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1 merge request!72Ajout de la formule de normalisation pour la dernière partie du tp integrales
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...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d ...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
--- ---
#### Exemple (Fonctions, généralités) {-} Illustration (Fonctions, généralités) #
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned} $I$ $$\begin{aligned}
...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$ ...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
--- ---
#### Exemple (Fonctions) {-} Illustration (Fonctions) #
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$ deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
--- ---
#### Exemple (Fonction inverse) {-} Illustration (Fonction inverse) #
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
...@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -67,15 +67,18 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
## Domaine de définition ## Domaine de définition
---
#### Définition (Domaine de définition) {-} Définition (Domaine de définition) #
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
--- ---
#### Exemple (Domaine de définition) {-} ---
Illustration (Domaine de définition) #
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$. 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
...@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux ...@@ -92,7 +95,9 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite ### Limite
#### Définition (Limite) {-} ---
Définition (Limite) #
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
...@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible ...@@ -107,20 +112,26 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$ $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
#### Remarque {-} ---
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Remarque #
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
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#### Exemple (Limite) {-} ---
Illustration (Limite) #
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
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#### Définition (Limite, asymptote) {-} Définition (Limite, asymptote) #
Pour $f$ définie en $D$, Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
...@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini. ...@@ -129,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
--- ---
#### Exemple (Limite, asymptote) {-} Illustration (Limite, asymptote) #
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$. Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
...@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$. ...@@ -150,11 +161,15 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales. sont égales.
#### Exemple (Limite à gauche/droite) {-} ---
Illustration (Limite à gauche/droite) #
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
---
### Comportement asymptotique ### Comportement asymptotique
Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
...@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ ...@@ -202,13 +217,19 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité ## Continuité
#### Définition (Continuité) {-} ---
Définition (Continuité) #
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
#### Propriétés (Fonctions continues) {-} ---
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Propriétés (Fonctions continues) #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
...@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: ...@@ -220,23 +241,35 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$. 4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
#### Définition (Continuité sur un intervalle) {-} ---
---
Définition (Continuité sur un intervalle) #
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
droite en $a$ et à gauche en $b$. droite en $a$ et à gauche en $b$.
#### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-} ---
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Théorème (Valeurs intermédiaires) #
Soit $f$ une fonction continue Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$ $f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$. Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
---
## Dérivées ## Dérivées
#### Définition (Dérivée en un point) {-} ---
Définition (Dérivée en un point) #
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$) dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
...@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned} ...@@ -244,17 +277,29 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$ &\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
#### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-} ---
---
Définition (Dérivée sur un intervalle) #
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$ Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$. point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
#### Propriété {-} ---
---
Propriété #
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
#### Propriétés {-} ---
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Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
...@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons ...@@ -285,14 +330,22 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$). 6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
#### Définition (Dérivée seconde) {-} ---
---
Définition (Dérivée seconde) #
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$. appelée la dérivée seconde de $f$.
---
### Variation des fonctions ### Variation des fonctions
#### Propriétés (Croissance/décroissance) {-} ---
Propriétés (Croissance/décroissance) #
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
...@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ ...@@ -302,19 +355,29 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$. 3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
#### Définition (Maximum/minimum local) {-} ---
---
Définition (Maximum/minimum local) #
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$. (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
#### Propriété (Maximum/minimum) {-} ---
---
Propriété (Maximum/minimum) #
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$ Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
maximum ou un minimum de $f$. maximum ou un minimum de $f$.
---
## Etude de fonction ## Etude de fonction
Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
......
02_optimisation.md
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− 17
View file @ 61a44ae1
...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}. ...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
--- ---
#### Exemple {-} Illustration #
Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
$$ $$
...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o ...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
--- ---
#### Exercice (Racine de polynôme) {-} Exercice (Racine de polynôme) #
Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations). Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec ...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth ...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
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#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f ...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
...@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les ...@@ -343,7 +343,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les
--- ---
#### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-} Remarque (non-convergence ou convergence lente) #
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. ...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
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#### Exercice {-} Exercice #
Déterminer le zéro de la fonction Déterminer le zéro de la fonction
$$ $$
...@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué. ...@@ -375,7 +375,7 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois. Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois.
...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real. ...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
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#### Exemple (Régression linéaire) {-} Illustration (Régression linéaire) #
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$) la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une ...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
--- ---
#### Exemple (Dérivée partielle) {-} Illustration (Dérivée partielle) #
Les dérivée partielles de la fonction Les dérivée partielles de la fonction
$$ $$
...@@ -468,7 +468,7 @@ $$ ...@@ -468,7 +468,7 @@ $$
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
$$ $$
...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a ...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
$$ $$
...@@ -499,7 +499,7 @@ $$ ...@@ -499,7 +499,7 @@ $$
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#### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-} Illustration (Dérivées partielles deuxièmes) #
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
\begin{align} \begin{align}
...@@ -549,7 +549,7 @@ $$ ...@@ -549,7 +549,7 @@ $$
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#### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-} Illustration (Gradient d'une fonction à deux variables) #
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
$$ $$
...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$. ...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
--- ---
#### Remarque (Généralisation) {-} Remarque (Généralisation) #
Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions. Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
...@@ -711,7 +711,7 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum ...@@ -711,7 +711,7 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
--- ---
#### Question {-} Question #
Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$? Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
...@@ -740,7 +740,7 @@ peut se voir dans la @fig:gradient. ...@@ -740,7 +740,7 @@ peut se voir dans la @fig:gradient.
--- ---
#### Exemple (quelques itérations) {-} Illustration (quelques itérations) #
Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante
$$ $$
......
03_integrales.md
+ 82
− 46
View file @ 61a44ae1
...@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour ...@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$) $n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
nous donne aussi l'aire sous la fonction. nous donne aussi l'aire sous la fonction.
#### Remarque {-} ---
Remarque #
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe 1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$. de $f$.
2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann. 2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-} ---
---
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) #
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Dans la formule Dans la formule
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
$x$ est appelée $x$ est appelée
...@@ -60,15 +68,11 @@ d’intégration. ...@@ -60,15 +68,11 @@ d’intégration.
