\V$. Avec ces informations estimer
+la charge totale transférée entre les nuages et le sol, le courant dans la foudre,
+et la puissance moyenne libérée.
+
+---
+
+---
+
+Solution (La foudre) #
+
+Avec l'équation $E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=V\cdot Q$, on peut déduire que
+$$
+Q=\frac{E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)}{V}=20\C.
+$$
+Le courant est donc donné par
+$$
+I=\frac{Q}{t}=\frac{20}{0.2}=100\A.
+$$
+Finalement la puissance est de 
+$$
+P=\frac{\mbox{énergie}}{\mbox{temps}}=5\cdot 10^9\W.
+$$
+On voit qu'on obtient le même résultat avec
+$$
+P=I\cdot V=100\cdot 5\cdot 10^7=5\cdot 10^9\W.
+$$
+Et c'est une bonne nouvelle.
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Chauffage) #
+
+Soit un chauffage portatif dont le voltage de fonctionnement est de $230\V$ et un courant de
+$7\A$. Quelle est la puissance nécessaire pour le faire fonctionner? Si le chauffage fonctionne
+deux heures par jour et que le coût du kilowatt-heure est de $0.3$ CHF. Quel est le coût total 
+mensuel du chauffage portatif?
+
+---
+
+## Le courant alternatif
+
+Lorsqu'une batterie est connectée à un circuit le courant est **continu**: les charges bougent
+de façon uniforme dans une seule direction. Le courant qu'on obtient de la part des SIG
+est lui **alternatif** (voir @fig:continu_alternatif).
+
+```{.matplotlib #fig:continu_alternatif source=true format=SVG caption="Illustration de courant continu, et de courant alternatif."}
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+import math
+
+omega = 3.0
+t = np.linspace(0, 2, 500)  # Sample data.
+
+plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
+plt.plot(t, 0.5*np.ones(t.size), label='continu')  # Plot some data on the (implicit) axes.
+plt.plot(t, np.sin(2*math.pi*omega*t), label='alternatif')  # etc.
+plt.xlabel('temps [s]')
+plt.ylabel('courant [A]')
+plt.title("Courant continu/alternatif")
+plt.legend()
+```
+
+Le courant alternatif modifie la direction du courant plusieurs fois par seconde (environ 6 fois 
+par seconde dans le cas de la @fig:continu_alternatif). Le voltage produit par les générateurs
+alternatifs dépend du temps et peut être décrit par une fonction sinusoïdale
+$$
+V(t)=V_0\sin(2\pi f t)=V_0\sin(\omega t),
+$$
+où le voltage oscille entre $-V_0$ et $V_0$ et est le voltage de pic. La fréquence $f$ est
+le nombre d'oscillation par seconde du voltage (en Suisse la fréquence est de $50\mathrm{Hz}$),
+ et $\omega=2\pi f$ est la pulsation.
+
+La loi d'Ohm, $V=R\cdot I$, nous permet d'obtenir le courant dans un circuit dont la résistance serait $R$, avec
+$$
+I(t)=\frac{V(t)}{R}=\frac{V_0}{R}\sin(\omega t)=I_0\sin(\omega t),
+$$
+où $I_0=V_0/R$ est le courant de pic. On voit ici que le courant peut être positif ou négatif
+et donc que les charges se déplacent dans les deux directions.
+
+Le courant comme le voltage alternatif ont une moyenne nulle de voltage et de courant,
+cela ne signifie pas que les charges ne transportent pas d'énergie. En effet,
+on a pour la puissance
+$$
+P(t)=I^2(t)\cdot R=I_0^2\cdot R\cdot \sin^2(\omega t).
+$$
+On voit de ce résultat (voir @fig:puissance_alternatif) que la puissance est **toujours** positive (toutes les grandeurs sont positives dans cette formule). 
+
+```{.matplotlib #fig:puissance_alternatif source=true format=SVG caption="Puissance pour un courant alternatif."}
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+import math
+
+omega = 3.0
+t = np.linspace(0, 2, 500)  # Sample data.
+
+plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
+plt.plot(t, 0.5*np.ones(t.size), label='puiss. moy.')  # Plot some data on the (implicit) axes.
+plt.plot(t, np.sin(2*math.pi*omega*t)**2, label='puiss. inst.')  # etc.
+plt.xlabel('temps [s]')
+plt.ylabel('puissance [W]')
+plt.title("Puissance instantanée et moyenne du courant alternatif.")
+plt.legend()
+```
+
+La puissance moyenne, $\overline{P}$, est facilement calculée (on va le faire le calcul ici, mais on le voit bien 
+sur l'illustration de @fig:puissance_alternatif) et est donnée par
+$$
+\overline{P}=\frac{1}{2}I_0^2R=\frac{1}{2}\frac{V_0^2}{R}.
+$$
+
+---
+
+Question (Deux cent vingt volts) #
+
+Mais me direz-vous, de quelle tension parlons-nous quand on parle de $230\V$ à Genève? Est-ce la tension moyenne?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Deux cent vingt volts) #
+
+La tension moyenne d'un courant alternatif est nulle (oui la moyenne d'une fonction sinusoïdale est nulle). En revanche on peut calculer la moyenne du carré de la tension (ou du courant respectivement)
+\begin{equation}
+\overline{V^2}=\frac{1}{2}V_0^2,\quad
+\overline{I^2}=\frac{1}{2}I_0^2.
+\end{equation}
+On va pas voir comment on calcule ce résultat mais c'est assez intuitif, comme le $\sin^2(x)\in [0,1]$ la moyenne doit être la moitié de la valeur maximale du dit sinus.
+Afin d'avoir les "bonnes" unités, on voit qu'on doit encore prendre la racine carrée de la moyenne et donc calculer l'écart-type (ou "root-mean-square" en anglais). 
+\begin{align}
+I_\mathrm{rms}&=\sqrt{\overline{I^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}I_0,\\
+V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\overline{V^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_0.
+\end{align}
+Ces deux valeurs sont également appelées valeurs de courant et de tension effectives.
+Ainsi c'est $V_\mathrm{rms}$ qui est de $230\V$ en Suisse.
+Ces deux valeurs permettent également de retrouver la valeur de la puissance moyenne
+\begin{align}
+\overline{P}&=V_\mathrm{rms}I_\mathrm{rms},\\
+\overline{P}&=\frac{1}{2}I_0^2R=I^2_\mathrm{rms}R,\\
+\overline{P}&=\frac{1}{2}\frac{V_0^2}{R}=\frac{V^2_\mathrm{rms}}{R}.
+\end{align}
+Ainsi la tension de pic, $V_0$ est donnée par
+\begin{equation}
+V_0=\sqrt{2}V_\mathrm{rms}=325\V.
+\end{equation}
+
+---
+
+---
+
+Exemple (Sèche-cheveux) #
+
+Calculer la résistance et le courant de pic dans un sèche-cheveux de $1000\W$ branché sur une source de tension de $230\V$. Que se passe-t-il aux USA où la tension est de $120\V$ seulement?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Sèche-cheveux) #
+
+De l'équation
+\begin{equation*}
+\overline{P}=I_\mathrm{rms}V_\mathrm{rms},
+\end{equation*}
+on obtient
+\begin{equation*}
+I_\mathrm{rms}=\frac{\overline{P}}{V_\mathrm{rms}}=\frac{1000}{230}=4.35\A.
+\end{equation*}
+Ainsi le courant de pic est donné par
+\begin{equation*}
+I_0=\sqrt{2}I_\mathrm{rms}=6.15\A.
+\end{equation*}
+La résistance est donc donnée par
+\begin{equation*}
+R=\frac{V_\mathrm{rms}}{I_\mathrm{rms}}=\frac{V_0}{I_0}=\frac{325}{6.15}=52.8\Omega.
+\end{equation*}
+Aux USA, la tension étant de $120\V$, on obtient pour la puissance $\overline{P}$ disponible
+\begin{equation*}
+\overline{P}=\frac{V_\mathrm{rms}^2}{R}=\frac{120^2}{52.8}=272\W.
+\end{equation*}
+On voit qu'on risque d'avoir un problème pour faire fonctionner notre sèche cheveux à plein régime. A l'inverse un sèche-cheveux américain va très probablement griller si on le branche en Europe.
+
+---
+

