.gitignore

@@ -5,3 +5,5 @@
 *.backup
 *.pdf
 *.html
+*.markdown
+macros

.gitlab-ci.yml

-image: omalaspinas/archlinux-pandoc:latest
+image: omalaspinas/pandoc:latest
+
+variables:
+  GIT_SUBMODULE_STRATEGY: recursive
+  GIT_SSL_NO_VERIFY: 'true'
+
+before_script:
+   ##
+   ## Run ssh-agent (inside the build environment)
+   ##
+   - eval $(ssh-agent -s)
+
+   ##
+   ## Add the SSH key stored in SSH_PRIVATE_KEY variable to the agent store
+   ## We're using tr to fix line endings which makes ed25519 keys work
+   ## without extra base64 encoding.
+   ## https://gitlab.com/gitlab-examples/ssh-private-key/issues/1#note_48526556
+   ##
+   - echo "$SSH_PRIVATE_KEY" | tr -d '\r' | ssh-add - > /dev/null
+
+   ##
+   ## Create the SSH directory and give it the right permissions
+   ##
+   - mkdir -p ~/.ssh
+   - chmod 700 ~/.ssh
+
+   ##
+   ## Add host id to known_hosts
+   ##
+   - echo "$SSH_KNOWN_HOSTS" > ~/.ssh/known_hosts
+   - chmod 644 ~/.ssh/known_hosts
+
+
 
 build_only:
   script:
     - make
+    - make deploy
+    - rsync -avzz mti ur1bg_malas@ur1bg.ftp.infomaniak.com:web/malaspinas/
+    
 
 build_artifacts:
   script:
@@ -11,5 +46,5 @@ build_artifacts:
     paths:
       - "cours.html"
       - "cours.pdf"
-  only:
-    - tags
+  #only:
+  #  - tags

.gitmodules

+[submodule "css/tufte-css"]
+	path = css/tufte-css
+	url = https://github.com/edwardtufte/tufte-css.git

00_macros.md

+  \newcommand{\ux}{\bm{x}}
+  \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+  \newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+  \newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
+ 