--- ---
#### Exemple (Intégration de Riemann) {-} Exemple (Intégration de Riemann) #
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
--- Solution (Intégration de Riemann) #
---
#### Solution (Intégration de Riemann) {-}
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
...@@ -89,7 +93,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que ...@@ -89,7 +93,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
--- ---
#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-} Exercice (Intégration de Riemann de $x^2$) #
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$. Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
...@@ -125,25 +129,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale ...@@ -125,25 +129,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée. du calcul d’une dérivée.
#### Définition (Primitive) {-} ---
Définition (Primitive) #
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
---
Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
#### Théorème (Unicité) {-} ---
Théorème (Unicité) #
Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$. primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
--- ---
#### Illustration (Unicité) {-} ---
Illustration (Unicité) #
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
...@@ -153,7 +165,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$. ...@@ -153,7 +165,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
--- ---
#### Exercices (Primitives) {-} Exercices (Primitives) #
Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*): fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
...@@ -186,12 +198,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: ...@@ -186,12 +198,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$. 5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-} ---
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) #
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$ de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond} $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
---
On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
...@@ -199,7 +215,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$). ...@@ -199,7 +215,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
...@@ -215,7 +231,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que ...@@ -215,7 +231,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$ $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$. est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
#### Propriétés {-} ---
Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$. $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
...@@ -240,6 +258,8 @@ On a ...@@ -240,6 +258,8 @@ On a
6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$ 6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
---
### Intégrales impropres ### Intégrales impropres
Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
...@@ -254,12 +274,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned} ...@@ -254,12 +274,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exemple (Intégrale impropre) {-} Exemple (Intégrale impropre) #
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
#### Solution (Intégrale impropre) {-} Solution (Intégrale impropre) #
Nous pouvons réécrire Nous pouvons réécrire
l’intégrale ci-dessus comme l’intégrale ci-dessus comme
...@@ -269,7 +289,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e ...@@ -269,7 +289,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$ $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
...@@ -280,16 +300,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point ...@@ -280,16 +300,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
$c\in[a,b]$ nous avons $c\in[a,b]$ nous avons
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
#### Exercice {-} ---
Exercice #
Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$ Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$
#### Définition (Valeur moyenne) {-} ---
---
Définition (Valeur moyenne) #
Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$, Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
---
Méthodes d’intégration Méthodes d’intégration
---------------------- ----------------------
...@@ -302,7 +330,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une ...@@ -302,7 +330,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
fonctions particulières. fonctions particulières.
#### Polynômes Polynômes
Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
$(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned} $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
...@@ -312,14 +340,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned} ...@@ -312,14 +340,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Intégrer la fonction suivante Intégrer la fonction suivante
$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$ $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
--- ---
#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration Application de la règle de chaîne pour l’intégration
Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
$$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
...@@ -327,21 +355,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$ ...@@ -327,21 +355,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
Nous calculons par exemple Nous calculons par exemple
$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos} $$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
#### Inverse de la dérivation logarithmique Inverse de la dérivation logarithmique
Une primitive de la forme Une primitive de la forme
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer la primitive suivante Calculer la primitive suivante
$$ $$
\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x. \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
$$ $$
#### Solution {-} Solution #
Le calcul de la primitive de suivante Le calcul de la primitive de suivante
$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$ $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
...@@ -354,12 +382,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est ...@@ -354,12 +382,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$ $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
#### Illustration {-} ---
Illustration #
Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
primitive primitive
$$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$ $$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
---
### Intégration par parties ### Intégration par parties
La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
...@@ -384,7 +416,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que ...@@ -384,7 +416,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -392,7 +424,7 @@ Calculer les primitives suivantes ...@@ -392,7 +424,7 @@ Calculer les primitives suivantes
2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
#### Solution {-} Solution #
1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, 1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
$f(x)=e^x$. Il vient $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -415,11 +447,11 @@ parties. ...@@ -415,11 +447,11 @@ parties.
--- ---
#### Exemple {-} Exemple #
Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
#### Solution {-} Solution #
En posant $g(x)=x^2$, En posant $g(x)=x^2$,
$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -432,7 +464,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^ ...@@ -432,7 +464,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -453,7 +485,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned} ...@@ -453,7 +485,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
\int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
Cette relation nous mène au théorème suivant. Cette relation nous mène au théorème suivant.
#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-} ---
Théorème (Intégration par changement de variables) #
Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
...@@ -461,6 +495,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit ...@@ -461,6 +495,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
Alors Alors
$$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$ $$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
---
Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que ${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
...@@ -473,11 +509,11 @@ sur la solution. ...@@ -473,11 +509,11 @@ sur la solution.
--- ---
#### Exemple (Changement de variable) {-} Exemple (Changement de variable) #
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$. Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
#### Solution (Changement de variable) {-} Solution (Changement de variable) #
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$. En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
...@@ -490,7 +526,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned} ...@@ -490,7 +526,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les primitives suivantes par changement de variable Calculer les primitives suivantes par changement de variable
...@@ -521,7 +557,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale, ...@@ -521,7 +557,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
--- ---
#### Exercice (Commutativité) {-} Exercice (Commutativité) #
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -538,7 +574,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul ...@@ -538,7 +574,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer la convolution du signal $f(t)$ Calculer la convolution du signal $f(t)$
...@@ -553,7 +589,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec ...@@ -553,7 +589,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
--- ---
#### Interprétation avec les mains Interprétation avec les mains
Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
intégrale vaut $1$ intégrale vaut $1$
...@@ -586,21 +622,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux ...@@ -586,21 +622,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux
--- ---
Exercice (Convolution) {-} Exercice (Convolution) #
Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
\begin{align} \begin{align}
f(x)&=\left\{\begin{array}{ll} f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
$-1,$ & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\ -1, & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
$0,$ & $\mbox{ sinon.}$ 0, & \mbox{ sinon.}
\end{array}\right.,\\ \end{array}\right.,\\
g(x)&=\sin(x). g(x)&=\sin(x).
\end{align} \end{align}
--- ---
#### Le lien avec les filtres Le lien avec les filtres
Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés) est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
...@@ -642,7 +678,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration. ...@@ -642,7 +678,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
--- ---
#### Remarque {-} Remarque #
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre** exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
...@@ -652,7 +688,7 @@ de l’erreur. ...@@ -652,7 +688,7 @@ de l’erreur.