06_cicruits_electriques.md

+# Les circuits électriques
+
+Les circuits électriques sont les composants de bases de toute l'électronique. Nous
+allons décrire les circuits les plus simples ici sans aller dans des cas trop avancés.
+
+## Les résistances en série et en parallèle
+
+Quand deux résistances ou plus sont connectées bouts à bouts sur un seul chemin
+comme sur la @fig:three_res on dit qu'elles sont branchées **en série**.
+
+![Les résistances $R_1$, $R_2$, $R_3$ sont connectées bout à bout à la source $V$ et traversées par le courant $I$. La chute de voltage au travers des trois résistances est respectivement de $V_1$, $V_2$, $V_3$.](figs/three_res.svg){#fig:three_res width=50%}
+
+Toutes les charges passant par $R_1$ passera aussi par $R_2$ et $R_3$. On
+sait donc que le courant sera le même au travers de chaque résistance,
+sinon cela impliquerait que les résistances créeraient ou stockeraient des charges
+ce qui n'est pas observé dans les circuits
+(ou que la conservation de la charge ne serait pas respectée).
+Le voltage $V$ (également appelée tension) et on suppose que les fils ont une résistance négligeable (nulle). On a que $V_1$, $V_2$, et $V_3$ sont les différences
+de potentiels au travers de chaque résistance. On sait de la loi d'Ohm que
+\begin{equation*}
+V=RI,
+\end{equation*}
+et donc 
+\begin{equation*}
+V_1=R_1 I,\quad
+V_2=R_2 I,\quad
+V_3=R_3 I.
+\end{equation*}
+
+---
+
+Question (Conservation) #
+
+Quelle est la relation entre $V$ et $V_1$, $V_2$, $V_3$?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Conservation) #
+
+L'énergie étant conservée, on a naturellement que
+$$
+V=V_1+V_2+V_3.
+$$
+
+---
+
+On déduit de cette relation que
+$$
+V=R_1I+R_2I+R_3I=(R_1+R_2+R_3)I,
+$$
+et donc qu'on peut remplacer les trois résistances par une résistance équivalente (ou nette), où
+$$
+R_\mathrm{eq}=R_1+R_2+R_3.
+$$
+
+---
+
+Exemple (Trois résistances) #
+
+Soit une source de tension qui produit un courant continu de $12\V$ et trois
+résistances en série de $3\Omega$ chacune connectées au circuit comme sur la @fig:three_res. Quelle est le courant total dans le circuit?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Trois résistances) #
+
+Les trois résistances étant connectées en série, ce circuit est équivalent à
+un circuit avec une seule résistance de $R=R_1+R_2+R_3=9\Omega$. En utilisant ensuite
+la loi d'Ohm on obtient
+$$
+I=V/R=12 / 9=4\A.
+$$
+
+---
+
+Une autre façon simple de connecter eds résistances sur un circuit est en **parallèle** (voir @fig:three_res_par). Les charges dans ce circuit suivent
+trois chemins différents et donc le courant total, $I$, est séparé en trois parties (pas forcément égales), $I_1$, $I_2$, et $I_3$.
+$$
+I=I_1+I_2+I_3.
+$${#eq:isum}
+Dans ce type de circuit le courant n'est pas interrompu si une des résistances est
+déconnectée (dans le cas où un des appareils que la dite résistance représente arrête de fonctionner par exemple).
+
+![Les résistances $R_1$, $R_2$, $R_3$ sont connectées en parallèle à la source $V$ et traversées par les courants $I_1$, $I_2$, $I_3$.](figs/three_res_par.svg){#fig:three_res_par width=50%}
+
+Quand les résistances sont en parallèle, le voltage qui les traverse doit être le même.
+En effet, étant donné qu'on néglige la résistance des fils, deux points connectés
+directement entre eux ont le même voltage. Ainsi, on a pour les courants
+$$
+I_1=\frac{V}{R_1},\quad 
+I_2=\frac{V}{R_2},\quad 
+I_3=\frac{V}{R_3}. 
+$${#eq:i3}
+De plus on sait de la loi d'Ohm, qu'on doit pouvoir remplacer les trois résistances
+par une unique résistance équivalent, $R_\mathrm{eq}$, avec
+$$
+I=\frac{V}{R_\mathrm{eq}}.
+$${#eq:ipar}
+En mélangeant les 3 équations ci-dessus (voir @eq:isum, @eq:i3, et @eq:ipar), on obtient
+$$
+\frac{V}{R_\mathrm{eq}}=
+\frac{V}{R_1}+
+\frac{V}{R_2}+
+\frac{V}{R_3},
+$$
+et on déduit
+$$
+\frac{1}{R_\mathrm{eq}}=
+\frac{1}{R_1}+
+\frac{1}{R_2}+
+\frac{1}{R_3}.
+$$
+
+---
+
+Exemple (Trois résistances en parallèle) #
+
+Soit une source de tension qui produit un courant continu de $12\V$ et trois
+résistances en parallèle de $3\Omega$ chacune connectées au circuit comme sur la @fig:three_res_par. Quelle est la résistance équivalente?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Trois résistances en parallèle) #
+
+Les trois résistances étant connectées en parallèle, on a que la résistance équivalente est
+$$
+\frac{1}{R_\mathrm{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}=1\frac{1}{\Omega}.