01_rappel.md

+# Rappel
+
+## Fonctions
+
+Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe un résultat
+$$
+\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
+$$
+Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A\subseteq\real$. $A$ est le *domaine de définition* de $f$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
+
+---
+
+Illustration (Fonctions, généralités) #
+
+1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
+    $I$ $$\begin{aligned}
+    U=f(R,I)=R\cdot I.\end{aligned}$$
+
+2. Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu’on
+    ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs
+    mathématiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre
+    entier $x$ rend le prochain entier dont le nom commence par la même lettre
+    que $x$. $$f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...$$
+
+---
+
+Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul
+paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le
+résultat $y$, de façon générale on peut écrire $$y = f(x).$$ Si par
+ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer
+des compositions de fonction, qu’on note $g\circ f$, ou encore
+$$y=g(f(x)).$$
+
+---
+
+Illustration (Fonctions) #
+
+1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+    deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
+
+2. On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas
+    avec trois fonctions $f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et
+    $h(x)=1/x$ $$f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.$$
+
+---
+
+Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
+une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
+la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
+
+---
+
+Illustration (Fonction inverse) #
+
+1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
+    deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
+
+2. Soient $f(x)=x^2$ et $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+    deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|.$$ On a donc que
+    $\sqrt{x}$ est l’inverse de $x^2$ uniquement pour les réels
+    positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
+    On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle
+    elle satisfait la condition $x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$.
+    Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais $(f(-1)=f(1)=1$
+
+---
+
+## Domaine de définition
+
+---
+
+Définition (Domaine de définition) #
+
+Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
+$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
+
+---
+
+---
+
+Illustration (Domaine de définition) #
+
+1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
+
+2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
+
+3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
+    $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
+
+---
+
+## Limites
+
+Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide  et soient $a$ et $b$ deux réels.
+
+### Limite
+
+---
+
+Définition (Limite) #
+
+Pour $f$ définie en $D$,  on dit que $b$ est la
+limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
+C’est-à-dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes  les valeurs
+de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisamment proches de $a$).
+
+La définition mathématique plus stricte est:
+
+*Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta >0$, tel que, pour tout $x\in D$ tel que $|x-a|<\delta$, on ait $|f(x)-a|<\varepsilon$.*
+
+Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
+
+$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
+
+---
+
+---
+
+Remarque #
+
+Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
+$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+
+---
+
+---
+
+Illustration (Limite) #
+
+Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
+
+---
+
+Définition (Limite, asymptote) #
+
+Pour $f$ définie en $D$,
+on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
+$[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de
+$a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
+
+---
+
+Illustration (Limite, asymptote) #
+
+Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
+
+---
+
+### Limite à gauche, limite à droite
+
+Il est possible que le comportement de certaines fonctions
+soit différent selon qu’on approche $a$  par la gauche ou par la
+droite (i.e. $f(x)=1/x$, pour $a=0$).
+
+On note la limite à droite $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la
+fonction $f$ en $a$.
+
+Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
+sont égales.
+
+---
+
+Illustration (Limite à gauche/droite) #
+
+Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
+
+---
+
+### Comportement asymptotique
+
+Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
+fonctions quand $x\rightarrow\pm\infty$. Dans ces cas-là on dit qu’on
+s’intéresse au comportement *asymptotique* d’une fonction. Ce concept
+est particulièrement pertinent quand on étudie une fonction qui a la
+forme d’une fraction $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ Si on s’intéresse au
+comportement à l’infini de cette fonction on va prendre sa “limite”
+lorsque $x\rightarrow\infty$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right).$$
+Un exemple peut être $f(x)=x-1$, $g(x)=x+1$ et donc $h(x)=(x-1)/(x+1)$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x(1-1/x)}{x(1+1/x)}=1.$$
+De même quand on a $f(x)=3x^4-5x^3+1$, $g(x)=1$ et donc
+$h(x)=3x^4-5x^3+1$. Il vient donc
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4\left(1-\frac{5}{3x}+\frac{1}{3x^4}\right)=\infty.$$
+
+Si nous compliquons un peu l’exemple et que nous avons
+$f(x)=x^3+3x^2+1$, $g(x)=x^2$ et donc $h(x)=(x^3+3x^2+1)/x^2$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} (x^3+3x^2+1)/x^2=\lim_{x\rightarrow\infty} x=\infty.$$
+Un cas encore un peu plus complexe serait
+$f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
+$$
+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
+
+Ce genre d’estimations est important en informatique lors de l’analyse de
+performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
+de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne
+est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
+chaîne à trier. Si on fait le rapport pour de ces deux complexités on a
+$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{n\log(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\log(n)}.$$
+On peut simplement voir que ce rapport va tendre vers l’infini en
+dessinant la courbe $n/\log(n)$. Il existe un moyen “analytique”
+d’évaluer ce rapport. Tout nombre $n$ peut s’écrire avec une précision
+$p$ comme $$n=A\cdot 10^{p-1},$$ où $p$ est le nombre de chiffres
+significatifs qu’on veut représenter, et $1\leq A< 10$. On a également
+que[^1]
+$$\log(A)=\log\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1},$$
+avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
+$$\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.$$
+La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge
+vite vers une valeur finie et on peut faire l’approximation
+$$\log(n)\cong(p-1)\log(10),$$ pour $n$ grand (ce qui est équivalent à
+$p$ grand). On a donc que finalement le rapport $n/\log(n)$ va comme
+$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{(p-1)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{p}=\infty.$$
+
+## Continuité
+
+---
+
+Définition (Continuité) #
+
+Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
+$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
+$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+
+---
+
+---
+
+Propriétés (Fonctions continues) #
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
+
+1. $f+g$ est continue en $a$.
+
+2. $b f$ est continue en $a$.
+
+3. si $g(a)\neq 0$, $f/g$ est continue en $a$.
+
+4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
+
+---
+
+---
+
+Définition (Continuité sur un intervalle) #
+
+Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
+seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
+continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
+droite en $a$ et à gauche en $b$.
+
+---
+
+---
+
+Théorème (Valeurs intermédiaires) #
+
+Soit $f$ une fonction continue
+sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
+$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
+Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
+
+---
+
+## Dérivées
+
+---
+
+Définition (Dérivée en un point) #
+
+Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
+dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
+tel que $$\begin{aligned}
+&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
+&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
+
+---
+
+---
+
+Définition (Dérivée sur un intervalle) #
+
+Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
+la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
+point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
+
+---
+
+---
+
+Propriété #
+
+Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
+
+---
+
+---
+
+Propriétés #
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
+et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
+
+1. $(f+g)'=f'+g'$.
+
+2. $(af)'=a f'$.
+
+3. $(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
+
+4. Si $g$ ne s'annule pas  $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
+
+5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)$.
+
+Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
+régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
+$C\in {\real}$, nous avons
+
+1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
+
+2. $f(x)=e^{C x}$, $f'(x)=Ce^{Cx}$.
+
+3. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=1/x$.
+
+4. $f(x)=C$, $f'(x)=0$.
+
+5. $f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
+
+6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
+
+---
+
+---
+
+Définition (Dérivée seconde) #
+
+Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
+appelée la dérivée seconde de $f$.
+
+---
+
+### Variation des fonctions
+
+---
+
+Propriétés (Croissance/décroissance) #
+
+Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
+
+1. Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
+
+2. Si $f'<0$ sur $D$, alors $f$ est décroissante sur $D$.
+
+3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
+
+---
+
+---
+
+Définition (Maximum/minimum local) #
+
+Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
+un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
+(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
+
+---
+
+---
+
+Propriété (Maximum/minimum) #
+
+Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
+admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
+$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
+maximum ou un minimum de $f$.
+
+---
+
+## Etude de fonction
+
+Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
+$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
+
+1. Déterminer le domaine de définition.
+
+2. Déterminer la parité de la fonction. Rappel: $$\begin{aligned}
+      f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
+      f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
+     \end{aligned}$$
+
+3. Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels
+    que $f(x)=0$).
+
+4. Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou discontinuités,
+    ainsi que les asymptotes affines.
+
+5. Calculer $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques
+    (déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un
+    extremum, etc).
+
+6. Faire un croquis de $f(x)$.
+

