intEdo_old.md

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# - Orestis Malaspinas
title: Contrôle continu de mathématiques
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Intégrales et EDO {#all .unnumbered}

Résoudre les exercices suivants en justifiant au maximum les étapes de calcul. Chaque exercice vaut 1pt. Il y a deux exercices bonus à la fin de l'examen valant également 1 pt chacun. Vous avez le droit à tout matériel ne contenant pas un microprocesseur et n'ayant pas d'accès à internet.

Exercice (1pt) #

Calculer la primitive suivante

\int (t-1)^{12}\dd t

\break

Exercice (1pt) #

Répondre aux questions suivantes.

1. Soit
   \int_0^\infty e^{-x^2}\dd x=\sqrt{\pi}/2
   , que vaut
   \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x?
2. Vrai ou faux: Une intégrales représentant une aire sous une fonction, elle est forcément positive.
3. Que vaut
   \int_\pi^\pi e^{-x^2}\dd x
   ?
4. Vrai ou faux: Soit
   \int_0^\infty e^{-x^2}\dd x=\sqrt{\pi}/2
   , alors
   \int_{0}^\infty e^{-x^2}\cdot e^{-x^2}\dd x=\int_{0}^\infty e^{-x^2}\dd x\cdot \int_{0}^\infty e^{-x^2}\dd x=\pi?

\break

Exercice (1pt) #

Calculer l'intégrale suivante

\int_0^1 (x^4-2x^3+2x-1)(4x^3-6x^2+2)\dd x

\break

Exercice (1pt) #

Calculer la primitive suivante

\int x\cdot e^x\dd x.

\break

Exercice (1pt) #

Résoudre l'EDO suivante

y'(x)=(x^4-2x^3+2x-1)(4x^3-6x^2+2),\quad \mbox{où}\quad y(0)=0.

\break

Exercice (1pt) #

Résoudre l'EDO suivante

x^2-y(x)\cdot y'(x)=0.

\break

Exercice (1pt) #

Résoudre l'EDO suivante

6\cdot y'(x)-6\cdot x\cdot y(x)=x

\break

Exercice (1pt) #

Résoudre l'EDO suivante

7\cdot y'(x)=4+2\cdot y(x),\quad y(0)=0.

\break

Exercice Bonus (1pt) #

Calculer l'intégrale suivante

\int_{-1}^1 e^{-x^2}\sin(x)\dd x

\break

Exercice Bonus (1pt) #

Résoudre l'EDO suivante (

R

,

C

,

\omega

et

U

sont des constantes)

u_c'(t)+\frac{u_c(t)}{R\cdot C}=\frac{U\sin(\omega t)}{R\cdot C}.