+$$
+La résistance équivalente est donc de $R_\mathrm{eq}=1\Omega$.
+
+---
+
+On voit de l'exemple ci-dessus que la résistance équivalente est moindre que les 
+résistances individuelles dans le cas où elles sont branchées en parallèle.
+Ceci peut paraître contre intuitif, mais c'est en fait assez raisonnable. Le circuit 
+en parallèle permet aux charges de prendre différents chemins. Pour prendre une 
+analogie, on peut imaginer le cas d'un barrage contenant de l'eau et deux tuyaux identiques
+reliant le barrage à la vallée. Le potentiel gravitationnel en haut du barrage est
+le même indépendamment du nombre de tuyaux. Quand on ouvre deux tuyaux on a deux fois plus
+d'eau qui s'écoule que si on en ouvre un seul (on a d'une certaines façon la résistance globale qui est divisée par deux). C'est un effet similaire pour
+les résistances en parallèle. Par ailleurs, si on ferme les vannes des deux tuyaux l'eau ne s'écoule plus. Cela est équivalent à un **circuit ouvert** (où le circuit ne
+se referme pas) où le courant ne peut s'écouler.
+
+---
+
+Question (Série ou parallèle) #
+
+Soient deux ampoules identiques (et avec la même résistance). Quelle configuration
+produit le plus de lumière (série ou parallèle)? Dans quelle configuration est-il
+plus raisonnable de les brancher dans une voiture?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Série ou parallèle) #
+
+La résistance équivalente est plus faible en parallèle qu'en série, le courant total 
+est plus élevé dans le cas parallèle. Ainsi, comme le voltage est le même dans les 2 cas, la puissance totale est plus élevée dans le cas parallèle
+$$
+P=VI.
+$$
+De plus, brancher les ampoules en parallèle permet d'avoir une ampoule qui fonctionne 
+même si l'autre rend l'âme ce qui est quand même plus sûr.
+
+---
+
+---
+
+Exercice (Résistances multiples) #
+
+Deux résistances de $100\Omega$ sont connectées en parallèle ou en série sur une batterie de $24\V$. Quel est le courant total dans chaque circuit? Et la résistance équivalente?
+
+
+---
+
+On peut faire évidemment beaucoup plus compliqué. Et on va le faire immédiatement.
+
+---
+
+Exemple (Plein de résistances) #
+
+Soit le circuit de la @fig:complex_res. Si la tension $V=9\V$. 
+
+1. Quel est le courant sort de la source de tension? $
+2. Quel est le courant dans la résistance de $6\Omega$?
+
+![Un certain nombre de résitances...](figs/complex_res.svg){#fig:complex_res width=50%}
+
+---
+
+La méthodologie globale pour résoudre ce genre d'exercice, est de déterminer la résistance équivalente du circuit en le décomposant en sous-circuits série/parallèle puis en utilisant la loi d'Ohm.
+
+---
+
+Solution (Plein de résistances) #
+
+1. On commence par calculer la résistance équivalent des résistances $8\Omega$ et $4\Omega$. Ces résistances sont en parallèle. On a donc
+$$
+\frac{1}{R_\mathrm{eq1}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}\frac{1}{\Omega}.
+$$
+On a donc que $R_\mathrm{eq1}=2.7\Omega$ (voir @fig:complex_res_1)
+
+![Un certain nombre de résitances, moins 1...](figs/complex_res_1.svg){#fig:complex_res_1 width=50%}
+
+Puis vient le temps de calculer la résistance équivalente des résistances de $6\Omega$ et $2.7\Omega$. Ces résistances sont en série, donc il suffit de les sommer et on a $R_\mathrm{eq2}=6+2.7=8.7\Omega$ (voir @fig:complex_res_2)
+
+![Un certain nombre de résitances, moins 2...](figs/complex_res_2.svg){#fig:complex_res_2 width=50%}
+
+On a à présent les résistances de $10\Omega$ et $8.7\Omega$ qui sont en parallèle et on calcule
+$$
+\frac{1}{R_\mathrm{eq3}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{8.7}=0.21\frac{1}{\Omega},
+$$
+et il vient $R_\mathrm{eq3}=4.8\Omega$ (voir @fig:complex_res_3).
+
+![Un certain nombre de résitances, moins 3...](figs/complex_res_3.svg){#fig:complex_res_3 width=50%}
+
+Finalement, on a trois résistances en série qu'on peut simplement sommer et il vient
+$$
+R_\mathrm{eq}=0.5+5+4.8=10.3\Omega.
+$$
+
+On peut à présent calculer le courant dans le circuit avec la loi d'Ohm
+$$
+V=R_\mathrm{eq}I\Leftrightarrow I=\frac{9}{10.3}=0.87\A.
+$$
+
+2. Le courant dans la résistance de $6\Omega$ doit être la même que dans la branche correspondant à $R_\mathrm{eq2}$. On doit encore calculer la tension $V_2$ aux bornes du sous-circuit du haut. On a que
+$$
+V=V_1+V_2+_3\Leftrightarrow V_2=V-V_1-V_3=V-(0.5+5)\cdot 0.87=4.3\V.
+$$
+Et finalement que 
+$$
+I=\frac{4.3}{8.7}=0.48\A.
+$$
+
+---
+
+
+