07_remerciements.md

+Remerciements
+=============
+
+Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
+qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
+continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
+Borel, Cirilli, El Kharroubi, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino, N'Hairi, Perret, Pin, Rod, Seemüller, Sousa, et Sutter. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
+

08_notes.md

+[^1]: Pour ceux que ça intéresse cette série s’obtient à l’aide d’une
+    série de Taylor.
+
+[^2]: La somme $\sum_{i=0}^n i=n(n+1)/2$
+
+[^3]: Cette formulation devrait vous rappeler ce que nous avons vu au
+    chapitre précédent
+
+[^4]: On cherche la fonction dont la deuxième dérivée est une constante,
+    $a$.
+
+[^5]: Ces systèmes sont dits de Lotka–Volterra.
+
+[^6]: Cette relation est l’équivalent des relations d’orthogonalité
+    entre sinus et cosinus que nous avons calculées tout à l’heure.
+
+[^7]: Il y a 7 temps de 50s, 12 de 51s, 8 de 52s et 23 de 53s.
+
+[^8]: on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela
+    est moins pratique à étudier théoriquement.
+
+[^9]: De façon générale cela n’est pas vrai. Imaginons que nous ayons un
+    sac avec 3 boules: 2 noires et une blanche. La probabilité de
+    réaliser $A$: tirer une boule noire ($p(A)=2/3$) ou $B$: tirer une
+    boule blanche ($p(B)=1/3$) n’est pas donnné par
+    $p(A)=\mbox{nombre d'éléments dans }A/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$,
+    $p(B)=\mbox{nombre d'éléments dans }B/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$.
+[^10]: Leur valeur est un peu arbitraire, souvent $\delta x=0.01$ et $k=2$.