--- ---
#### Définition (Ordre d'une méthode) {-} Définition (Ordre d'une méthode) #
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
......
04_edo.md
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View file @ 61a44ae1
...@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$ ...@@ -37,13 +37,17 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
#### Remarque {-} ---
Remarque #
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$ La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned} revient à calculer $$\begin{aligned}
\int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\ \int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$ x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
---
### Mouvement rectiligne uniformément accéléré ### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
...@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0 ...@@ -77,7 +81,9 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
#### Remarque {-} ---
Remarque #
La solution du problème différentiel peut également se calculer de La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
...@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned} ...@@ -85,6 +91,8 @@ calculer $$\begin{aligned}
\int \int x''=\int \int a,\\ \int \int x''=\int \int a,\\
x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$ x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
---
### Évolution d’une population ### Évolution d’une population
Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
...@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"} ...@@ -257,7 +265,9 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux Définitions et théorèmes principaux
----------------------------------- -----------------------------------
#### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-} ---
Définition (Équation différentielle ordinaire) #
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
...@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$. ...@@ -267,7 +277,9 @@ $n$-ème de $y$.
--- ---
#### Illustration {-} ---
Illustration #
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$ $$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
...@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle. ...@@ -281,24 +293,36 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes définitions suivantes
#### Définition (Ordre) {-} ---
Définition (Ordre) #
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$. $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
#### Illustration {-} ---
---
Illustration #
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$ L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$ $$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
#### Définition (Condition initiale) {-} ---
---
Définition (Condition initiale) #
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
pour une valeur $x_0$ donnée on a pour une valeur $x_0$ donnée on a
$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$ $$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
---
Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
...@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter ...@@ -307,7 +331,7 @@ version approximative et la discuter
--- ---
#### Théorème (Existence et unicité) {-} Théorème (Existence et unicité) #
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur $y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
...@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$. ...@@ -345,7 +369,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
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#### Définition (Linéarité) {-} Définition (Linéarité) #
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme on peut l’écrire sous la forme
...@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes ...@@ -362,19 +386,29 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1. 2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
#### Illustration {-} ---
Illustration #
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$ L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$ suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
#### Définition (Homogénéité) {-} ---
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Définition (Homogénéité) #
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$. une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
#### Illustration (Homogénéité) {-} ---
---
Illustration (Homogénéité) #
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned} Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\ &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
...@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -387,7 +421,9 @@ $$\begin{aligned}
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#### Exercice (Homogénéité) {-} ---
Exercice (Homogénéité) #
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
...@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre. ...@@ -425,7 +461,7 @@ un certain nombre.
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#### Définition (Équations à variable séparables) {-} Définition (Équations à variable séparables) #
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
...@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$ ...@@ -435,7 +471,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
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#### Illustration {-} Illustration #
L’équation suivante est à variables séparables L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$ $$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
...@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ ...@@ -455,11 +491,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
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#### Exemple {-} Exemple #
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$ Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
#### Solution {-} Solution #
En En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
...@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$. ...@@ -474,7 +510,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$ 1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
...@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation ...@@ -526,12 +562,14 @@ Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$ $$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
#### Exemple {-} ---
Exemple #
Résoudre l’équation suivante Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom} $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
#### Solution {-} Solution #
On On
commence par résoudre l’équation homogène commence par résoudre l’équation homogène
...@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra ...@@ -546,14 +584,20 @@ $$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\fra
où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
$U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$. $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
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Résoudre les équations différentielles suivantes Résoudre les équations différentielles suivantes
#### Exercice {-} ---
Exercice #
1. $$y'+2y=t^2$$ 1. $$y'+2y=t^2$$
2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$ 2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
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### Équations de Bernoulli ### Équations de Bernoulli
Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
...@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin. ...@@ -574,11 +618,11 @@ de la méthode de la section @sec:eq_lin.
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#### Exemple {-} Exemple #
Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
#### Solution {-} Solution #
Avec Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
...@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre. ...@@ -614,7 +658,7 @@ la résoudre.
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#### Exercice {-} Exercice #
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$ Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
...@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle. ...@@ -660,7 +704,7 @@ l’équation différentielle.
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#### Propriétés {-} Propriétés #
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice. Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
......
05_fourier.md
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View file @ 61a44ae1
...@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned} ...@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\ (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$ &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
#### Exercice {-} ---
Exercice #
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
---
Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
...@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}( ...@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
Démontrer ces trois relations. Démontrer ces trois relations.
...@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned}
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#### Exercice {-} Exercice #
Démontrer ces relations. Démontrer ces relations.
...@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati ...@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$ à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement. sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
#### Définition {-} ---
Définition #
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
...@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes ...@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes
3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté 3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$ $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
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---
#### Exemple (Espaces vectoriels) {-} Illustration (Espaces vectoriels) #
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
...@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes ...@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes
&f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W. &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
\end{aligned}$$ \end{aligned}$$
---
### Base ### Base
Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
...@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+( ...@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
--- ---
#### Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-} Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) #
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$ 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base. les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
...@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts ...@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$. vectoriel sur $E$.
#### Définition (Famille libre) {-} ---
Définition (Famille libre) #
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
#### Exemple (Famille libre) {-} ---
---
Illustration (Famille libre) #
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$. 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
...@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ ...@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
relie les deux. La relation est non-linéaire relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$. $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
#### Définition (Famille génératrice) {-} ---
---
Définition (Famille génératrice) #
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si génératrice si
...@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad ...@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$. linéaire des vecteur $e_i$.
#### Illustration (Familles génératrices) {-} ---
---
Illustration (Familles génératrices) #
1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne 1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$, peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
...@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$. ...@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\real}^2$. ${\real}^2$.
#### Définition (Base) {-} ---
---
Définition (Base) #
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
...@@ -386,7 +415,11 @@ est unique ...@@ -386,7 +415,11 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$ $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-} ---
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Illustration (Base de $\real ^2$) #
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$. 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
...@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. ...@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
$\beta=(1,1,-1)$. $\beta=(1,1,-1)$.