+Pour des circuits beaucoup plus compliqués que ceux vus ici, il faut noter qu'il y a un ensemble
+de règles qu'on peut appliquer pour déterminer le courant dans un circuit: les **lois de Kirchhoff**. Il s'agit d'un certain nombre de règles très pratiques qui sont des applications des lois de conservation que nous avons déjà vues.
+
+Le première loi de Kirchhoff est basée sur la loi de conservation de la charge électrique. Elle dit que:
+
+À une intersection, la somme de tous les courants entrant dans l'intersection, doit être égale à la somme des courants quittant l'intersection.
+
+Pour résumer, tout ce qui entre à une intersection doit en sortir (sinon ça voudrait dire qu'il y a une fuite ou une source quelque part). Par exemple sur la figure @fig:complex_res_current, on voit qu'à l'intersection $a$, on a le courant $I_1$ qui est entrant, et les courant $I_2$ et $I_3$ qu sont sortants. Ainsi on a $I_1=I_2+I_3$.
+
+![Illustration de la 1e loi de Kirchhoff](figs/complex_res_current.svg){#fig:complex_res_current width=50%}
+
+La seconde loi de Kirchhoff, est une application de la conservation de l'énergie. Elle dit que sur n'importe quelle chemin fermé, le changement de potentiel doit être nul.
+
+Ainsi sur la @fig:two_res_kirch, on a deux résistances, $R_1$ et $R_2$, ainsi qu'ûn potentiel $V$. Si on démarre du point $a$, on a un potentiel $V$ qui est inchangé. Puis au point $b$, avant $R_1$, on a toujours le même potentiel. Au point $c$, on a une première chute de potentiel, car $R_1$ est passée par là. Puis en $d$ on atteint un potentiel nul (toute l'énergie a été consommée) après avoir passé $R_2$. Le potentiel en $e$ est toujours nul. Puis on repasse par la batterie, et on revient en $a$ pour fermer la boucle. En $a$ on a avoir à nouveau un potentiel $V$ et ainsi on voit que le changement de potentiel est nul.
+
+Nous avons déjà analysé de tels circuits précédemment. On si $V$, $R_1$ et $R_2$ sont donnés, nous avons que 
+\begin{align}
+V=(R_1+R_2)I,\nonumber\\
+I=\frac{V}{R_1+R_2}.
+\end{align}
+La charge et le courant étant conservés, on a que le courant passant par $R_1$ et 
+$R_2$ est toujours le même. On a donc que $V_{cb}=-IR_1$ et $V_{dc}=-IR_2$ (contrairement $V$ qui lui est positif). Ces deux voltage sont *négatifs* car ils vont faire baisser le potentiel. On a donc finalement que
+$$
+V+V_{cb}+V_{dc}=0.
+$$
+
+
+![Illustration de la 2e loi de Kirchhoff](figs/two_res_kirch.svg){#fig:two_res_kirch width=50%}
+
+## Les circuits contenant des capacités en parallèle ou en série
+
+Comme les résistances, les capacités peuvent être placée en série ou en parallèle.
+Pour le cas parallèle (voir @fig:three_cap_par) chaque capacité est soumise à la même
+différence de potentiel $V$. Ainsi les 3 capacités ont les charges
+$$
+Q_1=C_1 V,\quad Q_2=C_2 V,\quad Q_3=C_3 V.
+$$
+La conservation de la charge impose que la charge totale sortant de la source de tension
+est donnée par
+$$
+Q=Q_1+Q_2+Q_3.
+$$
+
+![Les résistances $C_1$, $C_2$, $C_3$ sont connectées en parallèle à la source $V$ et accumulent les charges $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.](figs/three_cap_par.svg){#fig:three_cap_par width=50%}
+
+Si nous essayons de décrire ce circuit sous forme de circuit équivalent avec une seule capacité,
+$$
+Q=C_\mathrm{eq}V,
+$$
+on voit que
+\begin{align}
+C_\mathrm{eq}V&=Q_1+Q_2+Q_3,\nonumber
+C_\mathrm{eq}V&=(C_1+C_2+C_3)V,\nonumber
+C_\mathrm{eq}&=C_1+C_2+C_3.
+\end{align}
+
+Considérons maintenant le cas de capacités en série (voir @fig:three_cap). 
+
+![Les résistances $C_1$, $C_2$, $C_3$ sont connectées en série à la source $V$ et accumulent les charges $Q$.](figs/three_cap.svg){#fig:three_cap width=50%}
+
+---
+
+Question (Capacité équivalente) #
+
+Déterminer la capacité équivalente des capacités branchées en série.
+
+Indication: Il faut évaluer $V$ en fonction des chutes de potentiel.
+
+---
+
+
+---
+
+Réponse (Capacité équivalente) #
+
+Le voltage total au travers de toutes les capacités doit être donné par la somme des voltages au travers de chaque capacité
+$$
+V=V_1+V_2+V_3.
+$${#eq:tot_volt}
+On sait aussi que le charge est la même sur chaque capacité (conservation de la charge) et donc
+$$
+Q=C_1V_1=C_2V_2=C_3V_3.
+$$
+On peut réécrire @eq:tot_volt comme
+$$
+\frac{Q}{C_\mathrm{eq}}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}+\frac{Q}{C_3}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\right).
+$$
+
+---
+
+## Les circuits RC
+