Makefile

-STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
-	css/pandoc.css \
-	css/pandoc-solarized.css \
-	css/tufte-extra.css
-
 OPTIONS = --toc
 OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
 OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
@@ -14,26 +9,52 @@ PDFOPTIONS += --template=./default.latex
 
 
 HTMLOPTIONS += -t html5
-HTMLOPTIONS += -c css/styling.css
+HTMLOPTIONS += -c css/tufte-css/tufte.css
 HTMLOPTIONS += --self-contained
 HTMLOPTIONS += --mathjax=MathJax.js
 
-MD=$(wildcard *.md)
-HTML=$(MD:%.md=%.html)
-PDF=$(MD:%.md=%.pdf)
+CLASS_SOURCES := $(sort $(filter-out README.md, $(wildcard *.md)))
+SOURCES := $(filter-out 00_macros.md, $(CLASS_SOURCES))
+SOURCES := $(filter-out 08_notes.md, $(SOURCES))
+
+all:  cours.pdf cours.html
+
+# %.tex: %.md
+# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $< --metadata-file metadata.yaml
+
+cours.pdf: $(CLASS_SOURCES)
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
+cours.html: $(CLASS_SOURCES)
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
 
-all: $(HTML) $(PDF)
+MARKDOWN := $(patsubst %.md, %.markdown, $(SOURCES))
 
-%.pdf: %.md Makefile
-	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+hakyll_gen: $(MARKDOWN)
 
-%.html: %.md Makefile
-	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $<
+$(MARKDOWN): %.markdown: 00_macros.md %.md 08_notes.md
+	$(file >$@,---)
+	$(file >>$@,date: $(shell git log --follow -p -1 --format=%cd --date=format:'%Y-%m-%d' -- $(word 2,$^) | head -n 1))
+	$(file >>$@,mathjax: on)
+	$(file >>$@,---)
+	cat $^ >> $@
 
 deploy: all
 	mkdir -p mti
 	cp cours.html mti/index.html
+	cp cours.pdf mti/cours.pdf
+	mkdir -p mti/tpIntegrales
+	make -C travaux_pratiques/tpIntegrales
+	cp travaux_pratiques/tpIntegrales/*.pdf mti/tpIntegrales/
+	cp travaux_pratiques/tpIntegrales/tp_integrales_conv.html mti/tpIntegrales/index.html
+	mkdir -p mti/tpEdo
+	make -C travaux_pratiques/tpEdo
+	cp travaux_pratiques/tpEdo/*.pdf mti/tpEdo/
+	cp travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.html mti/tpEdo/index.html
+	mkdir -p mti/tpOptimisation
+	make -C travaux_pratiques/tpOptimisation
+	cp travaux_pratiques/tpOptimisation/*.pdf mti/tpOptimisation/
+	cp travaux_pratiques/tpOptimisation/tpOptimisation.html mti/tpOptimisation/index.html
 
 clean:
-	rm -rf *.html *.pdf
+	rm -rf mti *.markdown *.html *.pdf

README.md

@@ -2,7 +2,9 @@
 
 # Cours de sciences pour étudiants en logiciel ITI (2ème année)
 
-Ce projet contient la tentative de polycopié du cours de Mathématiques pour la filière ITI de hepia. Vous pouvez accéder au polycopié dans votre navigateur en cliquant sur [`ce lien`](https://mathintro.github.io/deuxieme_logiciel/). 
+Ce projet contient la tentative de polycopié du cours de Mathématiques pour la
+filière ITI de hepia. Vous pouvez accéder au polycopié dans vot
+re navigateur en cliquant sur [`ce lien`](http://129.194.185.180/mti/index.html)
 
 # Production d'un pdf
 
@@ -10,8 +12,6 @@ Le projet est écrit à l'aide de la librairie [`pandoc`](https://pandoc.org/ins
 