---
## Introduction générale sur les séries de Fourier ## Introduction générale sur les séries de Fourier
Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
...@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier: ...@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
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#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
...@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes ...@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
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#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
...@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante ...@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes. La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
#### Propriété {-} ---
Propriété #
1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa 1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
transformée de Fourier est donnée par transformée de Fourier est donnée par
...@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes. ...@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
(impaire). (impaire).
---
La transformée de Fourier à temps discret (TFTD) La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
------------------------------------------------ ------------------------------------------------
...@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned} ...@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
&=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
&=f[n].\nonumber\end{aligned}$$ &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
---
#### Exercice {-} Exercice #
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
temps discret des fonctions suivantes temps discret des fonctions suivantes
...@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes ...@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes
0,&\mbox{ sinon.} 0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.$$ \end{array}\right.$$
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Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
infinie de points par une fonction continue et périodique. infinie de points par une fonction continue et périodique.
...@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$ ...@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
A démontrer en exercice. A démontrer en exercice.
......
06_probas_stats.md
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View file @ 61a44ae1
...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère. ...@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
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#### Illustration {-} Illustration #
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec) ...@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires) la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
![Nombre salariés en fonction du ![Nombre salariés en fonction du salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
Fig. @fig:exec). Fig. @fig:exec).
![Nombre d’exécutions en fonction du temps ![Nombre d’exécutions en fonction du temps d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
### Fréquences ### Fréquences
...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$ ...@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
--- ---
#### Exemple (Fréquences) {-} Illustration (Fréquences) #
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives ...@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
--- ---
#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-} Propriété (Propriétés de la fréquence) #
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$ 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$ $$0\leq f_i\leq 1.$$
...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum} : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
#### Exercice (Fréquence cumulée) {-} ---
Exercice (Fréquence cumulée) #
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus. que nous avons vus.
...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance, 2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
valeur maximale)? valeur maximale)?
---
### Mesures de tendance centrale ### Mesures de tendance centrale
Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
--- ---
#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-} Exercice (Propriétés de la moyenne) #
1. Démontrer la relation précédente. 1. Démontrer la relation précédente.
...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
--- ---
#### Illustration (Moyenne) {-} Illustration (Moyenne) #
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$ $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$. ...@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population. reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
#### Exercice (Moyenne, médiane) {-} ---
Exercice (Moyenne, médiane) #
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
d’exécution[^7]). d’exécution[^7]).
---
### Mesures de dispersion ### Mesures de dispersion
Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$ ...@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
--- ---
#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Démontrer les relations suivantes Démontrer les relations suivantes
...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$ ...@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
--- ---
#### Exercice (Variance, écart-type) {-} Exercice (Variance, écart-type) #
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application. de l’application.
...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile. ...@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
--- ---
#### Exercice (Semi-inter quartile) {-} Exercice (Semi-inter quartile) #
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours. avons vus plus tôt dans le cours.
...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite. ...@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
--- ---
#### Définition {-} Définition #
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants ...@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
--- ---
#### Définition (Axiomes des probabilités) {-} Définition (Axiomes des probabilités) #
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes ...@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
--- ---
#### Théorème {-} Théorème #
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité. Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$ ...@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
--- ---
#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-} Exercice (Probabilités conditionnelles) #
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans. 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante. ...@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
--- ---
#### Exercice (Événements indépendants) {-} Exercice (Événements indépendants) #
On jette une pièce de monnaie deux fois de On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$. suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de ...@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
@fig:arbre). @fig:arbre).
![Représentation du tirage $26$ sous forme ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$. équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements ...@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires élémentaires
$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$ $$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités ![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme ...@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
@fig:arbre3). @fig:arbre3).
![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme ![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
simplifier
l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned} somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$ ...@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés. nombres tirés par deux dés.
...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$ ...@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir: On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec ...@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
la @fig:loto. la @fig:loto.
![Les six numéros présents initialement dans le ![Les six numéros présents initialement dans le sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité @fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
$\frac{1}{6}$. $\frac{1}{6}$.
![Le numéro 2 est tiré lors du premier ![Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
@fig:loto3). @fig:loto3).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
@fig:loto4). @fig:loto4).
![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le ![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
ainsi de suite. ainsi de suite.
...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité ...@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
--- ---
#### Exercice {-} Exercice #
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles. possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$. ...@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
--- ---
#### Définition (Variable aléatoire) {-} Définition (Variable aléatoire) #
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle, *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ ...@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
--- ---
#### Définition (Fonction de répartition) {-} Définition (Fonction de répartition) #
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
......
Makefile
+ 15
− 33
View file @ 61a44ae1
...@@ -4,6 +4,7 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \ ...@@ -4,6 +4,7 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
css/tufte-extra.css css/tufte-extra.css
OPTIONS = --toc OPTIONS = --toc
OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate PDFOPTIONS = --highlight-style kate
...@@ -17,50 +18,31 @@ HTMLOPTIONS += -c css/tufte-css/tufte.css ...@@ -17,50 +18,31 @@ HTMLOPTIONS += -c css/tufte-css/tufte.css
HTMLOPTIONS += --self-contained HTMLOPTIONS += --self-contained
HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
CLASS_SOURCES := $(sort $(filter-out README.md, $(wildcard *.md)))
SOURCES := $(filter-out 00_macros.md, $(CLASS_SOURCES))
SOURCES := $(filter-out 08_notes.md, $(SOURCES))
all: cours.pdf cours.html all: cours.pdf cours.html
# %.tex: %.md # %.tex: %.md
# pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $< # pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md cours.pdf: $(CLASS_SOURCES)
pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md cours.html: $(CLASS_SOURCES)
pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
hakyll_gen: 1_Rappel.markdown 2_Optimisation.markdown 3_Integrales.markdown 4_Equation_Differentielles_Ordinaires.markdown 5_Transformees_de_Fourier.markdown 6_Probabilites_et_Statistique.markdown 7_Remerciements.markdown MARKDOWN := $(patsubst %.md, %.markdown, $(SOURCES))
# macros: 00_macros.md
# sed "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 02_optimisation.md | head -n 1)\n---" $< > $@
1_Rappel.markdown: 00_macros.md 01_rappel.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 01_rappel.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
2_Optimisation.markdown: 00_macros.md 02_optimisation.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 02_optimisation.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
3_Integrales.markdown: 00_macros.md 03_integrales.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 03_integrales.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
4_Equation_Differentielles_Ordinaires.markdown: 00_macros.md 04_edo.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 04_edo.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
5_Transformees_de_Fourier.markdown: 00_macros.md 05_fourier.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 05_fourier.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
6_Probabilites_et_Statistique.markdown: 00_macros.md 06_probas_stats.md 08_notes.md
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 06_probas_stats.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
7_Remerciements.markdown: 00_macros.md 07_remerciements.md 08_notes.md hakyll_gen: $(MARKDOWN)
cat $^ > $@
sed -i "1i ---\ndate: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- 07_remerciements.md | head -n 1)\nmathjax: on\n---" $@
$(MARKDOWN): %.markdown: 00_macros.md %.md 08_notes.md
$(file >$@,---)
$(file >>$@,date: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- $(word 2,$^) | head -n 1))
$(file >>$@,mathjax: on)
$(file >>$@,---)
cat $^ >> $@
deploy: all deploy: all
mkdir -p mti mkdir -p mti
......