+Souvent les capacités et résistances sont connectées en série dans les circuits électriques (voir @fig:rc). C'est même un composant essentiel
+dans quasiment tous les circuits du monde.
+Ces circuits sont particulièrement utiles quand
+les courant n'est pas stationnaire (qu'il dépend du temps). Dans cette section on va analyser les circuits RC dans certains cas particuliers.
+
+![Exemple de circuit RC.](figs/rc.svg){#fig:rc width=50%}
+
+### La charge du condensateur
+
+Quand le circuit RC est *fermé*, le courant s'établit dans le circuit, les charges vont
+se mettre en mouvement et s'accumuler sur le condensateur. Au fur et à mesure que les charges
+s'accumulent sur le condensateur, la tension entre les plaques augmente aussi (on se souvient
+de la fameuse formule $V_C=Q/C$) jusqu'à atteindre la valeur de celle de la source de voltage
+(la batterie). A ce moment là, il n'y a plus de courant et plus de différence de potentiel
+entre les bornes de la résistance. Le potentiel entre les plaques du condensateur
+est donné par l'équation (voir @fig:rc_charge)
+$$
+V_C=V(1-\exp{(-t/(RC))}).
+$$
+On voit bien qu'à $t=0$, le potentiel et nul et qu'avec $t\rightarrow \infty$ on tend vers $V_C=V$.
+
+---
+
+Question (Unités...) #
+
+Quelles sont les unités de $R\cdot C$?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (Unités...) #
+
+Les unités de la résistance sont des Ohm, $[\Omega]=[\V]/[\A]$ et $[\A]=[\mathrm{C}]/[\mathrm{s}]$, et la capacité, des Farad, $[\mathrm{F}]=[\mathrm{C}]/[\V]$. Il vient que les unités de $R\cdot C$ sont des .... secondes!
+
+---
+
+On appelle
+$$
+\tau=RC,
+$$
+la constante de temps du circuit. Cette grandeur donne le temps caractéristique qu'il faut pour que la tension (et la charge) dans le condensateur atteigne $63\%$ de la valeur maximale de la tension de la batterie.
+
+---
+
+Exercice (preuve) #
+
+Pouvez vous prouver cette affirmation (sur les $63\%$ donc)?
+
+---
+
+```{.matplotlib #fig:rc_charge source=true format=SVG caption="Illustration de la charge du condensateur."}
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+import math
+
+V = 2.0
+R = 1.0
+C = 1.0
+t = np.linspace(0, 5*R*C, 500)  # Sample data.
+
+plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
+plt.plot(t, V*np.ones(t.size), label='max')  # Plot some data on the (implicit) axes.
+plt.plot(t, V*(1-np.exp(-t/(R*C))), label='charge')  # etc.
+plt.xlabel('temps [s]')
+plt.ylabel('tension [V]')
+plt.title("Tension du condensateur")
+plt.legend()
+```
+
+---
+
+Question (La charge dans le condensateur) #
+
+Comment calcule-t-on la charge dans le condensateur?
+
+---
+
+---
+
+Réponse (La charge dans le condensateur) #
+
+Comme $Q=V_C\cdot C$, on a immédiatement que
+$$
+Q=Q_0(1-e^{-t/(RC)}),
+$$
+avec $Q_0=$V\cdot C$.
+
+---
+
+### La décharge du condensateur
+
+
+Maintenant que nous avons chargé le condensateur, si nous ouvrons le circuit celui-ci va se décharger. Si nous avons une tension $V_0$ dans le condensateur va se décharger en suivant une exponentielle décroissante (voir #fig:rc_decharge)
+$$
+V_C=V_0e^{-t/(RC)}.
+$$
+Comme pour la charge $\tau=RC$, nous donne le temps qu'il faut pour que la tension dans le condensateur diminue de $63\%$ de $V_0$. La charge dans le condensateur suit la même tendance, avec 
+$$
+Q=Q_0e^{-t/(RC)},
+$$
+où $Q_0=V_0 C$.
+
+
+```{.matplotlib #fig:rc_decharge source=true format=SVG caption="Illustration de la charge du condensateur."}
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+import math
+
+V = 2.0
+R = 1.0
+C = 1.0
+t = np.linspace(0, 5*R*C, 500)  # Sample data.
+
+plt.figure(figsize=(5, 2.7), layout='constrained')
+plt.plot(t, V*np.exp(-t/(R*C)), label='decharge')  # etc.
+plt.xlabel('temps [s]')
+plt.ylabel('tension [V]')
+plt.title("Tension du condensateur")
+plt.legend()
+```
+
+---
+
+Exemple (Décharge du condensateur) #
+
+Si un condensateur de $C=10\mu \mathrm{F}$ est connectée à une résistance de $R=100\Omega$ et possède une tension de $V_0$. Quand le condensateur se décharge, combien de temps faut-il pour que sa tension tombe à $10\%$ de sa valeur originale?
+
+---
+
+---
+
+Solution (Décharge du condensateur) #
+
+Comme la tension d'un condensateur se diminue comme
+\begin{equation*}
+V_C=V_0e^{-t/(RC)},
+\end{equation*}
+et qu'on veut connaître le temps nécessaire pour que $V_C=0.1V_0$, on peut écrire l'équation
+\begin{align*}
+0.1V_0&=V_0e^{-t/(RC)},\\
+0.1&=e^{-t/(RC)},\\
+0.1&=e^{-t/(10^{-5}\cdot 100)},\\
+\ln{0.1}&=-10^3t,\\
+t&=0.0023\s.
+\end{align*}
+
+---