 Afin de compiler le projet vous avez besoin des programmes suivants:
 
-## [`imagemagick`](http://www.imagemagick.org/script/index.php)
-
 ## make
 
 ## pandoc (v2.0 ou plus récent)

app/Makefile

+STYLES := ../css/tufte-css/tufte.css \
+	../css/pandoc.css \
+	../css/pandoc-solarized.css \
+	../css/tufte-extra.css
+
+OPTIONS = --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=../default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c ../css/styling.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
+
+MD=$(wildcard *.md)
+HTML=$(MD:%.md=%.html)
+PDF=$(MD:%.md=%.pdf)
+
+
+all: $(HTML) $(PDF)
+
+%.pdf: %.md Makefile
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+
+%.html: %.md Makefile
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $<
+
+clean:
+	rm -rf *.html *.pdf

app/conv.md

+---
+title: Apprentissage par problème, la convolution
+autoSectionLabels: true
+autoEqnLabels: false
+eqnPrefix: 
+  - "éq."
+  - "éqs."
+chapters: false
+numberSections: false
+chaptersDepth: 1
+sectionsDepth: 3
+lang: fr
+documentclass: article
+papersize: A4
+cref: false
+pandoc-numbering:
+  - category: exercice
+urlcolor: blue
+---
+
+# Buts
+
+- Étudier la convolution.
+- Étudier le convolution numérique.
+- Étudier une notion par apprentissage par problème.
+
+# Apprentissage par problème 
+
+Un apprentissage par problème est réalisé en plusieurs phases successives (ici 4), le but
+étant que les étudiant·e·s apprennent à rechercher l’information par elles/eux-mêmes, qu’elles/ils échangent entre elles/eux afin de bien maîtriser cette notion, et enfin, dans une épreuve ou
+un test, qu’elles/ils soient capables de montrer que la notion est acquise.
+
+1. Le 7 novembre 2018: présentation du problème et organisation.
+2. Entre le 7 novembre et le 14 novembre: travail individuel ou en groupes informels.
+3. Le 14 novembre : discussion en 4 groupes organisés afin d’approfondir la notion et
+d’institutionnaliser le résultat en présence du professeur.
+4. Dans l’épreuve suivante, une question / un problème sera posé sur cette notion.
+
+# Problème
+
+A l’aide de lectures que vous ferez dans des livres ou sur internet, soit dans la liste ci-
+dessous, soit en faisant vos recherches personnelles, étudier dans le détail la notion
+de convolution, et en particulier trouvez des applications intéressantes. 
+
+Vous devrez être capable d’exposer les problèmes que l’on peut résoudre
+avec cette notion et donner des exemples.
+
+Écrire un algorithme en pseudo-code de convolution pour une application particulière.
+
+# Références
+
+- <https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_convolution>
+- <https://openclassrooms.com/fr/courses/4500266-analysez-les-signaux-1d/4507446-quest-ce-quune-convolution>
+- <https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(image_processing)>
+- <http://www.songho.ca/dsp/convolution/convolution2d_example.html>

covid/00_macros.md

+  \newcommand{\ux}{\bm{x}}
+  \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+  \newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+  \newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
+  
\ No newline at end of file