travaux_pratiques/tpChaos/Makefile 0 → 100644
+ 13
− 0
View file @ 61a44ae1
CC=gcc
CFLAGS=-Wall -Wextra -pedantic -std=c11 -g -O3
# -fsanitize=leak -fsanitize=undefined -fsanitize=address
LFLAGS=-lSDL2
TARGET=map
all: map
map: map.c gfx.c
$(CC) $(CFLAGS) $^ -o $@ $(LFLAGS)
clean:
rm -f *.o $(TARGET)
travaux_pratiques/tpChaos/gfx.c 0 → 100644
+ 95
− 0
View file @ 61a44ae1
/// @file gfx.c
/// @author Florent Gluck
/// @date November 6, 2016
/// Helper routines to render pixels in fullscreen graphic mode.
/// Uses the SDL2 library.
#include "gfx.h"
/// Create a fullscreen graphic window.
/// @param title Title of the window.
/// @param width Width of the window in pixels.
/// @param height Height of the window in pixels.
/// @return a pointer to the graphic context or NULL if it failed.
struct gfx_context_t* gfx_create(char *title, uint width, uint height) {
if (SDL_Init(SDL_INIT_VIDEO) != 0) goto error;
SDL_Window *window = SDL_CreateWindow(title, SDL_WINDOWPOS_CENTERED,
SDL_WINDOWPOS_CENTERED, width, height, SDL_WINDOW_RESIZABLE);
SDL_Renderer *renderer = SDL_CreateRenderer(window, -1, 0);
SDL_Texture *texture = SDL_CreateTexture(renderer, SDL_PIXELFORMAT_ARGB8888,
SDL_TEXTUREACCESS_STREAMING, width, height);
uint32_t *pixels = malloc(width*height*sizeof(uint32_t));
struct gfx_context_t *ctxt = malloc(sizeof(struct gfx_context_t));
if (!window || !renderer || !texture || !pixels || !ctxt) goto error;
ctxt->renderer = renderer;
ctxt->texture = texture;
ctxt->window = window;
ctxt->width = width;
ctxt->height = height;
ctxt->pixels = pixels;
SDL_ShowCursor(SDL_DISABLE);
gfx_clear(ctxt, COLOR_BLACK);
return ctxt;
error:
return NULL;
}
/// Draw a pixel in the specified graphic context.
/// @param ctxt Graphic context where the pixel is to be drawn.
/// @param x X coordinate of the pixel.
/// @param y Y coordinate of the pixel.
/// @param color Color of the pixel.
void gfx_putpixel(struct gfx_context_t *ctxt, int x, int y, uint32_t color) {
if (x < ctxt->width && y < ctxt->height)
ctxt->pixels[ctxt->width*y+x] = color;
}
/// Clear the specified graphic context.
/// @param ctxt Graphic context to clear.
/// @param color Color to use.
void gfx_clear(struct gfx_context_t *ctxt, uint32_t color) {
int n = ctxt->width*ctxt->height;
while (n)
ctxt->pixels[--n] = color;
}
/// Display the graphic context.
/// @param ctxt Graphic context to clear.
void gfx_present(struct gfx_context_t *ctxt) {
SDL_UpdateTexture(ctxt->texture, NULL, ctxt->pixels, ctxt->width*sizeof(uint32_t));
SDL_RenderCopy(ctxt->renderer, ctxt->texture, NULL, NULL);
SDL_RenderPresent(ctxt->renderer);
}
/// Destroy a graphic window.
/// @param ctxt Graphic context of the window to close.
void gfx_destroy(struct gfx_context_t *ctxt) {
SDL_ShowCursor(SDL_ENABLE);
SDL_DestroyTexture(ctxt->texture);
SDL_DestroyRenderer(ctxt->renderer);
SDL_DestroyWindow(ctxt->window);
free(ctxt->pixels);
ctxt->texture = NULL;
ctxt->renderer = NULL;
ctxt->window = NULL;
ctxt->pixels = NULL;
SDL_Quit();
free(ctxt);
}
/// If a key was pressed, returns its key code (non blocking call).
/// List of key codes: https://wiki.libsdl.org/SDL_Keycode
/// @return the key that was pressed or 0 if none was pressed.