04_remerciements.md → 09_remerciements.md

@@ -2,6 +2,6 @@
 
 Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les contributeurs à ce cours
 qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
-continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
-Benzonana, Cavagna, El Kharroubi, et Montandon.
+continuera à s’allonger avec les années. Merci à 
+A. Benzonana, F. Burgener, T. Cavagna, S. Crockett, M. El Kharroubi, P. Montandon, F. Obaly, I. Saroukhanian, C. Volta, et J. Vouillamoz.
 

10_footer.md

 [^1]: Cela peut être très pratique quand on fait ses courses pour savoir
     s’il y a une erreur grossière sur le montant qu’on paie.
 
-[^2]: Selon le site: <http://ge.ch/eau/lac-leman> le volume véritable du
+[^2]: Selon le site: <https://bit.ly/3V7gqHE> le volume véritable du
     lac est de $89$ milliards de mètres cubes. Sa longueur est de
     $73{\mathrm{km}}$, sa largeur est de $14{\mathrm{km}}$ et sa
     profondeur moyenne est de $150.4{\mathrm{m}}$.

Makefile

-STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
-	css/pandoc.css \
-	css/pandoc-solarized.css \
-	css/tufte-extra.css
-
 OPTIONS = --toc
+OPTIONS += --filter=pandoc-plot
 OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
 OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
 
 PDFOPTIONS = --highlight-style kate
-PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --pdf-engine xelatex
 PDFOPTIONS += --number-sections
-PDFOPTIONS += --template=./default.latex
-
 
 HTMLOPTIONS += -t html5
 HTMLOPTIONS += -c css/tufte-css/tufte.css
-HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --standalone --embed-resources
 HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
 
+CLASS_SOURCES := $(sort $(filter-out README.md, $(wildcard *.md)))
+SOURCES := $(filter-out 00_macros.md, $(CLASS_SOURCES))
+SOURCES := $(filter-out 10_footer.md, $(SOURCES))
+
+MARKDOWN := $(patsubst %.md, %.markdown, $(SOURCES))
+PDF := $(patsubst %.md, %.pdf, $(SOURCES))
+HTML := $(patsubst %.md, %.html, $(SOURCES))
+TEX := $(patsubst %.md, %.tex, $(SOURCES))
+
 all:  cours.pdf cours.html
 
-cours.pdf: 00_macros.md 01_analyse_dimensionnelle.md 02_lois_de_newton.md 03_charge_electrique_champs_electrique.md 04_remerciements.md 10_footer.md
+docker: docker-compose.yml
+	docker-compose run cours
+	# chown $(USER):$(GROUP) cours.html
+	# chown $(USER):$(GROUP) cours.pdf
+
+docker_clean: docker-compose.yml
+	docker-compose run cours clean
+
+
+debug: $(PDF) $(TEX)
+
+cours.pdf: $(CLASS_SOURCES)
 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-cours.html: 00_macros.md 01_analyse_dimensionnelle.md 02_lois_de_newton.md 03_charge_electrique_champs_electrique.md 04_remerciements.md 10_footer.md
-	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+cours.html: $(CLASS_SOURCES)
+	pandoc $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-hakyll_gen: Analyse_Dimensionnelle.markdown Lois_de_Newton.markdown Charge_Electrique_Champs_Electrique.markdown
+$(PDF): %.pdf: 00_macros.md %.md 10_footer.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-Analyse_Dimensionnelle.markdown: 00_macros.md 01_analyse_dimensionnelle.md 10_footer.md
-	cat $^ > $@
-	sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 01_analyse_dimensionnelle.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
+$(HTML): %.html: 00_macros.md %.md 10_footer.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+$(TEX): %.tex: 00_macros.md %.md 10_footer.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-Lois_de_Newton.markdown: 00_macros.md 02_lois_de_newton.md 10_footer.md
-	cat $^ > $@
-	sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 02_lois_de_newton.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
 
-Charge_Electrique_Champs_Electrique.markdown: 00_macros.md 03_charge_electrique_champs_electrique.md 10_footer.md
-	cat $^ > $@
-	sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 03_charge_electrique_champs_electrique.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
+hakyll_gen: $(MARKDOWN)
 
-Remerciements.markdown: 00_macros.md 04_remerciements.md 10_footer.md
-	cat $^ > $@
-	sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 03_charge_electrique_champs_electrique.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
+$(MARKDOWN): %.markdown: 00_macros.md %.md 10_footer.md
+	$(file >$@,---)
+	$(file >>$@,date: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- $(word 2,$^) | head -n 1))
+	$(file >>$@,mathjax: on)
+	$(file >>$@,---)
+	cat $^ >> $@
 
 deploy: all
 	mkdir -p phys
+	mkdir -p phys/planets
+	mkdir -p phys/field_lines
+	mkdir -p phys/rc_circuit
 	cp cours.html phys/index.html
 	cp cours.pdf phys/cours.pdf
+	cp -r plots phys/
 	make -C exercices
+	make -C practical_work
 	mkdir -p phys/exercices
 	cp exercices/*.html phys/exercices
 	cp exercices/*.pdf phys/exercices
+	mkdir -p phys/practical_work
+	cp practical_work/*.html phys/practical_work
+	cp practical_work/*.pdf phys/practical_work
+	cd practical_work/ && tar cvf tp_vec2.tar tp_vec2/ && cp tp_vec2.tar ../phys/practical_work
+	cd ..
+	make -C practical_work/planets
+	cp practical_work/planets/*.pdf phys/planets/
+	cp practical_work/planets/*.html phys/planets/
+	cd practical_work/planets && tar cvf skeleton.tar skeleton && cp *.tar ../../phys/planets
+	cd ..
+	make -C practical_work/electric_fl
+	cp practical_work/electric_fl/*.pdf phys/field_lines/
+	cp practical_work/electric_fl/*.html phys/field_lines/
+	cd practical_work/electric_fl && tar cvf utils_jour.tar utils Jour && tar cvf utils_soir.tar utils Soir && cp *.tar ../../phys/field_lines
+	cd ..
+	pwd
+	make -C practical_work/rc_circuit
+	cp practical_work/rc_circuit/*.pdf phys/rc_circuit/
+	cp practical_work/rc_circuit/*.html phys/rc_circuit/
+
 
 clean:
-	rm -f *.html *.pdf *.markdown
+	rm -f *.html *.pdf $(MARKDOWN) $(PDF) $(TEX) $(HTML)
 	rm -rf phys