covid/01_covid.md

+# Modélisation d'épidémies
+
+**Avertissement:** Dans cette brève introduction nous n'avons pas la prétention
+de présenter des modèles très précis ayant une grande valeur prédictive.
+L'objectif est plutôt de se familiariser avec le concept de modèle mathématique
+ainsi que d'étudier un modèle simplifié de propagation d'épidémieet de voir quels peuvent
+être les effets de la quarantaine sur une propagation libre.
+
+## L'exponentielle
+
+Un modèle mathématique d'une épidémie est une abstraction mathématique de la réalité permettant
+de faire des prédictions sur l'évolution du nombre de personne atteinte et leur guérison possible
+guérison. Elle permet ainsi de prévoir l'effet des politiques publiques pour contenir
+les épidémies: quarantaine, vaccination, ...
+
+Imaginons d'abord un modèle très simple où nous considérons une fonction, $M(t)$, 
+qui donne le nombre nombre d'individus ayant contracté une maladie en fonction
+du temps. La valeur $M_0=M(0)$ est le nombre de malades le jour où la maladie
+se déclare pour la première fois. On aimerait décrire l'évolution
+de cette maladie. Pour ce faire, nous allons écrire une équation
+qui va calculer $M(t+\delta t)$ à partir de $M(t)$ qui est supposé connu.
+
+Supposons dans notre modèle très simplifié, que chaque personne malade
+contamine exactement deux personnes saines en un temps $\delta t$. 
+Supposons également qu'il y a une infinité
+de personnes saines (c'est pas très réaliste mais cela simplifie les choses pour le moment).
+Nous avons donc que le nombre de personne infectées au temps $t+\delta t$, $M(t+\delta t)$
+est donné par
+$$
+M(t+\delta t)=M(t)+\delta t \cdot 2\cdot M(t).
+$$
+A gauche de cette équation nous avons le nombre de malades au temps $t+\delta t$ qui
+est donné par le nombre de malade le jour $t$, auquel on additionne le nombre de nouveaux malades
+qu'ils ont contaminés en une journée (2 fois leur nombre).
+
+Si $\delta t$ est un jour, et que nous avons au premier jour une seul malade, $M(0)=1$,
+on a la suite suivante
+\begin{align}
+M(0)&=1\mbox{ malades},\\
+M(1)&=M(0)+1\cdot 2 M(0)=1 + 2=3\mbox{ malades},\\
+M(2)&=M(1)+1\cdot 2 M(1)=3 + 6=9\mbox{ malades},\\
+M(3)&=M(2)+1\cdot 2 M(2)=9 + 18=27\mbox{ malades},\\
+\vdots&
+\end{align}
+On peut facilement se convainque qu'au bout de $n$ jours, le
+nombre de malades a atteint $3^n$. On a une croissance **exponentielle**
+du nombre de malades.
+
+Ce qu'on a fait ici comme modèle est un modèle compartimental (on a compartimenté la population):
+on a divisé la population en une classe, celle des malades $M(t)$. Puis
+on a adjoint une règle d'évolution à cette classe: chaque jour chaque malade infecte
+deux nouvelles personnes. Ce modèle est très simpliste mais il illustre très bien
+comment on construit un modèle d'épidémie.
+
+Par ailleurs, on peut se rendre compte que l'équation que nous avons écrite plus
+haut décrit l'évolution du *taux de variation* de $M(t)$. En effet, en réarrangeant les termes de cette équation, on a que
+$$
+\underbrace{\frac{M(t+\delta t)-M(t)}{\delta t}}_{\mbox{taux de variation}}=2M(t).
+$$
+Si nous prenons la limite pour $\delta t\rightarrow 0$ des deux côtés
+nous obtenons
+$$
+M'(t)=2M(t).
+$$
+Ceci est une **équation différentielle**, une équation dont l'inconnue est une fonction
+et qui relie sa forme avec ses dérivées. Nous allons utiliser
+ce type d'équations pour voir un modèle un peu plus réaliste de modèle
+d'épidémies dans la section suivante.
+
+## Modèles compartimentaux
+
+Les modèles compartimentaux, créés autour des années 1920, sont des modèles
+mathématiques permettant de représenter la propagation des épidémies.
+Ces modèles divisent une population en plusieurs *classes* épidémiologiques (compartiments)
+comme les individus sains mais susceptibles d'être infectés, les individus infectieux, et
+les individus guéris (qui ont acquis une immunité suite à une infection). Ces trois compartiements
+sont notés respectivement, $S$, $I$, et $R$. Il en existe d'autres, mais nous ne les