SDL_Keycode gfx_keypressed() {
SDL_Event event;
if (SDL_PollEvent(&event)) {
if (event.type == SDL_KEYDOWN)
return event.key.keysym.sym;
}
return 0;
}
travaux_pratiques/tpChaos/gfx.h 0 → 100644
+ 41
− 0
View file @ 61a44ae1
#ifndef _GFX_H_
#define _GFX_H_
#include <stdint.h>
#include <stdbool.h>
#include <SDL2/SDL.h>
#define MAKE_COLOR(r,g,b) ((uint32_t)b|((uint32_t)g<<8)|((uint32_t)r<<16))
#define COLOR_GET_B(color) (color & 0xff)
#define COLOR_GET_G(color) ((color >> 8) & 0xff)
#define COLOR_GET_R(color) ((color >> 16) & 0xff)
#define COLOR_BLACK 0x00000000
#define COLOR_RED 0x00FF0000
#define COLOR_GREEN 0x0000FF00
#define COLOR_BLUE 0x000000FF
#define COLOR_WHITE 0x00FFFFFF
#define COLOR_YELLOW 0x00FFFF00
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long ulong;
typedef unsigned char uchar;
struct gfx_context_t {
SDL_Window *window;
SDL_Renderer *renderer;
SDL_Texture *texture;
uint32_t *pixels;
int width;
int height;
};
extern void gfx_putpixel(struct gfx_context_t *ctxt, int x, int y, uint32_t color);
extern void gfx_clear(struct gfx_context_t *ctxt, uint32_t color);
extern struct gfx_context_t* gfx_create(char *text, uint width, uint height);
extern void gfx_destroy(struct gfx_context_t *ctxt);
extern void gfx_present(struct gfx_context_t *ctxt);
extern SDL_Keycode gfx_keypressed();
#endif
travaux_pratiques/tpChaos/map.c 0 → 100644
+ 68
− 0
View file @ 61a44ae1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>
#include "gfx.h"
static void gfx_clear_rect(struct gfx_context_t *ctxt, int x0, int x1, int y0, int y1) {
for (int x = x0; x < x1; ++x) {
for (int y = y0; y < y1; ++y) {
gfx_putpixel(ctxt, x, y, COLOR_BLACK);
}
}
}
static double map(double x, double lambda) {
return lambda * x * (1.0 - x);
}
int main() {
const double lambda_min = 3;
const double lambda_max = 4;
const int N = 1920;
const int M = 1000;
double dl = (lambda_max - lambda_min) / N;
struct gfx_context_t *ctxt = gfx_create("Example", N, M);
if (!ctxt) {
fprintf(stderr, "Graphics initialization failed!\n");
return EXIT_FAILURE;
}
gfx_clear(ctxt, COLOR_BLACK);
double prop = 0.2;
int num_points = M / 10;
int max_iter = 10000;
for (int i_lambda = 0; i_lambda < N; ++i_lambda) {
double x = 0.5;
for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
double lambda = lambda_min + i_lambda * dl;
x = map(x, lambda);
if (i > max_iter - num_points) {
gfx_putpixel(ctxt, i % (num_points / 2), (M - 1) - (M - 1) * x * prop, COLOR_WHITE);
gfx_clear_rect(ctxt, (i + 1) % (num_points / 2), (i + 2) % (num_points / 2), (1 - prop) * (M-1), (M - 1));
gfx_putpixel(ctxt, i_lambda, (M - 1) * (1 - x), COLOR_WHITE);
// printf("x(%d, %g) = %g\n", i, i_lambda * dl, x);
// usleep((unsigned int)1000);
// if (i % 512 == 0) {
// gfx_present(ctxt);
// }
}
}
gfx_clear_rect(ctxt, (num_points / 2 - 1), (num_points / 2) + 2, (1 - prop) * (M-1), (M - 1));
gfx_present(ctxt);
// printf("\n");
}
while (gfx_keypressed() != SDLK_ESCAPE) {
}
gfx_destroy(ctxt);
return EXIT_SUCCESS;
}
travaux_pratiques/tpIntegrales/tp_integrales_conv.md
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View file @ 61a44ae1
...@@ -36,20 +36,24 @@ Le but de ce travail pratique est d'implémenter les méthodes numériques de ca ...@@ -36,20 +36,24 @@ Le but de ce travail pratique est d'implémenter les méthodes numériques de ca
afin de les comprendre de façon un peu plus approfondie. Puis, il faudra utiliser ces méthodes pour calculer afin de les comprendre de façon un peu plus approfondie. Puis, il faudra utiliser ces méthodes pour calculer
des convolutions afin de filtrer un signal. des convolutions afin de filtrer un signal.
Aucun langage particulier n'est imposé. Il est recommandé d'utiliser octave ou python (en particulier les librairies numpy/scipy/matplotlib). Le noyau de calcul de votre travail pratique doit être réalisé en C et il doit être compilable avec
un `Makefile`. Pour la réalisation de graphiques vous êtes libres d'utiliser
Vous devrez rendre un petit rapport (3-4 pages) qui explique ce que vous avez fait et dans quel but. Il devra contenir l'outil de votre choix (la librairie matplotlib par exemple). Certaines visualisations
une courte introduction théorique (rappelant les formules et le but du travail), une partie expliquant dans les grandes lignes peuvent être faites à l'aide de la librairie SDL pour obtenir un bonus.
Vous devrez rendre un petit rapport (environ 10 pages) qui explique ce que vous avez fait et dans quel but. Il devra contenir
en premier lieu une introduction générale à votre travail qui peut être comprise par n'importe qui.
Puis une courte introduction théorique (rappelant les formules et le but du travail), une partie expliquant dans les grandes lignes
des algorithmes (pas de copier-coller du code, pas de captures d'écran non plus sous peine de sanctions terribles). des algorithmes (pas de copier-coller du code, pas de captures d'écran non plus sous peine de sanctions terribles).
La partie importante est celle contenant les résultats obtenus et leur discussion. Finalement, il faut inclure La partie importante est celle contenant les résultats obtenus et leur discussion. Finalement, il faut inclure
une conclusion résumant votre travail. une conclusion résumant votre travail.
Le travail doit être effectué par groupes de deux Le travail doit être effectué par groupes de deux (oui c'est une obligation).
(n'oubliez pas de mentionner les deux noms sur le rapport et dans le code si le travail est fait à deux). N'oubliez pas de mentionner les deux noms sur le rapport et dans le code.
Je dois pouvoir exécuter le code Je dois pouvoir exécuter le code
afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport (un petit *readme* pour les instructions est le bienvenu). afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport (un petit *readme* pour les instructions est le bienvenu).
Je dois aussi pouvoir définir ma propre fonction à intégrer de façon simple. Je dois aussi pouvoir définir ma propre fonction à intégrer de façon simple.
Le rapport et le code doivent être déposés sur cyberlearn. Le rapport et le code doivent être déposés sur `Cyberlearn` et `gitedu` respectivement.
La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié).