README.md

@@ -11,6 +11,8 @@ re navigateur en cliquant sur [`ce lien`](https://malaspinas.academy/phys/index.
 * @michael.elkharro
 * @philippe.montando
 * @tanguy.cavagna
+* @jean.vouillam
+* @farouq.obaly
 
 # Production d'un pdf
 

default.latex

-\documentclass[$if(fontsize)$$fontsize$,$endif$$if(lang)$$babel-lang$,$endif$$if(papersize)$$papersize$paper,$endif$$for(classoption)$$classoption$$sep$,$endfor$]{$documentclass$}
-$if(beamerarticle)$
-\usepackage{beamerarticle} % needs to be loaded first
-$endif$
-$if(fontfamily)$
-\usepackage[$for(fontfamilyoptions)$$fontfamilyoptions$$sep$,$endfor$]{$fontfamily$}
-$else$
-\usepackage{lmodern}
-$endif$
-$if(linestretch)$
-\usepackage{setspace}
-\setstretch{$linestretch$}
-$endif$
-\renewcommand{\linethickness}{0.05em}
-\usepackage{amssymb,amsmath,bm}
-\usepackage{ifxetex,ifluatex}
-\usepackage{fixltx2e} % provides \textsubscript
-\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
-  \usepackage[$if(fontenc)$$fontenc$$else$T1$endif$]{fontenc}
-  \usepackage[utf8]{inputenc}
-$if(euro)$
-  \usepackage{eurosym}
-$endif$
-\else % if luatex or xelatex
-$if(mathspec)$
-  \ifxetex
-    \usepackage{mathspec}
-  \else
-    \usepackage{unicode-math}
-  \fi
-$else$
-  \usepackage{unicode-math}
-$endif$
-  \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX,Scale=MatchLowercase}
-$for(fontfamilies)$
-  \newfontfamily{$fontfamilies.name$}[$fontfamilies.options$]{$fontfamilies.font$}
-$endfor$
-$if(euro)$
-  \newcommand{\euro}{€}
-$endif$
-$if(mainfont)$
-    \setmainfont[$for(mainfontoptions)$$mainfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mainfont$}
-$endif$
-$if(sansfont)$
-    \setsansfont[$for(sansfontoptions)$$sansfontoptions$$sep$,$endfor$]{$sansfont$}
-$endif$
-$if(monofont)$
-    \setmonofont[Mapping=tex-ansi$if(monofontoptions)$,$for(monofontoptions)$$monofontoptions$$sep$,$endfor$$endif$]{$monofont$}
-$endif$
-$if(mathfont)$
-$if(mathspec)$
-  \ifxetex
-    \setmathfont(Digits,Latin,Greek)[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
-  \else
-    \setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
-  \fi
-$else$
-  \setmathfont[$for(mathfontoptions)$$mathfontoptions$$sep$,$endfor$]{$mathfont$}
-$endif$
-$endif$
-$if(CJKmainfont)$
-    \usepackage{xeCJK}
-    \setCJKmainfont[$for(CJKoptions)$$CJKoptions$$sep$,$endfor$]{$CJKmainfont$}
-$endif$
-\fi
-% use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
-\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
-% use microtype if available
-\IfFileExists{microtype.sty}{%
-\usepackage[$for(microtypeoptions)$$microtypeoptions$$sep$,$endfor$]{microtype}
-\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
-}{}
-\PassOptionsToPackage{hyphens}{url} % url is loaded by hyperref
-$if(verbatim-in-note)$
-\usepackage{fancyvrb}
-$endif$
-\usepackage[unicode=true]{hyperref}
-$if(colorlinks)$
-\PassOptionsToPackage{usenames,dvipsnames}{color} % color is loaded by hyperref
-$endif$
-\hypersetup{
-$if(title-meta)$
-            pdftitle={$title-meta$},
-$endif$
-$if(author-meta)$
-            pdfauthor={$author-meta$},
-$endif$
-$if(keywords)$
-            pdfkeywords={$for(keywords)$$keywords$$sep$, $endfor$},
-$endif$
-$if(colorlinks)$
-            colorlinks=true,
-            linkcolor=$if(linkcolor)$$linkcolor$$else$Maroon$endif$,
-            citecolor=$if(citecolor)$$citecolor$$else$Blue$endif$,
-            urlcolor=$if(urlcolor)$$urlcolor$$else$Blue$endif$,
-$else$
-            pdfborder={0 0 0},
-$endif$
-            breaklinks=true}
-\urlstyle{same}  % don't use monospace font for urls
-$if(verbatim-in-note)$
-\VerbatimFootnotes % allows verbatim text in footnotes
-$endif$
-$if(geometry)$
-\usepackage[$for(geometry)$$geometry$$sep$,$endfor$]{geometry}
-$endif$
-$if(lang)$
-\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
-  \usepackage[shorthands=off,$for(babel-otherlangs)$$babel-otherlangs$,$endfor$main=$babel-lang$]{babel}
-$if(babel-newcommands)$
-  $babel-newcommands$
-$endif$
-\else
-  \usepackage{polyglossia}
-  \setmainlanguage[$polyglossia-lang.options$]{$polyglossia-lang.name$}
-$for(polyglossia-otherlangs)$
-  \setotherlanguage[$polyglossia-otherlangs.options$]{$polyglossia-otherlangs.name$}
-$endfor$
-\fi
-$endif$
-$if(natbib)$
-\usepackage{natbib}
-\bibliographystyle{$if(biblio-style)$$biblio-style$$else$plainnat$endif$}
-$endif$
-$if(biblatex)$
-\usepackage[$if(biblio-style)$style=$biblio-style$,$endif$$for(biblatexoptions)$$biblatexoptions$$sep$,$endfor$]{biblatex}
