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@@ -887,18 +887,19 @@ En résolvant ce système (nous n'écrivons pas la solution ici) nous pouvons à
 l'intégrale 
 \begin{align}
  I&=\int_a^b f(x)\dd x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e)\dd x,\nonumber\\
- &=\frac{a-b}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).
+ &=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).
 \end{align}
 
 On peut donc généraliser affiner cette formule en rajoutant des intervalles comme précédemment
 et en répétant cette opération pour chaque intervalle.
 
 Il vient donc que 
-\begin{equation}
- I=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right].
-\end{equation}
+\begin{align}
+ I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\
+ &\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).
+\end{align}
 
-Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 3, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
+Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 4, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
 
 
 \chapter{Équations différentielles ordinaires}
@@ -908,6 +909,127 @@ Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 3, $f(x)=ax^3
 Pour illustrer le concept d'équations différentielles, nous allons considérer pour commencer des systèmes
 qui évoluent dans le temps (évolution d'une population, taux d'intérêts, circuits électriques, ...).
 
+\subsection{Mouvement rectiligne uniforme}
+
+Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d'une particle au cours du temps et 
+notons la $v(t)$. Nous savons également que la vitesse d'une particule est relié à l'évolution au cours du temps 
+de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$.
+En particulier, nous avons que la vitesse n'est rien d'autre que la dérivée de la position. On peut onc écrire 
+une équation reliant la vitesse à la position
+\begin{equation}
+ x'(t)=v(t).
+\end{equation}
+Cette équation est appelée \textit{équation différentielle}, car elle fait intervernir non seulement les fonctions $x(t)$ et $v(t)$, mais également 
+la dérivée de la fonction $x(t)$. Si maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons résoudre cette équation.
+Comme le nom de la sous-section le laisse entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui a la particularité
+de décrire le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante. On a donc
+\begin{equation}
+ v(t)=v.
+\end{equation}
+Nous cherchons donc à résoudre l'équation différentielle
+\begin{equation}
+ x'(t)=v.
+\end{equation}
+Ou en d'autres termes, nous cherchons la fonction dont la dérivée donne $C$\footnote{Cette formulation devrait vous rappeler ce que nous avons vu au chapitre précédent}. 
+Vous savez sans doute que l'ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente est
+\begin{equation}
+ x(t)=v\cdot t+B,
+\end{equation}
+où $B$ est une constante arbitraire. On a donc la solution générale de cette équation différentielle qui n'est pas unique, mais qui donne une infinité
+de solution (comme quand nous avons calculé la primitive d'une fonction au chapitre précédent). Afin de trouver une solution unique,
+nous devons imposer une ``condition intiale'' à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition intiale
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0, 
+\end{equation}
+il vient
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.
+\end{equation}
+Finalement, la solution de l'équation différentielle est donnée par
+\begin{equation}
+ x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.
+\end{equation}
+
+\begin{remarque}
+La solution de l'équation différentielle
+\begin{equation}
+ x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,
+\end{equation}
+revient à calculer 
+\begin{align*}
+ \int x'(t)\dd t=\int v \dd t,\\
+ x(t)=v\cdot t + B.
+\end{align*}
+\end{remarque}
+
+\subsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré}
+
+Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet dont on le connaît que l'accélération, $a(t)$, on peut également écrire une équation différentielle
+qui décrirait l'évolution de la position de l'objet en fonction du temps. En effet, l'accélération d'un objet est la deuxième dérivée 
+de la position, soit
+\begin{equation}
+x''(t)=a(t),
+\end{equation}
+ou encore la première dérivée de la vitesse.
+\begin{align}
+v'(t)&=a(t),\\
+x'(t)&=v(t).
+\end{align}
+
+Par simplicité supposons que l'accélération est constante, $a(t)=a$. On doit donc résoudre\footnote{On cherche la fonction dont la deuxième dérivée est une constante, $a$.}
+\begin{equation}
+x''(t)=a,
+\end{equation}
+ou 
+\begin{align}
+v'(t)&=a,\\
+x'(t)&=v(t).\label{eq_xpv}
+\end{align}
+Commen\c cons pas le système d'équations ci-dessus. On commence par résoudre 
+la première équation pour $v(t)$ et on a
+\begin{equation}
+ v(t)=a\cdot t+C.
+\end{equation}
+En substituant ce résultat dans l'équation \eqref{eq_xpv}, on a
+\begin{equation}
+ x'(t)=a\cdot t+C.
+\end{equation}
+On peut donc directement intégrer des deux côtés comme vu dans la sous-section précédente
+\begin{align}
+ \int x'(t)\dd t&=\int a\cdot t+C\dd t,\nonumber\\
+ x(t)&=\frac{a}{2}\cdot t^2+C\cdot t + D.
+\end{align}
+On a donc que la position d'un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré est donné par une
+parabole. Cette équation ci-dessus néanmoins a encore deux constante indéterminées. Pour les déterminer, on doit donc imposer
+deux conditions intiales. Une possibilité est d'imposer une condition initiale par équation
+\begin{equation}
+ v(t_0)=v_0,\mbox{ et } x(t_0)=x_0.
+\end{equation}
+On obtient donc 
+\begin{equation}
+ v(t_0)=v_0=a\cdot t_0+C \Leftrightarrow C=v_0-a\cdot t_0,
+\end{equation}
+et
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0^2.
+\end{equation}
+Finalement la solution est donc
+\begin{equation}
+ x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.
+\end{equation}
+
+\begin{remarque}
+La solution de l'équation différentielle peut également se calculer de la façon suivante
+\begin{equation}
+ x''(t)=av,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.
+\end{equation}
+revient à calculer 
+\begin{align*}
+ \int \int x''(t)\dd t\dd t=\int \int a \dd t\dd t,\\
+ x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.
+\end{align*}
+\end{remarque}
+
 \subsection{Évolution d'une population}
 
 Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de reproduction $r$. Nous connaissons le nombre de