...@@ -66,27 +70,34 @@ un nombre de subdivisions $N$. Le code devra rendre la valeur numérique obtenue ...@@ -66,27 +70,34 @@ un nombre de subdivisions $N$. Le code devra rendre la valeur numérique obtenue
I(a,b,N,f(x)) \cong \int_a^bf(x)\dd x I(a,b,N,f(x)) \cong \int_a^bf(x)\dd x
\end{equation} \end{equation}
pour deux méthodes vues en cours (méthode du rectangle à gauche, et méthode du trapèze)[^1]. pour deux méthodes vues en cours (méthode du rectangle à gauche, et méthode du trapèze)[^1].
Dans le cas de la méthode du rectangle à gauche on a
\begin{equation}
I(a,b,N,f(x))=\sum_{i=0}^{N-1} f(a+i\delta x)\delta x,\quad \delta x=\frac{b-a}{N}.
\end{equation}
## Étude de l'erreur ## Validation
Lorsqu'on calcule numériquement une intégrale, on espère que la valeur de celle-ci *converge*, c'est-à-dire Lorsqu'on calcule numériquement une intégrale, on souhaite que la valeur de celle-ci *converge*. C'est-à-dire
que plus $N$ est grand, plus la valeur de l'approximation est bonne. Pour vérifier que cela se passe avec nos que plus $N$ est grand, plus la valeur de l'approximation est bonne. Pour vérifier que cela se passe avec nos
méthodes d'intégration, vous devrez effectuer une étude de l'erreur de vos méthodes d'intégration numériques. méthodes d'intégration, vous devrez effectuer une étude de l'erreur de vos méthodes d'intégration numériques.
Pour ce faire, nous choisissons une fonction $f(x)$ Pour ce faire, nous choisissons une fonction $f(x)$
dont la primitive est simple à calculer dont la primitive est simple à calculer
\begin{equation} \begin{equation}
f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)}, f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
\end{equation} \end{equation}3
et un intervalle sur lequel la fonction est bien définie. Choisissons ici $[a,b]$ avec $a=1$ et $b=5$. et un intervalle sur lequel la fonction est bien définie. Choisissons ici $[a,b]$ avec $a=1$ et $b=5$.
On peut donc calculer l'intégrale exactement (analytiquement) et on notera ce résultat exact $I_{exact}(a,b,f(x))$. On peut donc calculer l'intégrale exactement (analytiquement) et on notera ce résultat exact $I$
\begin{equation}
I=\int_a^b-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)}\mathrm{d}x.
\end{equation}
Puis, il faut calculer l'erreur commise par l'évaluation de la fonction $I(a,b,N,f(x))$ Puis, il faut calculer l'erreur commise par l'évaluation de la fonction $I(a,b,N,f(x))$
pour $N=5, 10, 50, 100, 500, 1000$ pour chacune des méthodes que vous avez implémentées ci-dessus. pour $N=5, 10, 50, 100, 500, 1000$ pour chacune des méthodes que vous avez implémentées ci-dessus.
L'erreur $E(N)$ se calcule de la façon suivante L'erreur $E(N)$ se calcule de la façon suivante
\begin{equation} \begin{equation}
E(N)=\left|\frac{I_{exact}(a,b,f(x))-I(a,b,N,f(x))}{I_{exact}(a,b,f(x))}\right| E(N)=\left|\frac{I-I(a,b,N,f(x))}{I}\right|
\end{equation} \end{equation}
Ces résultats devront être illustrés sous forme de graphique ($E$ en fonction de $N$ en échelle log-log). Ces résultats devront être illustrés sous forme de graphique ($E$ en fonction de $N$ en échelle log-log).
Que constatez-vous? Pouvez-vous mesurer le taux de décroissance de l'erreur? Que constatez-vous? Pouvez-vous mesurer le taux de décroissance de l'erreur (a.k.a. l'ordre de l'erreur)?
# Convolutions et filtrage # Convolutions et filtrage
...@@ -107,12 +118,14 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} ...@@ -107,12 +118,14 @@ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\mbox{ sinon.} 0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right. \end{array}\right.
\end{equation} \end{equation}
Afin de se familiariser un peu avec ces deux fonctions, ne pas hésiter à les dessiner Afin de se familiariser un peu avec ces deux fonctions, dessiner les
pour différentes valeur de $\omega_1$, $\omega_2$, et $\psi$. pour différentes valeur de $\omega_1$, $\omega_2$, et $\psi$.
Puis, calculer analytiquement (à la main avec du papier et un crayon[^2]) la convolution $(f\ast s)(x)$. Puis, calculer analytiquement (à la main avec du papier et un crayon[^2]) la convolution $(f\ast s)(x)$ (rappelez vous qu'on
A partir du résultat de la convolution, déterminer la relation entre $\psi$ et $\omega_1$ (respectivement $\omega_2$) a fait des choses similaires en cours).
pour enlever complètement la composante $\omega_1$ (respectivement $\omega_2$) du signal $s(x)$. Ensuite, on souhaite filtrer $s$ à l'aide de $f$. Pour cela, on veut "enlever" totalement
la partie $\omega_1$ (ou $\omega_2$) de $f\ast s$. En choisissant astucieusement $\psi$
on se rend compte que cela est plus simple qu'il n'y paraît!
Utiliser ces relations pour illustrer le filtrage de $s(x)$ pour différentes valeurs de $\omega_1$ et $\omega_2$. Utiliser ces relations pour illustrer le filtrage de $s(x)$ pour différentes valeurs de $\omega_1$ et $\omega_2$.
### La convolution discrète ### La convolution discrète
...@@ -130,7 +143,7 @@ Voyez-vous des différences? ...@@ -130,7 +143,7 @@ Voyez-vous des différences?
### Théorie ### Théorie
Dans le cadre de ce tp, nous allons nous concentrer sur la convolution discrète d'un signal discret en deux dimensions. Pour représenter notre signal discret en deux dimmensions, nous pouvons utiliser des matrices. Par exemple : Dans le cadre de ce tp, nous allons nous concentrer sur la convolution discrète d'un signal discret en deux dimensions. Pour représenter notre signal discret en deux dimensions, nous pouvons utiliser des matrices. Par exemple :
\begin{equation} \begin{equation}
\label{eqn:mat_exemple} \label{eqn:mat_exemple}
...@@ -147,7 +160,7 @@ b_{2,-2} & b_{2,-1} & b_{2,0} & b_{2,1} & b_{2,2} ...@@ -147,7 +160,7 @@ b_{2,-2} & b_{2,-1} & b_{2,0} & b_{2,1} & b_{2,2}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{equation} \end{equation}
Une image matricielle peut être interpétée comme un signal discret en deux dimmensions. Une image matricielle peut être interprétée comme un signal discret en deux dimensions.