-$for(bibliography)$
-\addbibresource{$bibliography$}
-$endfor$
-$endif$
-$if(listings)$
-\usepackage{listings}
-$endif$
-$if(lhs)$
-\lstnewenvironment{code}{\lstset{language=Haskell,basicstyle=\small\ttfamily}}{}
-$endif$
-$if(highlighting-macros)$
-$highlighting-macros$
-$endif$
-$if(tables)$
-\usepackage{longtable,booktabs}
-% Fix footnotes in tables (requires footnote package)
-\IfFileExists{footnote.sty}{\usepackage{footnote}\makesavenoteenv{long table}}{}
-$endif$
-$if(graphics)$
-\usepackage{graphicx,grffile}
-\makeatletter
-\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
-\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
-\makeatother
-% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
-% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
-% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
-\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
-$endif$
-$if(links-as-notes)$
-% Make links footnotes instead of hotlinks:
-\renewcommand{\href}[2]{#2\footnote{\url{#1}}}
-$endif$
-$if(strikeout)$
-\usepackage[normalem]{ulem}
-% avoid problems with \sout in headers with hyperref:
-\pdfstringdefDisableCommands{\renewcommand{\sout}{}}
-$endif$
-$if(indent)$
-$else$
-\IfFileExists{parskip.sty}{%
-\usepackage{parskip}
-}{% else
-\setlength{\parindent}{0pt}
-\setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}
-}
-$endif$
-\setlength{\emergencystretch}{3em}  % prevent overfull lines
-\providecommand{\tightlist}{%
-  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
-$if(numbersections)$
-\setcounter{secnumdepth}{$if(secnumdepth)$$secnumdepth$$else$5$endif$}
-$else$
-\setcounter{secnumdepth}{0}
-$endif$
-$if(subparagraph)$
-$else$
-% Redefines (sub)paragraphs to behave more like sections
-\ifx\paragraph\undefined\else
-\let\oldparagraph\paragraph
-\renewcommand{\paragraph}[1]{\oldparagraph{#1}\mbox{}}
-\fi
-\ifx\subparagraph\undefined\else
-\let\oldsubparagraph\subparagraph
-\renewcommand{\subparagraph}[1]{\oldsubparagraph{#1}\mbox{}}
-\fi
-$endif$
-$if(dir)$
-\ifxetex
-  % load bidi as late as possible as it modifies e.g. graphicx
-  $if(latex-dir-rtl)$
-  \usepackage[RTLdocument]{bidi}
-  $else$
-  \usepackage{bidi}
-  $endif$
-\fi
-\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
-  \TeXXeTstate=1
-  \newcommand{\RL}[1]{\beginR #1\endR}
-  \newcommand{\LR}[1]{\beginL #1\endL}
-  \newenvironment{RTL}{\beginR}{\endR}
-  \newenvironment{LTR}{\beginL}{\endL}
-\fi
-$endif$
-
-% set default figure placement to htbp
-\makeatletter
-\def\fps@figure{htbp}
-\makeatother
-
-$for(header-includes)$
-$header-includes$
-$endfor$
-
-$if(title)$
-\title{$title$$if(thanks)$\thanks{$thanks$}$endif$}
-$endif$
-$if(subtitle)$
-\providecommand{\subtitle}[1]{}
-\subtitle{$subtitle$}
-$endif$
-$if(author)$
-\author{$for(author)$$author$$sep$ \and $endfor$}
-$endif$
-$if(institute)$
-\providecommand{\institute}[1]{}
-\institute{$for(institute)$$institute$$sep$ \and $endfor$}
-$endif$
-\date{$date$}
-
-\begin{document}
-$if(title)$
-\maketitle
-$endif$
-$if(abstract)$
-\begin{abstract}
-$abstract$
-\end{abstract}
-$endif$
-
-$for(include-before)$
-$include-before$
-
-$endfor$
-$if(toc)$
-{
-$if(colorlinks)$
-\hypersetup{linkcolor=$if(toccolor)$$toccolor$$else$black$endif$}
-$endif$
-\setcounter{tocdepth}{$toc-depth$}
-\tableofcontents
-}
-$endif$
-$if(lot)$
-\listoftables
-$endif$
-$if(lof)$
-\listoffigures
-$endif$
-$body$
-
-$if(natbib)$
-$if(bibliography)$
-$if(biblio-title)$
-$if(book-class)$
-\renewcommand\bibname{$biblio-title$}
-$else$
-\renewcommand\refname{$biblio-title$}
-$endif$
-$endif$
-\bibliography{$for(bibliography)$$bibliography$$sep$,$endfor$}
-
-$endif$
-$endif$
-$if(biblatex)$
-\printbibliography$if(biblio-title)$[title=$biblio-title$]$endif$
-
-$endif$
-$for(include-after)$
-$include-after$
-
-$endfor$
-\end{document}

docker-compose.yml

+version: "3.3"
+services:
+    cours:
+        #To use dockerfile : build: . 
+        image:  omalaspinas/pandoc:latest
+        environment:
+            USER: 1000
+            GROUP: 1000
+        container_name: cours
+        volumes:
+            - ./:/data
+        entrypoint: ["make"]
+        working_dir: /data
+        # user: "$(id -u):$(id -g)"

examen/.gitignore

+*.md
+*.svg

examen/Makefile

+EXAMEN=newton2023
+
+$(EXAMEN).pdf: $(EXAMEN).md
+	pandoc -s -o $(EXAMEN).pdf $(EXAMEN).md --filter=pandoc-numbering --filter=pandoc-crossref --pdf-engine pdflatex
+