+discuterons pas dans le cadre de cette petite introduction.
+
+Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus, nous voulons
+décrire les transitions entre les patients sains (susceptibles d'attraper la maladie) et inféctieux,
+$$
+S\rightarrow I,
+$$
+puis entre infectieux et guéris
+$$
+S\rightarrow I.
+$$
+
+La transition $S\rightarrow I$ est décrite par le taux de transmission de la maladie, $\beta\cdot I$. $\beta$ est le nombre de contacts par personne multipliée par la probabilité de transmission de la maladie quand une personne infectieuse rencontre une personne susceptible d'attraper la malade.
+
+De même la transition $I\rightarrow R$ est donnée par $\lambda=1/d$, le taux de guérison (ou de mort) qui est simplement
+l'inverse du temps nécessaire à la guérison (ou à la mort).
+
+A présent, nous pouvons écrire les équations différentielles
+régissant l'évolution de $S(t)$, $I(t)$ et $R(t)$.
+
+Le nombre d'individus susceptible d'attraper la maladie
+va décroître proportionnellement au taux de transmission de la maladie multiplié par la fraction du nombre d'individus susceptible de l'attraper sur leur nombre total
+$$
+S'(t)=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},
+$$
+où $N=I(t)+S(t)+R(t)$ est la population totale (c'est une constante). Étant donné qu'il n'y a pas d'individus sains
+injectés dans le système il n'y a pas de façon de faire croître $S(t)$.
+
+Le nombre de personnes guéries va croître proportionnellement
+au nombre de personnes infectées
+$$
+R'(t)=\lambda I(t).
+$$
+
+Finalement, le nombre de personnes infectieuses va croître exactement du
+même nombre que le nombre de personne saine ayant attrapé la maladie, et décroître du nombre de personne guéries
+$$
+I'(t)=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t).
+$$
+
+Nous avons donc un système d'équations différentielles.
+\begin{align*}
+S'(t)&=-\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I'(t)&=\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t),\\
+R'(t)&=\lambda I(t).
+\end{align*}
+
+La dynamique de ce système est pilotée par $R_0$,
+le taux de reproduction de base qui est donné par le rapport du taux de transmission de la maladie avec le taux de guérison
+$$
+R_0=\frac{\beta}{\lambda}.
+$$
+
+Ce système d'équations est **non-linéaire** mais possède une solution analytique. Nous n'allons pas nous intéresser à sa résolution analytique, mais plutôt le résoudre numériquement.
+
+En nous rappelant que la définition de $f'(t)$ est
+$$
+f'(t)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t+\delta t) - f(t)}{\delta t},
+$$
+on voit qu'on peut approximer $f'(t)$ par
+$$
+f'(t)\cong \frac{f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}.
+$$
+Il vient que le système d'équations ci-dessus peut se réécrire
+\begin{align}
+S(t+\delta t)&=S(t)-\frac{\delta t\beta I(t)\cdot S(t)}{N},\\
+I(t+\delta t)&=I(t)+\delta t\left(\frac{\beta I(t)\cdot S(t)}{N} - \lambda I(t)\right),\\
+R(t+\delta t)&=R(t)+\delta t\lambda I(t).
+\end{align}
+A l'aide de ces équations on peut calculer *itérativement*
+la valeur de $S, I, R$ de ces valeurs pour un $t$ donné en partant d'une condition initiale $S(0)$, $I(0)$, et $R(0)$.
+
+
+
+
+
+
+
+
+

covid/Makefile

+STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
+	css/pandoc.css \
+	css/pandoc-solarized.css \
+	css/tufte-extra.css
+
+OPTIONS = --toc
+OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=../default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c ../css/tufte-css/tufte.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
+
+all:  covid.pdf covid.html
+
+# %.tex: %.md
+# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+
+covid.pdf: 00_macros.md 01_covid.md 
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+covid.html: 00_macros.md 01_covid.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+deploy: all
+	mkdir -p ../mti
+	cp covid.html ../mti/index.html
+	cp covid.pdf ../mti/covid.pdf
+
+clean:
+	rm -f *.html *.pdf