Pour rappel, la formule du produit de convolution en 1 dimension d'un signal discret est : Pour rappel, la formule du produit de convolution en 1 dimension d'un signal discret est :
...@@ -155,7 +168,7 @@ Pour rappel, la formule du produit de convolution en 1 dimension d'un signal dis ...@@ -155,7 +168,7 @@ Pour rappel, la formule du produit de convolution en 1 dimension d'un signal dis
(s\ast u)[t] =\sum_{n=-N}^{+N} s[n]\cdot u[t-n] (s\ast u)[t] =\sum_{n=-N}^{+N} s[n]\cdot u[t-n]
\end{equation} \end{equation}
Lorsque l'on rajoute une nouvelle dimmension la formule devient, avec $-M$ l'indice de ligne le plus petit de la matrice $\mat{A}$, et $+M$ le plus grand, ainsi que $-N$, $+N$ pour les indices de colonne : Lorsque l'on rajoute une nouvelle dimension la formule devient, avec $-M$ l'indice de ligne le plus petit de la matrice $\mat{A}$, et $+M$ le plus grand, ainsi que $-N$, $+N$ pour les indices de colonne :
\begin{equation} \begin{equation}
(\mat{A}\ast \mat{B})[i,j] =\sum_{m=-M}^{+M}\sum_{n=-N}^{+N} \mat{A}[m, n]\cdot \mat{B}[i-m,j-n] (\mat{A}\ast \mat{B})[i,j] =\sum_{m=-M}^{+M}\sum_{n=-N}^{+N} \mat{A}[m, n]\cdot \mat{B}[i-m,j-n]
...@@ -178,9 +191,15 @@ Si l'on essaye de calculer $(\mat{A}\ast \mat{B})[2,2]$, on découvre qu'il nous ...@@ -178,9 +191,15 @@ Si l'on essaye de calculer $(\mat{A}\ast \mat{B})[2,2]$, on découvre qu'il nous
### Exercice ### Exercice
Vous allez devoir implémenter une solution de traitement d'images en nuances de gris basé sur la convolution de signal en deux dimmensions. Le language imposé est le C. Vous devrez rendre le code ainsi qu'un rapport succint (moins de 8 pages par groupe). Au risque de se répéter, rappelons quelques contraintes administratives.
Pour commencer, vous devrez implémenter un outil permettant de lire des images au format PGM. Vous utiliserez le format binaire pour stocker la valeur de vos pixels. Votre programme devra respecter les spécifications du format PGM ([http://netpbm.sourceforge.net/doc/pgm.html](http://netpbm.sourceforge.net/doc/pgm.html)). Vous allez devoir implémenter une solution de traitement d'images en nuances de gris basé sur la convolution de signal en deux dimensions
par groupe de deux. Le language imposé est le C. Vous devrez rendre le code sur `gitedu` ainsi qu'un rapport succinct sur `Cyberlearn` (moins de 10 pages par groupe).
Pour commencer, vous devrez implémenter un outil permettant de lire des images au format PGM
(n'hésitez pas à réutiliser celui que vous avez déjà implémenté en programmation séquentielle).
Vous utiliserez le format binaire pour stocker la valeur de vos pixels.
Votre programme devra respecter les spécifications du format PGM ([http://netpbm.sourceforge.net/doc/pgm.html](http://netpbm.sourceforge.net/doc/pgm.html)).
Pour visualiser votre image, vous pouvez à choix l'afficher avec la librairie SDL (bonus sur la note finale) ou alors la sauvegarder au format PGM, et utiliser un outil compatible (par ex: ImageMagick). Pour visualiser votre image, vous pouvez à choix l'afficher avec la librairie SDL (bonus sur la note finale) ou alors la sauvegarder au format PGM, et utiliser un outil compatible (par ex: ImageMagick).
...@@ -204,7 +223,7 @@ Calculez à la main le produit de convolution de ces deux matrices, en utilisant ...@@ -204,7 +223,7 @@ Calculez à la main le produit de convolution de ces deux matrices, en utilisant
#### Partie 2 #### Partie 2
Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $\mat{F_n}\ast \mat{\mathcal{I}}$, où $\mat{\mathcal{I}}$ est l'image "part2.pgm" jointe à l'énnoncé. Expliquez avec vos mots l'effet de ces filtres, est essayant d'être le plus descriptif possible (évitez les phrases de 3 mots). Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $\mat{F_n}\ast \mat{\mathcal{I}}$, où $\mat{\mathcal{I}}$ est l'image "part2.pgm" jointe à l'énoncé. Expliquez avec vos mots l'effet de ces filtres, est essayant d'être le plus descriptif possible (évitez les phrases de 3 mots).
\begin{equation*} \begin{equation*}
\mat{F_0} = \begin{pmatrix} \mat{F_0} = \begin{pmatrix}
...@@ -241,9 +260,10 @@ Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $\mat{F_n}\ast \mat{\ma ...@@ -241,9 +260,10 @@ Appliquez les 5 filtres ci-dessous en faisant le produit $\mat{F_n}\ast \mat{\ma
\end{equation*} \end{equation*}
\newpage \newpage
#### Partie 3 #### Partie 3
Récupérez sur cyberlearn l'image nommée "part3_\<n\>.pgm", où n est votre numéro de groupe. Cette image a été fortement bruitée, heureusement (quelle chance vraiment :)), le bruit est périodique, et peut être supprimé à l'aide d'un filtre moyenneur. Récupérez sur cyberlearn l'image nommée `part3_<n>.pgm`, où `n` est votre numéro de groupe. Cette image a été fortement bruitée, heureusement (quelle chance vraiment :)), le bruit est périodique, et peut être supprimé à l'aide d'un filtre moyenneur.
\begin{equation*} \begin{equation*}
\mat{F} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} \mat{F} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}
......
0% or .
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